T1 202009016 Full text

1

Novita Sari_202009016

Department of Mathematics Education Christian Satya Wacana University of Salatiga Jl. Diponegoro 52 – 60, email: vefranosa_gc1@yahoo.com

Students how to think we can know for sure by looking at the existing ways of thinking in students. Often known to be some students who solve problems with the same results but with a different way. Teachers can provide proper guidance in accordance with the mindset that ha s been owned by the student. Identify students' way of thinking is very important to develop knowledge in students with more sophisticated schemes than the existing schemes in the student previously. This resea rch wa s a qualitative study which aims to determine the exa ct sum of the integers skim. The resea rch wa s conducted at grade 4 elementa ry school students in Salatiga consisting of 5 subjects. The resea rch wa s conducted through interviews and observations of behavior during the interview. The results showed there were 5 skim sum integers. The fifth scheme is greater Augmented skim subskim which has two additional Subskim using fingers. Skim out the carrier has two subskim is by counting one by one and folded fingers. Subskim count one by one and folded fingers. Scheme involving a number line that has three subskim subskim right movement and right, left and left subskim movement, and the movement subskim right and left. Skim grouping subjects interpret numbers greater number determines the final outcome. Scheme involving the addition of a double decker has a negative sign subskim count one by one.

Keywords: integer, summation, skim

A. PENDAHULUAN

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan perkembangan budi daya manusia (Ichsan, 2012). Pembelajaran matematika di Sekolah Dasar merupakan dasar konsep pembelelajaran matematika untuk jenjang selanjutnya.

Pembelajaran matematika sudah di kenal siswa sejak di bangku Sekolah Kemampuan dasar yang harus dimiliki siswa sebagai bekal mempelajari matematika salah satunya adalah kemampuan berhitung. Kemampuan berhitung siswa perlu dipupuk dan dilatih dengan berbagai teknik agar tertanam dalam pola berpikir anak sehingga nantinya dalam

mempelajari matematika tak ada kendala dalam hal kemampuan berhitung. Menurut Suharto (2012) salah satu kemampuan berhitung yang kurang dikuasai dengan baik oleh siswa adalah penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat (negatif dan positif).

Sementara itu, kajian yang mencoba melihat dan melibatkan proses mental sewaktu siswa menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat masih sulit dijumpai. Mengetahui cara berfikir siswa kita dapat mengenal secara pasti cara pemikiran yang ada dalam diri siswa. Guru dapat memberikan bimbingan yang tepat sesuai dengan pola pikir yang telah dimiliki oleh siswa. Menurut Sutriyono (2002: 153) dalam menyelesaikan soal, banyak jawaban yang sama dari beberapa siswa tetapi cara berpikir yang digunakan siswa sangat berbeda antara siswa satu dengan siswa yang lainnya, mungkin siswa masih menggunakan cara berpikir yang primitif tetapi mungkin saja telah menggunakan corak berpikir yang lebih canggih.

Identifikasi corak berpikir siswa ini sangat penting untuk mengembangkan pengetahuan dalam diri siswa dengan skim yang lebih canggih dari skim yang ada dalam diri siswa sebelumnya (Afriani, 2009). Menurut Sutriyono (2012: 95) terdapat sepuluh skim dalam pengurangan bilangan bulat yaitu skim membawa keluar, skim pembesaran, skim pengecilan, skim pembandingan himpunan, skim penggabungan himpunan, skim pergerakan kekiri kemudian kekanan, skim pecahan ganda sepuluh. Skim pengurangan bersusun, dan skim penambahan bentuk bersusun. Hasil kajian (Afriani, 2009) menyatakan bahwa terdapat tiga skim dari tujuh subyek diantaranya; skim pembawa keluar, skim menggabungkan dua bilangan dan skim membilang.

Skim merupakan bahan dasar pengetahuan yang di punyai oleh seorang individu (Von Glasersfeld, Piaget, Steffe dan Cobb dalam Sutriyono, 2007: 8). Piaget dalam Sutriyono (2007: 8) dalam pandangan konstruktivisme, mendefinisikan skim diantaranya:

Skim adalah sebagai satu corak tingkah laku atau tindak umum yang dapat di ulangi atau digeneralisasikan melalui penggunaan kepada obyek-obyek baru. Himpunan skim yang dipunyai oleh seorang individu pada susatu saat tertentu disebut dengan struktur kognitif.

Mengidentifikasi skim menurut pandangan konstruktivisme skim merupakan tujuan utama peristiwa dasar yang melibatkan tiga bagian, yang pertama berfungsi sebagai pencetus yang sepadan dengan konsep rangsangan selanjutnya adalah tindakan kemudian yang terakhir adalah peneguhan yang di ajukan oleh paham behaviorisme (Sutriyono, 2002: 153). Dari latar belakang diatas akan dilakukan penelitian ini bertujuan untuk mengetahui skim penjumlahan bilangan bulat yang merupakan pandangan dari konstruktivisme pada siswa Sekolah Dasar.

B. METODELOGI

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian kualitatif. Cara pengambilan data menggunakan tehknik wawancara. Subyek yang akan diteliti terdiri dari 5 siswa SD kelas 4 di kecamatan Tingkir, kota Salatiga. Umur mereka berkisar 9-10 tahun, dengan kriteria sebagai berikut: 1) Kesanggupan subyek untuk di wawancarai, 2) Persetujuan orang tua subyek, 3) Kepercayaan peneliti bahwa subyek akan memberi penjelasan tentang respon terhadap persoalan yang akan diberikan.

Teknik pengumpulan data yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah dengan teknik wawancara klinis. Teknik ini sangat sesuai atau cocok dalam rangka mengenal atau skim matematika yang di miliki oleh siswa (Sutriyono, 2012: 29). Wawancara klinis mempunyai tujuan utama untuk mengumpulkan data dalam mengkonstruksi model skim tindakan dan skim operasi siswa. Wawancara yang dilakukan dengan menggunakan alat bantu perekam dan video yang bertujuan untuk mengetahui semua ucapan siswa pada saat menjawab pertanyaan pewawancara.

Tahap analisis data merupakan proses penyusunan data agar dapat di interpretasikan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis data dalam penelitian ini terdapat 4 tahap diantaranya rekaman dipindahkan dalam bentuk tertulis, data mentah dalam bentuk transkripsi di olah dan di susun, mengenali setiap perilaku subyek berdasarkan kasus yang ada, dan merumuskan skim berdasarkan pola tingkah laku yang dikenali pasti (Afriani, 2009). Analisis ini hanya membahas jenis-jenis skim pada penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa.

C. HASIL PENELITIAN

Bentuk soal penjumlahan bilangan bulat “a + b”, “a + (-b)”, “-a + b” dan “-a + (-b)” terdiri dari 3 soal dimana 2 soal simbolik dan 1 soal cerita. terdiri dari tiga tipe pejumlahan antara 1 digit dengan 1 digit, 1 digit dengan 2 digit, dan 2 digit dengan 2 digit.

1. Penjumlahan Bentuk a + b

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk a + b dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a. Menjumlahkan dengan menggunakan jari

Hasil penelitian ini menunjukan terdapat 5 subyek yang diwawancarai menggunakan cara penjumlahan dengan menggunakan jari. Cara menjumlah menggunakan jari ini dapat dilihat pada contoh di bawah ini: 1) DN, DN

menjumlahakan menggunakan jari pada soal 3 + 4. Saat menyelesaikan soal ini DN menghitung dengan menggunakan jari. DN menyimpan angka 3 kemudian menunjukkan jarinya yang berjumlah empat, kemudian menghitung dengan cara membilang satu-satu (empat, lima, enam, tujuh). 2) RM Pada soal penjumlahan 9 + 2 subyek yang menghitung dengan menggunakan jari ini, menghitung dengan menunjukkan 9 jarinya kemudian ditambahkan dengan dua jarinya kemudian membilang sebanyak dua jari. 3) AR Pada penjumlahan 6 + 7 ini subyek mengitung dengn menunjukkan enam jarinya kemudian karena di tambah dengan tujuh kemudian subyek menghitung dengn menggunakan jari dengn menunjukkan ke tujuh jarinya. Kemudian, subyek membilang satu-satu sebanyak jarinya yaitu tujuh. 4) AY pada penjumlahan 25 + 21 ini cara menghitungnya dengan dua puluh lima, dua puluhnya di simpan, kemudian dua puluh satu dua puluhnya di simpan, lalu lima tambah satu enam, dua puluh tambah dua puluh empat puluh. Jadi hasilnya empat puluh enam. 5)

TN menunjukkan bagaimana cara menghitung penjumlahan 3 + 4. Subyek

menunjukkan ke tiga jarinya lalu di hitung kemudian menunjukkan empat dan membilang maju yaitu lima, enam tujuh.

b.Menjumlahkan dengan cara bersusun

Hasil penelitian ini menunjukan terdapat 4 subyek yang menggunakan model ini. Berikut adalah salah satu contoh dari masing-masing subyek yang menghitung dengan cara bersusun: 1) DN pada soal 22 + 5 subyek menghitung dengan cara bersusun. pada bilangan satuan yang dijumlahkan subyek tanpa menggunakan jari hanya dengan memikirkan untuk menghitung bilangan tersebut. 2) RM pada soal 16 + 12 subyek menghitung dengan menggunakan cara besusun. Namun saat penghitungan subyek masih menggunakan jari untuk membantu penghitungan pada soal tersebut. 3)

AR pada soal 25 + 21 subyek menghitung dengan cara bersusun. pada bilangan satuan

dan puluhan subyek memulainya dari menghitung bilangan yang satuan kemudian ke bilangan yang puluhan. 4) AY menggunakan cara besusun dalam menyelesaikan soal 11 + 7. Pada saat menghitung subyek menghitung dengan menggunakan cara bersusun. Namun pada bilangan satuan yaitu tujuh di tambah dengan satu subyek menggunakan bantun jari untuk menghitung.

c. Menjumlahkan dengan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 2 siswa yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa

menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Jika bilangan bernilai positif arah panah menuju ke kanan angka 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat positif ujung anak panah di tarik kekanan sepanjang bilangan penjumlahnya. Di bawah ini adalah contoh kegiatan subyek saat melakukan penghitungan dengan menggunakan diagram panah: 1) AR pada saat menyelesaikan soal penjumlahan 9 + 2 juga menyelesaikan soal tersebut dengan diagram panah. Awal mula subyek menggambar garis bilangan dengan bilangan yang telah ditentukan. Karena kedua bilangan bernilai positif arah diagram panah tersebut ke kanan. Dari angka nol ke kanan sebanyak sembilan satuan dan berhenti di angka sembilan kemudian dari angka sembilan ke kanan sebanyak dua satuan dan berhenti di angka sebelas. 2) AY saat menyelesaikan soal penjumlahan 3 + 4. Pada penyelesaian soal ini. Subyek awalnya menggambar garis bilangan dengan bilangan yang telah di tentukan. Dari titik nol ke kanan tiga satuan berhenti di angka tiga. Dari angka tiga ke kanan lagi empat satuan dan berhenti di titik angka tujuh.

