KALKULUS INTEGRAL PROGRAM STUDI PENDIDIK

KALKULUS INTEGRAL

Oleh
Drs. Dwi Purnomo, M.Pd.
NIP : 196412041990031003

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALANG
MEI 2010

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah
swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengahtengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala
kekurangannya,

dapat

disusun

modul

sederhana

yang

diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari
Kalkulus Integral.
Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada
mahasiswa

Jurusan

Pengeahuan

Alam

Pendidikan
Fakultas

Matematika

Pendidikan

Ilmu

dan

Eksakta

Ilmu
dan

Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti
perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya
modul ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya
mahasiswa menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus
Integral dari modul ini belum dapat terwujud seluruhnya.
Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas
dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang,

lebih-lebih mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk
segera menyelesaikan modul sederhana ini. Terima kasih juga
untuk anak-anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama anakanak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi
panjang selama pembuatan modul ini.
Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini,
akan

sangat

berguna

bagi

mahasiswa.

Kekurangan

dan

kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.

Malang, 3
Mei 2010

Penulis

Kalkulus Integral

2

Dwi Purnomo
DAFTAR ISI

Halaman

Halaman
Sampul ........................................................
Kata
Pengantar ..........................................................
Daftar
Isi ....................................................................

Bab I

Bab II

Bab III

PENDAHULUAN
1.1
Turunan ..... ........................................................
.
1.2
Antiturunan ........................................................
..
1.3 Integral
Tertentu .................................................
TEKNIK INTEGRAL
2.1 Teknik
Substitusi .................................................
2.2 Integral Fungsi
Trigonometri ...............................

2.3 Teknik Substitusi Fungsi
Trigonometri ................
2.4 Integral
Parsial ....................................................
2.5 Integral Fungsi
Rasional ......................................
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi
Trigonometri ........................................................
....
INTEGRAL TIDAK WAJAR
3.1
Pengertian ..........................................................
3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas

1
2
3

4
9

17

28
34
45
57
61
73

79
81

Kalkulus Integral

3

Diskontinu ...
3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak
Hingga ..
Bab IV RUMUS-RUMUS

INTEGRAL ........................................
Bab V

TRANSFORMASI LAPLACE
5.1 Definisi Transformsi Laplace
...............................
5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace
Ada ..............
5.3 Metode Transformasi
Laplace .............................
5.4 Sifat-sifat Transformasi
Laplace ..........................
DAFTAR
PUSTAKA ....................................................

85
91

101
10

6
10
6
108
122

BAB I
ANTITURUNAN
1.1

Turunan
Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari

pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi
implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum
penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x), sedangkan
fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya
dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

Kalkulus Integral

4

1. y = 2 -

2  3x

2. y = 3 x 2  4 x  3
3. y =

x

x

x

4. x 2 + y 2 – 25 = 0
5. xy 2 + x 2 y – 2 = 0
6. x 2 – 2x + y 2 + 4y – 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi
eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit.
Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah
penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua
fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam
bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari
fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.

Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan
dengan f’(x) dan didefinisikan oleh
f’(x) = lim
x 0

f ( x  x)  f ( x)
, asalkan limitnya ada.
x

Misal (x+ x) = t , maka x = t – x
Karena x  0 maka t  x
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam
bentuk lain
f’(x) = lim
t x

f (t )  f ( x )
, asalkan limitnya ada.
t x

Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan

dy
, D x f ( x) ,
dx

df ( x )
.
dx

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk
implisit,

maka

turunannya

dapat

dilakukan

dengan

Kalkulus Integral

5

menggunakan

kaidah

differensial

yaitu

dengan

cara

mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut.
Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan
fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh
dy
fungsi-fungsi berikut.
dx

Tentukan
1. y =

+C

x

Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x  x )  f ( x)
 lim

x

0
dx
x
x  x 
x

= lim
x 0

x  x 
x

= lim
x 0

x
x

.

x  x 

x

x  x 

x

( x  x )  ( x )
lim
= x
0

=

lim

x  0

= lim
x 0
=

x{ x  x  x}
x

x
x  x  x





1
x  x  x

1
2 x
3

2. y = (1  x)
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
dy
f ( x  x )  f ( x)
 lim
dx x 0
x
3
3

(1  x  x) 1  x
=
lim
x  0
x

Kalkulus Integral

6

3(1  x)  3(1  x  x)

= lim
x  0 x{(1  x )(1  x  x )}
 3

= lim
x  0 (1  1)(1  x  x )
3

=  (1  x) 2

Fungsi-fungsi

yang

mempunyai

turunan

sebagaimana

dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable
(dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn

maka turunannya

ditentukan oleh:
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x  0
x
( x  x) n  x n
x  0
x

= Lim
= lim

x n  nx n  1 x 

x  0

= lim

nx n  1 x 

x  0

lim [nx n  1 

=

x  0

n(n  1) n  2
n(n  1)(n  2) n  3
x (x) 2 
x (x) 3  ...  (x) n  x n
2!
3!
x

n(n  1) n  2
n( n  1)(n  2) n  3
x (x) 2 
x (x) 3  ....  (x) n
2!
3!
x
n(n  1) n  2
n(n  1)(n  2) n  3
x (x) 
x (x) 2  ....  (x) n  1 ]
2!
3!

= nx n  1
3. x 2  y 2 

25 0

Dengan

mendiferensialkan

masing-masing

variabel,

diperoleh:
d(x 2 ) + d(y 2 ) - d(25) = d(0)
 2 xdx  2 ydy 0

x+y



dy
=0
dx

dy
x

dx
y

Kalkulus Integral

7

4. Tentukan

dy
dari x2y + xy2 – 2 = 0
dx

 d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
 (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
 (2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0


2 xy  y 2
dy
=2 xy  x 2
dx

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x)
adalah fungsi yang masing-masing

dapat diturunkan dan c

sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi
turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi
sebagai berikut.
1.

d
(c) = 0
dx

2.

d
(x) = 1
dx

3.

d
(xn) = nxn-1
dx

4.

d
d
(un) = nun-1
(u)
dx
dx

5.

d
( u + v) =
dx

6.

d
d
(u - v) =
(u) dx
dx

7.

d
( u v  w  ... ) =
dx

8.

d
d
(cu) = c
(u)
dx
dx

9.

d
d
d
(uv) = u
(v) + v
(u)
dx
dx
dx

d
(u) +
dx

d
(v)
dx

d
(v)
dx
d
d
d
(u) 
(v) 
(w)  ...
dx
dx
dx

10.

d
d
d
d
(uvw) = uv
(w) + uw
(v) + vw
(u)
dx
dx
dx
dx

11.

d u
v
 u
( )=
dx
dx
dx v
2

du

dv

v

Kalkulus Integral

8

Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca
sebagai latihan.
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
dy
dx

= lim
x 0

f ( x  x)  f ( x)
, dapat ditunjukkan beberapa turunan
x

fungsi geometri di bawah ini.
y = cos x, maka
f ( x  x)  f ( x )
dy
= lim
x 0
dx
x

