Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pengantar Kalkulus

Pertemuan - 1

Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV-101

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

•

Kemampuan Akhir yang Diharapkan :

 Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real

 Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan

 Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Bahan Ajar :

 Sistem Bilangan Real

 Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan

 Fungsi

• Text Book :

 Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th _edition. Pearson. ISBN : 9780131293311

 Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9th _{edition. Addison-Wesley Publishing Company.}

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

N : Bilangan Asli

Z : Bilangan Bulat Q : Bilangan Rasional

R : Bilangan Real

N : , , ,…….

Z : ….., -2, - , , , , …..

Q : 0 , , ,  

 a b Z b b

a q

Irasional Q

R : 

Contoh bilangan irasional :

√2, √3, 3√5, p

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Bilangan Real

Sifat

–

Sifat Bilangan Real

1. Trichotomy

. Jika x dan y adalah bilangan,

maka berlaku salah satu dari hubungan :

x < y, x > y atau x = y

2. Transitivity

. Jika x < y dan y < z, maka x < z

3. Addition

. Jika x < y, maka x + z < y + z

4. Multiplication

. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pertaksamaan

• Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak

termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b)

• Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup,

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

• 2x – 7 < 4x – 2 • − < 2x + 6 < 4 • x2 – x < 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pertaksamaan

Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai :

│x│ = x jika x > 0

│x│ = - x jika x < 0

Sifat – sifat nilai absolut :

1. │ab│= │a│ │b│

2. │a+b│< │a│+│b│

3. │a-b│> ││a│-│b││

4. │a/b│ = │a│/│b│

5. │x│< a ↔ -a < x < a

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

1. │x - │ < 2. │ x - │> 1

3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : │x- │< e/ ↔ │ x- │< e

4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga :

│x- │<d →│6x-18│<e

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Sistem koordinat persegi panjang

terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O.

• Sumbu x dan y membagi bidang

menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV)

• Tiap titik P dalam sistem

koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Jarak antara titik P(x₁,y₁) dan titik Q (x₂,y₂) dapat dihitung dengan formula jarak :

Contoh :

Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini :

• P(-2,3) dan Q(4,-1)



 



2

1 2 2 1 2 ) ,

(P Q x x y y

d    

Q(x₂,y₂)

P(x₁,y₁)

R(x₂,y₁)

x y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama

terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran.

• Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k)

dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :



 

2



2 2

r k

y h

x   

Contoh :

• Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-5) dan memiliki radius 5

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Titik tengah antara dua titik P(x₁,y₁) dan Q(x₂,y₂) dapat dicari menggunakan formula titik tengah :

• Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan (7,11)

• Garis lurus melalui titik A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂), memiliki

kemiringan/slope, m yang besarnya :

        2 , 2 2 1 2

1 x y y

x 1 2 1 2 x x y y m   

B(x₂,y₂) A(x₁,y₁)

x y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Garis lurus yang melalui (x₁,y₁) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi :

• Bentuk lain persamaan garis :

• Dua buah garis memiliki kemiringan m₁ dan m₂, maka dua

buah garis tersebut akan :

• Sejajar, apabila m₁ = m₂

• Tegak lurus bila m₁.m₂ = -1



1



1 m x x

y

y   

k x  k y  b mx

y  

0

 

 By C Ax

(0,b)

x y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1) • Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar

dengan garis 3x – 5y = 11

• Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang

pertama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

• Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari

titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi

persamaan tersebut

• Langkah dalam mebuat grafik persamaan :

• Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan

• Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat

• Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan

suatu kurva mulus

• Gambarkan grafik dari y = x2 – ₃ • Gambarkan grafik dari y = x3

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

• Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu

koordinat, memiliki beberapa peranan penting

• Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3)

• Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x.

• Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6)

merupakan titik potong grafik dengan sumbu y.

• Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0 • Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

Problem Set 0.4

y = x2 _{y =} −_x2

y = x3 y = −x3

x = y2 _{y =} √_x

y = ax2 +bx + c

a > 0

y = ax2 _{+bx + c} a < 0

y = ax3 _+bx2 _{+ cx + d}

a > 0

y = ax3 _+bx2 _{+ cx + d}

a < 0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Trigonometri

Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga :

f(x + p) = f(x)

Untuk semua bilangan real x dalam domain f.

Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi.

Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p. 180o = p radians ≈ , 9 7 radians x y tan r x cos r y sin       y x cot x r sec y r csc       

r

x

y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

• Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut

• Langkah dalam mebuat grafik persamaan :

• Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan

• Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat

• Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus

• Gambarkan grafik dari y = x2 – ₃ • Gambarkan grafik dari y = x3

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

• Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting

• Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3)

• Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x.

• Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y.

• Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0 • Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Grafik Persamaan

Problem Set 0.4

y = x2 _{y =} −_x2

y = x3 y = −x3

x = y2 _{y =} √_x

y = ax2 +bx + c a > 0

y = ax2 _{+bx + c} a < 0

y = ax3 _+bx2 _{+ cx + d}

a > 0

y = ax3 _+bx2 _{+ cx + d}

a < 0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Trigonometri

Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga :

f(x + p) = f(x)

Untuk semua bilangan real x dalam domain f.

Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi.

Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p. 180o = p radians ≈ , 9 7 radians

x y tan r x cos r y sin       y x cot x r sec y r csc       

r

x

y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship