07 Integral Lipat Tiga

Universitas Indonusa Esa Unggul
Fakultas Ilmu Komputer
Teknik Informatika

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada Balok
Bk

(x k , yk , zk )

z

yk

B

1. Partisi balok B menjadi n bagian;
B1, B2, …, Bk, …, Bn
zk Definisikan |||| = diagonal
ruang terpanjang dari Bk

xk
2. Ambil ( x k , y k , z k )  Bk
3. Bentuk jumlah
Riemann
n

 f (x
k 1

k

, y k , z k )Vk

4. Jika |||| 0 diperoleh limit
jumlah Riemann
n
lim

 0

y
x

 f (x
k 1

k

, y k , z k )Vk

Jika limit ada, maka fungsi
w
= f(x,y,z) terintegralkan Riemann
pada balok B, ditulis

 f (x, y, z)dV  lim  f (x
n

3/31/2013

B

KALKULUS LANJUT

 0

k 1

k

, y k , z k )Vk

2

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
vk = xk yk zk dV = dx dy dz
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

 f (x, y, z)dV   f (x, y, z)dx dy dz
B

3/31/2013

B

KALKULUS LANJUT

3

Contoh
Hitung

2
x
 yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1  x  2, 0  y  1, 1  z  2}
B

Jawab.

2
x
 yz dV 
B

1 
   yz  x 3  dy dz
3 1
1 0
1
2
7 1 
  z  y 2  dz
3 2 0
1



3/31/2013

2
x
   yz dx dy dz
2 1 2

1 0 1
2 1

2

7 1 2  7
 z  
6 2 1 4
2

KALKULUS LANJUT

4

Integral Lipat Tiga pada Daerah
Sembarang
Hitung


2
x
 yz dV , Jika S benda padat sembarang
S

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B,
dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
B
z

S

y
x

(gb. 1)
3/31/2013

KALKULUS LANJUT

5

Integral Lipat Tiga pada Daerah
Sembarang (2)


z=2(x,y)
z

S

z=1(x,y)

Jika S dipandang sebagai
himpunan z sederhana (gb.2)

(S dibatasi oleh z=1(x,y) dan
z=2(x,y), dan proyeksi S pada
bidang XOY dipandang sebagai
daerah jenis I) maka:

 f (x, y, z) dV       f (x, y, z) dz dy dx
b 2 ( x )  2 ( x , y )

a
b

y=1(x)

x

y

Sxy
(gb. 2)

3/31/2013

y=2(x)



S

a

1(x)

1 ( x ,y )

Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka  f (x, y, z) dV
S
menyatakan volume benda
pejal S

KALKULUS LANJUT

6

Contoh
Hitung

 f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda
S

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan
bidang-bidang z = 0, y=x, y=0
z
y=x

Jawab.

z=2–½ x2

Dari gambar terlihat bahwa
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x
0≤z≤ 2 – ½x2}

y=0

0

2

Sxy

y

x

Sehingga,

 2xyz
S

Sxy = proyeksi S pada XOY
(segitiga)
3/31/2013

dV 

KALKULUS LANJUT



   2xyz dz dy dx
2 x

1
2 x2
2

0 0

0

  xy
2 x

0 0

z

2

1
2 x2
2
0

dy dx
7

Contoh (lanjutan)
1 

   xy  2  x 2  dy dx
2 

0 0
x
2
1
1


  x  4  2x 2  x 4 
y 2 dx
4  2

0
0
2
1 

   2x 3  x 5  x 7  dx
8 
0
2
1 4 1 6
1 8
 x  x 
x
2
6
64
0
2

2 x

8

3/31/2013

32
4
4
3
3

KALKULUS LANJUT

8

Latihan
1. Hitung

 z dV , S benda padat di oktan pertama yang
S

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung
x2 + z2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi
tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan
tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :
a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.
b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.
c. x2 = y, z2 =y, y = 1.
d. y = x2 +y 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.
/ 2 z
4. Hitung
sin(x  y  z)dxdydz

 
0 0 0

3/31/2013

KALKULUS LANJUT

9

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung
dan Bola)
Koordinat Tabung
z



Koordinat Bola
z

P(r,,z)
z
r




y

x
Syarat & hubungan dg Kartesius
r  0, 0    2 
x = r cos 
y = r sin 
z=z
r2 = x2 + y2

P(,,)


z
r

y

x
Syarat & hubungan dg Kartesius
  0, 0    2 , 0    
x = r cos 
r =  sin  } x =  cos  sin 
y = r sin 
r =  sin  } y =  sin  sin 
z =  cos 
x2 + y2 + z2 = 2

Jika D benda pejal punya sumbu simetri  Koordinat Tabung
Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik  Koordinat Bola
3/31/2013

KALKULUS LANJUT

10

Contoh
1.

Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh
tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4
z

Jawab.

4

D dalam koordinat:
2

0

2
x

3/31/2013



y

r
x2+y2=4

a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4  x 2 ,
0≤z≤4}
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤≤ /2,
0≤z≤4}

KALKULUS LANJUT

11

Contoh
2.

Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
Jawab.

z  4  x 2  y 2 D dalam koordinat:

z
2

0

2
x

3/31/2013




r

2
y

a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4  x 2 ,
0≤z≤ 4  x 2  y 2 }
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}

KALKULUS LANJUT

12

Penggantian Peubah dalam Integral
Lipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)
maka:

 f (x, y, z) dx dy dz   f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw
D

dimana

x

D

u

x

v

x

w

y
y
J (u , v, w )  y
u
v
w
z
z
z
u
v
w

Jacobian

3/31/2013

KALKULUS LANJUT

13

Koordinat Kartesius Tabung

x = r cos 
y = r sin 
z=z
Matriks Jacobiannya:
x

r

x



x

z

cos   r sin  0

y
y  sin 
J (u , v, w )  y
r

z
z
z
z
0
r

z

r cos 
0

0  r cos2   r sin 2   r

1

 f (x, y, z) dx dy dz   f (r cos, r sin , z) r dr d dz
D

3/31/2013

D

KALKULUS LANJUT

14

Koordinat Kartesius Bola

x =  cos  sin 
y =  sin  sin 
z =  cos 
Matriks Jacobiannya:
x



x



x



sin  cos   sin  sin   cos cos
y
y  sin  sin   sin  cos  cos sin   2 sin 
J(u, v, w )  y



cos
0
1
z
z
z



2
f
(
x
,
y
,
z
)
dx
dy
dz

f
(

sin

cos

,

sin

sin

,

cos

)

sin  d d d


D

3/31/2013

D

KALKULUS LANJUT

15

Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan z = 4.

Jawab.
Daerah S dalam Koordinat Cartesius
adalah:
2
2
y S={(x,y,z)|-2  x  2,  4  x y 4  x ,
x2 + y2  z  4}
Dalam koordinat tabung:
S={(r,,z)|0  r  2, 0   2 , r2  z  4}

Z

z=4

Sxy

x

Sehingga, volume benda pejalnya adalah
V 

 1 dV     r dz d dr
2 2 4

S

3/31/2013

0 0 r2

KALKULUS LANJUT

16

Contoh (Lanjutan)
V 

   r dz d dr
2 2 4



 r z r 2 d dr

0 0 r2
2 2





4



  r 4  r 2  0 dr
0 0
2

2

1 

 2  2r 2  r 4 
4 

0

2

 8

0

Jadi volume benda pejalnya adalah 8

3/31/2013

KALKULUS LANJUT

17

Contoh (bola)
2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I
z

Jawab.

z  4  x2  y 2

D dalam koordinat:

2

2
x

a. Cartesius:

2
4

x
D={(x,y,z)|
0≤x≤2,
0≤y≤
,
2
0
0≤z≤ 4  x 2  y 2 }
y

b. Bola:
D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
V 

 1 dV 
S

3/31/2013

 

2

 sin d d d

 /2  /2 2
0

0

0

KALKULUS LANJUT

18

Contoh (Lanjutan)
V 


 

2

 sin d d d

 /2  /2 2

 
0

0

 /2  /2
0







0
 /2

1 
sin    3  d dr
3 0
 /2
8
 cos   d
3
0
0

2

8
  0 / 2  4 
3
3
0

Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3

3/31/2013

KALKULUS LANJUT

19

Contoh
1. Hitung

2
x
 dV, dengan D benda pejal yang dibatasi

z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
D

bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara
menyamping oleh tabung x2+y2=4.
3/31/2013

KALKULUS LANJUT

20

Latihan
6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola
x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut z  x 2  y 2

 x

dan di atas bidang xy.
7. Hitung

 

3  9  x 2  9  x 2  y 2

  
3

8. Hitung

9 x2 2

0

9. Hitung

3/31/2013

9 x2  y 2

9  x2

3

0

2

 y2  z2



3/2

dy dz dx

x 2  y 2 dz dy dx

0

 



2

4 x2

4 x2  y2

0

0

0

z 4  x 2  y 2 dy dz dx

KALKULUS LANJUT

21