= lim
x 0
= lim

cos( x  x)  cos x
x

 2 sin

x  0


= lim
x 0

( x  x  x )
( x  x  x)
sin
2
2
x

2 sin(2 x  x)
x
sin
2x
2

= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1.

d
(sinx) = cos x
dx

2.

d
(cos x) = -sin x
dx

3.

d
(tan x) = sec2x
dx

4.

d
(cot x) = -csc2x
dx

5.

d
(sec x) = sec x tan x
dx

6.

d
(csc x) = -csc x cot x
dx

1.2 Antiturunan

Kalkulus Integral

9

Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga
untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y =

x

dy

1

maka dx 
.
2 x

Dengan cara yang sama, diperoleh
dy

1

dy

1

1. Jika y =

x

+3 maka dx 
.
2 x

2. Jika y =

x

- 3 maka dx 
.
2 x

3. Jika y =

x

- 100 maka dx 
2 x

4. Jika y =

x

+

dy

1
7

1

dy

1

maka dx 
, dan seterusnya.
2 x

Dengan kata lain, untuk y =

x

dy

1

+ C, C  R maka dx 
.
2 x

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka
penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan A x
 1

2 x





=

x C

.

Hal ini berarti bahwa fungsi y =
dy

x C

, dengan C  R mempunyai

1

turunan dx 
.
2 x
 1 

2 x

atau antiturunan dari f(x) = 

adalah F(x) =

x

+ C, C  R .

Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut
integrable (terintegralkan).
Dalam hal yang lebih umum, bentuk
 1 

 dx =
dinyatakan dengan  
2 x

x C

 1 

2 x

A x 

=

x C

.

.

Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka

 f(x) dx = F(x) + C, C  Real.

Kalkulus Integral

10

Bentuk  f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C
disebut anti turunan.

Teorema 1.
Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
r
x dx 

x r 1
C .
r 1

Akibatnya jika r = -1 maka x r dx  x  1 dx
1

=  dx = ln
x

x C

Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

 f(x) dx = F(x) + C, C  Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa
D x [ F ( x)  C ]  f ( x )

Dalam kasus di atas
 x r 1
  1

Dx 
 C  
( n  1) x r   x r

 r 1
  r 1

Teorema 2
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang
konstanta maka:
1. Cf ( x) dx = C f ( x) dx ,
2. [ f ( x)  g ( x)]dx  f ( x)dx  g ( x)dx ,
3. [ f ( x) 

g ( x )]dx  f ( x) dx 

g ( x)dx ,

Bukti
Untuk

membuktikan

mendeferensialkan

teorema

ruas

kanan

di

atas,

dan

cukup

amati

dengan

bahwa

kita

memperoleh integran dari ruas kiri.
1. D x { C f ( x) dx } = C D x { f ( x) dx }

Kalkulus Integral

11

= Cf(x)
2. D x { f ( x )dx  g ( x )dx } = D x f ( x)dx  D x g ( x)dx
= f(x) + g(x)
3. D x { f ( x )dx  g ( x ) dx } = D x f ( x)dx 

D x g ( x )dx

= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1.  x 2



 x dx

Jawab

 x

2



 x dx =

x

2

dx  xdx

=

1 3
1
x  C1  x 2  C 2
3
2

=

1 3 1 2
x  x C
3
2

=

x 4  2x 2 1
dx

x

2

2.

 x2 1
 x  dx

Jawab
2

 x2 1
 x  dx

=

x4



2x 2
1
dx  
dx  
dx
x
x
x

= x 7 / 2 dx  2 x 3 / 2 dx  x  1 / 2 dx
3.

x( x  1) 2



3

x

dx

Jawab
x( x  1) 2



3

x

dx =

x( x 2  2 x  1)


=

3

x

dx

x3



3

x2
x
dx  2 3 dx  3 dx
x
x
x

Kalkulus Integral

12

= x 8 / 3 dx  2x 5 / 3 dx  x 2 / 3 dx
=

3 11 / 3 3 8 / 3 3 5 / 3
x
 x  x C
11
4
5

Teorema 3

 sin x dx = - cos x + C, C  Real
 cos x dx = sin x + C, c  Real
Bukti
Untuk

membuktikan

teorema

di

atas

cukup

dengan

menunjukkan bahwa
D x ( cos x) sin x dan D x (sin x) cos x.

Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional
yang bukan -1, maka:
r
 f ( x)

f ' ( x )dx 

 f ( x) r 1  C , C  Real.
r 1

Contoh
1. 3 x

4 x 2  11dx

Jawab
Karena D x (4 x 2  11) = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema
di atas

3 x

2. 

4 x 2  11dx

3y
2y2  5

=

1
4 x 2  11 d(6x)
2

=

1 (4 x 2  11) 3 / 2
C
2
3/ 2

=

1
( 4 x 2  11) 3 / 2 + C.
3

dy

Jawab
Karena D x (2y 2 5) = 4y dy, maka

Kalkulus Integral

13



3y
2y2  5

dy

= ( 2 y 2
=

 5)  1 / 2 3 ydy

(2 y

2

 5)  1 / 2

3
4 ydy
4

=

3
( 2 y 2  5)  1 / 2 .4 ydy
4

=

3 (2 y 2  5)1 / 2
.
C
4
1/ 2

=

3
2y2  5  C
2

3. 3 sin(6 x  2)dx
Jawab
Misal U = 6x + 2  dU = 6 dx atau 3 dx =

3 sin(6 x  2)dx = sin U
=

dU
2

1
( cosU )  C
2

= 
4. 

dU
, sehingga
2

1
cos(6 x  2)  C
2

1  cos x sin xdx

Jawab
Misal A =

1  cos x

 A 2 1  cos x
2A dA = (-sin x) dx, sehingga:



1  cos x sin xdx

= A.( 2 A) dA
= -2 A2 dA
= 

2 3
A C
3

= 

2
(1  cos A)3  C
3

Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1.  dx = x + C, C

 Real

2.  f(x) dx = F(x) + C, C

 Real
Kalkulus Integral

14

1.

1
xr+1 + C, C
r 1

 xr dx =

 Real, r -1

2.  (u+v) dx =  u dx +  v dx
3.  a u du = a  u du
4.



1
dx = ln | x | + C =
x
a

5.  au du =
+ C, C
ln a
6.  eu du = eu + C, C

e

log │x│+ C, C

 Real

 Real

 Real

7.  tan x dx = ln | sec x | + C, C

 Real

8.  sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C
9.  cot x dx = ln | sin x | + C, C

 Real

 Real

10.

 css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C  Real

11.

 sec2x dx = tan x + C, C  Real

12.

 csc2x dx = - cot x + C, C  Real

13.

 sec x tan x dx = sec x + C, C  Real

14.

 csc x cot x dx = -csc x + C, C  Real

15.

 cosm x dx =

16.

 sinm x dx =

17.

 u dv = uv -  v du

18.



dx
1
x a
ln x  a + C, C
2 =
2
a
x  a

 Real

19.



dx
1
xa
ln x  a + C, C
2 =
2a
a  x

 Real

20.



21.



22.



cos n  1 x sin x n  1

n
n


 cos m-2 x dx

sin n  1 x cos x n  1

n
n

2

2

dx
2

a  x

= arc sin

2

 sin m-2 x dx

x
+ C
a

dx
1
x
arc tgn
+ C
2 =
a
a
x a
2

dx
2

x x  a

2

=

1
x
arc sec
+C
a
a

Kalkulus Integral

15

23.



x2  a2

dx =

1
1
u x 2  a 2 + a2 Ln ( u +
2
2

x2  u2

24.



x2  a2

dx =

1
u x2  a2 2

x2  u2

25.



x2  a2

dx =

1
1
u x 2  a 2 + a2 Ln ( u +
2
2

30.



31.



dx
2

x a
dx
2

x  a

= arc sinh

x
+C
a

= arc cosh

x
+C
a

2

2

1

1 2
a Ln ( u +
2

x2  u2

)+C
)+C
)+C

m

32. u m e au du = u m e au  u m 1e au du
a
a
Soal-soal
Tentukan integral berikut.
1 ( x

2  3)3

2dx

2 (x 3

 1) 4 3x 2 dx

3 (5 x 2

 1)(5 x 3  3 x  8) 6 dx

4 (5 x 2

 1) 5 x 3  3 x  8dx

x2

5

(

6

 x3
(2 x  5) 3 / 2 

2 x 1

 2 x x  1) dx

x 4 1

7

x

8

cos

2

x4  1

1
2

2x  5

dx

dx

dx

3x

9 sin 3 [( x 2

3x 2

 1) 4 ] cos[( x 2  1) 4 ( x 2  1) 3 xdx

10 Andaikan u = sin{(x 2 1) 4 }
11 Tentukan sin 2
12 6 sin[3( x 

xdx

2)]dx

 x
6

3
13 sin   dx

Kalkulus Integral

16

14 ( x 2 cos 2 x  x sin 2 x)dx

1.3 INTEGRAL TERTENTU
Definisi :
Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya
f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika

n

lim  f ( xi ) xi

P  0 i 1

ada.

b

Selanjutnya f ( x) dx disebut Integral Tentu (Integral Riemann)
a

f(x) dari a ke b, dan didefinisikan
b

n

f ( x ) dx = lim  f ( xi ) xi .

a

P  0 i 1

b

f ( x ) dx menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva

a

b

y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika f ( x) dx bertanda
a

negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah
sumbu x.
Definisi :
a

1. f ( x) dx = 0
a
b

a

a

b

2. f ( x) dx = - f ( x) dx , a > b

Kalkulus Integral

17

Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk
menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan
b

f(x), maka f ( x) dx = F(b) – F(a)
a

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x)]ba
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r  Q dan r  -1, maka
b

r
x dx 

a

b r 1 a r 1

r 1 r 1

Jawab :
r 1
Karena F(x) = x
suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka

r 1

b

b r 1

a r 1


menurut teorema dasar Kalkulus x r dx F (b)  F (a) 
r

1
r 1
a

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu
konstanta, maka:

b

b

1. kf ( x )dx  k
a

a
b

2.

f ( x)dx
b

[ f ( x)  g (x)]dx = f ( x)dx +

a

a

b

g ( x ) dx

a

Kalkulus Integral

18

Contoh :
2

2
(4 x  6 x )dx

Hitung

1

Jawab :
2

2

2

1

1

1

2
2
 2
 x3 

6




 1
 3  1

2
2
x
(4 x  6 x )dx 4 xdx  6 x dx = 4  2

4
2

1

2


= 4 

8 1
6   =  12
 3 3

Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga
titik a, b dan c, maka
c

b

c

a

a

b

f ( x )dx =

f ( x )dx + f ( x )dx bagaimanapun urutan a, b

dan c.
Contoh :
2

1

2

2

3

2

0

0

1

0

0

3

2
2
2
2
2
2
1. x dx x dx  x dx 2. x dx x dx  x dx

3.

2

1

2

0

0

1

2
2
2
x dx   x dx  x dx

2. Sifat Simetri
Jika f(x)

fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi

sifat
f(-x) = f(x) , maka:
a

a

a

0

f ( x )dx = 2 f ( x )dx dan

Kalkulus Integral

19

Jika f(x)

fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi

sifat
f(-x) = - f(x), maka
a

f ( x )dx = 0.

a

Contoh :




x



x

x

1

 
 
 
1. cos  dx 2 cos  dx  8 cos . dx 4 2
4
4
4 4




5

x5

2. 

5x

2



4



0



0





dx = 0

Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k

 Real dan

f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.

b

b

kf ( x)dx k f ( x)dx
a

a

b

2.

b

a

a

b

3.

b

[ f ( x)  g ( x)]dx f ( x)dx  g ( x)dx
[ f ( x) 
a

a

b

b

g ( x)]dx f ( x) dx 
a

g ( x)dx,
a

a

4.

f ( x)dx 0
a

b

a

5. f ( x) dx 
a

b

f ( x)dx , jika b < a
b

c

b

6. f ( x)dx  f ( x)dx  f ( x)dx , c  (a, b)
a

a

c

a

7.

f ( x) 0,

jika f(-x) = -f(x)

a
a

8. f ( x)dx = 2
a

a

f ( x)dx , jika f(-x) = f(x)
0

Kalkulus Integral

20

b

9. Jika F(u) =

f ( x)dx , maka
a

d
F (u )  f (u )
du

b

10.

f ( x)dx = (b-a) f ( x

o

)

untuk paling sedikit x = x o antara a

a

dan b.
b

11.

b

jika dan hanya jika f(x)  g(x) untuk

f ( x)dx g ( x)dx
a

setiap x

a

 [a,b].

x

D  f (t )dt   f ( x )

x a

12.

Contoh
Tentukan hasil integral
2

1.

(2  x)dx
0

Jawab
2

x2 



2

( 2  x)dx =  2 x  

2 0

0


22 



02 

=  2.2  2    2.0  2 

 

= (4+2) – (0+0) = 6
2

2.

x

2

( x 3  1) dx

0

Jawab
Misalnya u = (x 3 1 )
du = 3x 2 dx
du
 x 2 dx
3

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9,
sehingga:

Kalkulus Integral

21

2

9

2
3
x ( x  1)dx =

u

0

du
3

1

9

=

u2 
 
 6 1

91

1



=   
6
6


90
6

=
4

3.

(1 

u ) u du

1

Jawab
Misal p =

u

 p2 = u
 2p dp = du

Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

4.

4

2

(1  u ) u du =

(1 

1

p 2 ) p.2 pdp

1

2

=

(2 p

2

 2 p 3 )dp

1

2

=

2 3 2 4
 3 p  4 p 
1

2
2
2 3 2 4 
3
4
=  (2)  (2)    (1)  (1) 
4
4
3
 3

16

2

2


 

=   8    
3
3
4

 


=

14 30

3
4

= 
8

5.