2. Penjumlahan Bentuk a + (-b)

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk a + (-b) dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a.Menjumlahkan dengan menggunakan jari mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan yang menggunakan jari dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut adalah contoh subyek yang menggunakan penjumlahan mengunakan jari dengan mengikuti tanda: 1) DN menghitung dengan jari, dengan cara empat di kurangi tiga. Jari empat lalu dari jari empat tersebut subyek melipat jarinya tiga, kemudian menghasilkan angka satu. Subyek berpendapat jika bilangannya berbeda positif di kurangi negatif maka bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil. Jadi jika di dapati bilangan negatif lebih besar maka hasilnya juga negatif, tetapi jika bilangan positifnya lebih besar hasil yang di peroleh lebih kecil. 2) AR menghitung dengan cara jari sepuluh dilipat tiga kemudian di tambah dengan jari sisa angka sebelas tadi sebanyak satu. 3) AY

menghitung dengan menggunakan jari, jari lima dilipat dua, karena tandanya bilangan yang lebih besar maka hasilnya negatif.

b.Menjumlahkan dengan cara bersususun mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan bersusun dengan mengikuti tanda. Subyek menghitung dengan menyusun bilangan yang lebih dari 10 jika terdapat tanda negatif maka akan disertakan. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Ini adalah contoh subyek yang mengerjakan dengan cara bersusun: Subyek menggunakan cara bersusun seperti penjumlahan biasa. Tetapi dengan mengikut sertakan tanda pada bilangan tersebut.

c. Mengelompokkan bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan cara pengelompokan bilangan. Mengelompokkan bilangan ini misal terdapat bilangan yang bernilai besar jika dijumlahkan dengan bilangan yang kecil maka hasilnya mengikuti tanda pada bilangan yang bernilai lebih besar. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut adalah salah satu contoh pada subyek yang menggunakan cara pengelompokan bilangan: 1) DN pada pengelompokan bilangan subyek menyebutkan dua ditambah negatif lima sama

dengan negatif tiga. Subyek menyatakan “karena kalau tanda positif dan negatif

berbeda, angka yang besar di kurangi yang kecil.” Jadi cara menghitungnya lima di

kurangi dua. 2) AR menyelesaikan dengan cara mengurangkan angka yang besar dikurangkan dengan angka yang kecil. Jika bilangan yang besar positif. Maka hasilnya positif, jika bilangan yang besar negatif maka hasilnya juga negatif.

Menjumlahkan dengan menggunakan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Jika bilangan bernilai positif arah panah menuju ke kanan angka 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat negatif ujung anak panah berbalik arah kekiri dan berhenti pada bilangan yang ditentukan. Begitu juga sebaliknya. Berikut adalah salah satu contoh subyek yang menggunakan

cara garis bilangan. 1) DN mengerjakan soal penjumlahan dengan menggunakan diagam panah. Dimulai dari menggambar garis bilangan sesuai dengan bilangan yang ditentukan. Pada soal 4 + (-3) diagram panah kekanan dari titik nol sebanyak empat satuan dan berhenti di angka empat. Kemudian dari angka empat diagram panahnya berbalik kekiri sebanyak tiga satuan. Dan berhenti di titik angka satu. 2) RM menggunakan diagram panah untuk bilangan yang bernilai positif arah diagram panah kekanan yang dimulai dari titik nol. Sedangkan untuk bilangan yang bernilai negatif ini diagram panah kearah kiri yang dimulai dari bilangan yang akan di tambahkan. 3)

AR mengerjakan soal tersebut dengan menggunakan diagram panah, empat ke kanan

berhenti di titik empat dari angka nol, lalu dari angka empat berbalik arah ke kiri berhenti di angka satu. 4) AY mengerjakan soal penjumlahan dengan menggunakan diagram panah. Dimulai dari menggambar garis bilangan sesuai dengan bilangan yang ditentukan. Pada soal 4 + (-3) diagram panah kekanan dari titik nol sebanyak empat satuan dan berhenti di angka empat. Kemudian dari angka empat diagram panahnya berbalik kekiri sebanyak tiga satuan. Dan berhenti di titik angka satu. Kemudian dari angka nol di tarik garis putus-putus sampai ke angka satu. 5) TN menyelesaikan dengan menggunakan diagram panah. Untuk biangan positif arah diagram panah kearah kanan sedangkan pada bilangan yang bernilai negatif kearah kiri yang di mulai dari titik nol kekanan sebanyak 11 satuan kemudian kekiri dari angka sebelas sebanyak 14 satuan berhenti di titik -4.

