TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN PENCARIAN TURU (1)
TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Makalah diajukan dalam rangka memenuhi tugas Matakuliah,
Dosen Pengampu
PK. YUNDA KURNIAWAN
NAMA KELOMPOK :
1. DYAS AYU LUPITA
2. MEI PUSPITAWATI
3. NURUL METRIANA
4. PANCA ADHITYA
KELAS : 1B PEND. MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMADIYAH PROF. DR. HAMKA.
2011
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa, atas
segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada tim penulis sehingga dapat
menyelesaikan makalah ini yang bejudul: “TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN
PENCARIAN TURUAN TURUNAN”
Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan
tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak
untuk itu dalam kesempatan ini penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan
makalah ini.
Tim menulis menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini jauh dari
kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, tim penulis
telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga
dapat selesai deangan baik dan oleh karenanya, tim penulis dengan rendah hati dan
dengan tangan terbuka menerima masukan, saran, usul, guna penyempurnaan
makalah ini.
Akhirnya tim penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
seluruh pembaca.
Jakarta,
Desember 2011
Penulis
A. TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya
fungsi
f
menjadi
f : x → f ( x) pada
f'
x=a
yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai fungsi
dapat ditulis:
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi
yang kontinu pada selang - ∞
¿ x< ∞ , berlaku
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
=
f '(x)
(turunan
pertama dari f ( x ) ). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
f ' ( x )=lim
h→0
Jika nilai limitnya ada, fungsi
fungsi turunan dari
Notasi dari
f
f ( x +h ) −f (x )
h
f
. Turunan dari
dikatakan diferensiabel di
y=f ( x)
y '=f ' (x ) juga dapat ditulis:
x , dan f ' (x)
sering kali ditulis dengan
disebut
y '=f '(x ) .
dy df ( x)
=
.
dx
dx
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)
fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan
Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan
oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai
contoh, persamaan diferensial
y ’=
3 x2
( y +1)
x 3 +1
dapat ditulis dalam bentuk
dy=
[
2
]
2
2
3x
3x
3x
( y+ 1) dx atau y ' − 3
y= 3
3
x +1
x +1
x +1
Contoh soal :
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x )=x 3 +5 !
Penyelesaian :
3
f ( x )=x +5
3
f ( x +h )= ( x +h ) +5
3
2
2
2
¿ x +3 x h+3 x h +h +5
f ’( x) =
=
=
=
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
h
lim x 3+ 3 x 2 h+3 x h 2+h 2+5−( x3 +5)
h →0
h
lim 3 x 2 h+3 x h2+ h2
h →0
h
lim h(3 x 2 +3 xh+h)
h →0
h
2
(3 x +3 xh+h)
= lim
h→0
= 3 x2 +3 x . 0+ 02
= 3 x2
2. Carilah f ' ( x ) jika f ( x )=√ x , x >0
Penyelesaian
lim f ( x +h ) −f (x )
'
h →0
f ( x )=
h
lim √ x+ h−√ x
¿ h →0
h
Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.
f ’( x) = lim
h→0
[√
x+ h− √ x √ x +h+ √ x
.
h
√ x +h+ √ x
]
lim x +h−x
=
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim h
=
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim 1
=
h →0
√ x +h+ √ x
1
√ x +√ x
1
2√x
=
=
B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN
f
Turunan suatu fungsi
adalah rumus untuk
kita menurunkan
f
f,
f , maka
adalah fungsi lain
f ’ (x)=3 x 2 +7
f ( x)=x 3 +7 x
adalah rumus untuk
artinya kita mendiferensiasikan
untuk menghasilkan
f ’ . Jika
f . Turunan mengoperasikan
f ’ . Kita biasanya menggunakan simbol
menandakan operasi diferensiasi. Simbol
turunan (terhadap peubah
Dx
f ’ . Ketika
Dx
untuk
menyatakan bahwa kita mengambil
x ). Maka, kita menuliskan
Dx f (x )=f ’( x ) atau
D x (x 3 +7 x)=3 x 2 +7.
1. Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat
Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
Jika f (x)=k
dengan k
suatu konstanta, maka untuk sebarang
yakni
Dx (k)=0
Bukti
f ’ (x)=¿
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
lim k −k
¿ h →0
h
x , f ’ ( x)=0 ;
¿ lim 0
h→0
¿0
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas
Jika f (x)=x , maka f ’ (x)=1 ; yakni
D x (x )=1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x+ h )−f (x )
h
¿ lim
h→0
x+ h−x
h
lim h
¿ h →0
h
¿1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f (x)=x n , dengan n bilangan bulat positif, maka f ’ (x)=n xn−1 ; yakni
n
Dx (x )=n x
n−1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
¿
f ( x+ h )−f (x )
h
lim ( x +h)n−x n
h →0
h
¿ lim ¿
h→0
x n +n x n−1 h+
n (n−1) n−2 2
x h + … .+ nx h n−1+ h2−x n
2
h
¿
[
h n xn −1 +
lim ¿
h→0
n(n−1) n−2
x h+…+ nx h n−2+ hn−1
2
h
]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
h
sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
f ’ (x)=n xn−1
Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :
D x ( x 3 )=3 x 2 D x ( x 9 )=9 x8 D x ( x 100 )=100 x 99
Jika k
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
suatu konstanta dan f
suatu fungsi yang terdiferensial maka
(kf ) ’( x )=k . f ’ (x) ; yakni,
D x [ k . f ( x ) ]=k . Dx . f (x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator
Dx.
Bukti
Andaikan
F( x )=k . f ( x). Maka
lim F ( x +h )−F ( x )
F ’ ( x )=
h→0
¿
lim ¿
¿
lim k .
h→0
h→0
h
k . f ( x +h )−k . f ( x )
h
f ( x +h )−f (x )
h
¿ k . f ' (x )
Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah
D x (−7 x 3 ) =−7 D x ( x 3 ) =−7 . 3 x 2=−21 x 2
dan
Dx
9
9
8
8
x
Teorema E : Aturan Jumlah
f
Jika
( 43 x )= 43 D ( x )= 43 . 9 x =12 x
g
dan
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensial,
maka
(f + g) ’ ( x)=f ’( x )+g ’ (x ); yakni,
D x [ f ( x )+ g ( x) ]=D x f (x )+ Dx g ( x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunanturunan.
Bukti
Andaikan
F( x )=f ( x)+ g(x ). Maka
F ’ ( x)
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) + g ( x+ h ) ]−[ f ( x ) + g( x ) ]
h →0
h
[
f ( x +h ) −f ( x) g ( x+ h )−g( x )
+
h
h
lim f ( x +h )−f ( x )
¿ h →0
+¿
h
lim ¿
h→0
]
g ( x +h )−g ( x)
h
¿ f ' ( x ) + g' ( x )
Jika
f
Teorema F : Aturan selisih
dan
g
adalah
( f −g )' ( x )=f ' ( x )−g ' ( x ) ; yakni,
D x [ f ( x )−g ( x ) ] =Dx f ( x )−D x g ( x )
Bukti
fungsi-fungsi
yang
terdiferensiasikan,
maka
Andaikan
F ’ ( x)
F ( x )=f ( x )−g ( x) . Maka
lim [ f ( x +h ) −g ( x +h ) ]−[ f ( x )−g(x ) ]
¿
h →0
h
[
¿ lim ¿
h→0
f ( x +h ) −f ( x) g ( x +h ) −g (x)
−
h
h
lim f ( x +h )−f ( x )
¿ h →0
−¿
h
]
g ( x +h )−g (x)
h
lim ¿
h→0
¿ f ' ( x ) + g' ( x )
Contoh:
Tentukan turunan dari 5 x2 +7 x – 6 dan 4 x 6 – 3 x 5 – 10 x 2 +5 x+ 16.
Penyelesaian
Dx (5 x 2+ 7 x – 6)=Dx (5 x 2+7 x )– Dx (6)
(Teorema F)
2
(Teorema E)
¿ Dx (5 x )+ D x (7 x ) – Dx (6)
2
¿ 5 D x ( x )+7 D x (x ) – Dx (6)
(Teorema D)
¿ 5 .2 x+ 7 .1+0
(Teorema C,B,A)
¿ 10 x +7
Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema
pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
6
5
2
6
5
2
Dx (4 x – 3 x – 10 x + 5 x +16)=D x (4 x )– Dx (3 x ) – D x (10 x )+ Dx (5 x)+ D x (16)
6
5
2
¿ 4 D x ( x ) – 3 D x (x ) – 10 D x (x )+5 Dx ( x )+ D x (16)
5
4
¿ 4 (6 x ) – 3(5 x )– 10(2 x)+5( 1)+0
¿ 24 x 5 – 15 x 4 – 20 x +5
2. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi
Teorema G : Aturan Hasilkali
Jika f
dan
g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
(f . g)’ (x)=f (x ) g ’ ( x)+ g( x )f ’(x )
Yakni,
D x [f ( x) g (x)]=f ( x) D x g (x)+ g(x ) D x f (x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi
adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua
dikalikan fungsi pertama.
Bukti
F ’ (x)=f (x )g(x ).
Andaikan
lim F ( x+ h )−F ( x)
'
F ( x ) = h →0
h→0
¿
h
f ( x+ h ) g ( x +h )−f ( x ) g(x )
h
¿ lim ¿
¿
Maka
lim f ( x +h ) g ( x+h )−f ( x +h ) g ( x ) + f ( x+ h ) g ( x )−f ( x ) g (x)
h →0
h
[
lim f ( x+ h ) .
h→0
g ( x +h )−g( x )
F ( x+h )−F ( x)
+g ( x ).
h
h
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
lim F ( x+ h )−F (x)
g (x) .
h→ 0
h
¿ f (x )g ’ (x)+ g( x ) f ’( x )
Contoh :
lim ¿
h→0
]
g ( x +h )−g (x)
+¿
h
2
Carilah turunan
4
(3 x – 5)(2 x – x)
dengan menggunakan aturan hasil kali.
Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.
Penyelesaian :
Dx [ ( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x ) ]=(3 x2 – 5) Dx (2 x 4 – x)+(2 x 4 – x ) D x (3 x2 −5)
2
3
4
¿(3 x – 5)(8 x – 1)+(2 x – x)(6 x )
5
2
3
5
¿ 24 x – 3 x – 40 x +5+12 x +6 x
2
¿ 36 x5 – 40 x3 – 9 x 2 +5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.
( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x )=6 x 6 – 10 x 4 – 3 x3 +5 x
Jadi,
D x [ ( 3 x 2−5 ) ( 2 x 4−x ) ]=D x ( 6 x6 ) – D x (10 x 4 ) – D x (3 x 3)+ D x (5 x )
5
3
2
¿ 36 x – 40 x – 9 x +5
Teorema H : Aturan Hasilbagi
Andaikan f
dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan
g( x) ≠ 0 . Maka
g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x )
f '
( x )=
g
g2 ( x )
()
Yakni,
Dx
f (x )
g( x )
( )
=
g ( x ) D x f ( x ) −f ( x ) D x g( x )
g2 ( x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah
sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang
dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Andaikan
F ( x )=
f (x)
. Maka
g ( x)
F' ( x ) =lim
h→0
f ( x+h) f (x )
−
g (x+ h) g(x )
h
lim
¿
F ( x+ h )−F ( x)
h
h →0
lim g ( x ) f ( x +h ) −f ( x ) g(x +h)
¿ h →0
¿ lim
h→0
.
h
[
1
g ( x ) g ( x+ h)
g ( x ) f ( x +h )−g ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ( x )−f ( x ) g ( x +h )
1
.
h
g ( x ) g ( x+ h )
¿ lim
h→0
{[
g(x)
]
f ( x +h )−f (x )
g ( x+ h )−g(x )
1
−f (x )
h
h
g ( x ) g (x+ h)
¿ [ g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x) ]
1
g ( x ) g( x)
Contoh:
a. Carilah turunan
x
(¿¿ 2+7)
.
(3 x−5)
¿
Penyelesaian:
DX
[
2
2
3 x−5 ( x +7 ) D x (3 x−5 )−(3 x−5) Dx (x +7)
=
2
x 2 +7
( x 2 +7 )
]
¿
( x 2 +7 ) ( 3 ) −(3 x−5)(2 x)
2
( x 2+7 )
}
]
¿
−3 x 2+10 x +21
Dx y
b. Carilah
( x 2 +7 )
jika
2
y=
2
3
+
x +1 x
4
Penyelesaian
D x y=D x
( x 2+1 )+ D ( 3x )
x
4
( x 4 + 1 ) D x ( 2 ) −2 D x ( x 4 +1) x Dx ( 3 )−3 D x ( x)
¿
+
2
x2
( x 4 +1 )
¿
¿
( x 4 + 1 ) ( 0 )−2 ( 4 x 3 ) x ( 0 )−3 ( 1 )
+
2
2
x
( x 4 +1 )
−8 x 3
3
− 2
2
4
( x + 1) x
c. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,
Dx ( x−n )=−n x−n−1
Penyelesaian
D x ( x−n )=D x
( x1 )
n
¿
x n . 0−1 . n x n−1
x 2n
¿
−n x
2n
x
n−1
¿−n x
−n−1
Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa
Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat
Dx
( 3x )= −3x
2
Dx
3
=3 D x ( x−1 )=3 (−1 ) x−2=¿
x
()
−3
.
x2
DAFTAR PUSTAKA
Finizio dan G.Ladas . 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi
kedua. Jakarta:Erlangga.
Muchtinah, Ety Sri, dkk. 2009. Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Bekasi:Swadaya Murni
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi kedelapan. Jakarta:Erlangga
Zaelani, Ahmad, dkk. 2006. 1700 BANK SOAL Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA
Untuk SMA/MA. Bandung:Yrama Widya.
Makalah diajukan dalam rangka memenuhi tugas Matakuliah,
Dosen Pengampu
PK. YUNDA KURNIAWAN
NAMA KELOMPOK :
1. DYAS AYU LUPITA
2. MEI PUSPITAWATI
3. NURUL METRIANA
4. PANCA ADHITYA
KELAS : 1B PEND. MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMADIYAH PROF. DR. HAMKA.
2011
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa, atas
segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada tim penulis sehingga dapat
menyelesaikan makalah ini yang bejudul: “TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN
PENCARIAN TURUAN TURUNAN”
Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan
tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak
untuk itu dalam kesempatan ini penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan
makalah ini.
Tim menulis menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini jauh dari
kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, tim penulis
telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga
dapat selesai deangan baik dan oleh karenanya, tim penulis dengan rendah hati dan
dengan tangan terbuka menerima masukan, saran, usul, guna penyempurnaan
makalah ini.
Akhirnya tim penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
seluruh pembaca.
Jakarta,
Desember 2011
Penulis
A. TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya
fungsi
f
menjadi
f : x → f ( x) pada
f'
x=a
yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai fungsi
dapat ditulis:
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi
yang kontinu pada selang - ∞
¿ x< ∞ , berlaku
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
=
f '(x)
(turunan
pertama dari f ( x ) ). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
f ' ( x )=lim
h→0
Jika nilai limitnya ada, fungsi
fungsi turunan dari
Notasi dari
f
f ( x +h ) −f (x )
h
f
. Turunan dari
dikatakan diferensiabel di
y=f ( x)
y '=f ' (x ) juga dapat ditulis:
x , dan f ' (x)
sering kali ditulis dengan
disebut
y '=f '(x ) .
dy df ( x)
=
.
dx
dx
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa)
fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan
Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan
oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai
contoh, persamaan diferensial
y ’=
3 x2
( y +1)
x 3 +1
dapat ditulis dalam bentuk
dy=
[
2
]
2
2
3x
3x
3x
( y+ 1) dx atau y ' − 3
y= 3
3
x +1
x +1
x +1
Contoh soal :
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x )=x 3 +5 !
Penyelesaian :
3
f ( x )=x +5
3
f ( x +h )= ( x +h ) +5
3
2
2
2
¿ x +3 x h+3 x h +h +5
f ’( x) =
=
=
=
lim f ( x +h ) −f ( x )
h →0
h
lim x 3+ 3 x 2 h+3 x h 2+h 2+5−( x3 +5)
h →0
h
lim 3 x 2 h+3 x h2+ h2
h →0
h
lim h(3 x 2 +3 xh+h)
h →0
h
2
(3 x +3 xh+h)
= lim
h→0
= 3 x2 +3 x . 0+ 02
= 3 x2
2. Carilah f ' ( x ) jika f ( x )=√ x , x >0
Penyelesaian
lim f ( x +h ) −f (x )
'
h →0
f ( x )=
h
lim √ x+ h−√ x
¿ h →0
h
Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang.
f ’( x) = lim
h→0
[√
x+ h− √ x √ x +h+ √ x
.
h
√ x +h+ √ x
]
lim x +h−x
=
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim h
=
h→0
h( √ x+ h+ √ x )
lim 1
=
h →0
√ x +h+ √ x
1
√ x +√ x
1
2√x
=
=
B. ATURAN PENCARIAN TURUNAN
f
Turunan suatu fungsi
adalah rumus untuk
kita menurunkan
f
f,
f , maka
adalah fungsi lain
f ’ (x)=3 x 2 +7
f ( x)=x 3 +7 x
adalah rumus untuk
artinya kita mendiferensiasikan
untuk menghasilkan
f ’ . Jika
f . Turunan mengoperasikan
f ’ . Kita biasanya menggunakan simbol
menandakan operasi diferensiasi. Simbol
turunan (terhadap peubah
Dx
f ’ . Ketika
Dx
untuk
menyatakan bahwa kita mengambil
x ). Maka, kita menuliskan
Dx f (x )=f ’( x ) atau
D x (x 3 +7 x)=3 x 2 +7.
1. Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat
Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
Jika f (x)=k
dengan k
suatu konstanta, maka untuk sebarang
yakni
Dx (k)=0
Bukti
f ’ (x)=¿
lim f ( x +h ) −f (x )
h →0
h
lim k −k
¿ h →0
h
x , f ’ ( x)=0 ;
¿ lim 0
h→0
¿0
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas
Jika f (x)=x , maka f ’ (x)=1 ; yakni
D x (x )=1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
f ( x+ h )−f (x )
h
¿ lim
h→0
x+ h−x
h
lim h
¿ h →0
h
¿1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f (x)=x n , dengan n bilangan bulat positif, maka f ’ (x)=n xn−1 ; yakni
n
Dx (x )=n x
n−1
Bukti
f ’ (x)=lim
h→0
¿
f ( x+ h )−f (x )
h
lim ( x +h)n−x n
h →0
h
¿ lim ¿
h→0
x n +n x n−1 h+
n (n−1) n−2 2
x h + … .+ nx h n−1+ h2−x n
2
h
¿
[
h n xn −1 +
lim ¿
h→0
n(n−1) n−2
x h+…+ nx h n−2+ hn−1
2
h
]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
h
sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
f ’ (x)=n xn−1
Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :
D x ( x 3 )=3 x 2 D x ( x 9 )=9 x8 D x ( x 100 )=100 x 99
Jika k
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
suatu konstanta dan f
suatu fungsi yang terdiferensial maka
(kf ) ’( x )=k . f ’ (x) ; yakni,
D x [ k . f ( x ) ]=k . Dx . f (x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator
Dx.
Bukti
Andaikan
F( x )=k . f ( x). Maka
lim F ( x +h )−F ( x )
F ’ ( x )=
h→0
¿
lim ¿
¿
lim k .
h→0
h→0
h
k . f ( x +h )−k . f ( x )
h
f ( x +h )−f (x )
h
¿ k . f ' (x )
Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah
D x (−7 x 3 ) =−7 D x ( x 3 ) =−7 . 3 x 2=−21 x 2
dan
Dx
9
9
8
8
x
Teorema E : Aturan Jumlah
f
Jika
( 43 x )= 43 D ( x )= 43 . 9 x =12 x
g
dan
adalah
fungsi-fungsi
yang
terdiferensial,
maka
(f + g) ’ ( x)=f ’( x )+g ’ (x ); yakni,
D x [ f ( x )+ g ( x) ]=D x f (x )+ Dx g ( x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunanturunan.
Bukti
Andaikan
F( x )=f ( x)+ g(x ). Maka
F ’ ( x)
¿
¿ lim ¿
h→0
lim [ f ( x +h ) + g ( x+ h ) ]−[ f ( x ) + g( x ) ]
h →0
h
[
f ( x +h ) −f ( x) g ( x+ h )−g( x )
+
h
h
lim f ( x +h )−f ( x )
¿ h →0
+¿
h
lim ¿
h→0
]
g ( x +h )−g ( x)
h
¿ f ' ( x ) + g' ( x )
Jika
f
Teorema F : Aturan selisih
dan
g
adalah
( f −g )' ( x )=f ' ( x )−g ' ( x ) ; yakni,
D x [ f ( x )−g ( x ) ] =Dx f ( x )−D x g ( x )
Bukti
fungsi-fungsi
yang
terdiferensiasikan,
maka
Andaikan
F ’ ( x)
F ( x )=f ( x )−g ( x) . Maka
lim [ f ( x +h ) −g ( x +h ) ]−[ f ( x )−g(x ) ]
¿
h →0
h
[
¿ lim ¿
h→0
f ( x +h ) −f ( x) g ( x +h ) −g (x)
−
h
h
lim f ( x +h )−f ( x )
¿ h →0
−¿
h
]
g ( x +h )−g (x)
h
lim ¿
h→0
¿ f ' ( x ) + g' ( x )
Contoh:
Tentukan turunan dari 5 x2 +7 x – 6 dan 4 x 6 – 3 x 5 – 10 x 2 +5 x+ 16.
Penyelesaian
Dx (5 x 2+ 7 x – 6)=Dx (5 x 2+7 x )– Dx (6)
(Teorema F)
2
(Teorema E)
¿ Dx (5 x )+ D x (7 x ) – Dx (6)
2
¿ 5 D x ( x )+7 D x (x ) – Dx (6)
(Teorema D)
¿ 5 .2 x+ 7 .1+0
(Teorema C,B,A)
¿ 10 x +7
Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema
pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
6
5
2
6
5
2
Dx (4 x – 3 x – 10 x + 5 x +16)=D x (4 x )– Dx (3 x ) – D x (10 x )+ Dx (5 x)+ D x (16)
6
5
2
¿ 4 D x ( x ) – 3 D x (x ) – 10 D x (x )+5 Dx ( x )+ D x (16)
5
4
¿ 4 (6 x ) – 3(5 x )– 10(2 x)+5( 1)+0
¿ 24 x 5 – 15 x 4 – 20 x +5
2. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi
Teorema G : Aturan Hasilkali
Jika f
dan
g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
(f . g)’ (x)=f (x ) g ’ ( x)+ g( x )f ’(x )
Yakni,
D x [f ( x) g (x)]=f ( x) D x g (x)+ g(x ) D x f (x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi
adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua
dikalikan fungsi pertama.
Bukti
F ’ (x)=f (x )g(x ).
Andaikan
lim F ( x+ h )−F ( x)
'
F ( x ) = h →0
h→0
¿
h
f ( x+ h ) g ( x +h )−f ( x ) g(x )
h
¿ lim ¿
¿
Maka
lim f ( x +h ) g ( x+h )−f ( x +h ) g ( x ) + f ( x+ h ) g ( x )−f ( x ) g (x)
h →0
h
[
lim f ( x+ h ) .
h→0
g ( x +h )−g( x )
F ( x+h )−F ( x)
+g ( x ).
h
h
lim f ( x+ h ) .
¿
h→0
lim F ( x+ h )−F (x)
g (x) .
h→ 0
h
¿ f (x )g ’ (x)+ g( x ) f ’( x )
Contoh :
lim ¿
h→0
]
g ( x +h )−g (x)
+¿
h
2
Carilah turunan
4
(3 x – 5)(2 x – x)
dengan menggunakan aturan hasil kali.
Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.
Penyelesaian :
Dx [ ( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x ) ]=(3 x2 – 5) Dx (2 x 4 – x)+(2 x 4 – x ) D x (3 x2 −5)
2
3
4
¿(3 x – 5)(8 x – 1)+(2 x – x)(6 x )
5
2
3
5
¿ 24 x – 3 x – 40 x +5+12 x +6 x
2
¿ 36 x5 – 40 x3 – 9 x 2 +5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.
( 3 x 2−5 ) (2 x 4−x )=6 x 6 – 10 x 4 – 3 x3 +5 x
Jadi,
D x [ ( 3 x 2−5 ) ( 2 x 4−x ) ]=D x ( 6 x6 ) – D x (10 x 4 ) – D x (3 x 3)+ D x (5 x )
5
3
2
¿ 36 x – 40 x – 9 x +5
Teorema H : Aturan Hasilbagi
Andaikan f
dan
g
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan
g( x) ≠ 0 . Maka
g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x )
f '
( x )=
g
g2 ( x )
()
Yakni,
Dx
f (x )
g( x )
( )
=
g ( x ) D x f ( x ) −f ( x ) D x g( x )
g2 ( x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah
sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang
dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Andaikan
F ( x )=
f (x)
. Maka
g ( x)
F' ( x ) =lim
h→0
f ( x+h) f (x )
−
g (x+ h) g(x )
h
lim
¿
F ( x+ h )−F ( x)
h
h →0
lim g ( x ) f ( x +h ) −f ( x ) g(x +h)
¿ h →0
¿ lim
h→0
.
h
[
1
g ( x ) g ( x+ h)
g ( x ) f ( x +h )−g ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ( x )−f ( x ) g ( x +h )
1
.
h
g ( x ) g ( x+ h )
¿ lim
h→0
{[
g(x)
]
f ( x +h )−f (x )
g ( x+ h )−g(x )
1
−f (x )
h
h
g ( x ) g (x+ h)
¿ [ g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ' ( x) ]
1
g ( x ) g( x)
Contoh:
a. Carilah turunan
x
(¿¿ 2+7)
.
(3 x−5)
¿
Penyelesaian:
DX
[
2
2
3 x−5 ( x +7 ) D x (3 x−5 )−(3 x−5) Dx (x +7)
=
2
x 2 +7
( x 2 +7 )
]
¿
( x 2 +7 ) ( 3 ) −(3 x−5)(2 x)
2
( x 2+7 )
}
]
¿
−3 x 2+10 x +21
Dx y
b. Carilah
( x 2 +7 )
jika
2
y=
2
3
+
x +1 x
4
Penyelesaian
D x y=D x
( x 2+1 )+ D ( 3x )
x
4
( x 4 + 1 ) D x ( 2 ) −2 D x ( x 4 +1) x Dx ( 3 )−3 D x ( x)
¿
+
2
x2
( x 4 +1 )
¿
¿
( x 4 + 1 ) ( 0 )−2 ( 4 x 3 ) x ( 0 )−3 ( 1 )
+
2
2
x
( x 4 +1 )
−8 x 3
3
− 2
2
4
( x + 1) x
c. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,
Dx ( x−n )=−n x−n−1
Penyelesaian
D x ( x−n )=D x
( x1 )
n
¿
x n . 0−1 . n x n−1
x 2n
¿
−n x
2n
x
n−1
¿−n x
−n−1
Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa
Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat
Dx
( 3x )= −3x
2
Dx
3
=3 D x ( x−1 )=3 (−1 ) x−2=¿
x
()
−3
.
x2
DAFTAR PUSTAKA
Finizio dan G.Ladas . 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi
kedua. Jakarta:Erlangga.
Muchtinah, Ety Sri, dkk. 2009. Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Bekasi:Swadaya Murni
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi kedelapan. Jakarta:Erlangga
Zaelani, Ahmad, dkk. 2006. 1700 BANK SOAL Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA
Untuk SMA/MA. Bandung:Yrama Widya.