Kalkulus Integral (01) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab i antiturunan
BAB I
ANTITURUNAN
1.1 Turunan
Turunan selalu berkaitan dengan fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi
implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x),
sedangkan fungsi implisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. y = 2 -
2 3x
2. y = 3 x 2 4 x 3
3. y =
x
x
x
4. x 2 + y 2 – 25 = 0
5. xy 2 + x 2 y – 2 = 0
6. x 2 – 2x + y 2 + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh
4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat
diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis
dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas.
Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.
Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan
oleh
f’(x) = lim
x 0
f ( x x) f ( x)
, asalkan limitnya ada.
x
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
1
Misal (x+ x) = t , maka x = t – x
Karena x 0 maka t x
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f’(x) = lim
x 0
lim
t x
f ( x x) f ( x)
, asalkan limitnya ada.
x
f (t ) f ( x )
, asalkan limitnya ada.
t x
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dapat juga dinyatakan dengan notasi
dy
, D x f ( x) ,
dx
df ( x )
.
dx
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan
kaidah
differensial
yaitu
dengan
cara
mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan
beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh
Tentukan
dy
fungsi-fungsi berikut.
dx
1. y =
x
+C
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x x ) f ( x)
lim
dx x 0
x
= lim
x x
x
x
= lim
x x
x
x
x 0
x 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
.
x x
x
x x
x
2
( x x ) ( x )
lim
= x
0
= lim
x 0
= lim
x 0
=
x{ x x x}
x
x
x x
x
1
x x x
1
2 x
2. y =
3
(1 x)
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x x ) f ( x)
lim
x
0
dx
x
3
3
(1 x x) 1 x
=
lim
x 0
x
= lim
x 0
3(1 x) 3(1 x x)
x{(1 x)(1 x x)}
= lim
x 0
=
3
(1 1)(1 x x)
3
(1 x) 2
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di
atas disebut fungsi yang diferensiable (dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
3
dy
f ( x x) f ( x)
lim
dx x 0
x
( x x ) n x n
x 0
x
= Lim
=
x n nx n 1 x
lim
x 0
=
n(n 1) n 2
n(n 1)( n 2) n 3
x (x) 2
x (x) 3 ... (x) n x n
2!
3!
x
nx n 1 x
lim
x 0
=
lim [nx n 1
x 0
n(n 1) n 2
n(n 1)(n 2) n 3
x ( x) 2
x (x) 3 .... (x) n
2!
3!
x
n(n 1) n 2
n(n 1)(n 2) n 3
x (x)
x (x) 2 .... (x) n 1 ]
2!
3!
= nx n 1
3. x 2 y 2 25 0
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
d(x 2 ) + d(y 2 ) - d(25) = d(0)
2 xdx 2 ydy 0
x+y
dy
=0
dx
dy
x
dx
y
4. Tentukan
dy
dari x2y + xy2 – 2 = 0
dx
d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
(x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
4
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
2 xy y 2
dy
=2 xy x 2
dx
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) dan masing-masing dapat
diturunkan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan di atas
dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.
1.
d
(c) = 0
dx
2.
d
(x) = 1
dx
3.
d
(xn) = nxn-1
dx
4.
d
d
(un) = nun-1
(u)
dx
dx
5.
d
d
d
( u + v) =
(u) +
(v)
dx
dx
dx
6.
d
d
d
(u - v) =
(u) (v)
dx
dx
dx
7.
d
d
d
d
( u v w ... ) =
(u)
(v)
(w) ...
dx
dx
dx
dx
8.
d
d
(cu) = c
(u)
dx
dx
9.
d
d
d
(uv) = u
(v) + v
(u)
dx
dx
dx
10.
d
d
d
d
(uvw) = uv
(w) + uw
(v) + vw
(u)
dx
dx
dx
dx
du
dv
d u
v
u
11.
( ) = dx
dx
dx v
2
v
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
5
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
f ( x x) f ( x)
dy
= lim
, dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di
x
0
dx
x
bawah ini.
Misal y = cos x, maka
f ( x x) f ( x)
dy
= lim
x
0
dx
x
= lim
x 0
=
cos( x x) cos x
x
2 sin
lim
x 0
= lim
x 0
( x x x )
( x x x)
sin
2
2
x
2 sin(2 x x)
x
sin
2x
2
= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1.
d
(sinx) = cos x
dx
2.
d
(cos x) = -sin x
dx
3.
d
(tan x) = sec2x
dx
4.
d
(cot x) = -csc2x
dx
5.
d
(sec x) = sec x tan x
dx
6.
d
(csc x) = -csc x cot x
dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
6
1.2 Antiturunan
Antiturunan yang merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya
harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y =
x
maka
dy
1
.
dx 2 x
Dengan cara yang sama, diperoleh
+3 maka
dy
1
.
dx 2 x
1. Jika y =
x
2. Jika y =
x
- 3 maka
3. Jika y =
x
- 100 maka
4. Jika y =
x
+
dy
1
.
dx 2 x
dy
1
dx 2 x
dy
1
1
maka
, dan seterusnya.
dx
2 x
7
Dengan kata lain, untuk y =
x
+ C, C R maka
dy
1
.
dx 2 x
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat
1
2 x
disederhanakan dengan A x
=
dengan C R mempunyai turunan
dy
1
.
dx 2 x
x C
. Hal ini berarti bahwa fungsi y =
1
adalah F(x) =
2 x
atau antiturunan dari f(x) =
x
x C
,
+ C, C R . Fungsi-fungsi yang
dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
7
1
=
2 x
Dalam hal yang lebih umum, bentuk A x
1
2 x
dx =
x C
x C
. dinyatakan dengan
. Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya F(x) + C, maka
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Pada bentuk
f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti
turunan.
Teorema 1.
Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
n
x dx
x n 1
C .
n 1
Akibatnya jika n = -1 maka
x
n
dx x 1 dx
=
1
dx = ln
x
x C
(LOGARITMA NATURAL)
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa
D x [ F ( x) C ] f ( x )
Dalam kasus di atas
x n 1
1
Dx
C
(n 1) x n x n
n 1
n 1
Teorema 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
8
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:
1.
Cf ( x)dx = C f ( x)dx ,
2.
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx ,
3.
[ f ( x)
g ( x)]dx f ( x) dx
g ( x)dx ,
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan
amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. D x { C
f ( x) dx } = C D x { f ( x) dx }
= Cf(x)
2. D x { f ( x ) dx g ( x )dx } = D x
f ( x)dx D g ( x)dx
x
= f(x) + g(x)
3. D x { f ( x )dx
g ( x)dx } = D x f ( x)dx
D x g ( x )dx
= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1.
x
2
x dx
Jawab
x
2
x dx
=
x
2
dx xdx
=
1 3
1
x C1 x 2 C 2
3
2
=
1 3 1 2
x x C
3
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
9
2
2.
x2 1
x dx
Jawab
2
x 4 2x 2 1
dx
x
x2 1
x dx =
3.
x( x 1) 2
3
x
x4
2x 2
1
dx
dx
dx
x
x
x
=
=
x
7/2
dx 2 x 3 / 2 dx x 1 / 2 dx
dx
Jawab
x( x 1) 2
3
x
x( x 2 2 x 1)
dx =
x
dx
x3
=
=
x
=
3
3
x2
x
dx 2 3 dx 3 dx
x
x
x
8/3
dx 2 x 5 / 3 dx x 2 / 3 dx
3 11 / 3 3 8 / 3 3 5 / 3
x
x x C
11
4
5
Teorema 3
sin x dx = - cos x + C, C Real
cos x dx = sin x + C, c Real
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa
D x ( cos x) sin x dan D x (sin x) cos x.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
10
Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:
f ( x )
n
f ( x) f ' ( x)dx
n 1
n 1
C , C Real.
Contoh
1. 3 x
4 x 2 11dx
Jawab
Karena D x (4 x 2 11) = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
4 x 2 11dx
3 x
2.
3y
2y2 5
=
1
4 x 2 11 d(6x)
2
=
1 (4 x 2 11) 3 / 2
C
2
3/ 2
=
1
( 4 x 2 11) 3 / 2 + C.
3
dy
Jawab
Karena D x (2y 2 5) = 4y dy, maka
3y
2y2 5
dy =
(2 y
=
(2 y
2
2
5) 1 / 2 3 ydy
5) 1 / 2
3
4 ydy
4
=
3
( 2 y 2 5) 1 / 2 .4 ydy
4
=
3 (2 y 2 5)1 / 2
.
C
4
1/ 2
=
3
2y2 5 C
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
11
3.
3 sin(6 x 2)dx
Jawab
Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx =
3 sin(6 x 2)dx = sin U
=
dU
2
1
( cosU ) C
2
1
cos(6 x 2) C
2
=
4.
dU
, sehingga
2
1 cos x sin xdx
Jawab
Misal A =
A 2 1 cos x
1 cos x
2A dA = (-sin x) dx, sehingga:
1 cos x sin xdx
=
A.( 2 A)dA
= -2
A
2
dA
=
2 3
A C
3
=
2
(1 cos A)3 C
3
Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1.
dx = x + C, C Real
2.
f(x) dx = F(x) + C, C Real
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
12
1 n+1
x + C, C Real, n
n 1
-1
3.
x dx =
4.
(u+v) dx = u dx + v dx
5.
a u du = a u du
6.
7.
au du =
8.
eu du = eu + C, C Real
9.
tan x dx = ln | sec x | + C, C Real
10.
sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C Real
11.
cot x dx = ln | sin x | + C, C Real
12.
css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C Real
13.
sec2x dx = tan x + C, C Real
14.
csc2x dx = - cot x + C, C Real
15.
sec x tan x dx = sec x + C, C Real
16.
csc x cot x dx = -csc x + C, C Real
17.
cosm x dx =
cos n 1 x sin x n 1
n
n
18.
sinm x dx =
19.
u dv = uv - v du
20.
n
1
dx = ln | x | + C =
x
a
+ C, C
ln a
e
log │x│+ C, C Real
Real
cos m-2 x dx
sin n 1 x cos x n 1
n
n
dx
1
x a
ln x a + C, C
2 =
2a
x a
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
sin m-2 x dx
Real
13
dx
1
xa
ln x a + C, C
2 =
2a
a x
Real
21.
22.
23.
24.
25.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 +
a Ln ( u +
2
2
26.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 a Ln ( u +
2
2
27.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 +
a Ln ( u +
2
2
30.
31.
32.
u
2
dx
2
a x
= arc sin
2
x
+ C
a
dx
1
x
arc tgn
+ C
2 =
a
a
x a
2
dx
2
x x a
dx
2
m
e au
1
x
arc sec
+C
a
a
= arc sinh
x
+C
a
2
= arc cosh
x
+C
a
dx
x a
=
2
x a
2
2
du =
x2 u2
)+C
x2 u2
x2 u2
)+C
)+C
1 m au m
u e
u m 1e au du
a
a
Soal-soal
Gunakan metode yang seseuai untuk menentukan integral-integral di bawah ini.
2 3) 3
1.
( x
2.
(x
3
1) 4 3x 2 dx
3.
(5 x
2
1)(5 x 3 3 x 8) 6 dx
4. (5 x 2
5.
(
2dy
1) 5 x 3 3 x 8dx
x2
2 x 1
2 x x 1) dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
14
6.
x3
(2 x 5) 3 / 2
x 4 1
7.
x
8.
cos
9.
sin
2
x4 1
1
3
2
3x
3x 2
2x 5
dx
dx
dx
[( x 2 1) 4 ] cos[( x 2 1) 4 ( x 2 1) 3 xdx
10. Andaikan u = sin{(x 2 1) 4 }
Tentukan
sin
11.
6 sin[3( x
12.
sin
13.
( x
2
3
2
xdx
2)]dx
x
dx
6
cos 2 x x sin 2 x ) dx
1.3 INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Misalkan f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang tertutup [a,b]. Jika
lim
P 0
f ( x )x
i
= ada
maka kita mengatakan f(x) adalah terintegralkan (integrable) pada [a,b]. Lebih lanjut
b
f ( x)dx, disebut integral tertentu (integal Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh:
a
b
f ( x)dx
a
= lim
f ( xi )x .
P 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
15
Teorema
Andaikan f(x) kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F(x) sebarang
anti turunan dari f(x) pada interval tersebut maka:
b
b
f ( x)dx F ( x)
a
a
= F(b) – F(a)
Teorema di atas disebut teorema dasar Kalkulus
Sifat-sifat integral tertentu
Misal f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k suatu konstanta dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
b
2.
a
b
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a
a
b
a
a
b
3. [ f ( x) g ( x )]dx f ( x) dx
a
a
g ( x)dx
a
a
4.
f ( x)dx 0
a
b
a
5. f ( x) dx
a
b
6.
f ( x)dx
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , c (a, b)
a
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
c
16
a
7.
f ( x) 0,
jika f(-x) = -f(x)
a
a
8.
a
f ( x)dx
=2
a
f ( x)dx , jika f(-x) = f(x)
0
b
9. Jika F(u) =
f ( x)dx , maka
a
d
F (u ) f (u )
du
b
10.
f ( x)dx = (b-a) f ( x
o
) untuk paling sedikit x = x o antara a dan b.
a
b
11.
b
f ( x)dx g ( x)dx jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x
a
[a,b].
a
x
12. D f (t )dt f ( x )
x a
Contoh
Tentukan hasil integral
2
1.
(2 x)dx
0
Jawab
2
(2 x)dx = 2 x
0
2
x2
2 0
22
2
.
2
=
2
02
2
.
0
2
= (4+2) – (0+0)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
17
=6
2
2.
x
2
( x 3 1) dx
0
Jawab
Misaln u = (x 3 1 )
du = 3x 2 dx
du
x 2 dx
3
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
2
9
2
3
x ( x 1)dx =
u
0
1
du
3
9
u2
=
6 1
91
1
=
6 6
=
90
6
4
3.
(1
u ) u du
1
Jawab
Misal p =
u
p2 =u
2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4.
4
2
(1 u ) u du =
(1
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
p 2 ) p.2 pdp
1
18
2
(2 p
=
2
2 p 3 )dp
1
2
2
2
= p3 p4
4
3
1
2
2
2
2
3
4
3
4
= (2) (2) (1) (1)
4
4
3
3
16
2
2
= 8
3
3 4
14 30
3
4
=
=
8
5.
4
31
4
xdx
x 2 15
Jawab
Misal A =
x 2 15
A 2 x 2 15
2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
8
4
xdx
2
x 15
7
=
AdA
A
1
7
=
dA
1
= [A]
7
1
=7–1
=6
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
19
10
6.
dx
2
6 25 x
1
x 5
ln
2.5
x 5
=
1
10
6
10 5
1
65
= 10 ln 10 5 10 ln 6 5
=
1
1
ln 3
ln 11
10
10
b
f ( x)dx
7. Tentukan
a
2 x, untuk 0 x 1
dengan f(x) = 2, untuk1 x 2
x, untukx 2
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , c (a, b)
a
a
c
sehingga:
b
1
2
5
f ( x)dx 2 xdx 2dx xdx
0
a
1
2
= x 0 2 x
1
2
2
1
x
2
5
2
= (1-0) +(4-2) + 5 / 2 1 1
=
9
2
3
8.
x
dx
3
Menurut definisi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
3
x
3
3
dx =
x
0
dx +
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
x dx.
3
20
3
0
x2
x2
=
2 0 2 3
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
=
16
3
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
8
1.
1 3x dx
1
2.
x ) 2 dx
x(1
1
3.
x
2
4 x 2 dx
1
2
4.
x 2 dx
4
2
3
5.
dx
1 x
0
4
6.
2
16 x 2
dx
x
27
7.
dx
x1 / 3
x
8
2
8.
x
sin 2 dx
0
/3
9.
x
2
sin 3 xdx
0
/2
10.
dx
3 cos 2 x
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
21
11
11.
2 x 3dx
3
9
12.
1
x
1
x
4
2
13.
x
3
dx
2
e x dx
0
/4
14.
dx
sin 2 x
/6
2
15.
1
2
16.
x
1
dx
2
x 2x 2
( x 1)
dx
2
( x 1)
2
17.
( x 2)dx
2) 2
1
x( x
2
18.
ln( x
x 2 1)dx
1
/4
19.
dx
2 sin x
0
1
20.
( x 1)
2
x 4x 3
2
4
21.
dx
x 2 x 1 dx
0
3
22.
1
x2 1
x3 3x
8a
23.
a
1/ 3
dx
3
x1 / 3 dx
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
22
/2
24.
2
3 x sin 3 xdx
2
3 x cos 3 xdx
cos
0
/2
25.
sin
0
b
26. Hitunglah
f ( x)dx ,
jika:
a
a. f(x) =
b.
2 x, untuk 0 x 1
2( x 1) 2, untuk1 x 2
1 x 2 ,untuk 0 x 1
f(x) =
x 1, untuk1 x 2
c. f(x) =
1 x 2 , untuk 2 x 0
2 x 2, untuk 0 x 2
d. f(x) =
x 2
e. f(x) =
x x
untuk - 4 x 4
, untuk -1 x 2
f. f(x) = (x- x ) 2
g. f(x) = x 2 x , untuk - 1 x 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
23
ANTITURUNAN
1.1 Turunan
Turunan selalu berkaitan dengan fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi
implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x),
sedangkan fungsi implisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. y = 2 -
2 3x
2. y = 3 x 2 4 x 3
3. y =
x
x
x
4. x 2 + y 2 – 25 = 0
5. xy 2 + x 2 y – 2 = 0
6. x 2 – 2x + y 2 + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh
4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat
diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis
dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas.
Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.
Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan
oleh
f’(x) = lim
x 0
f ( x x) f ( x)
, asalkan limitnya ada.
x
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
1
Misal (x+ x) = t , maka x = t – x
Karena x 0 maka t x
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f’(x) = lim
x 0
lim
t x
f ( x x) f ( x)
, asalkan limitnya ada.
x
f (t ) f ( x )
, asalkan limitnya ada.
t x
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dapat juga dinyatakan dengan notasi
dy
, D x f ( x) ,
dx
df ( x )
.
dx
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan
kaidah
differensial
yaitu
dengan
cara
mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan
beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh
Tentukan
dy
fungsi-fungsi berikut.
dx
1. y =
x
+C
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x x ) f ( x)
lim
dx x 0
x
= lim
x x
x
x
= lim
x x
x
x
x 0
x 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
.
x x
x
x x
x
2
( x x ) ( x )
lim
= x
0
= lim
x 0
= lim
x 0
=
x{ x x x}
x
x
x x
x
1
x x x
1
2 x
2. y =
3
(1 x)
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x x ) f ( x)
lim
x
0
dx
x
3
3
(1 x x) 1 x
=
lim
x 0
x
= lim
x 0
3(1 x) 3(1 x x)
x{(1 x)(1 x x)}
= lim
x 0
=
3
(1 1)(1 x x)
3
(1 x) 2
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di
atas disebut fungsi yang diferensiable (dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
3
dy
f ( x x) f ( x)
lim
dx x 0
x
( x x ) n x n
x 0
x
= Lim
=
x n nx n 1 x
lim
x 0
=
n(n 1) n 2
n(n 1)( n 2) n 3
x (x) 2
x (x) 3 ... (x) n x n
2!
3!
x
nx n 1 x
lim
x 0
=
lim [nx n 1
x 0
n(n 1) n 2
n(n 1)(n 2) n 3
x ( x) 2
x (x) 3 .... (x) n
2!
3!
x
n(n 1) n 2
n(n 1)(n 2) n 3
x (x)
x (x) 2 .... (x) n 1 ]
2!
3!
= nx n 1
3. x 2 y 2 25 0
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
d(x 2 ) + d(y 2 ) - d(25) = d(0)
2 xdx 2 ydy 0
x+y
dy
=0
dx
dy
x
dx
y
4. Tentukan
dy
dari x2y + xy2 – 2 = 0
dx
d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
(x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
4
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
2 xy y 2
dy
=2 xy x 2
dx
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) dan masing-masing dapat
diturunkan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan di atas
dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.
1.
d
(c) = 0
dx
2.
d
(x) = 1
dx
3.
d
(xn) = nxn-1
dx
4.
d
d
(un) = nun-1
(u)
dx
dx
5.
d
d
d
( u + v) =
(u) +
(v)
dx
dx
dx
6.
d
d
d
(u - v) =
(u) (v)
dx
dx
dx
7.
d
d
d
d
( u v w ... ) =
(u)
(v)
(w) ...
dx
dx
dx
dx
8.
d
d
(cu) = c
(u)
dx
dx
9.
d
d
d
(uv) = u
(v) + v
(u)
dx
dx
dx
10.
d
d
d
d
(uvw) = uv
(w) + uw
(v) + vw
(u)
dx
dx
dx
dx
du
dv
d u
v
u
11.
( ) = dx
dx
dx v
2
v
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
5
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
f ( x x) f ( x)
dy
= lim
, dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di
x
0
dx
x
bawah ini.
Misal y = cos x, maka
f ( x x) f ( x)
dy
= lim
x
0
dx
x
= lim
x 0
=
cos( x x) cos x
x
2 sin
lim
x 0
= lim
x 0
( x x x )
( x x x)
sin
2
2
x
2 sin(2 x x)
x
sin
2x
2
= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1.
d
(sinx) = cos x
dx
2.
d
(cos x) = -sin x
dx
3.
d
(tan x) = sec2x
dx
4.
d
(cot x) = -csc2x
dx
5.
d
(sec x) = sec x tan x
dx
6.
d
(csc x) = -csc x cot x
dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
6
1.2 Antiturunan
Antiturunan yang merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya
harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y =
x
maka
dy
1
.
dx 2 x
Dengan cara yang sama, diperoleh
+3 maka
dy
1
.
dx 2 x
1. Jika y =
x
2. Jika y =
x
- 3 maka
3. Jika y =
x
- 100 maka
4. Jika y =
x
+
dy
1
.
dx 2 x
dy
1
dx 2 x
dy
1
1
maka
, dan seterusnya.
dx
2 x
7
Dengan kata lain, untuk y =
x
+ C, C R maka
dy
1
.
dx 2 x
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat
1
2 x
disederhanakan dengan A x
=
dengan C R mempunyai turunan
dy
1
.
dx 2 x
x C
. Hal ini berarti bahwa fungsi y =
1
adalah F(x) =
2 x
atau antiturunan dari f(x) =
x
x C
,
+ C, C R . Fungsi-fungsi yang
dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
7
1
=
2 x
Dalam hal yang lebih umum, bentuk A x
1
2 x
dx =
x C
x C
. dinyatakan dengan
. Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya F(x) + C, maka
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Pada bentuk
f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti
turunan.
Teorema 1.
Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
n
x dx
x n 1
C .
n 1
Akibatnya jika n = -1 maka
x
n
dx x 1 dx
=
1
dx = ln
x
x C
(LOGARITMA NATURAL)
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa
D x [ F ( x) C ] f ( x )
Dalam kasus di atas
x n 1
1
Dx
C
(n 1) x n x n
n 1
n 1
Teorema 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
8
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:
1.
Cf ( x)dx = C f ( x)dx ,
2.
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx ,
3.
[ f ( x)
g ( x)]dx f ( x) dx
g ( x)dx ,
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan
amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. D x { C
f ( x) dx } = C D x { f ( x) dx }
= Cf(x)
2. D x { f ( x ) dx g ( x )dx } = D x
f ( x)dx D g ( x)dx
x
= f(x) + g(x)
3. D x { f ( x )dx
g ( x)dx } = D x f ( x)dx
D x g ( x )dx
= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1.
x
2
x dx
Jawab
x
2
x dx
=
x
2
dx xdx
=
1 3
1
x C1 x 2 C 2
3
2
=
1 3 1 2
x x C
3
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
9
2
2.
x2 1
x dx
Jawab
2
x 4 2x 2 1
dx
x
x2 1
x dx =
3.
x( x 1) 2
3
x
x4
2x 2
1
dx
dx
dx
x
x
x
=
=
x
7/2
dx 2 x 3 / 2 dx x 1 / 2 dx
dx
Jawab
x( x 1) 2
3
x
x( x 2 2 x 1)
dx =
x
dx
x3
=
=
x
=
3
3
x2
x
dx 2 3 dx 3 dx
x
x
x
8/3
dx 2 x 5 / 3 dx x 2 / 3 dx
3 11 / 3 3 8 / 3 3 5 / 3
x
x x C
11
4
5
Teorema 3
sin x dx = - cos x + C, C Real
cos x dx = sin x + C, c Real
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa
D x ( cos x) sin x dan D x (sin x) cos x.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
10
Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:
f ( x )
n
f ( x) f ' ( x)dx
n 1
n 1
C , C Real.
Contoh
1. 3 x
4 x 2 11dx
Jawab
Karena D x (4 x 2 11) = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
4 x 2 11dx
3 x
2.
3y
2y2 5
=
1
4 x 2 11 d(6x)
2
=
1 (4 x 2 11) 3 / 2
C
2
3/ 2
=
1
( 4 x 2 11) 3 / 2 + C.
3
dy
Jawab
Karena D x (2y 2 5) = 4y dy, maka
3y
2y2 5
dy =
(2 y
=
(2 y
2
2
5) 1 / 2 3 ydy
5) 1 / 2
3
4 ydy
4
=
3
( 2 y 2 5) 1 / 2 .4 ydy
4
=
3 (2 y 2 5)1 / 2
.
C
4
1/ 2
=
3
2y2 5 C
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
11
3.
3 sin(6 x 2)dx
Jawab
Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx =
3 sin(6 x 2)dx = sin U
=
dU
2
1
( cosU ) C
2
1
cos(6 x 2) C
2
=
4.
dU
, sehingga
2
1 cos x sin xdx
Jawab
Misal A =
A 2 1 cos x
1 cos x
2A dA = (-sin x) dx, sehingga:
1 cos x sin xdx
=
A.( 2 A)dA
= -2
A
2
dA
=
2 3
A C
3
=
2
(1 cos A)3 C
3
Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1.
dx = x + C, C Real
2.
f(x) dx = F(x) + C, C Real
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
12
1 n+1
x + C, C Real, n
n 1
-1
3.
x dx =
4.
(u+v) dx = u dx + v dx
5.
a u du = a u du
6.
7.
au du =
8.
eu du = eu + C, C Real
9.
tan x dx = ln | sec x | + C, C Real
10.
sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C Real
11.
cot x dx = ln | sin x | + C, C Real
12.
css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C Real
13.
sec2x dx = tan x + C, C Real
14.
csc2x dx = - cot x + C, C Real
15.
sec x tan x dx = sec x + C, C Real
16.
csc x cot x dx = -csc x + C, C Real
17.
cosm x dx =
cos n 1 x sin x n 1
n
n
18.
sinm x dx =
19.
u dv = uv - v du
20.
n
1
dx = ln | x | + C =
x
a
+ C, C
ln a
e
log │x│+ C, C Real
Real
cos m-2 x dx
sin n 1 x cos x n 1
n
n
dx
1
x a
ln x a + C, C
2 =
2a
x a
2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
sin m-2 x dx
Real
13
dx
1
xa
ln x a + C, C
2 =
2a
a x
Real
21.
22.
23.
24.
25.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 +
a Ln ( u +
2
2
26.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 a Ln ( u +
2
2
27.
x2 a2
dx =
1
1 2
u x2 a2 +
a Ln ( u +
2
2
30.
31.
32.
u
2
dx
2
a x
= arc sin
2
x
+ C
a
dx
1
x
arc tgn
+ C
2 =
a
a
x a
2
dx
2
x x a
dx
2
m
e au
1
x
arc sec
+C
a
a
= arc sinh
x
+C
a
2
= arc cosh
x
+C
a
dx
x a
=
2
x a
2
2
du =
x2 u2
)+C
x2 u2
x2 u2
)+C
)+C
1 m au m
u e
u m 1e au du
a
a
Soal-soal
Gunakan metode yang seseuai untuk menentukan integral-integral di bawah ini.
2 3) 3
1.
( x
2.
(x
3
1) 4 3x 2 dx
3.
(5 x
2
1)(5 x 3 3 x 8) 6 dx
4. (5 x 2
5.
(
2dy
1) 5 x 3 3 x 8dx
x2
2 x 1
2 x x 1) dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
14
6.
x3
(2 x 5) 3 / 2
x 4 1
7.
x
8.
cos
9.
sin
2
x4 1
1
3
2
3x
3x 2
2x 5
dx
dx
dx
[( x 2 1) 4 ] cos[( x 2 1) 4 ( x 2 1) 3 xdx
10. Andaikan u = sin{(x 2 1) 4 }
Tentukan
sin
11.
6 sin[3( x
12.
sin
13.
( x
2
3
2
xdx
2)]dx
x
dx
6
cos 2 x x sin 2 x ) dx
1.3 INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Misalkan f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang tertutup [a,b]. Jika
lim
P 0
f ( x )x
i
= ada
maka kita mengatakan f(x) adalah terintegralkan (integrable) pada [a,b]. Lebih lanjut
b
f ( x)dx, disebut integral tertentu (integal Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh:
a
b
f ( x)dx
a
= lim
f ( xi )x .
P 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
15
Teorema
Andaikan f(x) kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F(x) sebarang
anti turunan dari f(x) pada interval tersebut maka:
b
b
f ( x)dx F ( x)
a
a
= F(b) – F(a)
Teorema di atas disebut teorema dasar Kalkulus
Sifat-sifat integral tertentu
Misal f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k suatu konstanta dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
b
2.
a
b
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a
a
b
a
a
b
3. [ f ( x) g ( x )]dx f ( x) dx
a
a
g ( x)dx
a
a
4.
f ( x)dx 0
a
b
a
5. f ( x) dx
a
b
6.
f ( x)dx
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , c (a, b)
a
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
c
16
a
7.
f ( x) 0,
jika f(-x) = -f(x)
a
a
8.
a
f ( x)dx
=2
a
f ( x)dx , jika f(-x) = f(x)
0
b
9. Jika F(u) =
f ( x)dx , maka
a
d
F (u ) f (u )
du
b
10.
f ( x)dx = (b-a) f ( x
o
) untuk paling sedikit x = x o antara a dan b.
a
b
11.
b
f ( x)dx g ( x)dx jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x
a
[a,b].
a
x
12. D f (t )dt f ( x )
x a
Contoh
Tentukan hasil integral
2
1.
(2 x)dx
0
Jawab
2
(2 x)dx = 2 x
0
2
x2
2 0
22
2
.
2
=
2
02
2
.
0
2
= (4+2) – (0+0)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
17
=6
2
2.
x
2
( x 3 1) dx
0
Jawab
Misaln u = (x 3 1 )
du = 3x 2 dx
du
x 2 dx
3
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
2
9
2
3
x ( x 1)dx =
u
0
1
du
3
9
u2
=
6 1
91
1
=
6 6
=
90
6
4
3.
(1
u ) u du
1
Jawab
Misal p =
u
p2 =u
2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4.
4
2
(1 u ) u du =
(1
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
p 2 ) p.2 pdp
1
18
2
(2 p
=
2
2 p 3 )dp
1
2
2
2
= p3 p4
4
3
1
2
2
2
2
3
4
3
4
= (2) (2) (1) (1)
4
4
3
3
16
2
2
= 8
3
3 4
14 30
3
4
=
=
8
5.
4
31
4
xdx
x 2 15
Jawab
Misal A =
x 2 15
A 2 x 2 15
2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
8
4
xdx
2
x 15
7
=
AdA
A
1
7
=
dA
1
= [A]
7
1
=7–1
=6
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
19
10
6.
dx
2
6 25 x
1
x 5
ln
2.5
x 5
=
1
10
6
10 5
1
65
= 10 ln 10 5 10 ln 6 5
=
1
1
ln 3
ln 11
10
10
b
f ( x)dx
7. Tentukan
a
2 x, untuk 0 x 1
dengan f(x) = 2, untuk1 x 2
x, untukx 2
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , c (a, b)
a
a
c
sehingga:
b
1
2
5
f ( x)dx 2 xdx 2dx xdx
0
a
1
2
= x 0 2 x
1
2
2
1
x
2
5
2
= (1-0) +(4-2) + 5 / 2 1 1
=
9
2
3
8.
x
dx
3
Menurut definisi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
3
x
3
3
dx =
x
0
dx +
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
x dx.
3
20
3
0
x2
x2
=
2 0 2 3
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
=
16
3
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
8
1.
1 3x dx
1
2.
x ) 2 dx
x(1
1
3.
x
2
4 x 2 dx
1
2
4.
x 2 dx
4
2
3
5.
dx
1 x
0
4
6.
2
16 x 2
dx
x
27
7.
dx
x1 / 3
x
8
2
8.
x
sin 2 dx
0
/3
9.
x
2
sin 3 xdx
0
/2
10.
dx
3 cos 2 x
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
21
11
11.
2 x 3dx
3
9
12.
1
x
1
x
4
2
13.
x
3
dx
2
e x dx
0
/4
14.
dx
sin 2 x
/6
2
15.
1
2
16.
x
1
dx
2
x 2x 2
( x 1)
dx
2
( x 1)
2
17.
( x 2)dx
2) 2
1
x( x
2
18.
ln( x
x 2 1)dx
1
/4
19.
dx
2 sin x
0
1
20.
( x 1)
2
x 4x 3
2
4
21.
dx
x 2 x 1 dx
0
3
22.
1
x2 1
x3 3x
8a
23.
a
1/ 3
dx
3
x1 / 3 dx
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
22
/2
24.
2
3 x sin 3 xdx
2
3 x cos 3 xdx
cos
0
/2
25.
sin
0
b
26. Hitunglah
f ( x)dx ,
jika:
a
a. f(x) =
b.
2 x, untuk 0 x 1
2( x 1) 2, untuk1 x 2
1 x 2 ,untuk 0 x 1
f(x) =
x 1, untuk1 x 2
c. f(x) =
1 x 2 , untuk 2 x 0
2 x 2, untuk 0 x 2
d. f(x) =
x 2
e. f(x) =
x x
untuk - 4 x 4
, untuk -1 x 2
f. f(x) = (x- x ) 2
g. f(x) = x 2 x , untuk - 1 x 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
23