3. Penjumlahan Bentuk –a + b

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk -a + b dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a. Menjumlahkan dengan menggunakan jari mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan yang menggunakan jari dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut ini adalah salah satu contoh pada subyek yang menggunakan cara ini. Subyek menghitung -4 + 5 dengan cara negatif empat dikurangi lima. Dimana lima jari dan empatnya dilipat. Karena tanda pada angka lima bernilai positif maka hasilnya adalah positif.

b.Menjumlahkan dengan cara bersususun mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan bersusun dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut ini adalah salah satu contoh contoh subyek yang menghitung dengan menggunakan cara bersusun: Cara penghitungan bersusun yang di gunakan oleh subyek sama dengan cara menghitung penjumlahan biasa, hanya saja karena bilangan yang dijumlahkan memiliki tanda negatif maka tanda itu ikut dijumlahkan.

c. Mengelompokkan bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan cara pengelompokan bilangan. Mengelompokkan bilangan ini misal terdapat bilangan yang bernilai besar jika dijumlahkan dengan bilangan yang kecil maka hasilnya mengikuti tanda pada bilangan yang bernilai lebih besar. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut adalah contoh dari salah satu subyek yang menghitung dengan pengelompokan bilangan:

Penghitungan yang digunakan subyek adalah dengan cara berfikirnya bilangan yang besar dikurangkan bilangan yang kecil. Ada juga salah satu subyek yang menemukan bahwa bilangan yang benilai negatif jika di kurangkan dengan bilangan yang bernilaii positif, akan tetapi bilangan positif tersebut lebih kecil maka bilangan yang dikurangkan tidak melebihi angka nol maka hasilnya negatif.

d.Menjumlahkan dengan menggunakan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Jika bilangan bernilai positif arah panah menuju ke kanan angka 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat negatif ujung anak panah berbalik arah kekiri dan berhenti pada bilangan yang ditentukan. Jika bilangan bernilai negatif maka arah panah ke arah kiri dari angka 0 (nol). Jika di tambah bilangan yang positif maka dari ujung bilangan yang di arah kiri ditarik berbalik arah ke arah kanan. Berikut adalah contoh salah satu subyek yang menghitung dengan meggunakan diagram panah. Subyek menyelesaikan dengan cara

diagram panah, untuk bilangan negatif arah diagram ke kiri. Sedangkan untuk bilangan positif arah diagram panah ke kanan.

4. Penjumlahan bentuk –a + (-b)

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk -a + (-b) dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a.Menjumlahkan dengan menggunakan jari mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan yang menggunakan jari dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Berikut adalah salah satu contoh subyek yang menghitung dengan menggunakan jari. Subyek menghitung dengan mengikuti sertakan tanda yang terdapat dalam bilangan. Cara penjumlahannya sama dengan penjumlahan biasa hanya saja tanda negatif pada bilangan ini diikutsertakan.

b.Menjumlahkan dengan cara bersususun mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 4 subyek yang menggunakan cara penjumlahan bersusun dengan mengikuti tanda. Subyek menghitung dengan menyusun bilangan yang lebih dari 10 dengan cara bersusun seperti penjumlahan biasa, untuk penjumlahan bilangan bulat yang negatif dan negatif kaena memiliki tanda yang sama yaitu negatif dan negatif maka hasil yang di peroleh sama-sama negatif. Berikut adalah salah satu contoh subyek yang menghitung dengan cara bersusun. Cara hitung yang di gunakan subyek sama dengan penjumlahan bersusun biasa. Pada kasus ini subyek menghitung dengan mengikutsertakan tanda negatif. Karena kedua tanda pada bilangan yang dijumlahkan negatif maka hasilnya negatif.

c. Menjumlahkan dengan menggunakan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 4 siswa yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Pada penjumlahan bilangan bulat negatif dan negatif maka arah panah ke arah kiri dari angka nol 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat negatif ujung anak panah di tarik ke kiri sepanjang bilangan penjumlahnya. Karena sama-sama bernilai negatif maka hasil penjumlahan tersebut juga negatif.

D. PEMBAHASAN

Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh terdapat 5 skim penjumlahan bilangan bulat. Skim terdapat 3 urutan peristiwa dasar diantaranya adalah peristiwa dasar atau pencetus, tindakan dan operasi, serta hasil. Melalui kajian ini di ketahui bahwa semua subyek mempunyai lebih dari satu skim, akan tetapi tetap ditemukan skim yang dominan yang dimiliki oleh subyek.

a. Skim Tertambah Lebih Besar

Skim tertambah lebih besar yang digunakan oleh subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim tertambah lebih besar ini adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif ditambahkan akan menghasilkan bilangan yang lebih besar. Tidakan operasi untuk skim ini melibatkan subskim penambahan bersusun dan menggunakan subskim penambahan dengan jari. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah penambahan bilangan bulat positif yang di hitung dengan menggunakan 2 subskim menghasilkan bilangan yang lebih besar.

b. Skim Pembawa Keluar

Skim pembawa keluar yang digunakan oleh subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim pembawa keluar ini adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif dan negatif ditambahkan. Skim ini terdiri dari satu himpunan bilangan yang sebagian bilangan itu perlu dikeluarkan. Tidakan operasi untuk skim ini melibatkan aktivitas seperti membilang dengan menggunakan jari dan melipat jari. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah banyaknya obyek yang tidak dibawa keluar.

c. Skim yang Melibatkan Garis Bilangan

Skim yang melibatkan garis bilangan ini digunakan subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus skim ini adalah pergerakan arah kanan dan kiri,

jika terdapati penjumlahan “a + b” dimana a dan b adalah bilangan bulat. Bilangan a

bilangan bernilai positif maka ditafsirkan sebagai jarak satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke kanan, jika nilai bilangan itu bernilai negatif maka ditafsirkan sebagai jarak satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke kiri. Bilangan b ditafsirkan bila bernilai positif akan bergerak kekanan, begitu sebaliknya jika bilangan itu bernilai negatif maka akan bergerak ke arah kiri apakah mulai dari titik 0 (nol) atau yang lainya. Tindakan dan operasi dalam skim ini dengan beberapa pergerakan melibatkan aktivitas berikut melukis garis lurus kemudian diberi tanda dan titik yang berkaitan, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kanan jika bilangan tertambah bernilai positif, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kiri jika bilangan

tertambah bernilai negatif, melukis garis ke kiri atau ke kanan sejauh unit bilangan penambahnya, dan menentukan titik terakhir dari pergerakan yang telah dilakukan. Hasil yang diharapkan adalah titik terakhir dari pergerakan atau banyaknya unit diantara dua titik dalam pergerakan akhir yang dilakukan.

Berdasarkan tidakan operasi yang dilakukan, skim yang melibatkan garis bilangan memiliki tiga subskim yaitu skim pegerakan dari arah kanan dan kanan, skim pergerakan kiri dan kiri, skim pergerakan kanan dan kiri. skim yang melibatkan garis bilangan ini digunakan oleh 5 subyek. Subskim pergerakan dari kanan dan kanan dilakukan saat menyelesaikan soal penjumlahan bilangan bulat yang keduanya bernilai positif. Subskim pergerakan kiri dan kiri digunakan untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat yang keduanya bernilai negatif. Subskim pergerakan kanan dan kiri dilakukan ketika menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat positif dan negatif.

d. Skim Pengelompokan Bilangan

Skim pengelompokan bilangan ini digunakan subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim pengelompokan bilangan adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif dan negatif subyek menentukan bilangan yang lebih besar. Tidakan operasi untuk skim ini terdapat penambahan bilangan bulat negatif dan bulat positif, jika terdapat salah satu bilangan maka bilangan yang besar dikurangkan dengan bilangan yang kecil. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah banyaknya obyek yang dikurangkan mengikuti tanda negatif pada bilangan jika bilangan negatif lebih besar maka hasilnya negatif, jika bilangan positif lebih besar maka hasilnya positif. Skim pengelompokan digunakan oleh 3 subyek.

e. Skim Penambahan Bersusun yang Melibatkan Tanda Negatif

Skim penambahan bersusun yang melibatkan tanda yang terdapat pada obyek. Skim ini digunakan oleh 5 subyek. Pencetus dalam skim ini terdiri dari dua bilangan yang disusun dalam bentuk bersusun, dimana penambahan ini mengikuti nilai tempat perlu dilakukan. Tindakan dan operasi dalam skim ini melibatkan penambahan pada setiap nilai tempat. Hasil dalam skim ini adalah penambahan yang dilakukan mengikuti tanda yang dimiliki oleh obyek.

Hasil kajian ini menunjukkan bahwa terdapatnya tanda pada bilangan yang lebih besar mempengaruhi nilai pada hasil akhir. Jika didapati tanda pada bilangan sama contohnya positif ditambah dengan positif maka hasilnya akan positif, begitu sebaliknya jika penambahan pada bilangan yang keduanya negatif maka hasilnya juga negatif. Untuk

penambahan bilangan positif dengan negatif hasil yang diperoleh dilihat dari tanda yang mengikuti bilangan yang nilainya lebih besar.

E. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilaksanakan, dapat disimpulkan bahwa terdapat lima skim penjumlahan bilangan bulat pada siswa sekolah dasar yang dimiliki oleh 5 subyek. Kelima skim tersebu diantaranya skim tertambah lebih besar, skim pembawa keluar, skim yang melibatkan garis bilangan, skim pengelompokan bilangan, dan skim penambahan bersusun yang melibatkan tanda negatif.

Skim yang telah disebutkan diatas merupakan bagian dari skim penjumlahan bilangan bulat. Dimungkinkan masih terdapat skim-skim lain yang dapat ditemukan lagi. Tergantung pada proses pengenalan proses skim yang dimiliki oleh subyek serta masalah-masalah yang diberikan kepada subyek.

F. DAFTAR PUSTAKA

Afriani, Silvia. 2009. Skim Bilangan Cacah. Skripsi: UKSW Salatiga..

Fidiasari, Fransiska Erisa. 2012. Skim Perkalian Bilangan Asli. Skripsi. Salatiga: FKIP UKSW

Ichsan. 2012. Peningkatan Pemaha man Konsep Opera si Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Media Roda Bilangan pada Siswa Tunarungu Kelas VI di SLB-B Pertiwi Kota Mojokerto.

http://piaichsan.blogspot.com/2012/09/peningkatan-pemahaman-konsep-operasi_24.html. Di unduh: 19 Desember 2012. Pukul: 11.54.

Legowo, Sapto. 2006. Penggunaan Alat Peraga Permaian Dakon untuk Meningkatkan Konsep Opera si Penjumlahan Bilangan Bulat di SD Sompok 3 Semarang. http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=jurnal+konsep+berpikir+siswa+tentan g+operasional+menghitung+penjumlahan&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0C FoQFjAI&url=http%3A%2F%2Fstaff.uny.ac.id%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2F penelitian%2FPetrus%2520Sarjiman%2C%2520M.Pd.%2FBackup%2520ofartike l%2520terbaru%2520%2520%2520PHK%2520artikel%2520Operasi%2520Hitun g%2520Bil.%2520Cacah.doc&ei=H6HOUPjSHsPRrQetvYGYDQ&usg=AFQjC NFIqL9OaCPF2lbTDH5m8DOP68ZkgA&bvm=bv.1355325884,d.bmk. Di unduh: 19 Desember 2012. Pukul: 11.55.

Suharto. 2012. Menentukan Hasil Penjumlahan Atau Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Media Pengga ris Dan Manik Bilangan. Http://www.m-edukasi.web.id/2012/08/menentukan-hasil-penjumlahan-atau.html. Di unduh: 14 Januari 2012. Pukul: 11.05.

Sutriyono. 2002. Satya Widya: Skim Penamba han Bilangan Cacah. Jurnal penelitian

pengenbangan kependidikan. Salatiga: FKIP−UKSW.

________.2007. Konstrktivisme dalam Pendidikan Matematika. Salatiga: UKSW.

_________.2012. Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2 dan 3. Salatiga: UKSW.

cara garis bilangan. 1) DN mengerjakan soal penjumlahan dengan menggunakan diagam panah. Dimulai dari menggambar garis bilangan sesuai dengan bilangan yang ditentukan. Pada soal 4 + (-3) diagram panah kekanan dari titik nol sebanyak empat satuan dan berhenti di angka empat. Kemudian dari angka empat diagram panahnya berbalik kekiri sebanyak tiga satuan. Dan berhenti di titik angka satu. 2) RM menggunakan diagram panah untuk bilangan yang bernilai positif arah diagram panah kekanan yang dimulai dari titik nol. Sedangkan untuk bilangan yang bernilai negatif ini diagram panah kearah kiri yang dimulai dari bilangan yang akan di tambahkan. 3) AR mengerjakan soal tersebut dengan menggunakan diagram panah, empat ke kanan berhenti di titik empat dari angka nol, lalu dari angka empat berbalik arah ke kiri berhenti di angka satu. 4) AY mengerjakan soal penjumlahan dengan menggunakan diagram panah. Dimulai dari menggambar garis bilangan sesuai dengan bilangan yang ditentukan. Pada soal 4 + (-3) diagram panah kekanan dari titik nol sebanyak empat satuan dan berhenti di angka empat. Kemudian dari angka empat diagram panahnya berbalik kekiri sebanyak tiga satuan. Dan berhenti di titik angka satu. Kemudian dari angka nol di tarik garis putus-putus sampai ke angka satu. 5) TN menyelesaikan dengan menggunakan diagram panah. Untuk biangan positif arah diagram panah kearah kanan sedangkan pada bilangan yang bernilai negatif kearah kiri yang di mulai dari titik nol kekanan sebanyak 11 satuan kemudian kekiri dari angka sebelas sebanyak 14 satuan berhenti di titik -4.

3. Penjumlahan Bentuk –a + b

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk -a + b dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a. Menjumlahkan dengan menggunakan jari mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan yang menggunakan jari dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut ini adalah salah satu contoh pada subyek yang menggunakan cara ini. Subyek menghitung -4 + 5 dengan cara negatif empat dikurangi lima. Dimana lima jari dan empatnya dilipat. Karena tanda pada angka lima bernilai positif maka hasilnya adalah positif.

b.Menjumlahkan dengan cara bersususun mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan bersusun dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut ini adalah salah satu contoh contoh subyek yang menghitung dengan menggunakan cara bersusun: Cara penghitungan bersusun yang di gunakan oleh subyek sama dengan cara menghitung penjumlahan biasa, hanya saja karena bilangan yang dijumlahkan memiliki tanda negatif maka tanda itu ikut dijumlahkan.

c. Mengelompokkan bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan cara pengelompokan bilangan. Mengelompokkan bilangan ini misal terdapat bilangan yang bernilai besar jika dijumlahkan dengan bilangan yang kecil maka hasilnya mengikuti tanda pada bilangan yang bernilai lebih besar. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Demikian pula apabila biangan yang besar bernilai positif maka hasilnya akan positif. Berikut adalah contoh dari salah satu subyek yang menghitung dengan pengelompokan bilangan:

Penghitungan yang digunakan subyek adalah dengan cara berfikirnya bilangan yang besar dikurangkan bilangan yang kecil. Ada juga salah satu subyek yang menemukan bahwa bilangan yang benilai negatif jika di kurangkan dengan bilangan yang bernilaii positif, akan tetapi bilangan positif tersebut lebih kecil maka bilangan yang dikurangkan tidak melebihi angka nol maka hasilnya negatif.

d.Menjumlahkan dengan menggunakan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 5 subyek yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Jika bilangan bernilai positif arah panah menuju ke kanan angka 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat negatif ujung anak panah berbalik arah kekiri dan berhenti pada bilangan yang ditentukan. Jika bilangan bernilai negatif maka arah panah ke arah kiri dari angka 0 (nol). Jika di tambah bilangan yang positif maka dari ujung bilangan yang di arah kiri ditarik berbalik arah ke arah kanan. Berikut adalah contoh salah satu subyek yang menghitung dengan meggunakan diagram panah. Subyek menyelesaikan dengan cara

diagram panah, untuk bilangan negatif arah diagram ke kiri. Sedangkan untuk bilangan positif arah diagram panah ke kanan.

4. Penjumlahan bentuk –a + (-b)

Subyek menyelesaikan penjumlahan dalam bentuk -a + (-b) dengan berbagai cara, antara lain sebagai berikut:

a.Menjumlahkan dengan menggunakan jari mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 3 subyek yang menggunakan cara penjumlahan yang menggunakan jari dengan mengikuti tanda. Jika tanda negatif pada bilangan yang bernilai besar maka hasilnya negatif. Berikut adalah salah satu contoh subyek yang menghitung dengan menggunakan jari. Subyek menghitung dengan mengikuti sertakan tanda yang terdapat dalam bilangan. Cara penjumlahannya sama dengan penjumlahan biasa hanya saja tanda negatif pada bilangan ini diikutsertakan.

b.Menjumlahkan dengan cara bersususun mengikuti tanda

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 4 subyek yang menggunakan cara penjumlahan bersusun dengan mengikuti tanda. Subyek menghitung dengan menyusun bilangan yang lebih dari 10 dengan cara bersusun seperti penjumlahan biasa, untuk penjumlahan bilangan bulat yang negatif dan negatif kaena memiliki tanda yang sama yaitu negatif dan negatif maka hasil yang di peroleh sama-sama negatif. Berikut adalah salah satu contoh subyek yang menghitung dengan cara bersusun. Cara hitung yang di gunakan subyek sama dengan penjumlahan bersusun biasa. Pada kasus ini subyek menghitung dengan mengikutsertakan tanda negatif. Karena kedua tanda pada bilangan yang dijumlahkan negatif maka hasilnya negatif.

c. Menjumlahkan dengan menggunakan garis bilangan

Hasil penelitian ini menunjukkan terdapat 4 siswa yang menggunakan penjumlahan dengan bantuan garis bilangan, tetapi pada saat di wawancara siswa menyebutkannya dengan istilah diagram panah. Diagram panah yang di maksud adalah pergerakan arah panah pada garis bilangan. Pada penjumlahan bilangan bulat negatif dan negatif maka arah panah ke arah kiri dari angka nol 0 (nol). Kemudian jika ditambah bilangan bulat negatif ujung anak panah di tarik ke kiri sepanjang bilangan penjumlahnya. Karena sama-sama bernilai negatif maka hasil penjumlahan tersebut juga negatif.

D. PEMBAHASAN

Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh terdapat 5 skim penjumlahan bilangan bulat. Skim terdapat 3 urutan peristiwa dasar diantaranya adalah peristiwa dasar atau pencetus, tindakan dan operasi, serta hasil. Melalui kajian ini di ketahui bahwa semua subyek mempunyai lebih dari satu skim, akan tetapi tetap ditemukan skim yang dominan yang dimiliki oleh subyek.

a. Skim Tertambah Lebih Besar

Skim tertambah lebih besar yang digunakan oleh subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim tertambah lebih besar ini adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif ditambahkan akan menghasilkan bilangan yang lebih besar. Tidakan operasi untuk skim ini melibatkan subskim penambahan bersusun dan menggunakan subskim penambahan dengan jari. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah penambahan bilangan bulat positif yang di hitung dengan menggunakan 2 subskim menghasilkan bilangan yang lebih besar.

b. Skim Pembawa Keluar

Skim pembawa keluar yang digunakan oleh subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim pembawa keluar ini adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif dan negatif ditambahkan. Skim ini terdiri dari satu himpunan bilangan yang sebagian bilangan itu perlu dikeluarkan. Tidakan operasi untuk skim ini melibatkan aktivitas seperti membilang dengan menggunakan jari dan melipat jari. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah banyaknya obyek yang tidak dibawa keluar.

c. Skim yang Melibatkan Garis Bilangan

Skim yang melibatkan garis bilangan ini digunakan subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus skim ini adalah pergerakan arah kanan dan kiri, jika terdapati penjumlahan “a + b” dimana a dan b adalah bilangan bulat. Bilangan a bilangan bernilai positif maka ditafsirkan sebagai jarak satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke kanan, jika nilai bilangan itu bernilai negatif maka ditafsirkan sebagai jarak satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke kiri. Bilangan b ditafsirkan bila bernilai positif akan bergerak kekanan, begitu sebaliknya jika bilangan itu bernilai negatif maka akan bergerak ke arah kiri apakah mulai dari titik 0 (nol) atau yang lainya. Tindakan dan operasi dalam skim ini dengan beberapa pergerakan melibatkan aktivitas berikut melukis garis lurus kemudian diberi tanda dan titik yang berkaitan, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kanan jika bilangan tertambah bernilai positif, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kiri jika bilangan

tertambah bernilai negatif, melukis garis ke kiri atau ke kanan sejauh unit bilangan penambahnya, dan menentukan titik terakhir dari pergerakan yang telah dilakukan. Hasil yang diharapkan adalah titik terakhir dari pergerakan atau banyaknya unit diantara dua titik dalam pergerakan akhir yang dilakukan.

Berdasarkan tidakan operasi yang dilakukan, skim yang melibatkan garis bilangan memiliki tiga subskim yaitu skim pegerakan dari arah kanan dan kanan, skim pergerakan kiri dan kiri, skim pergerakan kanan dan kiri. skim yang melibatkan garis bilangan ini digunakan oleh 5 subyek. Subskim pergerakan dari kanan dan kanan dilakukan saat menyelesaikan soal penjumlahan bilangan bulat yang keduanya bernilai positif. Subskim pergerakan kiri dan kiri digunakan untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat yang keduanya bernilai negatif. Subskim pergerakan kanan dan kiri dilakukan ketika menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat positif dan negatif.

d. Skim Pengelompokan Bilangan

Skim pengelompokan bilangan ini digunakan subyek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik dan cerita. Pencetus pada skim pengelompokan bilangan adalah dua bilangan bulat yang bernilai positif dan negatif subyek menentukan bilangan yang lebih besar. Tidakan operasi untuk skim ini terdapat penambahan bilangan bulat negatif dan bulat positif, jika terdapat salah satu bilangan maka bilangan yang besar dikurangkan dengan bilangan yang kecil. Hasil yang di dapat dari skim ini adalah banyaknya obyek yang dikurangkan mengikuti tanda negatif pada bilangan jika bilangan negatif lebih besar maka hasilnya negatif, jika bilangan positif lebih besar maka hasilnya positif. Skim pengelompokan digunakan oleh 3 subyek.

e. Skim Penambahan Bersusun yang Melibatkan Tanda Negatif

Skim penambahan bersusun yang melibatkan tanda yang terdapat pada obyek. Skim ini digunakan oleh 5 subyek. Pencetus dalam skim ini terdiri dari dua bilangan yang disusun dalam bentuk bersusun, dimana penambahan ini mengikuti nilai tempat perlu dilakukan. Tindakan dan operasi dalam skim ini melibatkan penambahan pada setiap nilai tempat. Hasil dalam skim ini adalah penambahan yang dilakukan mengikuti tanda yang dimiliki oleh obyek.

Hasil kajian ini menunjukkan bahwa terdapatnya tanda pada bilangan yang lebih besar mempengaruhi nilai pada hasil akhir. Jika didapati tanda pada bilangan sama contohnya positif ditambah dengan positif maka hasilnya akan positif, begitu sebaliknya jika penambahan pada bilangan yang keduanya negatif maka hasilnya juga negatif. Untuk

penambahan bilangan positif dengan negatif hasil yang diperoleh dilihat dari tanda yang mengikuti bilangan yang nilainya lebih besar.

E. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilaksanakan, dapat disimpulkan bahwa terdapat lima skim penjumlahan bilangan bulat pada siswa sekolah dasar yang dimiliki oleh 5 subyek. Kelima skim tersebu diantaranya skim tertambah lebih besar, skim pembawa keluar, skim yang melibatkan garis bilangan, skim pengelompokan bilangan, dan skim penambahan bersusun yang melibatkan tanda negatif.

Skim yang telah disebutkan diatas merupakan bagian dari skim penjumlahan bilangan bulat. Dimungkinkan masih terdapat skim-skim lain yang dapat ditemukan lagi. Tergantung pada proses pengenalan proses skim yang dimiliki oleh subyek serta masalah-masalah yang diberikan kepada subyek.

F. DAFTAR PUSTAKA

Afriani, Silvia. 2009. Skim Bilangan Cacah. Skripsi: UKSW Salatiga..

Fidiasari, Fransiska Erisa. 2012. Skim Perkalian Bilangan Asli. Skripsi. Salatiga: FKIP UKSW

Ichsan. 2012. Peningkatan Pemaha man Konsep Opera si Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Media Roda Bilangan pada Siswa Tunarungu Kelas VI di SLB-B Pertiwi Kota Mojokerto.

http://piaichsan.blogspot.com/2012/09/peningkatan-pemahaman-konsep-operasi_24.html. Di unduh: 19 Desember 2012. Pukul: 11.54.

Legowo, Sapto. 2006. Penggunaan Alat Peraga Permaian Dakon untuk Meningkatkan Konsep Opera si Penjumlahan Bilangan Bulat di SD Sompok 3 Semarang. http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=jurnal+konsep+berpikir+siswa+tentan g+operasional+menghitung+penjumlahan&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0C FoQFjAI&url=http%3A%2F%2Fstaff.uny.ac.id%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2F penelitian%2FPetrus%2520Sarjiman%2C%2520M.Pd.%2FBackup%2520ofartike l%2520terbaru%2520%2520%2520PHK%2520artikel%2520Operasi%2520Hitun g%2520Bil.%2520Cacah.doc&ei=H6HOUPjSHsPRrQetvYGYDQ&usg=AFQjC NFIqL9OaCPF2lbTDH5m8DOP68ZkgA&bvm=bv.1355325884,d.bmk. Di unduh: 19 Desember 2012. Pukul: 11.55.

Suharto. 2012. Menentukan Hasil Penjumlahan Atau Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Media Pengga ris Dan Manik Bilangan. Http://www.m-edukasi.web.id/2012/08/menentukan-hasil-penjumlahan-atau.html. Di unduh: 14 Januari 2012. Pukul: 11.05.

Sutriyono. 2002. Satya Widya: Skim Penamba han Bilangan Cacah. Jurnal penelitian pengenbangan kependidikan. Salatiga: FKIP−UKSW.

________.2007. Konstrktivisme dalam Pendidikan Matematika. Salatiga: UKSW.

_________.2012. Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2 dan 3. Salatiga: UKSW.