Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P14 15

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Kalkulus
: CIV – 101
: 3 SKS

Integral Fungsi Multivariabel
Pertemuan – 14, 15

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :
 Mahasiswa dapat melakukan integral fungsi multivariabel

• TIK :
 Mahasiswa mampu menggunakan integral ganda untuk mengevaluasi
integral lipat pada daerah planar
 Mahasiswa mampu menghitung volume benda

• Sub Pokok Bahasan :
 Integral Lipat Dua
 Luas Permukaan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Definisi
Jika f suatu fungsi dua variabel yang terdefinisi pada
suatu persegi panjang tertutup R, Jika :
n

lim

P 0

 f x , y A
k 1

k

k

k

ada, maka dikatakan f dapat diintegralkan pada R.
Lebih lanjut,

 f x, y dAdisebut integral lipat dua
R

dari f pada R, diberikan oleh :
n

 f x, y dA  lim  f x , y A
R

P 0

k 1

k

k

k

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

 kf x, y dA  k  f x, y dA
R

R

[ f x, y   g x, y ]dA   f x, y dA   g x, y dA
R

R

R

 f x, y dA   f x, y dA   f x, y dA
R

R1

R2

Jika f(x, y)  g(x, y)   f  x, y dA   g  x, y dA
R

R

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh :
R = {(x,y) : a < x < b, c < y < d},
Maka :
d b



R f x, y dA  c a f ( x, y)dxdy


R

d

f  x, y dA     f ( x, y )dy dx
a c

b

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini
3 2

1.  2 x  3 y dxdy

0 1

2 3

2.  2 x  3 y dydx
1 0

8 4





1
64  8 x  y 2 dxdy
16
0 0

3. 

4. Tentukan volume V dari benda pejal di bawah permukaan z = 4-x2-y
dan di atas persegi panjang R = {(x,y) : 0 < x < 1, 0 < y < 2}
Problem Set 13.2 No. 1 - 24

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Apabila daerah R bukan merupakan persegi panjang namun berupa
daerah yang ditentukan oleh :
S = {(x,y) : f1(x) < y < f2(x), a < x < b}
b f ( x)
Maka :
2

 f ( x, y)dA   f  f ( x, y)dydx
S

a

1 ( x)

Atau jika : S = {(x,y) : y1(y) < x < y2(y), c < x < d}
Maka :
d y ( y)
2

 f ( x, y)dA   y  f ( x, y)dxdy
S

c

1( y)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini
5 x2

1.  4 x  10 y dydx
3 x

2
1 y

2.  2 ye x dxdy
0 0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Integral Lipat Dua
Contoh :
3. Dengan menggunakan integral lipat hitung volume tetrahedron yang dibatasi
bidang-bidang koordinat dan permukaan 3x+6y+4z-12=0
4. Hitung volume benda pejal di oktan pertama (x>0, y>0, z>0), yang dibatasi oleh
paraboloid bundar z=x2+y2, tabung x2+y2=4 dan bidang-bidang koordinat

Problem Set 13.3 No. 1 – 30

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Luas Permukaan
Misalkan F adalah suatu fungsi tiga variabel yang mempunyai turunan
parsial pertama fx dan fy yang kontinu. Lihat permukaan F(x,y,z) = k

dan misalkan G sebagian dari permukaan yang proyeksinya suatu
daerah tertutup terbatas S di bidang x,y. Maka luas permukaan G :

A(G )   f x  f y  1dA
2

S

2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Luas Permukaan
Contoh :
Jika S daerah persegi panjang di bidang xy yang dibatasi oleh garis
x=0, x=1, y=0, dan y=2, tentukan luas sebagian dari permukaan
setengah tabung z= (4 – x2)1/2 yang terproyeksikan pada S.

Problem Set 13.6 No. 1 – 5