Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P9

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Kalkulus
: CIV – 101
: 3 SKS

Integral
Pertemuan - 9

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Kemampuan Akhir yang Diharapkan
Mahasiswa mampu:
• mencari anti turunan fungsi
• menghitung integral tak tentu
• mengaplikasikan penggunaan integral

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :
 Integral Tak Tentu
 Integral Tentu
 Teorema Dasar Kalkulus
 Integral Tak Tentu dengan Substitusi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Definisi
F adalah anti turunan dari fungsi f pada interval I, jika
Dx(F(x)) = f(x) pada I, F’ x = f(x) untuk semua x dalam I.
Contoh : x4 adalah anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x4)= 4 x3
untuk semua x pada (-,).
Note: x4 + c adalah solusi umum anti turunan dari 4 x3 sebab
Dx(x4+c)= 4 x3 untuk tiap nilai x pada (-,) untuk tiap
konstan c.
Notasi : Anti turunan dari F(x)   F(x)dx
  tanda integral
F(x) integran
Contoh :  4 x3 dx = x4 + c

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Teorema Dasar Integral
x r 1
1.  x dx 
C
r 1
r

untuk semua bilangan rasional r kecuali  1

2.  sin x dx   cos x  C
3.  cos x dx  sin x  C
4.  kf ( x) dx  k  f ( x) dx
5.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x) dx   g ( x) dx
r 1
g
x
[
(
)]

6.  [ g ( x)]r g ' ( x) dx 
 C r  -1
r 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Contoh :

Temukan anti turunan dari fungsi berikut :
1.  x 4 / 3 dx

6. sin10 x cos xdx

2.  (3 x  4 x)dx




8. x  4  xdx
9. x / 2  3 x dx

7. x  6 x 6 x 2  12 dx

2

3.  (u

3/ 2

 3u  14)du

4.  (1 / t  t )dt
2



5.  x  3 x
4

 4 x
30

3

5

2

10

2

3



 3 dx

2

2

Problem Set 3.8 No. 1 – 42

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Tentu
b

Definisi :

 f ( x)dx menyatakan luas bertanda daerah
a

yang terkurung di antara kurva y = f(x) dan
sumbu-x dalam interval [a,b]
Aatas
b

 f ( x)dx  A

atas

 Abawah

a

Abawah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Tentu
Teorema Keintegrasian
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang
berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh
interval [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]

• Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada
tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi sinus dan kosinus,
fungsi rasional, asalkan interval [a,b] tidak memuat titik yang
mengakibatkan penyebut nol.

Teorema Sifat Tambahan Pada Interval
Jika f terintegrasikan pada sebuah interval yang memuat titik a, b, dan c, maka
c

b

c

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah x
sebagai sebuah titik (perubah) pada (a,b). Maka

x

d 
  f ( x)dx   f ( x)
dx  a


Contoh : Selesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Pertama
x
d  3 
1.   t dt 
dx  0

x

d  t 3/ 2
dt 
2.  
dx  1 t 2  7 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Kelinearan Integral
Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan
bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan
dan :
b

b

a

a

b

b

b

a

a

a

1.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx
2.  f  g dx   f ( x)dx   g ( x)dx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah F
sembarang anti turunan f pada [a,b], maka
b

 f x dx  F b   F a 
a

Contoh :

2





1.  4 x  6 x 2 dx
1
8





2. x1/ 3  x 4 / 3 dx
1

x

3.Dx  3 sin tdt
0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu
Jika g adalah fungsi yang terdiferensiasi and anggap F adalah anti
turunan dari f, maka :

 f g x g x dx  F g x   C
/

Contoh :

1. sin 3 xdx
2. x sin x dx
2

3. x 3 x 4  11dx

4

4. x 2  x 2 x  1dx
0

 /4

5.  sin 3 2 x cos 2 xdx
0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 Aturan Substitusi untuk Integral Tentu
Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada
range g, maka :
b

f  g  x g /  x dx 


a

x 1

1

Contoh :

1.
0

x

2

 2x  6

g (b )

 f u du

g (a)



2

 2 /4

cos x
 x dx
2
 /9

2.

Problem Set 4.4 No. 1 - 52

dx