4

31
4

xdx
x 2  15

Jawab

Kalkulus Integral

22

Misal A =

x 2  15

 A 2  x 2  15

 2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
8


4

xdx
2

x  15

7

=

AdA
A


1

7

=

dA
1

= [A]

7
1

=7–1
=6
10

dx
6. 
2
6 25  x

=

1
x 5
ln
2.5
x 5

=
=

10

6

1
10  5
1
65
ln

ln
10 10  5 10
6 5

1
1
ln 3 
ln 11
10
10

b

7. Tentukan

f ( x)dx
a

dengan f(x) =

 2 x, untuk 0  x 1

 2, untuk1  x 2
 x, untukx  2


Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
b

c

b

f ( x)dx  f ( x)dx  f ( x)dx , c  (a, b)
a

a

c

sehingga:
b

1

2

5

f ( x)dx  2 xdx 2dx  xdx
a

0

1

2

Kalkulus Integral

23

x

 
2
=  x  0   2 x 1   
2
1

2

5
2

= (1-0) +(4-2) +  5 / 2  1  1
9
2

=
3

8.

dx

x

3

Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat
dinyatakan dengan
3

3

x dx =

x dx +

3

0



0

3

=

x dx.

3
0

 x2 
 x2 
   

 2 0  2 3

= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
=

16
3

Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan
fungsi-fungsi berikut ini:
8

1.

 1  3x dx
1

2.

x(1 

x ) 2 dx

= x1 
= ( x 



2 x  x dx
2 x x  x 2 ) dx ,

= xdx - 2 x

x

dengan sifat integral diperoleh

dx + x 2 dx

5

1
2
1
= x 2  C1  2( x 2 )  C2  x 3  C3
2
5
3

=
=

5

1 2
2
1
x  2( x 2 )  x 3  C1  C2  C3
2
5
3
5

1 2
2
1
x  2( x 2 )  x 3  C
2
5
3

Kalkulus Integral

24

Latihan di rumah
2.

( z 2  1) 2
 z dz

s ( s  1) 2
ds
3.  3
s

4. ( x 

2 x ) 3dx

1

3.

x

2

4  x 2 dx

1

1

=2

x

2

4  x 2 dx

0

Misal

4  x2

=u

4-x 2 = u 2 atau x 2 = 4 - u 2
-2x dx = 2 u du atau dx = 

u
du
x

2

4.

x 2 dx

 4

2
3

5.

dx

 1 x
0
4

6.


2

16  x 2
dx
x

27

7.

dx
x1 / 3

x 
8

2

8.

x

sin 2 dx
0

 /3

9.

x

2

sin 3 xdx

0

 /2

10.

dx

 3  cos 2 x
0

11

11.



2 x  3dx

3

Kalkulus Integral

25

9

12.

1

x

1 

x

4

2

13.

x

3

dx

2

e x dx

0

 /4

14.

dx

 sin 2 x

/6

2

15.



1

2

16.

x

1

dx
2

x  2x  2

( x  1)
dx
2
( x  1)

2

17.

( x  2)dx
2) 2
1

x( x 

2

18.

ln( x 

x 2  1)dx

1

 /4

19.

dx

 2  sin x
0

1

20.

( x  1)



2

x  4x  3

2
4

21.



dx



x  2 x  1 dx

0

3

22.


1

x2  1
x3  3x

dx

8a

23.

a

1/ 3



3

 x1 / 3 dx

a

 /2

24.

2

3 x sin 3 xdx

2

3 x cos 3 xdx

cos
0

 /2

25.

sin
0

b

26.

Hitunglah

f ( x)dx ,

jika:

a

Kalkulus Integral

26

a. f(x) =

 2 x, untuk 0 x 1

 2( x  1)  2, untuk1  x 2

b. f(x) =

 1  x 2 ,untuk 0  x 1

 x  1, untuk1  x 2

c. f(x) =

  1  x 2 , untuk  2 x 0

  2 x  2, untuk 0  x 2

d. f(x) =

x 2

e. f(x) =

x  x

untuk - 4 x 4
, untuk -1 x 2

f. f(x) = (x-  x  ) 2
g. f(x) = x 2  x  , untuk - 1 x 2

BAB II
TEKNIK INTEGRAL

Kalkulus Integral

27

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk
menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk
memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang
ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh
pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan
dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik
integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi
Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral
Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional
yang memuat fungsi Trigonomteri.
Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.
2.1

Teknik Substitusi
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik

substitusi

pada

umumnya

digunakan

untuk

memudahkan

selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak
tentu, yaitu;
a. x n dx =
b.  f ( x)

n

x n 1
+ C, asalkan n
n 1

f ' ( x) dx

=

 -1 atau

 f ( x) n 1 + C, asalkan n  -1
n 1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum.

maka

integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum
sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat
mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah
integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan
dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu.
Akhirnya

selesaiannya

dapat

dilakukan

dengan

metode

substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:

Kalkulus Integral

28

1.  1 

x

Misal

dx
u=

1 x

 u 2 1  x
 d (u 2 ) d (1  x)

 2udu  dx

Substitusi bentuk terakhir ke  1 

u ( 2u )du = -2 u

2

x

dx, diperoleh

du

Dengan rumus dasar di dapat

 1

x

dx

= -2 u 2 du
=

 u3 
-2  3   C
 

=-

2
(1  x)3  C
3

2. (3 x  12)11 dx
Misal

A
d(A)
dA
dx

= 3x + 12
= d(3x+12)
= 3 dx
=

dA
3

Sehingga (3 x  12)11 dx

=

11

A

dA
3

=

1
A11dA
3

=

1 A12
(
) C
3 12

=

1 12
A C
36

=

(3 x  12)12
C
36

3. Cos 2 2 x dx
Misal

A
d(A)

= 2x
= d(2x)

Kalkulus Integral

29

Cos

2

dA

= 2 dx

dx

=

dA
2

=

cos

2x

dx

2

A

dA
2
1

dA
= Cos 2 A
2

=

4. 

4x 2  4x

=

1
cos 2 AdA
2

=

1 1  cos 2 A
dA
2
2

=

1
1
dA  cos 2 AdA

4
4

=

A sin 2 A

C
4
8

=

2 x sin 4 x

C
4
8

x sin 4 x

C
2
8

(4x+2) dx

Jawab
Misal A =

4x 2  4x

A 2 = 4x 2  4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga



4x 2  4x

(4x+2) dx = A .A dA
= A 2 dA
=
=

1 3
A C
3
13
4x 2  4x + C
3

Kalkulus Integral

30

5.



tdt
3t  4

Jawab
Misal P =

3t  4

P2  4
P 2 = 3t + 4  t =
3

d(P 2 ) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt  dt =



P2  4 2
)( p ) dp
=
3
3

p

tdt
3t  4

(

=

6.

2
Pdp , sehingga
3

1
( 2 P 2  8) dp
9

x 2 dx

 16 

x2

Jawab
Misal U =
U2
d(U 2 )

16  x 2

= 16 - x 2  x 2 = 16 - U 2
= d(16 - x 2 )

2U du = (-2x)dx
dx



= 

U
du
x

 u
(16  u 2 )  
=
 x  du
16  x 2

u
x 2 dx

= 

16  u 2
du
x



=-

1
(16  u 2 )du

x

= 

16u
u3
 C1 
 C2
x
3x

2
2
=  16 16  x  (16  x 2 ) 16  x  C

x

3x

Kalkulus Integral

31

= 

16(16  x 2 )1/ 2 (16  x 2 ) 3 / 2

C
x
3x

Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1. t (t  2) 3 / 2 dt
Jawab
3

Misal M = (t+2) 2
M 2 = (t+2) 3
2M dM = 3(t+2) 2 dt

t (t  2)

3/ 2

dt

=

2 MdM

M .t. 3(t  2)

2

=

2t
M 2 dM
2 
3(t  2)

=

2t
1 3
M +C
2
3(t  2) 3
9

2t
(t  2) 2 + C
=
9(t  2) 2

=
sin

x

2. 

x

5

2t
(t  2) 2  C
9

dx

3dt
2t 1

3.



4.

 sin

1  cos 2 x
dx
2
2x
(6t  1) sin 3t 2  t  1

5.



6.

x

3t 2  t  1

dt

dx
x2  9

7. x(3 x  2)3 / 2 dx
8.



x
2

x  16

dx

Kalkulus Integral

32

sin

x

9. 
3

dx

sin xdx

10.

16  cos

11.

cos(2 x 

12.

x sin( x

13.

x

14.

x( x

2

2

2

x
4) dx

 1) dx

cos( x 3  1) dx
2

 3)  12 / 7 dx

x 2  2x  3
dx
x 1

15.



16.

e2x  e 2x
e 2 x  e  2 x dx
e 3t

17.



18.

x2
x 4  4 dx

19.

x

20.

sin x

2.2

Integral Fungsi Trigonometri

4  e 6t

dt

xdx
4
4
1  2 cos x dx

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri
secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi
trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil
pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar
tersebut adalah:
1. sin x dx

= -cos x + C

2. cos x dx

= sin x + C

3. tan x dx

= ln

sec x  C

= -ln
4. cot x dx

= - ln

cos x  C
csc x  C

Kalkulus Integral

33

= ln

sin x  C

5. sec x dx

= ln

sec x  tan x  C

6. csc x dx

= ln

csc x  cot x  C

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa
kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada
bagian ini, diantaranya adalah:
A. sin m xdx, dan cos m xdx dengan m bilangan ganjil atau genap
positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi
dengan menggunakan

kesamaan identitas sin 2 x  cos 2 x 1 atau

sin 2 x = 1 - cos 2 x atau cos 2 x = 1 - sin 2 x .
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan
antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan
mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
1. sin 3 xdx
Jawab

sin

3

xdx

= sin ( 3 1) 1

xdx

= sin 2 x sin x dx
= (1 

cos 2 x ) d (  cos x )

= 1d (

cos x)  cos 2 d (cos x )

= -cos x +

1
cos3 x  C
3

2. cos5 xdx
Jawab

cos

5

xdx

= cos ( 5 1) 1

x dx

= cos 4 x cos xdx

Kalkulus Integral

34

= (1 

sin 2 x ) 2 d (sin x )

= (1  2 sin 2 x  sin 4 x)d (sin x)
= 1d (sin x)  2sin 2 xd (sin x)  sin 4 xd (sin x )
= sin x -

2 3
1
sin x  sin 5 x  C
3
5

3. sin 5 ( 2 x) dx
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
Sehingga

sin

5

(2 x )dx sin 5 u

=

=

du
2

du
2

1
sin 5 udu
2

=

1
sin 4 u sin udu

2

=

1
(1  cos 2 u ) 2 d ( cos u )

2

1
(1  2 cos 2 u  cos 4 u )d ( cos u )

2

= 

1
1
1
cos u  sin 3 u 
sin 5 u  C
2
3
10

= 

1
1
1
cos 2 x  sin 3 2 x 
sin 5 2 x  C
2
3
10

Bentuk cos m xdx , sin m dx , jika m bilangan bulat positip
genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan
substitusi kesamaan setengah sudut
sin 2 x =

1  cos 2 x
dan cos
2

2

1  cos 2 x
x
2

Contoh:
1. sin 2 xdx
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah
sudut, maka

sin

2

xdx

=

1  cos 2 x
dx
2



Kalkulus Integral

35

1

1

=

2 dx  2 cos 2 xdx

=

x cos 2 x

C
2
4

2. cos 4 xdx
Jawab

cos

4

= (cos 2

xdx

=

dx
2

 1  cos 2 x 
 dx

2


1
4

= ( 
=

x) 2

2
cos 2 x 1
 cos 2 x )dx
2
4

1

cos 2 x
1
dx   cos 2 2 xdx
2
4

4 dx  

=

x sin 2 x
1 (1  cos 4 x )
dx

+ 
4
2
4
4

=

x sin 2 x x sin 4 x

 
C
4
4
8
32

=

3x sin 2 x sin 4 x


C
8
4
32

3. sin 4 2 xdx
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx =

sin

4

2 xdx

=

4

du
, sehingga
2

du
2

=

sin

=

1  1  cos 2u 

 du
2 
2


=

1 1
(1  2 cos 2u  cos 2 2u )du
2 4

=

8 du  4 cos 2udu  8 cos

u

2

1

1

1

1

1

2

2udu

1  1  cos 4u 
 du
2


8 du  4 cos 2udu  8 
=
=

1

1

1

1

8 du  4 cos 2udu  16 du  16 cos 4udu
1
1
1
1
u  sin 2u  u 
sin 4u  C
8
8
16
64

Kalkulus Integral

36

Karena u = 2x, maka

sin

4

2 xdx =

1
1
1
1
(2 x )  sin 2(2 x ) 
(2 x) 
sin 4(2 x )  C
8
8
16
64

B. sin m x cos n xdx
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan
lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x
dengan

menggunakan

kesamaan

identintas

sin 2 x  cos 2 x 1

dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil.
Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil
diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan
kesamaan setengah sudut sin 2 x =

1  cos 2 x
dan cos
2

2

1  cos 2 x
x
2

sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
1. sin 3 x cos 2 xdx
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
= sin ( 3 1) 1 cos 2 xdx

sin

3

x cos 2 xdx

sin

2

x sin x cos 2 dx

= (1 

cos 2 x ) cos 2 x sin xdx

= (cos 2 x 
= cos2 xd (
= 

cos 4 x ) d (  cos x )

cos x ) 

cos

4

xd (  cos x )

