Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Kalkulus
: CIV – 101
: 3 SKS

Limit Fungsi
Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Kemampuan Akhir yang Diharapkan
 Mahasiswa mampu menyelesaikan limit fungsi
 Mahasiswa mampu menghitung limit pada tak berhingga dan limit tak
hingga
 Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi kontinu
 Mahasiswa mampu menentukan kekontinuan fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Bahan Ajar :
 Pendahuluan Limit
 Teorema Limit
 Kekontinuan Fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

 Limit Fungsi
• Tinjau fungsi yang ditentukan oleh :

x3  1
f x  
x 1
• Fungsi tidak terdefinisi pada x = 1
• Tapi apa yang terjadi jika x dibuat mendekati 1 ?

lim f x   L berarti bahwa bilamana x dekat
x c

tetapi tidak sama dengan c, maka f(x) dekat ke L

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

 Limit Fungsi
• Contoh-contoh : tentukan nilai limit berikut
x2  x  6
lim
x 3
x 3

lim (4 x  5)
x 3

lim
x 1

x 1
x 1

• Definisi formal limit :

lim f x   L , berarti bahwa untuk tiap e > 0 (betapapun kecilnya), terdapat
x c

d > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga │f(x) – L│ < e, asalkan bahwa
0 < │x – c│< d, atau dikatakan :
x cukup dekat
dengan c

0 < │x – c│ < d → │f(x) – L│ < e
e & d adalah bilangan positif kecil

f(x) berbeda
dari L sebesar
lebih kecil dari e

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

 Limit Fungsi

Untuk setiap e > 0

Terdapat d > sede ikia sehi gga

< │x – c│< d

→

│f(x) – L│ < e

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

 Limit Fungsi
• Contoh-contoh : buktikan dengan Teorema Limit

lim (3x  7)  5
x4

2 x 2  3x  2

lim
5
x2
x2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Limit Kiri dan Limit Kanan
lim f ( x)  L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c,

x c

maka f(x) dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa lim f ( x)  L , berarti
x c

bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke L.
Dalam hal ini lim f x  tidak ada,
x2
tapi dapat dituliskan :

lim f x   2 lim f x   1

x2

x2

Teorema

lim f x   L jika dan hanya jika lim f x   L dan lim f x   L
x c

x c 

x c 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship


Concept Review :
f x   ,L berarti bahwa f(x
1.
e jadi dekat ke ….. bila a a x menjadi cukup

lim
x c
dekat ke tetapi tidak sa a de ga …..
2.
e jadi dekat ke ….. bila a a x mendekati c dari
f  x   ,Lberarti bahwa f(x
lim
x c
…..
3. Jika
da
, aka …...


f
x

L



f
x
L
lim
lim

x
c
x

c
4. Ketaksa aa │f(x) – L│ < e , setara de ga … < f(x < …
5. Makna yang tepat dari
adalah : Diberikan sembarang bilangan positif


f
x
L
lim

e, terdapat suatu bilangan positif
d yang
berpadanan sedemikian rupa sehingga
xa
….. e gi plikasika …..
6. Agar yaki bahwa │3x – 3│ < e, kita seharus ya e syaratka bahwa │x – │ <
……






Latihan Soal
• Problem Set 1.1 No. 1 – 18
• Problem Set 1.2 No. 11 - 22



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Utama Limit
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di c, maka :
1. lim k  k ;

2. lim x  c

x c

Contoh-Contoh :
carilah nilai limitnya

x c

3. lim kf ( x)  k lim f ( x)
x c

x c

4. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

lim 2 x 4

5. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

lim 3 x 2  2 x

x c

x c

x c

x c

x c

x c

6. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x c

x c

7. lim
x c

f ( x)
f ( x) lim
 x c
g ( x) lim g ( x)



x c

8. lim f ( x)  lim f ( x)
n

x c

x c

x c



n

9. lim n f ( x)  n lim f ( x)
x c

x c

x3

x4



x2  9
lim
x4
x



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Teorema Substitusi
f ( x )  f (c )
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim
x c
Asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol

Contoh : hitung nilai limitnya
7 x 5  10 x 4  13x  6
1. lim
x 2
3x 2  6 x  8
t 2  3t  10
2. lim 2
t 2 t  t  6

Fungsi polinom f, mempunyai bentuk :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom
f x  

an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
bm x m  bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Limit Fungsi Trigonometri
1. lim sin t  sin c;
x c

2. lim cos t  cos c

Contoh-Contoh :
carilah nilai limitnya

3. lim tan t  tan c;

t 2 cos t
lim
t 0 t  1

4. lim cot t  cot c

lim

x c

t c

t c

5. lim sec t  sec c;
t c

6. lim csc t  csc c
t c

sin t
1
t 0
t
1  cos t
0
8. lim
t 0
t
7. lim

sin 3 x
x 0
x
1  cos t
lim
t 0
sin t
sin 4 x
lim
x 0 tan x

Problem Set 1.3 No. 1 – 24
Problem Set 1.4 No. 1 – 14

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Apabila f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, maka kita
f  x   f c 
menyatakan bahwa f kontinu di c jika lim
x c

Dengan kata lain, suatu fungsi kontinu apabila terpenuhi 3 hal berikut ini :
lim f  x ada
o
xc
o
f(c) ada (yakni c berada dalam domain f)
f  x   f c 
o
dan lim
x c

lim f x  tidak ada
xc

lim f x  ada
xc

lim f  x   f c 
x c

lim f x   f c 
x c

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Contoh :
Andaikan f(x) = (x2 – 4)/(x – 2), x ≠2. Bagaimana seharusnya f
didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu?

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Teorema A (Kekontinuan Fungsi Polinomial dan Rasional)
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi rasional kontinu di setiap
bilangan real c dalam domainnya, kecuali pada titik yang membuat penyebut
menjadi nol

Teorema B (Kekontinuan Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n)
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar
ke-n kontinu di setiap bilangan real c; jika n genap, fungsi ini kontinu di setiap
bilangan real positif c.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Teorema C
Jika f dan g kontinu, maka demikian pula halnya dengan kf, f+g, f – g, f∙g, f/g (asalkan
g(c)≠0), fn dan n√f (asalkan f(c) > 0 jika n genap)

Contoh :
Pada bilangan-bilangan berapa saja F(x) berikut kontinu
F x  

3 x  x2
x 3 x

Teorema D
Fungsi sinus dan cosinus adalah kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi tan x, cot x,
sec x, dan csc x kontinu di setiap bilangan real c dalam domainnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Teorema E (Teorema Limit Komposisi)
Jika lim g  x   L , dan jika f kontinu di L, maka
x c





lim f  g x   f lim g  x   f L 
x c

x c

Khususnya jika g kontinu di g(c), maka fungsi komposisi f◦g kontinu di c.

Contoh :
• Perlihatkan bahwa h(x = │x2 – 3x + 6│ ko ti u di setiap
bilangan real
• Perlihatkan bahwa g(x) kontinu kecuali di 3 dan –2
x 4  3x  1
g  x   sin 2
x  x6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan Pada Interval
f  x   f a  , dan kontinu dari kiri di b
Fungsi f adalah kontinu dari kanan di a, jika xlim
a
f  x   f b 
jika xlim
b




Kita katakan f kontinu pada suatu interval terbuka jika f kontinu pada tiap titik di
interval itu. Fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) dan
kontinu dari kanan di a serta kontinu dari kiri di b
Contoh :
• Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan sifat kekontinuan dari fungsi dari
grafik berikut.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Kekontinuan Fungsi
Teorema F (Teorema Nilai Antara)
Jika f kontinu pada [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), maka
terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = W

Tak kontinu, sifat nilai
antara tidak berlaku

Problem Set 1.6 No. 1 - 15

Tak kontinu, meskipun
sifat nilai antara berlaku