Sintesis Sistem Kendali Linier Invarian

SINTESIS SISTEM KENDALI LINIER INVARIAN
WAKTU DISIPATIF DENGAN PELETAKAN KUTUB
MELALUI PENDEKATAN PERTIDAKSAMAAN
MATRIKS LINIER
Aciek Ida Wuryandari1

ABSTRACT
In this paper, we address the synthesis of dissipative controllers for linear time invariant (LTI)
systems to render the closed loop system dissipative and to locate the closed-loop poles in a specified
region in the complex plane. Such control design criteria is aimed at guaranteeing some robustness
properties of the closed-loop system and providing transient nominal performance. Characterizations of
dissipative systems and pole location can be expressed as linear matrix inequality (LMI). This expression
is utilized to derive LMI conditions from which the controller achieving the design objective can be
constructed. The LMI conditions can be solved effectively using interior point algorithm.
Keywords: dissipative systems, linear time invariant systems, dissipative controllers, pole
placement, linear matrix inequality.

ABSTRAK
Dalam naskah ini, akan dirancang suatu pengendali disipatif untuk sistem linier invarian waktu
(LIW) untuk membuat sistem lingkar tertutup disipatif dan meletakkan kutub-kutub lingkar tertutupnya
pada suatu daerah tertentu dalam bidang kompleks. Hal ini sesuai dengan kriteria perancangan sistem

kendali yang menjamin sifat kekokohan sistem lingkar tertutup dan kinerja tanggapan peralihan yang
baik. Karakterisasi dari sistem disipatif dan peletakan kutub dapat diekspresikan sebagai
pertidaksamaan matriks linier (PML). Ekspresi ini digunakan untuk menurunkan kondisi-kondisi PML
sehingga pengendali yang diinginkan dapat dibangun. Kondisi-kondisi PML dapat diselesaikan secara
efektif dengan menggunakan algoritma yang dibuat.
Kata kunci: sistem-sistem disipatif, sistem linier invarian waktu, pengendali disipatif, peletakan
kutub, pertidaksamaan matriks linier.

1

Dosen & Peneliti pada Sekolah Teknik Elektro
aciek@lskk.ee.itb.ac.id
Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008

dan

Informatika,

ITB,

e-mail:

33

1.

PENDAHULUAN
Tujuan para perancang sistem
kendali adalah untuk membangun sistem
yang dapat digunakan pada lingkungan
riel (dunia nyata) dengan spesifikasi
yang dinginkan. Dalam praktek, selalu
terdapat kemungkinan ketidakpastian
yang bersumber pada ketidak-tepatan
pemodelan, variasi parameter sistem,
gejala non-linier dan lain-lain. Sistem
kendali yang memiliki kemampuan
untuk beroperasi pada situasi yang
realistis adalah sistem kendali kokoh.
Secara

matematis
berarti
bahwa
pengendali harus mampu melayani tidak
hanya sebuah kendalian, tetapi untuk
suatu himpunan kendalian.
Kestabilan sistem lingkar tertutup
yang dihasilkan harus dipertimbangkan
dalam perancangan sistem kendali.
Kestabilan itu sendiri mengacu kepada
konsep kestabilan Lyapunov yang
dipusatkan pada tingkah laku trayektori
dari sistem dengan keadaan awal (initial
state) berada dekat titik keseimbangan
(equilibrium). Hal ini penting karena
gangguan eksternal selalu hadir dalam
sistem nyata yang dapat menyebabkan
trayektori keluar dari keseimbangannya.
Gagasan dari kestabilan Lyapunov
berasal dari energi yang ditinjau ketika

adanya
gangguan
pada
titik
keseimbangannya. Bila dinamika sistem
setelah gangguan sedemikian rupa
sehingga tingkat energi sistem tidak
bertambah terhadap waktu, atau tingkat
energinya tidak pernah melebihi nilai
awal, atau menurun menuju nol, maka
sistem stabil.
Gagasan
Lyapunov
tersebut
diterapkan pada konsep kedisipatifan
suatu sistem. Sistem yang mengalami
disipasi
energi
akan
kehilangan

energinya secara perlahan menuju nol,
atau apabila ada supply energi, maka
34

akumulasi energi dalamnya akan sama
atau lebih kecil dari supply energi yang
diterimanya (Gupta, 1996).
Pendekatan PML dalam perancangan
pengendali memberikan manfaat untuk
menangani
spesifikasi-spesifikasi
perancangan yang dianggap tidak mudah
untuk dikerjakan. Dalam naskah ini,
konsep sistem disipatif dan formulasi
PML akan dikembangkan untuk
menghasilkan metodologi perancangan
pengendali
yang
mengantisipasi
ketidakpastian pada penguatan (gain)

dan/atau fasa.
Masalah sistem kendali disipatif
dalam penelitian ini adalah mencari
suatu pengendali K sehingga sistem
kendali yang dirancang merupakan suatu
sistem lingkar tertutup yang stabil,
bersifat disipatif dan kutub-kutub sistem
lingkar tertutupnya terletak disuatu
daerah tertentu dalam bidang kompleks.
Tujuannya adalah sistem kendali yang
dihasilkan bersifat kokoh dan memiliki
tanggapan peralihan yang baik. Sifat
kokoh diperoleh dari kedisipatifan
sistem lingkar tertutup, sedangkan
tanggapan peralihan yang baik dapat
diperoleh dengan cara meletakkan
kutub-kutub lingkar tertutup pada daerah
yang tepat pada bidang kompleks.
2.

SISTEM-SISTEM DISIPATIF
Salah satu hasil dari teori kestabilan
bahwa suatu sistem lingkar tertutup
terdiri dari suatu sistem dinamika pasif
dalam lingkar arah maju dan arah umpan
baliknya adalah pasif dan juga stabil.
Penjumlahan dari energi yang disimpan
dalam lingkar arah maju dan lingkar
umpan balik adalah suatu fungsi
Lyapunov untuk sistem lingkar tertutup.
Keberadaan suatu fungsi energi yang
disimpan agak mudah ditetapkan karena
ekivalen dengan asumsi kepasifan.

Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008

Dalam perhitungan fungsi energi
yang disimpan (atau tersimpan) memang
seringkali ditemukan banyak kesulitan,
tetapi dapat diatasi, yaitu dengan

kenyataan tidak terdapatnya fungsi
energi tersimpan yang unik, melainkan
senantiasa berada dalam suatu rentang
fungsi energi, yang dapat digambarkan
sebagai hubungan masukan/keluaran.
Terminologi disipatif digunakan secara
umum dalam konsep kepasifan dan
fungsi energi sebagai konsep dari energi
yang disimpan atau entropi (Willems,
1972).
Dengan menggunakan abstraksi
matematis dari pengertian daya dan
energi, konsep energi disipasi telah
digunakan
untuk
mengembangkan
kondisi-kondisi yang cukup untuk
kestabilan sistem disipatif. Hasil-hasil
perhitungan numerik dari kestabilan
(dalam literatur) seperti kondisi-kondisi

penguatan
kecil,
kondisi-kondisi
kepasifan (passivity), kondisi-kondisi
sektor, secara alami mengikuti aturan
sistem-sistem disipatif (Gupta, 1996).
Definisi 2.1: Misalkan persamaan
ruang keadaan, x = g( x , u , t ), y = h( x , u , t ) ,
dengan x, u dan y menyatakan keadaan,
masukan dan keluaran sistem; g dan h
merupakan fungsi-fungsi nonlinier yang
menggambarkan dinamika sistem.
Sistem ini disebut disipatif, jika terdapat
suatu fungsi daya, p( y ,u) , yang
terintegralkan, dan suatu fungsi dari
keadaan sistem, yaitu fungsi energi,
E ( x ) , sehingga berlaku pertidaksamaan
berikut.

∫

t1

t0

p( y (t ), u (t ))dt ≥ E ( x(t1 )) − E ( x(t0 ))

untuk semua masukan yang dapat
diterima, u(t), dalam interval waktu
[t 0 ,t1 ] , dan y(t) suatu keluaran dari
sistem dinamis.

Pertidaksamaan dalam Definisi 2.1
menjamin bahwa untuk suatu sistem
linier disipatif, integral waktu dari daya
masukan di dalam interval, yaitu energi
total masukan ke sistem, adalah lebih
besar atau sama dengan perubahan
bersih dalam energi total sistem. Selisih
antara energi total yang masuk ke sistem

dan perubahan bersih dalam energi
sistem adalah energi yang didisipasikan
oleh
sistem.
Hal
inilah
yang
menyebabkan mengapa sistem-sistem
yang memenuhi pertidaksamaan di atas
disebut sistem-sistem disipatif.
2.1. Sistem LIW Disipatif
Perhatikan suatu sistem LIW, Σ,
seperti berikut (Gupta, 1996).
x ( t ) = Ax ( t ) + Bu( t )

..… (2.1)

y ( t ) = Cx (t ) + Du(t )

dengan
y(t) : vektor keluaran px1 ( y (t ) ∈ℜ p )
u(t) : vektor masukan mx1 ( u(t ) ∈ℜ m )
x(t) : vektor keadaan nx1 ( x (t ) ∈ℜ n )
A, B, C, D matriks-matriks sistem yang
menggambarkan dinamika sistem.
Matriks fungsi alih pxm dari sistem
ini adalah
−1
G ( s) = C( sI − A) B + D
Suatu fungsi daya kuadratis dari
masukan dan keluaran diekspresikan
sebagai
Q
uT  T
N

[

]

p( y , u) = y T

N  y
R  u 

..… (2.2)

dengan
Q = QT

(Q = Q

:

T

∈ℜ

R=R

T

:

(R = R

T

∈ℜ

matriks
pxp

pxp

)
matriks

mxm

simetris
simetris

mxm

)

N : matriks riel pxm ( N ∈ℜ pxm )
Definisi 2.2.: Suatu sistem LIW
stabil, Σ : x = Ax + Bu , y = Cx + Du

Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008

35

dengan ( A, B, C , D) adalah suatu realisasi
minimal dari sistem, adalah disipatif
yang berkaitan dengan fungsi daya
kuadratis (2.2) jika terdapat suatu fungsi
energi
kuadratis
definit
positif
T
T
E ( x ) = x Px , dengan P = P > 0, yang
memenuhi pertidaksamaan disipatif
(2.3).
T
∫ p( y, u )dt ≥ E ( x(T)) − E ( x(0)) … (2.3)
0

untuk semua T ∈ [0, ∞ ) dan semua u ∈ L
menyatakan ruang yang kuadratnya
terintegralkan dalam selang 0 sampai ∞.
Kondisi pertidaksamaan (2.3) ekivalen
dengan Definisi 2.1.
Sistem LIW riel terbatas memenuhi
pertidaksamaan
m
2e

∫

T

0

T

y T ( t ) y( t )dt ