Matematika ekonomi
ALJABAR MATRIKS
Pemecahan untuk mencari titik ekuilibrium sebelumnya
adalah relative sederhana. Bila semakin banyak barang
yang dimasukkan kedalam model, maka penyelesaian
dengan rumus tsb menjadi tidak praktis. Metoda yang
lebih baik untuk pemecahan persamaan simultan dengan
beberapa variable adalah menggunakan aljabar matriks.
Aljabar matriks membantu kita :
a. Memberikan sistem persamaan yang ringkas.
b. Pemecahannya melalui determinan.
c. Memberi cara pemecahan jika ada
Pengertian :
Matriks adalah susunan/daftar/array dari suatu angka2
yang mempunyai ikatan berdasar baris atau kolom dan
yang mempunyai kegunaan tertentu.
Susunan Baris : angka2 diurutkan secara horizontal (ke
arah kanan – kiri )
Susunan Kolom : angka2 diurutkan secara vertikal ( dari
atas – bawah )
Ikatan : menunjukkan hubungan secara berturut. Misal,
krn matriks merpkan nilai paramater dari suatu
persamaan.
Kegunaan : untuk menyederhanakan, memudahkan
ataupun mempercepat perhitungan suatu persamaan.
Perhatikan matriks A berikut :
a11
a12
a13
1
A : a21
a22
a23
: 0
a31
a32
a33
6
3
2
4
5
7
8
Pengertian baris (raw) dan kolom (lajur/coloumn) :
a13 : menunjukkan element (unsur) matriks A yang
terletak pada baris ke 1 dan kolom ke 3, 5
a21 : menunjukkan element (unsur) matriks A yang
terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1, 0
Analog :
bij : menunjukkan element (unsur) matriks B yang
terletak pada baris ke i dan kolom ke j
4.1. Matriks dan vektor
Secara umum sistem dengan m persamaan linear dan n
variabel (x1, x2, …… , xn) dapat disusun dalam bentuk :
a11x1 + a12x 2 + ….. + a1nxn = d1
(4.1)
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = d2
:
:
:
=:
am1x 1 + am2 x2 + ….. + amnxn = dm
Dalam sistem persamaan (4.1) terdapat 3 macam bahan
pokok, yaitu :
1. Himpunan koefisien aij,
2. Himpunan variabel x 1, …. , xn,
3. Himpunan konstanta d1, …. , dm.
(4.2)
A:
a 11 a12
a21 a22
: :
a 31 a32
a 13
a 23
:
a 33
x:
x1
x2
:
xn
d:
d1
d2
:
dn
Contoh :
6x1 + 3x2 + x 3 = 22
(4.3)
x1 + 4x2 – 2x3 = 12
4x1 – x2 + 5x3 = 10
Dapat ditulis
(4.4)
A:
6
3
1
4
4 –1
1
–2
5
x:
x1
x2
xn
d:
22
12
10
Setiap susunan dalam (4.2) atau (4.4) merupakan suatu matriks
Vektor sebagai matriks khusus
Jumlah baris dan kolom dalam suatu matriks
menunjukkan dimensi dari matriks.
Sebuah matriks yang memiliki banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom, disebut matriks kuadrat
(square matrix).
Matriks yang berisi satu kolom, disebut vektor kolom.
Matriks yang berisi satu baris, disebut vektor baris,
vektor baris menggunakan simbol x’ = [ x1 x2 …. Xn ]
Dengan menggunakan matriks dalam (4.4) kita dapat menyatakan persamaan (4.3) menjadi
Ax = d
4.2. Operasi dengan matriks
1. Persamaan (equality).
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
3. Perkalian bilangan (scalar multiplication)
4. Perkalian matriks
4.3. Beberapa jenis matriks
1. Matriks nol
6. Skalar
2. Matriks identitas
7. Vektor
3. Matriks diagonal
8. Matriks non singular
4. Matriks skalar
9. Matriks singular
5. Matriks simetris
4.6. Transpose dan inverse
Transpose suatu matriks A dapat ditulis AT atau A’.
Diten-tukan dengan merubah elemen tiap baris
matriks A men-jadi kolom2 matriks A’ atau sebaliknya.
A:
a 11 a12
a 13
a21 a 22 a 23
a 31 a32 a 33
a11 a21 a 31
A’ : a21 a22 a23
a31 a 32 a33
Atau
B:
4
2
–4
6
0
5
B’ : 4
6
2 –4
0 5
Sifat-sifat transpose
Sifat – sifat berikut meripakan ciri dari transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A + B)’ = A’ + B’
3. (AB)’ = B’A’
Inverse dan sifat-sifatnya
Inverse matriks A ditunjukkan dengan simbol A–1, hanya
dapat ditentukan bila A adalah matriks kuadrat, dimana
inverse adalah matriks yang memenuhi kondisi
A.A–1 = A–1.A = I
Beberapa yang perlu diperhatikan :
1. Tidak semua matriks kuadrat mempunyai inverse. Bila matriks
kua-drat A dapat diinverse (dibalik), maka A dis non – singular.
Bila A tdk bisa diinverse disebut matriks singular.
2. A dan A–1 merupakan inverse satu sama lain.
3. Bila A adl n x n, maka A–1 juga harus n x n. Matriks identitas yang
diperoleh juga berdimensi n x n.
4. Bila suatu matriks mempunyai inverse, maka hanya memp satu
inverse matriks. Bila A–1 adalah B, maka AB = BA = I
terdapat matriks lain C, shg AC = CA = I. dengan mengalikan
bagian AB = I dengan C , kita peroleh CAB = CI
karena CA = I maka IB = C atau B = C
5. A.A –1 = A–1.A = I . Sebenarnya menyatakan bahwa kedua hubungan
inverse antara A dan A–1
Matriks inverse dan penyelesaian sistem
persamaan linear
Penggunaan konsep matriks inverse dalam penyelesaian suatu sistem
persamaan linear adalah langsung dan cepat. Dari sistem persama-an
linear (4.3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
(4.17)
A
x = d
(3x3) (3x1) (3x1)
sekarang bila terdapat matriks inverse A–1 perkalian kedua bagian
persamaan (4.17) dengan A–1 akan menghasilkan
A–1 Ax = A–1 d
atau
(4.18)
x = A–1 d
(3x3) (3x3) (3x1)
Penyelesaian (perhitungan akan dibahas dalam bab berikutnya)
A–1
1
= ---52
x1
1
x2 = ---x3
52
18
– 13
– 17
18
– 13
– 17
– 16
26
18
– 16
13
21
– 16
26
18
– 10
13
21
22
12
10
=
Maka jawabannya adalah : x1 = 2 ; x2 = 3 ; x3 = 1
2
3
1
INDEFINITE INTEGRAL
DEFINITE INTEGRAL
Integral dikenal dua macam pengertian
yaitu :
a.Integral tak tentu (Indefinite Integral)
b.Integral tentu (Definite Intergral)
Suatu
konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal, apabila
turunan atau derivatif dari fungsinya
diketahui
Bentuk umum integral tak tentu:
Rule 1: Power rule
Rule 1’: generalised
“power rule”/
substitution rule:
f ( x)
n
f ( x)
f '( x) dx
n 1
n 1
C
n 1
3 dx 3 x c
1 2
x dx 2 x c
4
x
(2
2)
3
(2
2)
(2) dx
x
C
4
Latihan
x dx
3
x dx
3
1
4 dx
x
Rule 2 : Integral of a constant multiple :
Contoh :
1 01
1dx
x c xc
0 1
1 0 1
6dx 6
x c 6x c
0 1
Rule 3 : Integral of a sum:
Contoh :
2
(3
2
)
3
2
3
x
dx
dx
xdx
x
x
c
1 2 3 2
3xdx 3 xdx 3 2 x 2 x
2
2
x
x
dx
xdx
x
(3
2
)
3
2
dx
3 2 2 3
x x c
2
3
( x x 1) dx
1
x
(e )dx
x
3
Rule 4 : Exponential rule:
Rule 4’: Generalised
Exponential rule:
4
4
e
dx
e
c
2 x 5
e
1 2 x 5
2 x 5
e dx 2 c 2 e c
Latihan
e dx
4
e
x 1
)dx
Rule 5 :“aturan
logaritma:
Rule 5’: sering ditulis :
1
ln
dx
x
C
x
1
1
2
x
dx
2
dx
2.ln
x
c
x
Rule 6 : Integral Perkalian
kf ( x)dx k f ( x)dx
Contoh:
3
x
2 3
2
2
2 x dx 2 x dx 2( c) x c
3
3
f ( x ) dx f ( x ) dx
Latihan:
1 3
(5e 2 )dx
x
x
x
Rule 7: Aturan Subtitusi
du
dx f (u )du f (u ) c
dx
d
d
du
du
f (u )
f (u )
f ' (u )
dx
du
dx
dx
f (u )
Cara Langsung :
cari 2 x( x 2 1) dx
4
x
2 x( x 2 1) dx (2 x 3 2 x) dx x 2 c
2
Cara Subtitusi
Dengan cara subtitusi ; misal u = x2 + 1, maka
du/dx =2x atau dx=du/2x
Subtitusi du/2x untuk dx akan menghasilkan
2
du
u
2 x( x 2 1) dx 2 x.u
u.du
c1
2x
2
1 4
1 4
2
( x 2 x 1) c1 x x2 c
2
2
1. 6 x ( x 2) dx
2. 8e
2
3
2 x3
dx
9
Consider two continuous functions u=f(x) and v=g(x), then,
d
[ f ( x).g ( x)] f ( x).g '( x) f '( x).g ( x)
dx
Let us assume that u f ( x ) and v g ( x )
Then,
d (uv) u.dv du.v
Let us integrate both sides
uv u.dv v.du
Rearranging:
u.dv uv v.du
Using integration by parts, find 3dx
u 3, dv dx
du 0, v x
u.dv uv v.du
3.dx 3x x.0 3x c
Using integration by parts, find (2 x 3)(2 x )
u (2 x 3), dv 2 x
du 2, v 2 x x2
u.dv uv v.du
(2 x 3).(2 x) (2 x 3)( x
(2 x 3 x ) 2 x
3
2
2
) x .2
2
2
2 3 4 3
2 x 3x x x 3x 2 c
3
3
3
2
Verification (2 x 3)(2 x) (4 x2 6 x)dx
4 3 6 2
4 3
4 x dx 6 x dx x x c x 3x 2 c
3
2
3
2
Integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel
bebasnya memiliki batas tertentu
Integral tertentu sering digunakan untuk
menghitung luas area yang terletak diantara
kurva y=f(x) dan sumbu x dalam suatu rentangan
wilayah yang dibatasi oleh x=a dan x=b
Proses pencarian luas suatu area yang batasbatas atau limit dari area tersebut sudah
ditentukan
Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa :
f ( x)dx F ( x) c
Untuk mengetahui hasil integrasi teresbut untuk
suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah
antara x = a dan x = b, dimana a 0
Ekstrem maksimum bila fxx dan fyy < 0
tanda fxx dan fyy senantiasa sama
Contoh :
Z = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45
Fx = dz/dx = -2x + 12 menjadi x = 6
Fy = dz/dy = -2y + 10 menjadi y = 5
Titik statisioner (6,5)
fxx = -2 fyy = -2
fxy = 0
fxx fyy – fxy2 = (-2) (-2) – 0 = 4 > 0 *titik ekstrem
Fxx = -2 < 0 titik maksimum
Zmaksimum = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45
= -(6)2 + (12) (6) – (5)2 + 10(5) – 45
= 16
Polinom atau suku banyak dalam X atau P(X) ialah
ungkapan yang mengandung suku KXr, dimana K
= konstanta serta r = bilangan bulat. Derajat
polinom adalah harga tertinggi r dalam P(X).
Fungsi polinom mempunyai bentuk umum:
Y = a0 + a1X + a2 X2 + ….. + an Xn
Fungsi polinom derajat dua atau fungsi kuadrat
adalah fungsi non-linier yang variabel bebasnya
berpangkat dua. Grafik dari fungsi kuadrat ini
merupakan garis tidak lurus berbentuk parabola.
1.
2.
3.
4.
Bentuk umum : Y = aX2 + bX + c, dimana a,b dan c = konstanta
Y = variabel tidak bebas
X = variabel bebas
Dalam menggambarkan grafik parabola : Y = aX2 + bX + c, dapat
di perhatikan hal-hal berikut :
Parabola termuka ke arah Y positif (terbuka keatas) bila a positif
Parabola terbuka ke arah Y negatif (terbuka ke bawah)bila a
negatif
Intersep = c
Harga x dan 2, yang cepat riil, berimpit atau hayal
x1, 2
b b2 4ac
2a
Jika diskriminan (D) = b2 – 4ac > 0 maka terdapat 2 titik potong, yaitu :
b
b 2 4 ac
x1
2a
2a
b
x2
2a
b 2 4 ac
2a
jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah
b
b 2 4 ac
,0
2a
dan
b b 2 4 ac
,0
2
a
Jika D = b2 – 4ac = 0, maka hanya terdapat satu titik potong. Yaitu :
x1 x2
b
2a
b
jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah :
,0
2a
Jika D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong dengan sumbu X.
5.
Sumbu parabola adalah
x1 x2
b
x
2
2a
Disubstitusikan pada persamaan : Y = aX2 + bX + c , maka
2
2
b b
y a
c
2a 2a
b2
b 2 4ac
y
c y
4a
4a
b2
Sehingga titik puncak parabola :
2a
,
Contoh : gambarkan grafik fungsi : Y = x2 – 5X + 6 !!!
b 2 4 ac
4a
Fungsi Pangkat Banyak
jika Y = Xn atau Y = aX c,
dimana: n = pangkat
n, x, a, c = bilangan real
Fungsi Eksponen
Adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya merupakan
pangkat dari suatu konstanta
Contoh : Y = f(X) = aX
dimana; a = konstanta dan a>0
x dan Y = variabel
Karena a>0, maka nilai fungsinya selalu positif, sehingga
diagram fungsinya terletak diatas sumbu X. Makin besar
harga a maka diagram fungsi makin mendekati sumbu Y.
Bilangan pokok yang sering dipakai adalah e =
2,7182818128……
penggambaran grafik dari fungsi eksponen dapat diperoleh
melalui tabel X dan Y.
Kaidah eksponensial yang penting :
a0 1
1
a
k
q
l/q
a a
k
a m a n a m n
am
m n
a
an
a m (k ) a mk
Contoh : Gambarkan grafik fungsi Y = 2X !!!
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi non-linier
dimana variabel bebasnya dalam bentuk
logaritma.
Bentuk umum : Y = a log X
Dimana; a > 0 dan a ≠ 1
Fungsi log Y = f(X) = a log X merupakan invers
dari fungsi eksponen Y = g(X) = aX. Karena itu
diagram fungsi logaritma merupakan bayangan
pencerminan terhadap garis diagram dari fungsi
eksponen. Fungsi logaritma tidak memotong
sumbu Y.
Contoh : gambarkan grafik Y = 2log X !
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Fungsi pecah adalah fungsi non-linier yang
variabel bebasnya merupakan penyebut. Grafik
dari fungsi ini berbentuk Hiperbola.
Bentuk umum :
aX b
Y
cX d
dimana; a,b,c dan d = konstanta
X = variabel bebas
Y = variabel tidak bebas
1.
2.
3.
Ciri matematis dari fungsi pecah :
Titik potong dengan sumbu Y pada X = 0 yaitu b/d. Jadi P
(0,b/d).
aX b
Titik potong dengan sumbu X pada Y = 0 yaitu
cX d
sehingga aX + b = 0
x = -b/a
Jadi Q (-b/a,0)
Asimtot datar (horizontal) bila x = ~ , maka
aX b
Y
cX d
4.
Y
a b / X
c d / X
b/~ = 0 dan d/~ = 0 maka Y = a/c
Asimtot tegak (vertikal) bila Y = ~ , adalahY aX b
cX d
aXb
aX b
cXd
cX d
, cX + d = 0
Jadi asimtot tegak adalah X = -d/c
X = -d/c
2X 3
Contoh : jika diketahui Y
X 1
Gambarkan grafik fungsinya !
Fungsi linear sangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik
dalam pembahasan ekonomi mikro maupun makro. Dua variabel
ekonomi maupun lebih yang saling berhubungan acapkali
diterjemahkan kedalam bentuk sebuah persamaan linear. Secara
bertahap akan dibahas :
Penerapan fungsi linear dalam teori ekonomi mikro.
1.Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar
2.Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar
3.Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar
4.Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar
5.Keseombangan pasar kasus dua macam barang
6.Fungsi biaya dan fungsi penerimaan
7.Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok
8.Fungsi anggaran
Bentuk umum fungsi permintaan
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
P
a
b
Kurva Permintaan
0
a
Q
Bentuk umum fungsi penawaran
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
a
P
Kurva Penawaran
a
b
0
Q
Keseimbangan Pasar
Qd Qs
Qd : jumlah permintaan
Qs : jumlah penawaran
E : titik keseimbangan
Pe : harga keseimbangan
Qe : jumlah keseimbangan
P
Qs
Pe
E
Qd
0
Qe
Q
Contoh Kasus 1 :
Diketahui : Fungsi Permintaan ; P = 15 – Q
Fungsi Penawaran ; P = 3 + 0,5 Q
Ditanyakan : Pe dan Qe ?...
Jawab : permintaan; P = 15 – Q
P
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
Q = - 6 + 2P
15
21 = 3P,
Q = 15 – P
E
= 15 – 7 = 8
3
0
pasar; Qd = Qs
15 – P = - 6 + 2P
Qs
7
keseimbangan
Q = 15 – P
Jadi, Pe = 7
Qd
8
15
Qe = 8
Q
P=7
Pengaruh Pajak.
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang
menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab
setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha
mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada
konsumen.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang
dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas,
dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ maka
sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t = (a + t) + bQ.
Contoh Kasus 2 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
pajak; t = 3 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...
Penyelesaian :
Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga jual yang
ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan penawarannya
berubah dan kurvanya bergeser keatas.
Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 Q
Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q
Keseimbangan Pasar : Pd = 15 – Q = 6 +0,5Q -1,5Q = -9
Q=6
Jadi, sesudah pajak ; P’e = 9 dan Q’e = 6
Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :
P
15
9
7
6
3
0
Q's (sesudah pajak)
Qs
E'
(sebelum pajak)
E
Qd
6
8
15
Q
Beban pajak yang ditanggung konsumen (tk)
Rumus : tk = P’e – P
Dalam contoh kasus diatas, tk = 9 – 7 = 2
Beban pajak yang ditanggung produsen (tp)
Besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh
produsen (tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit
barang (t) dan bagian pajak yang menjadi tanggungan konsumen
(tk).
Rumus : tp = t – tk
Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah (T)
Rumus : T = Q’e X t
Dalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase
tertentu dari harga jual; bukan diterapkan secara spesifik (misalnya 3 rupiah)
per unit barang. Meskipun pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik,
menaikan harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun
analisisnya sedikit berbeda.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P) maka,
dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari harga jual, persamaan
penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
t : pajak proporsional dalam %
a
b
a l t
P
Q atau Q
P
l t l t
b
b
Contoh Kasus 3 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
t = 25%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan penawarannya
akan berubah, sementara permintaannya tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :
P = 3 + 0,5 Q + 0,25 P
P = 3 + 0,75 Q
Keseimbangan Pasar :
Pd = Ps
15 - Q = 3 +0,75Q
-1,75Q = -12
Q = 6,6
Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’ e = 6,6
Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :
t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1
Kurvanya adalah :
P
Q's
E'
8,4
E
Qs
7
Qd
Q
6,6
0
8
pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang
Besarnya
dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4
Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.
Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena itu ia
sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu, pengaruhnya
terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak,
sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika menganalisis
pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan dapat juga bersifat
proporsional.
Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan
sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih
rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya
menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah.
Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar kebawah,
dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga.
Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka
sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ.
Contoh Kasus 4 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
subsidi; s = 1,5 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?...
Penyelesaian :
Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan
oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan
kurvanya bergeser turun.
Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5
P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2P
Permintaan tetap
: P = 15 – Q
Q = 15 – P
Maka, keseimbangan pasar :
Qd = Qs
15 – P = -3 + 2P 18 = 3P,
Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6 dan Q’e = 9
P=6
Jadi kurvanya sebagai berikut :
P
15
Qs
Q's
E
7
6
(tanpa subsidi)
(dengan subsidi)
E'
Qd
3
1, 5
0
89
15
Q
Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian
dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh
konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan
tanpa subsidi (Pe ) dan harga keseimbangan dengan subsidi
sk Pe P 'e
(P’e )
Dalam
Bagian subsidi yang dinikmati produsen.
sp s sk
Dalam
contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1.
contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5.
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah.
Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S)
dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang yang
terjual sesudah subsidi (Q’e) dengan besarnya subsidi per
unit barang (s).
S Q' s
Dalam
e
contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.
Qdx f Px , Py
Qdy g Py , Px
Bentuk Umum :
Qdx : jumlah permintaan akan X
Qdy : jumlah permintaan akan Y
Px : harga X per unit
Py : harga Y per unit
Contoh Kasus 5 :
Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py
penawarannya; Qsx = -6 + 6Px
permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px
penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py
Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...
Penyelesaian :
1)
2)
3)
Keseimbangan pasar barang X
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2P y = 16
Keseimbangan pasar barang Y
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py
4Px – 10 P y = - 12
Dari 1) dan 2) :
10 Px 2 Py 16
4 Px 10 Py 12
1
2 ,5
10 Px 2 Py 16
10 Px 25 Py 30
23 P y 46
Py 2
Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2
Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe = 6,
dan nilai Qye = 11.
Fungsi Biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah
perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost).
FC k
VC f Q vQ
C g Q FC VC k vQ
C
C k vQ
VC vQ
k
0
FC k
Q
FC : biaya tetap
VC : biaya variabel
C
: biaya total
k
: konstanta
v
: lereng kurva VC dan kurva C
Contoh Kasus 6 :
Diketahui : FC = 20.000 , VC = 100 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva totalnya !!! Berapa biaya total
yang dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ???
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 20.000 + 100 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 100 (500) = 70.000
C 20 . 000 100 Q
C
VC 100 Q
70.000
50.000
FC
20.000
0
500
Q
Fungsi Penerimaan. Penerimaan sebuah perusahaan dari
hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah
barang yang terjual atau dihasilkan.
Semakain banyak barang yang diproduksi dan terjual,
semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total
(total revenue) adalah hasilkali jumlah barang yang terjual
dengan harga jual per unit barang tersebut. Secara
matematik, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang,
kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula
dari titik pangkal.
R Q P f Q
Contoh Kasus 7 :
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp. 200,00 per unit.
Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini !!!
Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 = 70.000
R
R 200Q
70.000
40.000
0
200
350
Q
Keuntungan (profit positif, π > 0) akan didapat apabila R > C .
Kerugian (profit negatif, π < 0) akan dialami apabila R < C .
Konsep yang lebih penting berkenaan dengan R dan C adalah konsep
pulang-pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk
menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau
terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan breakeven (profit nol, π = 0) terjadi apabila R = 0; perusahaan tidak
memperoleh keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara
grafik, hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva
C.
Gambar Kurvanya :
C, R
R r Q
0
TPP 0
0
0
C cQ
Q
: jumlah produk
R
: penerimaan total
C
: biaya total
π
: profit total ( = R – C )
TPP : (break-even point / BEP)
Q'
Q
Contoh Kasus 8 :
Diketahui : C = 20.000 + 100 Q ,
R = 200 Q
Ditanyakan : Berapakah tingkat produksi pada saat BEP ???.. Apa yang
terjadi pada saat produksinya sebanyak 300 unit ???...
Penyelesaian :
π= R–C
BEP ; π = 0, R – C = 0
R = C
200 Q = 20.000 + 100 Q
jika Q = 300, maka :
R = 200 (300) = 60.000
C = 20.000 + 100 (300)
= 50.000
100 Q = 20.000
Q = 200
Keuntungan ; π = R – C
= 60.000 – 50.000
= 10.000
Gambar Kurvanya adalah :
C , R ,
R
60.000
50.000
C
}
VC
40.000
TPP
FC
20.000
0
100
200
300
Q
Aplikasi dan Penerapan Ekonomi
DEFINISI
FUNGSI,
JENIS FUNGSI,
PERSAMAAN SATU DAN DUA GARIS
•Fungsi adalah suatu hubungan antara dua buah
variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua
buah variabel atau lebih tersebut saling pengaruhmempengaruhi.
•Sebuah Variabel adalah suatu jumlah yang mempunyai
nilai yang berubah-ubah pada suatu soal.
•Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi dapat
dibedakan atas varibel bebas (independent variabel)
dan variabel yang dipengaruhi/tidak bebas (dependent
variabel).
Contoh :
a) Y = f (X) atau Y = f (X1, X2)
X, X1, X2
= variabel bebas (independent variabel)
Y = variabel yang dipengaruhi (dependent Variabel)
b) Y = a + bX
a dan b = Konstanta
Y = variabel yang dipengaruhi (endogenous variable)
X = variabel bebas (exogenous)
Fungsi Eksplisit : adalah suatu fungsi dimana antara variabel
bebas dan tidak bebas dengan jelas dibedakan.
Contoh : Y = f (X)
Y = 2X + 4
Fungsi diatas merupakan fungsi eksplisit dengan satu variabel
bebas. Sedangkan
Y = 2X1 + 3X2 + 3 adalah fungsi eksplisit dengan dua variabel
bebas
Fungsi Implisit : adalah fungsi dimana antara variabel bebas dan
variabel tidak bebas tidak dapat dengan mudah/jelas dibedakan.
Bentuk umum dari fungsi implisit ini dinyatakan dengan :
f (X)
=0
untuk satu variabel
f (X,Y)
=0
untuk dua variabel
f (X, Y, Z) = 0
contoh : 6X + 4Y – 7
untuk tiga variabel, dstnya
=0
X2 – 2XY + Y3 = 0
Fungsi Linier/garis lurus adalah suatu fungsi
dimana variabel bebasnya paling tinggi
berpangkat satu.
Bentuk umum : Y = bX + a
a dan b = konstanta
Y = variabel tidak bebas
X = variabel bebas
Persamaan
sebuah garis yang menelusuri/melewati
satu buah titik (X1,Y1) yaitu :
Y Y1
tg b
X X1
Y Y1 b X X 1
Y bX Y1 bX 1
Persamaan sebuah garis yang menelusuri/melewati
dua buah titik (X1,Y1) dan (X2,Y2) yaitu :
Y Y1
Y2 Y1
tg b
X X1 X 2 X1
Y2 Y1
Y Y1 X X 1
X 2 X1
Dua garis linier dapat berimpit, sejajar, tegak lurus dan
berpotongan.
Dengan persamaan garis linier :
g1 : Y = bX + a
g2 : Y’= b’X + c
maka,
Dua garis (g1 dan g2 ) akan sejajar bila tg
kedua garis tersebut
sama atau b = b’
Dua garis akan tegak lurus bila tg
kedua garis pertama
dikalikan tg garis kedua sama dengan minus 1 atau b.b’ = -1
Dua garis akan berimpit bila kedua persamaan garis tersebut
identik
Dua garis akan berpotongan bila b ≠ b’
1.
2.
3.
4.
Gambarkan grafik fungsi: Y = 3X + 2
Sebuah garis membentuk sudut 1350 dengan
sumbu X positif dan melewati titik (3,4).
Ditanyakan persamaan garis serta
gambarkan grafik fungsinya dan apakah
garis itu melewati titik P(2,3) dan titik
Q(2,5) ?
Sebuah garis melewati titik A(2,1) dan
B(3,4). Ditanyakan persamaan garisnya!
Hitung titik potong P dari dua persamaan
garis:
Y = 4X + 2 dan Y = X - 4
Fungsi Linier
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
Pengaruh
pajak-spesifik
terhadap
keseimbangan pasar
Pengaruh pajak-proporsional terhadap
keseimbangan pasar
Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan
pasar
Keseombangan pasar kasus dua macam
barang
Fungsi biaya dan fungsi penerimaan
Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok
Fungsi anggaran
Bentuk
umum fungsi permintaan
P
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
a
b
Kurva Permintaan
0
a
Q
P
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
Kurva Penawaran
a
b
a
0
Q
Qd Qs
P
Qs
Pe
E
Qd
0
Qe
Q
Contoh Kasus 1 :
Diketahui : Fungsi Permintaan ; Q = 15 – P
Fungsi Penawaran ; Q = - 6 + 2P
Ditanyakan : Pe dan Qe ?...
Jawab : keseimbangan pasar; Q d = Q s
P
15
15 – P = - 6 + 2P
21 = 3P,
Qs
7
E
= 15 – 7 = 8
3
0
Q = 15 – P
Jadi, Pe = 7
Qd
8
15
Qe = 8
Q
P=7
Pengaruh
Pajak.
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu
barang menyebabkan harga jual barang
tersebut naik. Sebab setelah dikenakan
pajak, produsen akan berusaha mengalihkan
(sebagian) beban pajak tersebut kepada
konsumen.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit
barang yang dijual menyebabkan kurva
penawaran bergeser ke atas, dengan penggal
yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P =
a + bQ maka sesudah pajak ia akan menjadi P
= a + bQ + t = (a + t) + bQ.
Contoh Kasus 2 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
pajak; t = 3 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga
jual yang ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan
penawarannya berubah dan kurvanya bergeser keatas.
Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 Q
Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q
Keseimbangan Pasar : Pd = 15 – Q = 6 +0,5Q -1,5Q = -9
Q=6
Jadi, sesudah pajak ; P’ e = 9 dan Q’e = 6
Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :
P
15
9
7
6
3
0
Q's (sesudah pajak)
Qs
E'
(sebelum pajak)
E
Qd
6
8
15
Q
Beban
pajak yang ditanggung konsumen (tk)
Rumus : tk = P’e – P
Dalam contoh kasus
Beban
diatas, tk = 9 – 7 = 2
pajak yang ditanggung produsen (tp)
Besarnya
bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh produsen
(tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit barang (t) dan
bagian pajak yang menjadi tanggungan konsumen (tk).
Rumus : tp = t – tk
Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1
Jumlah
pajak yang diterima oleh pemerintah (T)
: T = Q’e X t
Dalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18
Rumus
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan
berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; bukan diterapkan
secara spesifik (misalnya 3 rupiah) per unit barang. Meskipun
pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, menaikan
harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun
analisisnya sedikit berbeda.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P)
maka, dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari
harga jual, persamaan penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP
t : pajak proporsional dalam %
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
a
b
a l t
P
Q atau Q
P
l t l t
b
b
Contoh Kasus 3 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
t = 25%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan
penawarannya akan berubah, sementara permintaannya tetap
P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :
P = 3 + 0,5 Q + 0,25
P = 3 + 0,75 Q
Keseimbangan Pasar : Pd = Ps
15 - Q = 3 +0,75Q
-1,75Q = -12
Q = 6,6
Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’e = 6,6
Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :
t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1
Kurvanya adalah :
P
Q's
E'
8,4
E
Qs
7
Qd
0
6, 6
8
Q
Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang
dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4
Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.
Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh
karena itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan
itu, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan
dengan pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya
seperti ketika menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat
bersifat spesifik dan dapat juga bersifat proporsional.
Pengaruh
Subsidi.
Subsidi
yang
diberikan
atas
produksi/penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual
barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi,
produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil
sehingga ia bersedia menjual lebih murah.
Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar
kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada
sumbu harga.
Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a +
bQ, maka sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ –
s = (a – s) + bQ.
Contoh Kasus 4 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
subsidi; s = 1,5 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?...
Penyelesaian :
Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan
oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan
kurvanya bergeser turun.
Penawaran tanpa subsidi
: P = 3 + 0,5 Q
Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5
P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2P
Q = 15 – P
Permintaan tetap
: P = 15 – Q
Maka, keseimbangan pasar :
Qd = Qs
15 – P = -3 + 2P 18 = 3P,
Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6
dan Q’e = 9
P=6
Jadi kurvanya sebagai berikut :
P
15
Qs
Q's
E
7
6
(tanpa subsidi)
(dengan subsidi)
E'
Qd
3
1, 5
0
89
15
Q
Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya
bagian dari subsidi yang diterima, secara tidak
langsung, oleh konsumen (sk) adalah selisih antara
harga keseimbangan tanpa subsidi (Pe ) dan harga
keseimbangan dengan subsidi (P’e )
Dalam
Bagian subsidi yang dinikmati produsen.
Dalam
contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1.
contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5.
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah.
Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah
(S) dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang
yang terjual sesudah subsidi (Q’e) dengan besarnya
subsidi per unit barang (s).
Dalam
contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.
Qdx f Px , Py
Qdy g Py , Px
Bentuk Umum :
Qdx : jumlah permintaan akan X
Qdy : jumlah permintaan akan Y
Px : harga X per unit
Py : harga Y per unit
Contoh Kasus 5 :
Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py
penawarannya; Qsx = -6 + 6Px
permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px
penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py
Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...
Penyelesaian :
1)
2)
3)
Keseimbangan pasar barang X
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2P y = 16
Keseimbangan pasar barang Y
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py
4Px – 10 P y = - 12
Dari 1) dan 2) :
10 Px 2 Py 16
4 Px 10 Py 12
1
2 ,5
10 Px 2 Py 16
10 Px 25 Py 30
23 P y 46
Py 2
Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2
Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe = 6,
dan nilai Qye = 11.
Fungsi Biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah
perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost).
FC k
VC f Q vQ
C g Q FC VC k vQ
C
C k vQ
VC vQ
k
0
FC k
Q
FC : biaya tetap
VC : biaya variabel
C
: biaya total
k
: konstanta
v
: lereng kurva VC dan kurva C
Contoh Kasus 6 :
Diketahui : FC = 20.000 , VC = 100 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva totalnya !!! Berapa biaya total
yang dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ???
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 20.000 + 100 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 100 (500) = 70.000
C 20 . 000 100 Q
C
VC 100 Q
70.000
50.000
FC
20.000
0
500
Q
Fungsi Penerimaan. Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil
penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang
terjual atau dihasilkan.
Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual, semakin
besar pula penerimaannya. Penerimaan total (total revenue)
adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga jual
per unit barang tersebut. Secara matematik, penerimaan
merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus
berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
R Q P f Q
Contoh Kasus 7 :
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp. 200,00 per unit.
Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini !!!
Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 = 70.000
R
R 200Q
70.000
40.000
0
200
350
Q
Keuntungan (profit positif, > 0) akan didapat apabila R > C .
Kerugian (profit negatif, < 0) akan dialami apabila R < C .
Konsep yang lebih penting berkenaan dengan R dan C adalah konsep
pulang-pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk
menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual
agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan break-even (profit
nol, = 0) terjadi apabila R = 0; perusahaan tidak memperoleh
keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara grafik, hal ini
ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.
Gambar Kurvanya :
C, R
R r Q
0
TPP 0
C cQ
Q
: jumlah produk
R
: penerimaan total
C
: biaya total
0
0
: profit total ( = R – C )
TPP : (break-even point / BEP)
Q'
Q
Contoh Kasus 8 :
Diketahui : C = 20.000 + 100 Q ,
R = 200 Q
Ditanyakan : Berapakah tingkat produksi pada saat BEP ???.. Apa yang terjadi
pada saat produksinya sebanyak 300 unit ???...
Penyelesaian :
= R–C
BEP ; = 0, R – C = 0
R = C
200 Q = 20.000 + 100 Q
jika Q = 300, maka :
R = 200 (300) = 60.000
C = 20.000 + 100 (300)
= 50.000
100 Q = 20.000
Q = 200
Keuntungan ;
= R–C
= 60.000 – 50.000
= 10.000
Gambar Kurvanya adalah :
C , R ,
R
60.000
50.000
C
}
VC
40.000
TPP
FC
20.000
0
100
200
300
Q
1.
2.
a.
b.
c.
d.
Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang
ditunjukkan oleh : Qd= 6 – 0,75P dan Qs = -5+2P. Berapa harga
dan jumlah keseimbangan pasar dan tunjukkanlah secara
geometri keseimbangan pasar tersebut.
Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=122Q dan suatu fungsi penawaran oleh P= 3 +Q. Terhadap
produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar 3
per unit .
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum
dan sesudah kena pajak
Berapa besar penerimaan pajak total oleh pemerintah?
Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan
produsen
Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan
sesudah pajak.
1.
Qd = 6 – 0,75P
Qs = -5 + 2P
Qd = Qs ↔ 6 – 0,75P = -5 + 2P
2,75P = 11 P = 4
Qs = 6 – 0,75P
= 6 – 0,75(4) = 3
2.
Sebelum Pajak
D : P 12 2Q
S : P 3Q
12 2Q 3 Q
3Q 9 Q 3 P 6
Sesudah Pajak
D : P 12 2Q
S : P 6Q
12 2Q 6 Q
3Q 6 Q 2 P 8
Ditanggung Konsumen; tk = Pe’ – P 8 – 6 = 2
Ditanggung Produsen; tp = t – tk 3 – 2 = 1
Diterima Pemerintah; T = Qe X t 2 X 3 = 6
Diketahui : FC = 40.000 , VC = 200 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva
totalnya !!! Berapa biaya total yang
dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ?
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 40.000 + 200 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 200
(500) = 70.000
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah
perusahaan Rp. 400,00 per unit. Tunjukkan
persamaan dan kurva penerimaan total
perusahaan ini !
Berapa besar penerimaannya bila terjual
barang sebanyak 400 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 =
70.000
Diketahui : C = 40.000 + 200 Q ,
R = 40
Pemecahan untuk mencari titik ekuilibrium sebelumnya
adalah relative sederhana. Bila semakin banyak barang
yang dimasukkan kedalam model, maka penyelesaian
dengan rumus tsb menjadi tidak praktis. Metoda yang
lebih baik untuk pemecahan persamaan simultan dengan
beberapa variable adalah menggunakan aljabar matriks.
Aljabar matriks membantu kita :
a. Memberikan sistem persamaan yang ringkas.
b. Pemecahannya melalui determinan.
c. Memberi cara pemecahan jika ada
Pengertian :
Matriks adalah susunan/daftar/array dari suatu angka2
yang mempunyai ikatan berdasar baris atau kolom dan
yang mempunyai kegunaan tertentu.
Susunan Baris : angka2 diurutkan secara horizontal (ke
arah kanan – kiri )
Susunan Kolom : angka2 diurutkan secara vertikal ( dari
atas – bawah )
Ikatan : menunjukkan hubungan secara berturut. Misal,
krn matriks merpkan nilai paramater dari suatu
persamaan.
Kegunaan : untuk menyederhanakan, memudahkan
ataupun mempercepat perhitungan suatu persamaan.
Perhatikan matriks A berikut :
a11
a12
a13
1
A : a21
a22
a23
: 0
a31
a32
a33
6
3
2
4
5
7
8
Pengertian baris (raw) dan kolom (lajur/coloumn) :
a13 : menunjukkan element (unsur) matriks A yang
terletak pada baris ke 1 dan kolom ke 3, 5
a21 : menunjukkan element (unsur) matriks A yang
terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1, 0
Analog :
bij : menunjukkan element (unsur) matriks B yang
terletak pada baris ke i dan kolom ke j
4.1. Matriks dan vektor
Secara umum sistem dengan m persamaan linear dan n
variabel (x1, x2, …… , xn) dapat disusun dalam bentuk :
a11x1 + a12x 2 + ….. + a1nxn = d1
(4.1)
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = d2
:
:
:
=:
am1x 1 + am2 x2 + ….. + amnxn = dm
Dalam sistem persamaan (4.1) terdapat 3 macam bahan
pokok, yaitu :
1. Himpunan koefisien aij,
2. Himpunan variabel x 1, …. , xn,
3. Himpunan konstanta d1, …. , dm.
(4.2)
A:
a 11 a12
a21 a22
: :
a 31 a32
a 13
a 23
:
a 33
x:
x1
x2
:
xn
d:
d1
d2
:
dn
Contoh :
6x1 + 3x2 + x 3 = 22
(4.3)
x1 + 4x2 – 2x3 = 12
4x1 – x2 + 5x3 = 10
Dapat ditulis
(4.4)
A:
6
3
1
4
4 –1
1
–2
5
x:
x1
x2
xn
d:
22
12
10
Setiap susunan dalam (4.2) atau (4.4) merupakan suatu matriks
Vektor sebagai matriks khusus
Jumlah baris dan kolom dalam suatu matriks
menunjukkan dimensi dari matriks.
Sebuah matriks yang memiliki banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom, disebut matriks kuadrat
(square matrix).
Matriks yang berisi satu kolom, disebut vektor kolom.
Matriks yang berisi satu baris, disebut vektor baris,
vektor baris menggunakan simbol x’ = [ x1 x2 …. Xn ]
Dengan menggunakan matriks dalam (4.4) kita dapat menyatakan persamaan (4.3) menjadi
Ax = d
4.2. Operasi dengan matriks
1. Persamaan (equality).
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
3. Perkalian bilangan (scalar multiplication)
4. Perkalian matriks
4.3. Beberapa jenis matriks
1. Matriks nol
6. Skalar
2. Matriks identitas
7. Vektor
3. Matriks diagonal
8. Matriks non singular
4. Matriks skalar
9. Matriks singular
5. Matriks simetris
4.6. Transpose dan inverse
Transpose suatu matriks A dapat ditulis AT atau A’.
Diten-tukan dengan merubah elemen tiap baris
matriks A men-jadi kolom2 matriks A’ atau sebaliknya.
A:
a 11 a12
a 13
a21 a 22 a 23
a 31 a32 a 33
a11 a21 a 31
A’ : a21 a22 a23
a31 a 32 a33
Atau
B:
4
2
–4
6
0
5
B’ : 4
6
2 –4
0 5
Sifat-sifat transpose
Sifat – sifat berikut meripakan ciri dari transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A + B)’ = A’ + B’
3. (AB)’ = B’A’
Inverse dan sifat-sifatnya
Inverse matriks A ditunjukkan dengan simbol A–1, hanya
dapat ditentukan bila A adalah matriks kuadrat, dimana
inverse adalah matriks yang memenuhi kondisi
A.A–1 = A–1.A = I
Beberapa yang perlu diperhatikan :
1. Tidak semua matriks kuadrat mempunyai inverse. Bila matriks
kua-drat A dapat diinverse (dibalik), maka A dis non – singular.
Bila A tdk bisa diinverse disebut matriks singular.
2. A dan A–1 merupakan inverse satu sama lain.
3. Bila A adl n x n, maka A–1 juga harus n x n. Matriks identitas yang
diperoleh juga berdimensi n x n.
4. Bila suatu matriks mempunyai inverse, maka hanya memp satu
inverse matriks. Bila A–1 adalah B, maka AB = BA = I
terdapat matriks lain C, shg AC = CA = I. dengan mengalikan
bagian AB = I dengan C , kita peroleh CAB = CI
karena CA = I maka IB = C atau B = C
5. A.A –1 = A–1.A = I . Sebenarnya menyatakan bahwa kedua hubungan
inverse antara A dan A–1
Matriks inverse dan penyelesaian sistem
persamaan linear
Penggunaan konsep matriks inverse dalam penyelesaian suatu sistem
persamaan linear adalah langsung dan cepat. Dari sistem persama-an
linear (4.3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
(4.17)
A
x = d
(3x3) (3x1) (3x1)
sekarang bila terdapat matriks inverse A–1 perkalian kedua bagian
persamaan (4.17) dengan A–1 akan menghasilkan
A–1 Ax = A–1 d
atau
(4.18)
x = A–1 d
(3x3) (3x3) (3x1)
Penyelesaian (perhitungan akan dibahas dalam bab berikutnya)
A–1
1
= ---52
x1
1
x2 = ---x3
52
18
– 13
– 17
18
– 13
– 17
– 16
26
18
– 16
13
21
– 16
26
18
– 10
13
21
22
12
10
=
Maka jawabannya adalah : x1 = 2 ; x2 = 3 ; x3 = 1
2
3
1
INDEFINITE INTEGRAL
DEFINITE INTEGRAL
Integral dikenal dua macam pengertian
yaitu :
a.Integral tak tentu (Indefinite Integral)
b.Integral tentu (Definite Intergral)
Suatu
konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal, apabila
turunan atau derivatif dari fungsinya
diketahui
Bentuk umum integral tak tentu:
Rule 1: Power rule
Rule 1’: generalised
“power rule”/
substitution rule:
f ( x)
n
f ( x)
f '( x) dx
n 1
n 1
C
n 1
3 dx 3 x c
1 2
x dx 2 x c
4
x
(2
2)
3
(2
2)
(2) dx
x
C
4
Latihan
x dx
3
x dx
3
1
4 dx
x
Rule 2 : Integral of a constant multiple :
Contoh :
1 01
1dx
x c xc
0 1
1 0 1
6dx 6
x c 6x c
0 1
Rule 3 : Integral of a sum:
Contoh :
2
(3
2
)
3
2
3
x
dx
dx
xdx
x
x
c
1 2 3 2
3xdx 3 xdx 3 2 x 2 x
2
2
x
x
dx
xdx
x
(3
2
)
3
2
dx
3 2 2 3
x x c
2
3
( x x 1) dx
1
x
(e )dx
x
3
Rule 4 : Exponential rule:
Rule 4’: Generalised
Exponential rule:
4
4
e
dx
e
c
2 x 5
e
1 2 x 5
2 x 5
e dx 2 c 2 e c
Latihan
e dx
4
e
x 1
)dx
Rule 5 :“aturan
logaritma:
Rule 5’: sering ditulis :
1
ln
dx
x
C
x
1
1
2
x
dx
2
dx
2.ln
x
c
x
Rule 6 : Integral Perkalian
kf ( x)dx k f ( x)dx
Contoh:
3
x
2 3
2
2
2 x dx 2 x dx 2( c) x c
3
3
f ( x ) dx f ( x ) dx
Latihan:
1 3
(5e 2 )dx
x
x
x
Rule 7: Aturan Subtitusi
du
dx f (u )du f (u ) c
dx
d
d
du
du
f (u )
f (u )
f ' (u )
dx
du
dx
dx
f (u )
Cara Langsung :
cari 2 x( x 2 1) dx
4
x
2 x( x 2 1) dx (2 x 3 2 x) dx x 2 c
2
Cara Subtitusi
Dengan cara subtitusi ; misal u = x2 + 1, maka
du/dx =2x atau dx=du/2x
Subtitusi du/2x untuk dx akan menghasilkan
2
du
u
2 x( x 2 1) dx 2 x.u
u.du
c1
2x
2
1 4
1 4
2
( x 2 x 1) c1 x x2 c
2
2
1. 6 x ( x 2) dx
2. 8e
2
3
2 x3
dx
9
Consider two continuous functions u=f(x) and v=g(x), then,
d
[ f ( x).g ( x)] f ( x).g '( x) f '( x).g ( x)
dx
Let us assume that u f ( x ) and v g ( x )
Then,
d (uv) u.dv du.v
Let us integrate both sides
uv u.dv v.du
Rearranging:
u.dv uv v.du
Using integration by parts, find 3dx
u 3, dv dx
du 0, v x
u.dv uv v.du
3.dx 3x x.0 3x c
Using integration by parts, find (2 x 3)(2 x )
u (2 x 3), dv 2 x
du 2, v 2 x x2
u.dv uv v.du
(2 x 3).(2 x) (2 x 3)( x
(2 x 3 x ) 2 x
3
2
2
) x .2
2
2
2 3 4 3
2 x 3x x x 3x 2 c
3
3
3
2
Verification (2 x 3)(2 x) (4 x2 6 x)dx
4 3 6 2
4 3
4 x dx 6 x dx x x c x 3x 2 c
3
2
3
2
Integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel
bebasnya memiliki batas tertentu
Integral tertentu sering digunakan untuk
menghitung luas area yang terletak diantara
kurva y=f(x) dan sumbu x dalam suatu rentangan
wilayah yang dibatasi oleh x=a dan x=b
Proses pencarian luas suatu area yang batasbatas atau limit dari area tersebut sudah
ditentukan
Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa :
f ( x)dx F ( x) c
Untuk mengetahui hasil integrasi teresbut untuk
suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah
antara x = a dan x = b, dimana a 0
Ekstrem maksimum bila fxx dan fyy < 0
tanda fxx dan fyy senantiasa sama
Contoh :
Z = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45
Fx = dz/dx = -2x + 12 menjadi x = 6
Fy = dz/dy = -2y + 10 menjadi y = 5
Titik statisioner (6,5)
fxx = -2 fyy = -2
fxy = 0
fxx fyy – fxy2 = (-2) (-2) – 0 = 4 > 0 *titik ekstrem
Fxx = -2 < 0 titik maksimum
Zmaksimum = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45
= -(6)2 + (12) (6) – (5)2 + 10(5) – 45
= 16
Polinom atau suku banyak dalam X atau P(X) ialah
ungkapan yang mengandung suku KXr, dimana K
= konstanta serta r = bilangan bulat. Derajat
polinom adalah harga tertinggi r dalam P(X).
Fungsi polinom mempunyai bentuk umum:
Y = a0 + a1X + a2 X2 + ….. + an Xn
Fungsi polinom derajat dua atau fungsi kuadrat
adalah fungsi non-linier yang variabel bebasnya
berpangkat dua. Grafik dari fungsi kuadrat ini
merupakan garis tidak lurus berbentuk parabola.
1.
2.
3.
4.
Bentuk umum : Y = aX2 + bX + c, dimana a,b dan c = konstanta
Y = variabel tidak bebas
X = variabel bebas
Dalam menggambarkan grafik parabola : Y = aX2 + bX + c, dapat
di perhatikan hal-hal berikut :
Parabola termuka ke arah Y positif (terbuka keatas) bila a positif
Parabola terbuka ke arah Y negatif (terbuka ke bawah)bila a
negatif
Intersep = c
Harga x dan 2, yang cepat riil, berimpit atau hayal
x1, 2
b b2 4ac
2a
Jika diskriminan (D) = b2 – 4ac > 0 maka terdapat 2 titik potong, yaitu :
b
b 2 4 ac
x1
2a
2a
b
x2
2a
b 2 4 ac
2a
jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah
b
b 2 4 ac
,0
2a
dan
b b 2 4 ac
,0
2
a
Jika D = b2 – 4ac = 0, maka hanya terdapat satu titik potong. Yaitu :
x1 x2
b
2a
b
jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah :
,0
2a
Jika D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong dengan sumbu X.
5.
Sumbu parabola adalah
x1 x2
b
x
2
2a
Disubstitusikan pada persamaan : Y = aX2 + bX + c , maka
2
2
b b
y a
c
2a 2a
b2
b 2 4ac
y
c y
4a
4a
b2
Sehingga titik puncak parabola :
2a
,
Contoh : gambarkan grafik fungsi : Y = x2 – 5X + 6 !!!
b 2 4 ac
4a
Fungsi Pangkat Banyak
jika Y = Xn atau Y = aX c,
dimana: n = pangkat
n, x, a, c = bilangan real
Fungsi Eksponen
Adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya merupakan
pangkat dari suatu konstanta
Contoh : Y = f(X) = aX
dimana; a = konstanta dan a>0
x dan Y = variabel
Karena a>0, maka nilai fungsinya selalu positif, sehingga
diagram fungsinya terletak diatas sumbu X. Makin besar
harga a maka diagram fungsi makin mendekati sumbu Y.
Bilangan pokok yang sering dipakai adalah e =
2,7182818128……
penggambaran grafik dari fungsi eksponen dapat diperoleh
melalui tabel X dan Y.
Kaidah eksponensial yang penting :
a0 1
1
a
k
q
l/q
a a
k
a m a n a m n
am
m n
a
an
a m (k ) a mk
Contoh : Gambarkan grafik fungsi Y = 2X !!!
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi non-linier
dimana variabel bebasnya dalam bentuk
logaritma.
Bentuk umum : Y = a log X
Dimana; a > 0 dan a ≠ 1
Fungsi log Y = f(X) = a log X merupakan invers
dari fungsi eksponen Y = g(X) = aX. Karena itu
diagram fungsi logaritma merupakan bayangan
pencerminan terhadap garis diagram dari fungsi
eksponen. Fungsi logaritma tidak memotong
sumbu Y.
Contoh : gambarkan grafik Y = 2log X !
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Fungsi pecah adalah fungsi non-linier yang
variabel bebasnya merupakan penyebut. Grafik
dari fungsi ini berbentuk Hiperbola.
Bentuk umum :
aX b
Y
cX d
dimana; a,b,c dan d = konstanta
X = variabel bebas
Y = variabel tidak bebas
1.
2.
3.
Ciri matematis dari fungsi pecah :
Titik potong dengan sumbu Y pada X = 0 yaitu b/d. Jadi P
(0,b/d).
aX b
Titik potong dengan sumbu X pada Y = 0 yaitu
cX d
sehingga aX + b = 0
x = -b/a
Jadi Q (-b/a,0)
Asimtot datar (horizontal) bila x = ~ , maka
aX b
Y
cX d
4.
Y
a b / X
c d / X
b/~ = 0 dan d/~ = 0 maka Y = a/c
Asimtot tegak (vertikal) bila Y = ~ , adalahY aX b
cX d
aXb
aX b
cXd
cX d
, cX + d = 0
Jadi asimtot tegak adalah X = -d/c
X = -d/c
2X 3
Contoh : jika diketahui Y
X 1
Gambarkan grafik fungsinya !
Fungsi linear sangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik
dalam pembahasan ekonomi mikro maupun makro. Dua variabel
ekonomi maupun lebih yang saling berhubungan acapkali
diterjemahkan kedalam bentuk sebuah persamaan linear. Secara
bertahap akan dibahas :
Penerapan fungsi linear dalam teori ekonomi mikro.
1.Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar
2.Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar
3.Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar
4.Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar
5.Keseombangan pasar kasus dua macam barang
6.Fungsi biaya dan fungsi penerimaan
7.Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok
8.Fungsi anggaran
Bentuk umum fungsi permintaan
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
P
a
b
Kurva Permintaan
0
a
Q
Bentuk umum fungsi penawaran
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
a
P
Kurva Penawaran
a
b
0
Q
Keseimbangan Pasar
Qd Qs
Qd : jumlah permintaan
Qs : jumlah penawaran
E : titik keseimbangan
Pe : harga keseimbangan
Qe : jumlah keseimbangan
P
Qs
Pe
E
Qd
0
Qe
Q
Contoh Kasus 1 :
Diketahui : Fungsi Permintaan ; P = 15 – Q
Fungsi Penawaran ; P = 3 + 0,5 Q
Ditanyakan : Pe dan Qe ?...
Jawab : permintaan; P = 15 – Q
P
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
Q = - 6 + 2P
15
21 = 3P,
Q = 15 – P
E
= 15 – 7 = 8
3
0
pasar; Qd = Qs
15 – P = - 6 + 2P
Qs
7
keseimbangan
Q = 15 – P
Jadi, Pe = 7
Qd
8
15
Qe = 8
Q
P=7
Pengaruh Pajak.
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang
menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab
setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha
mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada
konsumen.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang
dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas,
dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ maka
sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t = (a + t) + bQ.
Contoh Kasus 2 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
pajak; t = 3 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...
Penyelesaian :
Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga jual yang
ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan penawarannya
berubah dan kurvanya bergeser keatas.
Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 Q
Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q
Keseimbangan Pasar : Pd = 15 – Q = 6 +0,5Q -1,5Q = -9
Q=6
Jadi, sesudah pajak ; P’e = 9 dan Q’e = 6
Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :
P
15
9
7
6
3
0
Q's (sesudah pajak)
Qs
E'
(sebelum pajak)
E
Qd
6
8
15
Q
Beban pajak yang ditanggung konsumen (tk)
Rumus : tk = P’e – P
Dalam contoh kasus diatas, tk = 9 – 7 = 2
Beban pajak yang ditanggung produsen (tp)
Besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh
produsen (tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit
barang (t) dan bagian pajak yang menjadi tanggungan konsumen
(tk).
Rumus : tp = t – tk
Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah (T)
Rumus : T = Q’e X t
Dalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase
tertentu dari harga jual; bukan diterapkan secara spesifik (misalnya 3 rupiah)
per unit barang. Meskipun pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik,
menaikan harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun
analisisnya sedikit berbeda.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P) maka,
dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari harga jual, persamaan
penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
t : pajak proporsional dalam %
a
b
a l t
P
Q atau Q
P
l t l t
b
b
Contoh Kasus 3 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
t = 25%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan penawarannya
akan berubah, sementara permintaannya tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :
P = 3 + 0,5 Q + 0,25 P
P = 3 + 0,75 Q
Keseimbangan Pasar :
Pd = Ps
15 - Q = 3 +0,75Q
-1,75Q = -12
Q = 6,6
Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’ e = 6,6
Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :
t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1
Kurvanya adalah :
P
Q's
E'
8,4
E
Qs
7
Qd
Q
6,6
0
8
pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang
Besarnya
dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4
Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.
Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena itu ia
sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu, pengaruhnya
terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak,
sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika menganalisis
pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan dapat juga bersifat
proporsional.
Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan
sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih
rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya
menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah.
Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar kebawah,
dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga.
Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka
sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ.
Contoh Kasus 4 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
subsidi; s = 1,5 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?...
Penyelesaian :
Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan
oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan
kurvanya bergeser turun.
Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5
P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2P
Permintaan tetap
: P = 15 – Q
Q = 15 – P
Maka, keseimbangan pasar :
Qd = Qs
15 – P = -3 + 2P 18 = 3P,
Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6 dan Q’e = 9
P=6
Jadi kurvanya sebagai berikut :
P
15
Qs
Q's
E
7
6
(tanpa subsidi)
(dengan subsidi)
E'
Qd
3
1, 5
0
89
15
Q
Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian
dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh
konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan
tanpa subsidi (Pe ) dan harga keseimbangan dengan subsidi
sk Pe P 'e
(P’e )
Dalam
Bagian subsidi yang dinikmati produsen.
sp s sk
Dalam
contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1.
contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5.
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah.
Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S)
dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang yang
terjual sesudah subsidi (Q’e) dengan besarnya subsidi per
unit barang (s).
S Q' s
Dalam
e
contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.
Qdx f Px , Py
Qdy g Py , Px
Bentuk Umum :
Qdx : jumlah permintaan akan X
Qdy : jumlah permintaan akan Y
Px : harga X per unit
Py : harga Y per unit
Contoh Kasus 5 :
Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py
penawarannya; Qsx = -6 + 6Px
permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px
penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py
Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...
Penyelesaian :
1)
2)
3)
Keseimbangan pasar barang X
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2P y = 16
Keseimbangan pasar barang Y
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py
4Px – 10 P y = - 12
Dari 1) dan 2) :
10 Px 2 Py 16
4 Px 10 Py 12
1
2 ,5
10 Px 2 Py 16
10 Px 25 Py 30
23 P y 46
Py 2
Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2
Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe = 6,
dan nilai Qye = 11.
Fungsi Biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah
perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost).
FC k
VC f Q vQ
C g Q FC VC k vQ
C
C k vQ
VC vQ
k
0
FC k
Q
FC : biaya tetap
VC : biaya variabel
C
: biaya total
k
: konstanta
v
: lereng kurva VC dan kurva C
Contoh Kasus 6 :
Diketahui : FC = 20.000 , VC = 100 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva totalnya !!! Berapa biaya total
yang dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ???
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 20.000 + 100 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 100 (500) = 70.000
C 20 . 000 100 Q
C
VC 100 Q
70.000
50.000
FC
20.000
0
500
Q
Fungsi Penerimaan. Penerimaan sebuah perusahaan dari
hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah
barang yang terjual atau dihasilkan.
Semakain banyak barang yang diproduksi dan terjual,
semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total
(total revenue) adalah hasilkali jumlah barang yang terjual
dengan harga jual per unit barang tersebut. Secara
matematik, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang,
kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula
dari titik pangkal.
R Q P f Q
Contoh Kasus 7 :
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp. 200,00 per unit.
Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini !!!
Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 = 70.000
R
R 200Q
70.000
40.000
0
200
350
Q
Keuntungan (profit positif, π > 0) akan didapat apabila R > C .
Kerugian (profit negatif, π < 0) akan dialami apabila R < C .
Konsep yang lebih penting berkenaan dengan R dan C adalah konsep
pulang-pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk
menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau
terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan breakeven (profit nol, π = 0) terjadi apabila R = 0; perusahaan tidak
memperoleh keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara
grafik, hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva
C.
Gambar Kurvanya :
C, R
R r Q
0
TPP 0
0
0
C cQ
Q
: jumlah produk
R
: penerimaan total
C
: biaya total
π
: profit total ( = R – C )
TPP : (break-even point / BEP)
Q'
Q
Contoh Kasus 8 :
Diketahui : C = 20.000 + 100 Q ,
R = 200 Q
Ditanyakan : Berapakah tingkat produksi pada saat BEP ???.. Apa yang
terjadi pada saat produksinya sebanyak 300 unit ???...
Penyelesaian :
π= R–C
BEP ; π = 0, R – C = 0
R = C
200 Q = 20.000 + 100 Q
jika Q = 300, maka :
R = 200 (300) = 60.000
C = 20.000 + 100 (300)
= 50.000
100 Q = 20.000
Q = 200
Keuntungan ; π = R – C
= 60.000 – 50.000
= 10.000
Gambar Kurvanya adalah :
C , R ,
R
60.000
50.000
C
}
VC
40.000
TPP
FC
20.000
0
100
200
300
Q
Aplikasi dan Penerapan Ekonomi
DEFINISI
FUNGSI,
JENIS FUNGSI,
PERSAMAAN SATU DAN DUA GARIS
•Fungsi adalah suatu hubungan antara dua buah
variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua
buah variabel atau lebih tersebut saling pengaruhmempengaruhi.
•Sebuah Variabel adalah suatu jumlah yang mempunyai
nilai yang berubah-ubah pada suatu soal.
•Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi dapat
dibedakan atas varibel bebas (independent variabel)
dan variabel yang dipengaruhi/tidak bebas (dependent
variabel).
Contoh :
a) Y = f (X) atau Y = f (X1, X2)
X, X1, X2
= variabel bebas (independent variabel)
Y = variabel yang dipengaruhi (dependent Variabel)
b) Y = a + bX
a dan b = Konstanta
Y = variabel yang dipengaruhi (endogenous variable)
X = variabel bebas (exogenous)
Fungsi Eksplisit : adalah suatu fungsi dimana antara variabel
bebas dan tidak bebas dengan jelas dibedakan.
Contoh : Y = f (X)
Y = 2X + 4
Fungsi diatas merupakan fungsi eksplisit dengan satu variabel
bebas. Sedangkan
Y = 2X1 + 3X2 + 3 adalah fungsi eksplisit dengan dua variabel
bebas
Fungsi Implisit : adalah fungsi dimana antara variabel bebas dan
variabel tidak bebas tidak dapat dengan mudah/jelas dibedakan.
Bentuk umum dari fungsi implisit ini dinyatakan dengan :
f (X)
=0
untuk satu variabel
f (X,Y)
=0
untuk dua variabel
f (X, Y, Z) = 0
contoh : 6X + 4Y – 7
untuk tiga variabel, dstnya
=0
X2 – 2XY + Y3 = 0
Fungsi Linier/garis lurus adalah suatu fungsi
dimana variabel bebasnya paling tinggi
berpangkat satu.
Bentuk umum : Y = bX + a
a dan b = konstanta
Y = variabel tidak bebas
X = variabel bebas
Persamaan
sebuah garis yang menelusuri/melewati
satu buah titik (X1,Y1) yaitu :
Y Y1
tg b
X X1
Y Y1 b X X 1
Y bX Y1 bX 1
Persamaan sebuah garis yang menelusuri/melewati
dua buah titik (X1,Y1) dan (X2,Y2) yaitu :
Y Y1
Y2 Y1
tg b
X X1 X 2 X1
Y2 Y1
Y Y1 X X 1
X 2 X1
Dua garis linier dapat berimpit, sejajar, tegak lurus dan
berpotongan.
Dengan persamaan garis linier :
g1 : Y = bX + a
g2 : Y’= b’X + c
maka,
Dua garis (g1 dan g2 ) akan sejajar bila tg
kedua garis tersebut
sama atau b = b’
Dua garis akan tegak lurus bila tg
kedua garis pertama
dikalikan tg garis kedua sama dengan minus 1 atau b.b’ = -1
Dua garis akan berimpit bila kedua persamaan garis tersebut
identik
Dua garis akan berpotongan bila b ≠ b’
1.
2.
3.
4.
Gambarkan grafik fungsi: Y = 3X + 2
Sebuah garis membentuk sudut 1350 dengan
sumbu X positif dan melewati titik (3,4).
Ditanyakan persamaan garis serta
gambarkan grafik fungsinya dan apakah
garis itu melewati titik P(2,3) dan titik
Q(2,5) ?
Sebuah garis melewati titik A(2,1) dan
B(3,4). Ditanyakan persamaan garisnya!
Hitung titik potong P dari dua persamaan
garis:
Y = 4X + 2 dan Y = X - 4
Fungsi Linier
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
Pengaruh
pajak-spesifik
terhadap
keseimbangan pasar
Pengaruh pajak-proporsional terhadap
keseimbangan pasar
Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan
pasar
Keseombangan pasar kasus dua macam
barang
Fungsi biaya dan fungsi penerimaan
Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok
Fungsi anggaran
Bentuk
umum fungsi permintaan
P
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
a
b
Kurva Permintaan
0
a
Q
P
Q a bP
atau
a 1
P Q
b b
Kurva Penawaran
a
b
a
0
Q
Qd Qs
P
Qs
Pe
E
Qd
0
Qe
Q
Contoh Kasus 1 :
Diketahui : Fungsi Permintaan ; Q = 15 – P
Fungsi Penawaran ; Q = - 6 + 2P
Ditanyakan : Pe dan Qe ?...
Jawab : keseimbangan pasar; Q d = Q s
P
15
15 – P = - 6 + 2P
21 = 3P,
Qs
7
E
= 15 – 7 = 8
3
0
Q = 15 – P
Jadi, Pe = 7
Qd
8
15
Qe = 8
Q
P=7
Pengaruh
Pajak.
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu
barang menyebabkan harga jual barang
tersebut naik. Sebab setelah dikenakan
pajak, produsen akan berusaha mengalihkan
(sebagian) beban pajak tersebut kepada
konsumen.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit
barang yang dijual menyebabkan kurva
penawaran bergeser ke atas, dengan penggal
yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P =
a + bQ maka sesudah pajak ia akan menjadi P
= a + bQ + t = (a + t) + bQ.
Contoh Kasus 2 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
pajak; t = 3 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga
jual yang ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan
penawarannya berubah dan kurvanya bergeser keatas.
Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q
Penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 Q
Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q
Keseimbangan Pasar : Pd = 15 – Q = 6 +0,5Q -1,5Q = -9
Q=6
Jadi, sesudah pajak ; P’ e = 9 dan Q’e = 6
Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :
P
15
9
7
6
3
0
Q's (sesudah pajak)
Qs
E'
(sebelum pajak)
E
Qd
6
8
15
Q
Beban
pajak yang ditanggung konsumen (tk)
Rumus : tk = P’e – P
Dalam contoh kasus
Beban
diatas, tk = 9 – 7 = 2
pajak yang ditanggung produsen (tp)
Besarnya
bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh produsen
(tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit barang (t) dan
bagian pajak yang menjadi tanggungan konsumen (tk).
Rumus : tp = t – tk
Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1
Jumlah
pajak yang diterima oleh pemerintah (T)
: T = Q’e X t
Dalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18
Rumus
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan
berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; bukan diterapkan
secara spesifik (misalnya 3 rupiah) per unit barang. Meskipun
pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, menaikan
harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun
analisisnya sedikit berbeda.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P)
maka, dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari
harga jual, persamaan penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP
t : pajak proporsional dalam %
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
a
b
a l t
P
Q atau Q
P
l t l t
b
b
Contoh Kasus 3 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
t = 25%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah
pajak ?...
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan
penawarannya akan berubah, sementara permintaannya tetap
P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :
P = 3 + 0,5 Q + 0,25
P = 3 + 0,75 Q
Keseimbangan Pasar : Pd = Ps
15 - Q = 3 +0,75Q
-1,75Q = -12
Q = 6,6
Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’e = 6,6
Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :
t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1
Kurvanya adalah :
P
Q's
E'
8,4
E
Qs
7
Qd
0
6, 6
8
Q
Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang
dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4
Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.
Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh
karena itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan
itu, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan
dengan pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya
seperti ketika menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat
bersifat spesifik dan dapat juga bersifat proporsional.
Pengaruh
Subsidi.
Subsidi
yang
diberikan
atas
produksi/penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual
barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi,
produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil
sehingga ia bersedia menjual lebih murah.
Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar
kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada
sumbu harga.
Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a +
bQ, maka sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ –
s = (a – s) + bQ.
Contoh Kasus 4 :
Diketahui : permintaan; P = 15 – Q
penawaran; P = 3 + 0,5 Q
subsidi; s = 1,5 per unit.
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?...
Penyelesaian :
Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan
oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan
kurvanya bergeser turun.
Penawaran tanpa subsidi
: P = 3 + 0,5 Q
Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5
P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2P
Q = 15 – P
Permintaan tetap
: P = 15 – Q
Maka, keseimbangan pasar :
Qd = Qs
15 – P = -3 + 2P 18 = 3P,
Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6
dan Q’e = 9
P=6
Jadi kurvanya sebagai berikut :
P
15
Qs
Q's
E
7
6
(tanpa subsidi)
(dengan subsidi)
E'
Qd
3
1, 5
0
89
15
Q
Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya
bagian dari subsidi yang diterima, secara tidak
langsung, oleh konsumen (sk) adalah selisih antara
harga keseimbangan tanpa subsidi (Pe ) dan harga
keseimbangan dengan subsidi (P’e )
Dalam
Bagian subsidi yang dinikmati produsen.
Dalam
contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1.
contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5.
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah.
Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah
(S) dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang
yang terjual sesudah subsidi (Q’e) dengan besarnya
subsidi per unit barang (s).
Dalam
contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.
Qdx f Px , Py
Qdy g Py , Px
Bentuk Umum :
Qdx : jumlah permintaan akan X
Qdy : jumlah permintaan akan Y
Px : harga X per unit
Py : harga Y per unit
Contoh Kasus 5 :
Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py
penawarannya; Qsx = -6 + 6Px
permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px
penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py
Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...
Penyelesaian :
1)
2)
3)
Keseimbangan pasar barang X
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2P y = 16
Keseimbangan pasar barang Y
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py
4Px – 10 P y = - 12
Dari 1) dan 2) :
10 Px 2 Py 16
4 Px 10 Py 12
1
2 ,5
10 Px 2 Py 16
10 Px 25 Py 30
23 P y 46
Py 2
Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2
Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe = 6,
dan nilai Qye = 11.
Fungsi Biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah
perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost).
FC k
VC f Q vQ
C g Q FC VC k vQ
C
C k vQ
VC vQ
k
0
FC k
Q
FC : biaya tetap
VC : biaya variabel
C
: biaya total
k
: konstanta
v
: lereng kurva VC dan kurva C
Contoh Kasus 6 :
Diketahui : FC = 20.000 , VC = 100 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva totalnya !!! Berapa biaya total
yang dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ???
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 20.000 + 100 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 100 (500) = 70.000
C 20 . 000 100 Q
C
VC 100 Q
70.000
50.000
FC
20.000
0
500
Q
Fungsi Penerimaan. Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil
penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang
terjual atau dihasilkan.
Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual, semakin
besar pula penerimaannya. Penerimaan total (total revenue)
adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga jual
per unit barang tersebut. Secara matematik, penerimaan
merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus
berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
R Q P f Q
Contoh Kasus 7 :
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp. 200,00 per unit.
Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini !!!
Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 = 70.000
R
R 200Q
70.000
40.000
0
200
350
Q
Keuntungan (profit positif, > 0) akan didapat apabila R > C .
Kerugian (profit negatif, < 0) akan dialami apabila R < C .
Konsep yang lebih penting berkenaan dengan R dan C adalah konsep
pulang-pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk
menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual
agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan break-even (profit
nol, = 0) terjadi apabila R = 0; perusahaan tidak memperoleh
keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara grafik, hal ini
ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.
Gambar Kurvanya :
C, R
R r Q
0
TPP 0
C cQ
Q
: jumlah produk
R
: penerimaan total
C
: biaya total
0
0
: profit total ( = R – C )
TPP : (break-even point / BEP)
Q'
Q
Contoh Kasus 8 :
Diketahui : C = 20.000 + 100 Q ,
R = 200 Q
Ditanyakan : Berapakah tingkat produksi pada saat BEP ???.. Apa yang terjadi
pada saat produksinya sebanyak 300 unit ???...
Penyelesaian :
= R–C
BEP ; = 0, R – C = 0
R = C
200 Q = 20.000 + 100 Q
jika Q = 300, maka :
R = 200 (300) = 60.000
C = 20.000 + 100 (300)
= 50.000
100 Q = 20.000
Q = 200
Keuntungan ;
= R–C
= 60.000 – 50.000
= 10.000
Gambar Kurvanya adalah :
C , R ,
R
60.000
50.000
C
}
VC
40.000
TPP
FC
20.000
0
100
200
300
Q
1.
2.
a.
b.
c.
d.
Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang
ditunjukkan oleh : Qd= 6 – 0,75P dan Qs = -5+2P. Berapa harga
dan jumlah keseimbangan pasar dan tunjukkanlah secara
geometri keseimbangan pasar tersebut.
Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=122Q dan suatu fungsi penawaran oleh P= 3 +Q. Terhadap
produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar 3
per unit .
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum
dan sesudah kena pajak
Berapa besar penerimaan pajak total oleh pemerintah?
Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan
produsen
Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan
sesudah pajak.
1.
Qd = 6 – 0,75P
Qs = -5 + 2P
Qd = Qs ↔ 6 – 0,75P = -5 + 2P
2,75P = 11 P = 4
Qs = 6 – 0,75P
= 6 – 0,75(4) = 3
2.
Sebelum Pajak
D : P 12 2Q
S : P 3Q
12 2Q 3 Q
3Q 9 Q 3 P 6
Sesudah Pajak
D : P 12 2Q
S : P 6Q
12 2Q 6 Q
3Q 6 Q 2 P 8
Ditanggung Konsumen; tk = Pe’ – P 8 – 6 = 2
Ditanggung Produsen; tp = t – tk 3 – 2 = 1
Diterima Pemerintah; T = Qe X t 2 X 3 = 6
Diketahui : FC = 40.000 , VC = 200 Q
Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva
totalnya !!! Berapa biaya total yang
dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ?
Penyelesaian :
C = FC + VC C = 40.000 + 200 Q
Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 200
(500) = 70.000
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah
perusahaan Rp. 400,00 per unit. Tunjukkan
persamaan dan kurva penerimaan total
perusahaan ini !
Berapa besar penerimaannya bila terjual
barang sebanyak 400 unit ???
Penyelesaian :
R = Q X P = Q X 200 = 200 Q
Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 =
70.000
Diketahui : C = 40.000 + 200 Q ,
R = 40