1
1
cos3 x  cos5 x  C
3
5
1
5

1
3

= cos 3 x( cos 2 x  )  C
2.

sin

2

x cos 3 xdx

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

sin

2

x cos 3 xdx

= sin 2 x cos 2 x cos xdx
= sin 2 x(1 

sin 2 x ) d (sin x )

Kalkulus Integral

37

= sin 2 xd (sin x)  sin 4 xd (sin x)
=
3.

sin

3

1
1
sin 3 x  sin 5 x  C
3
5

x cos 3 xdx

Jawab sin 3 x cos 3 xdx
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu
untuk diubah menjadi genap

sin

3

x cos 3 xdx

= sin 3 x cos 2 x cos xdx
= sin 3 x(1 

sin 2 x ) d (sin x )

= sin 3 xd (sin x )  sin 5 xd (sin x)
=

1
1
sin 4 x  sin 6 x  C
4
6

Atau

sin

3

x cos 3 xdx

= sin 2 x sin x cos3 xdx
= (1 

cos 2 x ) cos 3 xd (  cos x )

= (cos3 x 
= 

4.

cos

2

cos 5 x ) d (  cos x )

1
1
cos 4 x  cos 6 x  C
4
6

x sin 2 xdx

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

cos

2

x sin 2 xdx

 1  cos 2 x  1  cos 2 x 

 dx
2
2




= 
=

1
(1  cos 2 2 x)dx
4

=

1 
1  cos 4 x 
1 
 dx

4 
2


=

1  1 cos 4 x 
 
 dx
4  2
2 

=

1  x cos 4 x 
 
 C
42
8 

Kalkulus Integral

38

=

x cos 4 x

C
8
64

4. sin 4 x cos 4 xdx
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan
selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin 2 x =
1  cos 2 x
dan cos
2

sin

4

= 


2

1  cos 2 x
x
, sehingga:
2

= (sin 2 x) 2 (cos 2 x) 2 dx

x cos 4 xdx
2

2

1  cos 2 x   1  cos 2 x 
 
 dx
2
2
 


=

1
(1  2 cos 2 x  cos 2 2 x )(1  2 cos 2 x  cos 2 2 x) dx

16

=

1
(1  2 cos 2 2 x  cos 4 2 x )dx

16

=

1
1
1
dx  cos 2 2 xdx 
cos 4 2 xdx


16
8
16

=

1
1 1  cos 4 x
1  1  cos 4 x 
dx  


 dx

16
8
2
16 
2


=

2

1
1 1  cos 4 x
1
dx  

(1  2 cos 4 x  cos 2 4 x) 2 dx

16
8
2
64 

=

1
1 1  cos 4 x 1
1
1  1  cos 8 x 
dx  

dx 
cos 4 xdx 

 dx



16
8
2
64
32
64 
2


=

1
1 1  cos 4 x
1
1
1
1
dx  

dx 
cos 4 xdx 
dx 
cos 8 xdx




16
8
2
64
32
128
128 

=
1
1
1
1
1
1
1
dx 
dx 
cos 4 xdx 
dx 
cos 4 xdx 
dx 
cos 8 xdx






16
16
16
64
32
128
128 

=

3
1
1
dx 
cos 4 xdx 
cos 8 xdx


128
32
128 

Kalkulus Integral

39

=

3x
1
1

sin 4 x 
sin 8 x  C
128 128
1024

C. tan n xdx, dan cot n xdx
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas
1 + tan 2 x sec 2 x dan 1+cot 2 x csc 2 x . Jika n ganjil ubah menjadi
(n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + tan 2 x sec 2 x dan 1+cot
2

x csc 2 x .

Perhatikan contoh berikut:
1. tan 3

xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian
yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan
identitas 1 + tan 2 x sec 2 x
Sehingga diperoleh

tan

3

xdx

= tan 2

x tanx

= (sec2 x 

dx

1) tan

x dx

= sec 2 x tan x dx -  tan x dx
=  tan x sec 2 x dx – ln sec x + C
= tan x d(tan x) – ln
=
2. cot 4

sec x

+C

1
tan 2 x  ln sec x  C
2

xdx

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas
1+cot 2 x csc 2 x , sehingga

cot

4

xdx

didapat

= (cot 2 x) 2 dx
= (csc2 x 
= (csc4 x 

1) 2 dx

2 csc 2 x  1)dx

= (csc2 x) csc2 x 

2 csc2 x  1) dx

Kalkulus Integral

40

= (1  cot 2 x) csc2 x 
= (1  cot 2 x)d (
= ( cot x) 

2 csc 2 x  1dx`

cot x )  2 d (  cot x)   dx

1
cot 3 x  2 cot x  x  C
3

1
3

=  cot 3 x  cot x  x  C

D. tan m x sec n xdx , dan cot m x csc n xdx
Bentuk ini

mempunyai dua kasus yaitu n genap m

sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang
gunakan kesamaan 1 + tan 2 x sec 2 x atau
1 + cot 2 x = csc 2 x .
Contoh
1. tan 5

x sec 4 xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung
gunakan kesamaan identitas 1+tan 2 x sec 2 x , sehingga
diperoleh
5

tan

x sec 4 xdx

= tan 5

x sec 2 x sec 2 xdx

= tan 5 x(1  tan 2 x) sec 2 xdx
= (tan 5 x  tan 7
=
2.

cot

4

x) d(tgnx)

1
1
tan 6 x  tan 8 x  C
6
8

x csc 4 xdx

Jawab

cot

4

x csc 4 xdx

= cot 4 x(csc 2 x )(csc2 x)dx
= cot 4 x(cot 2 
= (cot 6 x 
= 

1)d (  cot x )

cot 4 x )d (  cot x )

1
1
cot 7 x  cot 5 x  C
7
5

Kalkulus Integral

41

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga
dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas
1 + tan 2 x sec 2 x atau 1 + cot 2 x = csc 2 x .
Contoh:
1. tan 3 x sec 3 xdx = tan 2

= tan 2

x sec 2 d (sec x)

=

(sec

2

x  1) sec 2 xd (sec x )

=

(sec

4

x  sec x ) d (sec x )

=
2. tan 3

x sec  1 / 2 xdx =

x tan x sec 2 x sec xdx

2

1
1
sec 5 x  sec3 x  C
5
3

tan

2

x tan

x sec  3 / 2 x sec x dx

= (sec 2 x -1)sec  3 / 2 x d(sec x)
= (sec1 / 2 x  sec  3 / 2 x) d(secx)
=

2
sec3 / 2 x  2 sec 1 / 2 x + C
3

E. sin mx cos nxdx , sin mx sin nxdx, cos mx cos nxdx
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya
digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =

1
[sin(m  n) x  sin( m  n) x]
2

sin mx sin nx = 
cos mx cos nx =

Contoh

1
[cos(m  n) x  cos(m  n) x ]
2

1
[cos(m  n) x  cos(m  n) x]
2

y

1. sin 3x cos 4x dx =
=

1

2 [sin(3  4) x  sin(3 

4) x ] dx

1
sin 7 x + sin (-x) dx
2

Kalkulus Integral

42

= 
2. sin 3x sin 2 x dx

=



1
1
cos 7 x - cos x + C
14
2

1
[cos(3  2) x  cos(3  2) x] dx
2

= 

1
(cos 5x – cos x) dx
2

= 

1
1
sin 5x + sin x + C
10
2

1

3.

cos y cos 4y dy = 2 [cos(1  4) y +cos(1-4)y] dy
=
=

1
[cos 5 x  cos( 3 y )] dy
2
1
1
sin 5 y  sin 3 y  C
10
6

Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1. sin 3 ( 4 x) dx
2.

cos

4

x
( ) dx
3

3. sin 2 ( 2 x) cos 4 ( 2 x)dx
4.
5.

sin

3

 x
3 x 
  cos  dx
5
 
5

1
3
sin 2 3x cos xdx

6. (sin 3 2t )
7. tan 6

cos 2t dt

xdx

8. cot 4 (3 x) dx
9. cot x csc 4

xdx

10.

tan 2 x sec

11.

(tan x  cot x)

12.
13.

2

2 xdx
2

dx

sin 3x sin xdx
csc

4

4 ydy

Kalkulus Integral

43

14.

tan

15.

cos 2 x sin 3 xdx

16.

4

cot

q sec 2 qdq

4

 x
  dx
 3

1

17.

3
sin 2 z cos zdz

18.

tan

19.

5

x sec  3 / 2 xdx

cos x cos 3xdx
 x

20.

 5x 
dx
2 

sin 2  sin

2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk
menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a.

a2  x2

, a > 0, a

 Real

b.

x2  a2

=

, a > 0, a

c.

x2  a2

a2  x2

, a > 0, a

 Real

 Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas,
misalnya
a 2  b2 x2

a2  b2 x

2

2

a x  b

=

=

2

=

2

a
2
   x
b
2

a
2
  x
b
 
b
x   
a
2

2

atau

ax 2  bx  c

yang dapat diubah menjadi

bentuk kuadrat sempurna.

Kalkulus Integral

44

Integrannya

memuat

a2  x2

atau

sejenisnya,

Gunakan

substitusi
x = a sin t atau sin t =

x
a

a
x

x = a sin t  dx = a cos t dt

t




t  sehingga,
dengan 2
2

=

a2  x2

2

a  x

2

a 2  ( a sin t ) 2

=

a 2 (1  sin 2 t )

= a cos t
Catatan
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya
diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri
yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini
dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah
fungsi-fungsi tersebut.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. 

4  x2

dx

Jawab
Substitusi x = 2 sin t



x
sin t =
2

x

2

t
4  x2

Kalkulus Integral

45

dx = 2 cos t dt
4  x2

=

4  4 sin 2 t 2 cos t

Sehingga



4  x2

dx = 2 cos t.2 cos tdt
=

4 cos t cos tdt

(1  cos 2t )
dt
2

= 4 cos 2 tdt = 4 

= 2 dt + 2 cos 2t dt
= 2t + sin 2t + C
= 2t + 2 sin t cos t
x
x 4  x2
= 2 arc sin   
+C
2

Atau 4 cos 2 tdt = 4 (

2

2

sin t cos t
1
+ t C )
2
2

= 2 sint cost + 2t + C
 x
 2

= 2 
=
2.



4  x2
2

 x
 2

+ 2 arc sin   + C

x 4  x2
 x
 2 arcsin    C
2
2

dx
4x  x 2

Jawab



dx
4x  x 2

=



dx
4  ( x  2) 2

Substitusi (x-2) = 2 sin t,
x 2

2

dx = 2 cos t dt

t
4x  x

2

Kalkulus Integral

46

4  ( x  2) 2 2 cos t ,



dx
4  ( x  2)

=

2

sehingga
2 cos tdt

 2 cos t

= dt
=t+C
 x 2
 +C
 2 

= arc sin 
3.

dx

 16  6 x 

x2

Jawab
dx

 16  6 x 

x2



=

dx
25  ( x  3) 2

5

Substitusi (x-3) = 5 sin t,
x 3

dx = 5 cos t dt
25  ( x  3) 2

= 5 cos t, sehingga

dx

 16  6 x 

t

x

2

=

16  6 x  x 2

5 cos tdt

 5 cos t

= dt
= t+C
= arc sin
4. 

x2 3  x2

x 3
+C
5

dx
3

Jawab
Substitusi x =
dx =

3 sin A`

x
t

3 cos AdA

3 x

2

Kalkulus Integral

47

3  x 2  3  ( 3 sin A) 2

=



x2 3  x2

3 cos A ,

dx

sehingga

= 3 sin 2

A 3 cos A. 3 cos AdA

= 9 sin 2
=9

A cos 2 AdA

 1  cos 2 A  1  cos 2 A 

 dA
2
2





=

9
(1  cos 2 2 A)dA

4

=

9
1  cos 4 A
1 (
) dA
4
2

=

9
9
A  cos 4 AdA
8
8

=

9
9
 x 
arcsin
sin 4 A  C

8
 3  8.4

=

9
 x  9
arcsin
(4 sin A cos A)(cos2 A  sin 2 A)  C

8
32
 3

=

9
x

arcsin
 (sin A cos A)(cos 2 A  sin 2 A +

8
3


=

9
x   x
arcsin

 
8
3   3

5.



C

3  x 2   (3  x 2 ) x 2 


 C
3
3 
3  

25  x 2
dx
x

Jawab:
Substitusi x = 5 sin A atau sin A =

x

x
dan dx = 5 cos A dA
5

5

Kalkulus Integral

48

Sehingga

A
25  x 2



25  x 2
dx
x

=

5 cos A

5 sin A .5 cos AdA
1  sin 2 A
dA
sin A

= 5

= 5 csc AdA  5sin AdA
= 5 ln csc A 
= 5 ln

5

x

ctgA  5CosA  C

25  x 2
5
x

25  x 2
C
5

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.



2.

x

dx

(1  x 2 )

3

2

dx
25  x 2
dx

3.  2
x 9  x2
4. 
5. x 2
6.

dx
3

(4 x  x 2 ) 2
1  x 2 dx

x3

 16 

x2

dx

Kalkulus Integral

49

dx
4x  x2 )

7.

(5 

8.

sec 2 xdx
(4  tan 2 x)3 / 2

9.

(6 

10.

dx
x 2 )3 / 2



3  x2
dx
x2

Integral yang integrannya memuat bentuk

a2  x2

atau

bentuk yang sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a tan t, -


2

t 


sehingga,
2

Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan
segitiga berikut ini:
x2  a

x

a
=

a2  x2

t

a 2  a 2 tan 2 t

=

a 2 (1  tan 2 t )

= a sec t
Karena x = a tan t maka dx = a sec 2 t dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.



dx
9  x2
9  x2

Kalkulus Integral

50

Jawab

x

Substitusi x = 3 tan t

t
3

dx = 3 sec 2 t dt
9  x2 

9  (3 tan t ) 2

= 3 sec t, sehingga



dx
9  x2

3 sec 2 tdt
 3 sec t

=

= sec tdt
= ln

9  x2
x

3
3

= ln
= ln
2.



sec t  tan t  C

+C

9  x2  x  C

( 2 x  1)dx
x 2  4x  5

Jawab



(2 x  1)dx
2

x  4x  5

= (

2x
2

x  4x  5

=



1



2

x  4x  5

2 xdx
2

( x  2)  1

Substitusi (x+2) =





) dx

dx
( x  2) 2  1

tan t
x2  4x  5

x = (tan t) - 2

x2

dx = sec 2 t dan
( x  2) 2  1



(2 x  1)dx
2

x  4x  5

1

= sec t,
=



2 xdx
2

( x  2)  1





t

sehingga

dx
( x  2) 2  1

Kalkulus Integral

51

=
=

2(tan t  2). sec 2 tdt


sec t

2 tan t sec tdt  4 sec tdt

= 2 sec t – 5 ln
= 2

sec 2 tdt
 sec t

- sec t dt

sec t  tan t  C

x 2  4 x  5  5 ln

x 2  4 x  5  ( x  2)  C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan
dx

1.  (9  x 2 ) 2 dx
2. 

3  x 2 dx

3. 

x 2 1
dx
x
dx

4. 

2

x  4 x  13
3 xdx

5. 
6.



x 2  2x  5
t
2

t 4

7. x

dt

5  x 2 dx

2dt

8.

t

9.

( z

t 4  25

2

dz
 6 z  18)3 / 2
dx

10.

x

11.

(16  x

2

x 2 1

dx
2 3/ 2

)

Kalkulus Integral

52

p

12.

dp
4

p2  2

Integral yang integrannya memuat bentuk

x2  a2

atau

sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a sec t, -


2

t 


.
2

Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan
x2  a2

=

a 2 sec 2 t  a 2

= a tan t
Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini

x

a
x2  a2

t

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. 

x2  9
dx
x

Jawab
Substitusi x = 3 sec t

x

x2  9

dx = 3 sec t tan t dt
x2  9



t
3

= 3 tan t, sehingga

x2  9
dx
x

=

3 tan t

3 sec t 3 sec t tan tdt
= 3 tan 2 tdt
= 3 (sec 2 t 

1) dt

Kalkulus Integral

53

= 3 tan t – 3 t + C
=3
2.

x2  9
x
 3arc sec  C
3
3

dx



2

x  2x  8

Jawab



dx
2

x  2x  8

=



dx
( x  1) 2  9

Substitusi (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
( x  1) 2  9



x 1

3

= 3 tgn t, sehingga

dx
( x  1) 2  9

3 sec tan tdt
= 
3 tan t

t
2

x  2x  8

= sec tdt
= ln

sec t  tan t  C

= ln

x 1

3

x 2  2x  8
C
3

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. 
2. 
3. 
4. 

x2  1

dx

x 2 dx
x 2  25

t2  4
dt
t3
dx
16  16 x  x 2

Kalkulus Integral

54

dx

5.

x

6.

t

7.

x

8.

(4 x

9.

( x

10.

x2  6
dt

2

t2  1

dx
3

2

x2  8

2

dx
 9) 3 / 2

xdx
 8 x  7)

x

dx
x4  4

2.4 Integral Parsial
Secara

umum

integral

parsial

menentukan selesaian integral yang

digunakan

untuk

integrannya merupakan

perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan
fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

d (uv) udv  vdu
 udv d (uv)  vdu

 udv uv  vdu
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial.
Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran
yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam

Kalkulus Integral

55

menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan udv tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1. x cos xdx
Jawab
Bentuk x cos xdx diubah menjadi  udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = cos x dx = sin x
Akibatnya x cos xdx =  x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial

udv uv  vdu , diperoleh
 x d(sin x) = x sin x - sin x d(x)
= x sin x - sin x dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh x cos xdx = x sin x + cos x + C
2. x

1 x

dx

Pilih u = x , du = dx
dv =

1 x

Sehingga x

2

, v =  1  x dx = 3 1  x
3

1 x

dx =

23

xd ( 3

1 x)

Berdasarkan rumus integral parsial

udv uv  vdu , diperoleh

x

1 x

dx

23

=

xd ( 3

=

2x 3
1 1 3

3

=

2x 3
1 1 3

3

1 x)
23

1  x d ( x)

23

1  x dx

Kalkulus Integral

56

=

2
2x 3
1  1 - 3 (1  x) 4  C
3
4

3. sin x e x dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = e x dx , v = e x dx = e x , sehingga:

sin x e x dx =  sin x d( e x )
=

e x sin x 

e

=

e x sin x 

e

x

x

d (sin x )
cos xdx

Diperoleh bentuk e x cos xdx yang juga diselesaikan dengan
metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = e x dx , v = e x dx = e x , sehingga:

cos x e x dx =  cos x d( e x )
=

e x cos x 

e

x

d (cos x )

=

e x cos x 

e

x

(  sin x ) dx

=

e x cos x  e x sin x) dx,

Akhirnya diperoleh

sin x e x dx =

e x sin x 

= e x sin x 

sin x e x dx =

e

x

cos xdx

e x cos x 

e

x

sin x) dx,

1 x
1 x
e sin x 
e cos x  C
2
2

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai
latihan.
1. x sec 2 xdx
2. sin 3 xdx
Jawab:

sin

3

xdx

= sin 2 x sin xdx

Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x

Kalkulus Integral

57

dv = sin x dx maka v = sin xdx = - cos x
Sehingga

sin

3

= sin 2 xd (

xdx

cos x)

= -cos x sin2x - 

cos xd (sin 2 x) dx

= -cos x sin2x + cos x 2 sin x cos xdx
= -cos x sin2x + 2 sin x(1 

sin

3

sin 2 x)dx

= -cos x sin2x + 2 sin xdx  2 sin

xdx

3

x )dx

 3 sin 3 xdx = -cos x sin2x + 2 sin xdx
 sin 3 xdx

=

 cos x sin 2 x 2
 sin xdx
3
3

=

 cos x sin 2 x 2
 (cos x )  C
3
3

3. x tan x dx
4. arc tan x dx
5. 

x

6. x 3

ln x dx

2x  7

dx

7. arc cos 2x dx
8. x 2 e  2 x dx
9.

xdx

 1  2 x dx

10.

cos 3 x sin 3 x dx

11.

e

12.

tan

13.

( x 

14.

xe

15.

(2 x 

16.

sec

x

1  x dx
5

x sec 2 xdx
2) cos( x  2) dx

x2

3

dx

x

1)e

1 3 x

dx

dx

Kalkulus Integral

58

17.

x

18.

ln 3 x dx

19.

x

2

20.

x

2

3

4  x2

dx

dx

sin x
1 x

dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasio