Bab IV | Dwipurnomoikipbu's Blog
BAB IV
UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK
4.1 Definisi dan Pengertian
Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai suatu hal, baik sampel atau populasi maka secara detail pada bab II telah disajikan beberapa metode penyajian data. Penyajian data yang sering dan lazim digunakan adalah dengan menggunakan daftar dan diagrami. Karena penyajian data tersebut dimaksudkan untuk memudahkan dalam menganilis dan membacanya maka didalamnya dikenal istilah ukuran. Ukuran dalam data terdiri dari ukuran gejala pusat dan ukuran letak. Ukuran gejala pusat meliputi rata-rata hitung (mean), rata-rata ukur, rata-rata harmonik, dan modus. Sedangkan ukuran letak meliputi median, kuartil, desil, dan presentil.
4.2 Rata-rata Hitung
Misal terdapat n buah data yang terdiri dari x1,x2,x3,x4,....,xn, maka rata-rata hitung n data tersebut dilambangkan dengan x. Rata-rata hitung untuk data kuantitatif yang terdapat dalam populasi tertentu berukuran n dinyatakan dengan
n
x x
x x x
x 1 2 3 4 ... n
secara lebih sederhana ditulis dengan notasi
n x x
i Contoh
(2)
Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Mal ang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
Berdasarkan nilai 10 mahasiswa tersebut, rata-rata hitung nilai mahasiswa ditentukan
dengan rumus
n x x
i ,
sehingga diperoleh
10
81 73 60 68 56 62 59 34 76
56
x
10 625
x
5 , 62
x
Adakalanya sebaran data terpola dan tersusun dalam bentuk sebagai berikut:
1) data x1 dengan frekuensi f1
2) data x2 dengan frekuensi f2
3) data x3 dengan frekuensi f3
4) ...
5) ...
6) data xn dengan frekuensi fn
Jika data berbentuk seperti di atas, maka rata-rata hitung dapat ditentukan dengan menggunakan rumus
n
i i n
i i i
f x f x
1 1
(3)
Contoh
Tinggi badan 30 orang siswa SD ”Berangan-angan” disajikan pada tabel berikut ini Tinggi Badan (dalam cm) Banyaknya Siswa
123,4 6 130,5 4 132,2 2 135,0 5 136,3 6 138,5 4 140,2 3
Jumlah 30
Rata-rata hitung data di atas dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
n i i n i i i f x f x 1 1 3 4 6 5 2 4 6 ) 2 , 140 3 ( ) 5 , 138 4 ( ) 3 , 136 6 ( ) 0 , 135 5 ( ) 2 , 132 2 ( ) 5 , 130 4 ( ) 4 , 123 6 ( x x x x x x x
x 30 ) 6 , 420 ( ) 554 ( ) 8 , 817 ( ) 675 ( ) 4 , 264 ( ) 522 ( ) 4 , 740 ( x 30 2 , 3994 x 14 , 133 x
Sifat-sifat rata-rata hitung
1. Jumlah simpangan, selisih antara tiap data dengan rata-rata hitungnya adalah 0 atau ditulis dalam bentuk
xi x
02. Jumlah kuadrat dari simpangan-simpangan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah kuadrat antara bilangan-bilangan tersebut dikurangi oleh suatu bilangan sebarang a. Secara matematis ditulis dengan notasi
xi x
2
xi a2(4)
3. Jika n1 data mempunyai rata-rata x1, jika n2 data mempunyai rata-rata x2 ,
Jika n3 data mempunyai rata-rata x3 , Jika n4 data mempunyai rata-rata x4
..., Jika nk data mempunyai rata-rata xk maka rata-rata gabungan data tersebut
adalah:
k k k n n
n n
x n x
n x n x n x
... ... .
.
3 2 1
3 3 2 1 1 1
4. Misal M adalah rata-rata dugaan dan d1 xi M maka rata-rata hitungnya dinyatakan dengan rumus
di n Mx 1
5. Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus rata-rata hitung data dapat ditentukan dengan beberapa cara.
Cara I :
i
i i
f x f x
dimana fi : frekuensi xi : tanda kelas Contoh
Tentukan rata-rata hitung data yang tersajikan dalam daftar distribusi frekuensi berikut ini:
Kelas Interval fi xi fixi
13,0-17,4 2 15,2 30,4
17,5-21,9 3 19,7 59,1
22,0-26,4 1 24,2 24,2
(5)
31,0-35,4 28 33,2 929,6
35,5-39,9 18 37,7 678,6
40,0-44,4 13 42,2 551,2
Jumlah 75 - 2560,1
sehingga
i
i i
f x f x
75 1 , 2560
34,13466666666
= 34,14 (dibulatkan 2 desimal)
Cara II
n d f M
x
i i dimanaM : rata-rata dugaan n : banyaknya data
i
f : frekuensi i
d : xi M
Contoh
Tentukan rata-rata hitung data berikut:
Kelas Interval fi xi M di (xiM) fidi
13,0-17,4 2 15,2 33,2 -18,0 -36,0
17,5-21,9 3 19,7 33,2 -13,5 -40,5
22,0-26,4 1 24,2 33,2 -9,0 -9,0
26,5-29,9 10 28,7 33,2 -4,5 -45
(6)
35,5-39,9 18 37,7 33,2 4,5 81
40,0-44,4 13 42,2 33,2 9,0 117
Jumlah 75 - - - 108
sehingga
75 108 2
, 33
x
1,44
2,
33
= 34,64
Cara III
n c f p M
x
i i dimanaM : rata-rata dugaan n : banyaknya data
i
f : frekuensi ci : Angka Cooding Perhatikan Contoh berikut:
Tentukan rata-rata hitung data tersajikan dalam daftar distribusi frekuensi berikut ini:
Kelas Interval fi xi ci fici
13,0-17,4 2 15,2 -4 -8
17,5-21,9 3 19,7 -3 -9
22,0-26,4 1 24,2 -2 -2
26,5-29,9 10 28,7 -1 -10
31,0-35,4 28 33,2 0 0
35,5-39,9 18 37,7 1 18
40,0-44,4 13 42,2 2 26
(7)
sehingga
n c f p M
x
i i
75 15 5 , 4 2 , 33
33,20,9
= 34,1
4.3 Rata-rata Ukur
Misalkan terdapat n data yang terdiri dari x1,x2,x3,x4,...,xn, maka rata-rata ukur
didefinisikan sebagai
n x x x x x
U 1. 2. 3. 4... 5 yaitu akar pangkat n dari perkalian x1.x2.x3.x4...,xn. Jika perbandingan tiap data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, rata-rata ukur dapat ditentukan dengan rumus:
n x U
log i logJika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi rata-r ata ukurnya dinyatakan dengan menggunakan rumus
i i i
f x f
U log
log dimana
:
i
x tanda kelas i
f : frekuensi yang sesuai dengan xi
(8)
Dalam bentuk paling sederhana, jika diketahui 3 buah data masing-masing 2, 4, 8 maka rata-rata ukurnya adalah:
n
n x x
x x x
U 1. 2. 3. 4... , sehingga
3 (2)(4)(8)
U 3 64
U
4
U
Rata-rata ukur untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi dibawah ini adalah:
Kelas Interval fi xi log xi f i log xi
13,0-17,4 2 15,2 1,18 2,36
17,5-21,9 3 19,7 1,30 3,90
22,0-26,4 1 24,2 1,38 1,38
26,5-29,9 10 28,7 1,46 14,60
31,0-35,4 28 33,2 1,52 42,56
35,5-39,9 18 37,7 1,58 28,44
40,0-44,4 13 42,2 1,63 21,19
Jumlah 75 114,43
i i i
f x f
U log
log
75
19 , 21 44 , 28 56 , 42 60 , 14 38 , 1 90 , 3 36 , 2
logU
75 43 , 114 logU
.... 525733 ,
1 logU
U 33,55
(9)
Misalkan terdapat n data yang terdiri dari x1,x2,x3,x4,...,xn, maka rata-rata
harmonik didefinisikan sebagai:
n x x
x x
n H
1 ... 1 1 1
3 2 1
atau
i x n H
1
Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rata-rata harmonik dinyatakan dengan:
i i i
x f f H
dimana
:
i
x tanda kelas i
f : frekuensi yang sesuai dengan xi
Secara umum, untuk sekumpulan data berlaku H U X
Contoh
Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
(10)
i x n H 1 81 1 73 1 60 1 68 1 56 1 62 1 59 1 34 1 76 1 56 1 10 H 012 , 0 014 , 0 017 , 0 015 , 0 018 , 0 016 , 0 017 , 0 029 , 0 013 , 0 018 , 0 10 H 169 , 0 10 H 17 , 59 HJika data disusun dalam daftar distribusi di bawah ini,
Kelas Interval fi xi
i i
x f
13,0-17,4 2 15,2 0,13
17,5-21,9 3 19,7 0,15
22,0-26,4 1 24,2 0,04
26,5-29,9 10 28,7 0,35
31,0-35,4 28 33,2 0,84
35,5-39,9 18 37,7 0,48
40,0-44,4 13 42,2 0,31
Jumlah 75 2,3
maka rata-rata harmonik ditentukan oleh
i i i x f f H, sehingga H 275,3
Rata-rata harmonik data di atas adalah H 32,61
4.5 Modus
Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus dan dinotasikan dengan Mo . Penggunaan modus
(11)
secara tidak sadar sering digunakan untuk menentukan ”rata-rata” data yang bersifat kualitatif, Misalnya:
a. Kecelakaan lalu lintas di jalan raya pada umumnya disebabkan oleh kelalaian cara mengemudi.
b. Secara umum kelulusan siswa SMU di Indonesia nilainya di atas rata-rata. c. Jumlah jama’ah haji Indonesia tahun 1432 H, rata-rata berusia diatas 56 tahun d. Hutan lindung di Indonesia sudah banyak yang terjamah oleh perambah hutan dan
tidak bertanggung jawab.
Jika data berupa data kuntintatif, maka modus ditentukan melalui cara menentukan frekuensi terbanyak data tersebut. Sebaliknya jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka modusnya ditentukan dengan menggunakan rumus:
2 1
1
b b
b p b Mo dimana Mo : Modus
b : batas bawah kelas modal yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak p : panjang kelas interval
b1 : frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal
b2 : frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal
Dibandingkan dengan ukuran yang lain, modus tidak tunggal adanya, sehingga sekelompok data modusnya dapat lebih dari satu.
(12)
Contoh
Nilai 10 mahasiswa peserta kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81. Modus data nilai di atas setelah data diurutkan 34, 56, 56, 59, 60, 62, 68, 73, 76, 81. Diperoleh modusnya yaitu 56
2. Modus data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi di bawah ini adalah:
Kelas Interval fi xi
13,0-17,4 2 15,2
17,5-21,9 3 19,7
22,0-26,4 1 24,2
26,5-29,9 10 28,7
31,0-35,4 28 33,2
35,5-39,9 18 37,7
40,0-44,4 13 42,2
Jumlah 75
2 1
1
b b
b p b Mo
10 12
12 5 , 4 31
o M
0,5454
5 , 4 31
o M
) 4543 , 2 ( 31
o M
4543 , 33
o M
(13)
Median menentukan letak data setelah disusun menurut urutan monoton naik dan sesuai dengan urutannya. Median sekelompok data dinotasikan dengan Me . Jika banyaknya data ganjil, maka nilai median adalah data paling tengah setelah disusun menurut urutannya. Sebaliknya untuk data yang banyaknya genap, setelah data disusun sesuai urutannya maka median sama dengan rata-rata dua data tengah.
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka mediannya dinyatakan dengan rumus:
f F n p b
Me 2
1
dimana M
e
: Medianb : batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median terletak p : panjang kelas interval
n : banyaknya data
f : frekuensi kelas median
F : Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median. Contoh
1. Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
Median data nilai di atas setelah data diurutkan 34, 56, 56, 59, 60, 62, 68, 73, 76,
81. Diperoleh median 61
2 62 60
(14)
2. Median data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi di bawah ini adalah
Kelas Interval fi xi
13,0-17,4 2 15,2
17,5-21,9 3 19,7
22,0-26,4 1 24,2
26,5-29,9 10 28,7
31,0-35,4 28 33,2
35,5-39,9 18 37,7
40,0-44,4 13 42,2
Jumlah 75
f F n p b
Me 2
1
28 16 ) 75 ( 2 1 5 , 4 0 , 31
e
M
0,7678
5 , 4 0 , 31
e M
45536 , 3 0 , 31
e M
45536 , 34
e M
4.7 Kuartil, Desil dan Presentil a. Kuartil
Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut ukuran nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Terdapat tiga macam kuartil, yaitu kuartil pertama yang dinotasikan dengan K1, Kuartil kedua yang dinyatakan dengan K2 , dan kuartil ketiga yang dinotasikan dengan K3.
(15)
1) Menyusun data dalam urutan monoton naik (dari kecil sampai besar).
2) Menentukan letak kuartil pada data keberapa setelah diurutkan dan dibagi menjadi 4 bagian yang sama.
3) Menentukan nilai kuartilnya setelah mengetahui letak kuartilnya.
4) Menentukan letak kuartil dan nilai kuartil dengan menggunakan rumus yang telah ditentukan.
Letak kuartil ke-i dilambangkan oleh Ki ditentukan oleh rumus: Letak Ki = data ke
4 ) 1 (n i
dengan i = 1, 2, 3
Untuk data yang telah disusun dalam daftar ditribusi frekuensi, Kuartil ke-i dinyatakan dengan rumus
f F in p b
Ki 4 dengan i = 1,2,3.
dimana
Ki : Kuartil ke-i
b : batas bawah kelas modal yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak p : panjang kelas interval
F : jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f : frekuensi kelas Ki
Contoh
1. Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
(16)
Untuk menentukan kuartil, data diurutkan dan diperoleh 34, 56, 56, 59, 60, 62, 68, 73, 76, 81
Letak Ki = data ke
4 ) 1 (n i
dengan i = 1, 2, 3 sehingga:
Letak K1 pada ke 4 ) 1 10 (
1
yaitu data ke 4 3
2 atau data ke 2 dan ke 3, 4 3
jauh dari data ke 2.
Nilai K1= data ke 2 +
3 2
4 3
ke data ke
data
= 56 + (56 56) 4
3
Nilai K1=56 Letak K2 pada ke
4 ) 1 10 (
2
yaitu data ke 4 1
5 atau data ke 5 dan ke 6, 4 1
jauh dari data ke 5.
Nilai K2= data ke 5 +
6 5
4 1
ke data ke
data
= 60 + (62 60) 4
1
Nilai K2= 602 1
Letak K3 pada ke 4
) 1 10 (
3
yaitu data ke 8 4 1
atau data ke 8 dan 9, 4 1
jauh dari data ke 8.
Nilai K3= data ke 8 +
9 8
4 1
ke data ke
data
= 73 + (76 73) 4
1
(17)
Nilai K3= 73 4 1
Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka kuartil ditentukan dengan
rumus f F in p b
Ki 4
Kelas Interval fi xi
13,0-17,4 2 15,2
17,5-21,9 3 19,7
22,0-26,4 1 24,2
26,5-29,9 10 28,7
31,0-35,4 28 33,2
35,5-39,9 18 37,7
40,0-44,4 13 42,2
Jumlah 75
Letak Ki = data ke
4 ) 1 (n i
dengan i = 1, 2, 3
Letak 4 ) 1 75 ( 1 1
K = 19 yaitu pada kelas interval 5 (31,0-35,4)
Nilai f F n p b K 4 1 1 28 16 4 75 . 1 5 , 4 0 , 31 1 K
0,098
5 , 4 0 , 311
K 442 , 31 1 K Letak 4 ) 1 75 ( 2 2
(18)
Nilai f F n p b K 4 2 2 28 16 4 75 . 2 5 , 4 0 , 31 2 K
0,768
5 , 4 0 , 312
K 455 , 34 2 K Letak 4 ) 1 75 ( 3 3
K = 57 yaitu pada kelas interval 6 (35,5-39,9)
Nilai f F n p b K 4 3 3 28 54 4 75 . 3 5 , 4 5 , 35 3 K
0,080
5 , 4 5 , 35
3
K 86 , 35 3 K b. Desil
Jika sekelompok data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat dan tiap-tiap pembagi tersebut dinamakan desil. Sehingga didapat sembilan desil, yakni desil pertama yang dinotasikan dengan D1, Desil kedua yang dinotasikan dengan D2 dan seterusnya.
Desil sekelompok data dapat ditentukan dengan cara:
(19)
2) Menentukan letak desil dengan menggunakan rumus dan dimana letak desil tersebut.
3) Menentukan nilai desil setelah diketahui letak desilnya, Letak desil ke-i ditentukan oleh rumus:
. 9 ,... 4 , 3 , 2 , 1
10 ) 1 (
i dengan
n i ke data D
Letak i
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka Di (i = 1,2, ...,9) ditentukan menggunakan rumus
9 ,... 3 , 2 , 1 10
i dengan
f F in p b Di
dimana
Di : Kuartil ke-i
b : batas bawah kelas Di , yaitu kelas interval Di terletak. p : panjang kelas Di
F : jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di f : frekuensi kelas Di
Contoh
1) Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
Untuk menentukan Desil, data diurutkan dan diperoleh 34, 56, 56, 59, 60, 62, 68, 73, 76, 81
(20)
Letak Di = data ke
10 ) 1 (n i
dengan i = 1, 2, 3, ... , 10
sehingga. Letak D1 pada ke 10 ) 1 10 (
1
yaitu data ke 10
1
1 atau data ke 1 dan ke
2, 10
1
jauh dari data ke 1.
Nilai D1= data ke 1 +
2 1
10 1
ke data ke
data
= 34 + (56 34) 10
1
Nilai D1=34+2,2 = 36,2 Letak D2 pada ke
10 ) 1 10 (
2
yaitu data ke 10
2
2 atau data ke 2 dan ke 3, 10
2
jauh dari data ke 2.
Nilai D2= data ke 2 +10
3 2
2ke data ke
data
= 56 + (56 56) 10
2
Nilai D2=56 + 0 = 56
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D3,D4,...D10.
Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka kuartil ditentukan dengan
rumus
f F in p b
Ki 4
Kelas Interval fi xi
13,0-17,4 2 15,2
17,5-21,9 3 19,7
(21)
26,5-29,9 10 28,7
31,0-35,4 28 33,2
35,5-39,9 18 37,7
40,0-44,4 13 42,2
Jumlah 75
Letak Di = data ke
10 ) 1 (n i
dengan i = 1, 2, 3, ... , 10
Letak 10 ) 1 75 ( 1 1
D = 7,6 yaitu pada kelas interval 4 (26,5-29,9)
Nilai f F n p b D 10 1 1 10 6 10 75 . 1 5 , 4 5 , 26 1 D
0,150
5 , 4 5 , 261
D 175 , 27 1 D
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D2,D3,...D10
c. Presentil
Akhirnya jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang masing-masing pembagi dinamakan presentil, dan masing-masing presentil dinotasikan dengan Pi (i = 1, 2, ... 99).
Penentuan presentil sama dengan penentuan desil, sehingga langkahnya juga sama.
Letak desil ke-i ditentukan oleh rumus:
. 99 ,... 4 , 3 , 2 , 1 100 ) 1 ( i dengan n i ke data P Letak i
(22)
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka Pi (i = 1,2, ...,99) ditentukan menggunakan rumus
99 ,... 3 , 2 , 1 100
i dengan
f F in p b Pi
dimana
Pi : Kuartil ke-i
b : batas bawah kelas Pi , yaitu kelas interval Pi terletak. p : panjang kelas Pi
F : jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi f : frekuensi kelas Pi
Contoh-contoh soal ditingalkan oleh penulis sebagai latihan bagi pembaca.
4.8 Soal-soal
1) Jika diketahui 14 data tentang nilai mahasiswa, 3, 5, 12, 13, 5, 7, 11, 10, 1, 10, 11, 21, 9, dan 12
a. Tentukan letak K1 dan nilai K1 b. Tentukan letak K2 dan nilai K2 c. Tentukan letak K3 dan nilai K3
2) Nilai ujian 78 mahasiswa yang mengikuti kuliah Kalkulus I di Program studi pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmy Pengetahuan Alam, IKIP Budi Utomo Malang tercatat sebagai berikut:
(23)
68 84 75 89 68 90 62 88 76 93 65 86 80 73 79 88 73 60 93 71 50 85 75 67 73 73 81 65 75 87 74 62 93 78 63 72 57 81 77 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 66 76 54 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 74 77 86 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 67 66 66
Dengan terlebih dahulu menyusun data dalam daftar distribusi frekuensi data tersebut, tentukan:
a. rata-rata hitung
x b. modus
Mo
c. median
Me
d. K1, K2, K3 dengan terlebih dahulu menyusun dalam daftar distribusi.
3) Daftar distribusi berikut ini menyatakan nilai matematika dasar mahasiswa jurusan pendidikan Biologi IKIP Budi Utomo Malang
Nilai Banyaknya Mahasiswa
20-29 8
30-39 9
40-49 16
50-59 13
60-69 11
70-79 5
89-89 2
90-99 1
Jumlah 65
Berdasarkan tabel di atas, tentukan: a. rata-rata hitung
xb. modus
Mo
c. median
Me
(24)
(1)
2) Menentukan letak desil dengan menggunakan rumus dan dimana letak desil tersebut.
3) Menentukan nilai desil setelah diketahui letak desilnya, Letak desil ke-i ditentukan oleh rumus:
. 9 ,... 4 , 3 , 2 , 1
10 ) 1 (
i dengan
n i ke data D
Letak i
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka Di (i = 1,2, ...,9) ditentukan menggunakan rumus
9 ,... 3 , 2 , 1 10
i dengan
f F in p b Di
dimana
Di : Kuartil ke-i
b : batas bawah kelas Di , yaitu kelas interval Di terletak. p : panjang kelas Di
F : jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di f : frekuensi kelas Di
Contoh
1) Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81.
Untuk menentukan Desil, data diurutkan dan diperoleh 34, 56, 56, 59, 60, 62, 68, 73, 76, 81
(2)
Letak Di = data ke
10 ) 1
(n
i
dengan i = 1, 2, 3, ... , 10
sehingga. Letak D1 pada ke 10
) 1 10 (
1
yaitu data ke
10 1
1 atau data ke 1 dan ke
2,
10 1
jauh dari data ke 1.
Nilai D1= data ke 1 +
2 1
10 1
ke data ke
data
= 34 + (56 34) 10
1
Nilai D1=34+2,2 = 36,2 Letak D2 pada ke
10 ) 1 10 (
2
yaitu data ke
10 2
2 atau data ke 2 dan ke 3,
10 2
jauh dari data ke 2.
Nilai D2= data ke 2 +10
3 2
2
ke data ke
data
= 56 + (56 56) 10
2
Nilai D2=56 + 0 = 56
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D3,D4,...D10.
Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka kuartil ditentukan dengan
rumus
f F in p b
Ki 4
Kelas Interval fi xi
13,0-17,4 2 15,2
(3)
26,5-29,9 10 28,7
31,0-35,4 28 33,2
35,5-39,9 18 37,7
40,0-44,4 13 42,2
Jumlah 75
Letak Di = data ke
10 ) 1
(n
i
dengan i = 1, 2, 3, ... , 10
Letak 10 ) 1 75 ( 1 1
D = 7,6 yaitu pada kelas interval 4 (26,5-29,9)
Nilai f F n p b D 10 1 1 10 6 10 75 . 1 5 , 4 5 , 26 1 D
0,150
5 , 4 5 , 26
1
D 175 , 27 1 D
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D2,D3,...D10
c. Presentil
Akhirnya jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang masing-masing pembagi dinamakan presentil, dan masing-masing presentil dinotasikan dengan Pi (i = 1, 2, ... 99).
Penentuan presentil sama dengan penentuan desil, sehingga langkahnya juga sama.
Letak desil ke-i ditentukan oleh rumus:
. 99 ,... 4 , 3 , 2 , 1 100 ) 1 ( i dengan n i ke data P Letak i
(4)
Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka Pi (i = 1,2, ...,99) ditentukan menggunakan rumus
99 ,... 3 , 2 , 1 100
i dengan
f F in p b Pi
dimana
Pi : Kuartil ke-i
b : batas bawah kelas Pi , yaitu kelas interval Pi terletak. p : panjang kelas Pi
F : jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi f : frekuensi kelas Pi
Contoh-contoh soal ditingalkan oleh penulis sebagai latihan bagi pembaca.
4.8 Soal-soal
1) Jika diketahui 14 data tentang nilai mahasiswa, 3, 5, 12, 13, 5, 7, 11, 10, 1, 10, 11, 21, 9, dan 12
a. Tentukan letak K1 dan nilai K1 b. Tentukan letak K2 dan nilai K2 c. Tentukan letak K3 dan nilai K3
2) Nilai ujian 78 mahasiswa yang mengikuti kuliah Kalkulus I di Program studi pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmy Pengetahuan Alam, IKIP Budi Utomo Malang tercatat sebagai berikut:
(5)
68 84 75 89 68 90 62 88 76 93 65 86 80 73 79 88 73 60 93 71 50 85 75 67 73 73 81 65 75 87 74 62 93 78 63 72 57 81 77 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 66 76 54 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 74 77 86 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 67 66 66
Dengan terlebih dahulu menyusun data dalam daftar distribusi frekuensi data tersebut, tentukan:
a. rata-rata hitung
x b. modus
Mo
c. median
Me
d. K1, K2, K3 dengan terlebih dahulu menyusun dalam daftar distribusi.
3) Daftar distribusi berikut ini menyatakan nilai matematika dasar mahasiswa jurusan pendidikan Biologi IKIP Budi Utomo Malang
Nilai Banyaknya Mahasiswa
20-29 8
30-39 9
40-49 16
50-59 13
60-69 11
70-79 5
89-89 2
90-99 1
Jumlah 65
Berdasarkan tabel di atas, tentukan: a. rata-rata hitung
xb. modus
Mo
(6)