01 Aturan Dasar Turunan fungsi Aljabar

TURUNAN FUNGSI ALJABAR
A. Aturan Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Turunan dari fungsi kontinu y = f(x) merupakan laju perubahan nilai y terhadap nilai x.
Atau

y
f(x)
atau
x
x

y  f(x)

y

Jika perubahan nilai x tersebut
sebesar h, maka kita dapat
f(x  h)  f(x)
sebagai
menuliskan :
h

hasil dari perubahan tersebut (seperti
gambar).
Jika nilai h diambil kecil mendekati nol
(limit h mendekati nol), maka
perubahan tersebut akan menjadi laju
perubahan. Inilah yang menjadi dasar
dari konsep turunan

f(x  h)
y

f(x)
O

x

x

xh

x

Sehingga turunan dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f ‘(x) didefinisikan sebaagai
f(x  h)  f(x)
f ‘(x) = Limit
h0
h

Seorang matematikawan Jerman bernama Gottfried Leibniz (1646 – 1716) menuliskan
dy
. Simbol ini mengambil dasar pada
notasi untuk turunan tersebut dengan simbol
dx
perubahan ∆x menjadi dx dan ∆y menjadi dy, mengingat perubahan nilai x tersebut
diambil kecil mendekati nol.
Jadi notasi turunan dari fungsi y = f(x) dapat ditulis sebagai
y’ atau f’(x) atau

dy
df

atau
dx
dx

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Dengan menggunakan definisi turunan, tentukanlah turunan dari setiap fungsi
berikut ini :
(a) f(x) = 3x – 5
(b) f(x) = 4x2 + 3x
(c) f(x) = x3 – 2x
Jawab

Turunan Fungsi Aljabar

1

(a) f(x) = 3x – 5
f(x  h)  f(x)
Maka f ‘(x) = Limit
h0

h
[3(x  h)  5]  [3x  5]
f ‘(x) = Limit
h0
h
3x  3h  5  3x  5
f ‘(x) = Limit
h0
h
3h
f ‘(x) = Limit
h0 h
f ‘(x) = 3

(b) f(x) = 4x2 + 3x
f(x  h)  f(x)
Maka f ‘(x) = Limit
h0
h
Limit [4(x  h) 2  3( x  h)]  [4x 2  3x ]

f ‘(x) = h0

h

Limit [4(x  2hx  h )  3x  3h ]  [4x 2  3x ]
f ‘(x) = h0
2

2

h

f ‘(x) =

Limit 4x  8hx  4h  3x  3h  4x 2  3x
h0
2

2

h

f ‘(x) =

Limit 8hx  4h  3h
h0

f ‘(x) =

Limit (8x + 4h + 3)
h0

f ‘(x) =

8x + 3

2

h

(c) f(x) = x3 – 2x
f(x  h)  f(x)
Maka f ‘(x) = Limit
h0
h

[(x  h) 3  2( x  h)]  [ x 3  2x ]
f ‘(x) = Limit
h0
h
[x 3  3x 2 h  3xh 2  h 3  2x  2h ]  [ x 3  2x ]
f ‘(x) = Limit
h0
h

f ‘(x) =

3
2
2

3
3
Limit x  3x h  3xh  h  2x  2h  x  2x
h0
h

f ‘(x) =

2
2
3
Limit 3x h  3xh  h  2h
h0

f ‘(x) =

Limit
2
2
h0 (3x + 3xh + h – 2)

f ‘(x) =

3x2 – 2

Turunan Fungsi Aljabar

h

2

Berdasarkan definisi turunan di atas, kita dapat memperoleh aturan tersendiri untuk
mendapatkan rumus dasar turunan fungsi aljabar, yakni sebagai berikut:
Jika f(x) = axn maka diperoleh :
f(x  h)  f(x)
f ’(x) = Limit
h0
h
n
n

Limit a( x  h)  ax
f ’(x) = h0

h

 n 
n
n
 n  1 n1  n  nn n 
 x h
   x h   ax n
a  x n0 h 0    x n1h1    x n2 h 2  ...  
1
 2
 n  1
n
 0 

f ’(x) = Limit
h0

h
1


a x n (1)  nx n1h  n(n  1) x n2 h 2  ...  nxh n1  (1)h n   ax n
2


f ’(x) = Limit
h0
h
1
ax n  nax n1h  na (n  1) x n2 h 2  ...  naxh n1  ah n  ax n
2
f ’(x) = Limit
h0
h
1
nax n1h  na (n  1) x n2 h 2  ...  naxh n1  ah n
2
f ’(x) = Limit
h0
h
 n1 1

f ’(x) = Limit
 na (n  1) x n2 h  ...  naxh n2  ah n1 
h0 nax
2



f ’(x) = nax n1
Dari sini dapat disimpulkan bahwa : Jika f(x) = axn maka f ’(x) = n.ax n 1
Pengembangan dari rumus tersebut adalah turunan bentuk f(x) = ax dan bentuk f(x) = c
(dimana c suatu konstanta), yakni sebagai berikut :
f(x) = ax = ax1
maka f ’(x) = (1)ax11
f ’(x) = ax 0
f ’(x) = a
f(x) = c = cx0
maka f ’(x) = (0)cx 01
f ’(x) = 0
Jadi dapat disimpulakan :

Jika f(x) = ax maka f ’(x) = a
Jika f(x) = c maka f ’(x) = 0

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Turunan Fungsi Aljabar

3

02. Dengan menggunakan rumus dasar turunan, tentukanlah turunan pertama dari setiap
fungsi berikut ini :
(a) f(x) = 4x3 – 5x2 + 6x – 2

(b) f(x) = 3x 2 + 4x 5 – 4x 1

(c) f(x) = 6x1/ 2 – 12x 1/ 3 + 4x 3 / 2 + 5

(d) f(x) =

1
2

x 2 / 3 +

3
4

x 2 / 5 – 4x 1/ 3

Jawab
(a) f(x) = 4x3 – 5x2 + 6x – 2
Maka f ’(x) = 4(3) x 31  5(2) x 21  6
f ’(x) = 12 x 2  10 x1  6
f ’(x) = 12 x 2  10 x  6
(b) f(x) = 3x 2 + 4x 5 – 4x 1
Maka f ’(x) = 3(2) x 21  4(5) x 51  4(1) x 11
f ’(x) =  6 x 3  20 x 6  4 x 2
(c) f(x) = 6x1/ 2 – 12x 1/ 3 + 4x 3 / 2 + 5
1

1

3

 1   1  3  1
 1  1
Maka f ’(x) = 4  x 2  12   x 3  4  x 2
2
 3
2

f ’(x) = 2 x 1/ 2  4 x  4/3  6 x1/ 2
(d) f(x) =

1
2

x 2 / 3 +

3
4

x 2 / 5 – 4x 1/ 3
2

2

1

1  2   1 3  2  1  1   1
Maka f ’(x) =    x 3    x 5  4   x 3
2 3
45
 3
1 5 / 3 3 3 / 5 4  4/3
x

x
 x
3
10
3

f ’(x) =

03. Dengan menggunakan rumus dasar turunan, tentukanlah turunan pertama dari setiap
fungsi berikut ini :
(a) f(x) =

2
x

(c) f(x) =

3

4
x5

4

+

6

3x

+

–
2

3 x

2x 2
5x
–
3
2

–

(b) f(x) =

3

3 x2
2

(d) f(x) =

3

x3 + 3 x5 – 2 x4
2x 2
3 x

+

8x
x5

Jawab
(a) f(x) =

2
x3

2x 2
5x
+ 6–
–
2
3
3x

f(x) = 2 x 3 +

Turunan Fungsi Aljabar

4

4 6 2 2 5
x – x – x
3
2
3

4

5
4
2
(6) x 61 – (2) x 21 –
2
3
3
5
4 1
x –
f ’(x) =  6 x 4 – 8 x 7 –
2
3
4x
5
8
6
f ’(x) =  4 – 7 –
–
3
2
x
x

Maka f ’(x) = 2(3) x 31 +

(b) f(x) =

3

x3 + 3 x5 – 2 x4

f(x) = x 3 / 2 + 3x 5 / 2 – 2x 4 / 3
4

5

3

1
1
1
3
5
4
Maka f ’(x) =   x 2  3  x 2  2  x 3
3
2
2
3
15
8
f ’(x) = x1/2  x3 / 2  x1/ 3
2
2
3
3
15 3 8 3
f ’(x) =
x
x 
x
2
2
3

(c) f(x) =

f(x) =

4
x5

2

+

4

+

x5/ 2

f(x) = 4 x 5 / 2

3 x

3

3 x2
2

–

3x 2 / 3
2
3 x1 / 2
3 2/3
2
x
+ x 1 / 2 –
2
3
2

–

5

Maka f ’(x) =
f ’(x) =
f ’(x) =
f ’(x) =

(d) f(x) =
f(x) =

2x 2
3 x

+

2x 2
3x

+

1/ 2
1

1

2

 5   1 2  1   1 3  2  1
4   x 2     x 2    x 3
3 2
23
 2
1
 10 x 3/2  x3 / 2  x 1/ 3
3
1
1
 10 x 3/2  3 / 2  1/ 3
3x
x
1
1
 10 x 3 
3
x
3 x3

8x
x5
8x
x5/ 2
5

1
2 2 2
x
f(x) =
+ 8x 2
3
2 3/ 2
x
+ 8 x 3 / 2
f(x) =
3

Turunan Fungsi Aljabar

5

3

3

2  3  1
 3   1
Maka f ’(x) =   x 2 + 8   x 2
32
 2
f ’(x) = x1/ 2 – 12 x 5 / 2
12
f ’(x) = x1/ 2 – 5 / 2
x
12
f ’(x) = x –
x5
04. Dari setiap fungsi berikut ini tentukanlah nilai f ’(4)
(a) f(x) = (4x – 3) (2x + 1)
(b) f(x) = (2 x – 4x)2
(c) f(x) =

x (2x + 5)

2

(d) f(x) =

(3 x  2 x) 2
x2

Jawab
(a) f(x) = (4x – 3) (2x + 1)
f(x) = 8x2 + 4x – 6x – 3
f(x) = 8x2 – 2x – 3
Maka f ’(x) = 8(2) x 21  2
f ’(x) =  10 x 3/2 

1 3 / 2
x
 x 1/ 3
3

f ’(x) = 16x – 2
(b) f(x) = (2 x – 4x)2
f(x) = ( 2 x )2 – 2( 2 x )(4x) + (4x)2
f(x) = 4x – 16 x 3 / 2 + 16x2
3

 3 1
+ 16 (2) x 2  1
Maka f ’(x) = 4 – 16   x 2
2

f ’(x) = 4 – 24x1 / 2 + 32x1
f ’(x) = 4 – 24 x + 32x
(c) f(x) =
f(x) =

x (2x + 5)

2

2

x (4x + 20x + 25)

f(x) = 4x 5 / 2 + 20x 3 / 2 + 25x1 / 2
5

3

1

 5  1
 1  1
 3  1
+ 20   x 2
+ 25   x 2
Maka f ’(x) = 4  x 2
2
2
2
25  1 / 2
f ’(x) = 10x 3 / 2 + 30x1 / 2 +
x
2

Turunan Fungsi Aljabar

6

f ’(x) = 10x 3 / 2 + 30x1 / 2 +

2 x1 / 2
25
+ 30 x +
2 x

f ’(x) = 10 x 3

(d) f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =

25

(3 x  2 x) 2
x2
(3 x ) 2  2(3 x )(2 x)  (2 x) 2
x2
9 x  12 x x  4 x 2
x2
12 x
9
–
+ 4
x
x

f(x) = 9 x  1 – 12 x  1 / 2 + 4
1

Maka f ’(x) = 9(1) x

11

 1   1
– 12    x 2
 2

f ’(x) =  9 x  2 + 6 x  3 / 2
6
9
f ’(x) = 
+
x3 / 2
x2
9
6
f ’(x) = 
+
x2
x3

Turunan Fungsi Aljabar

7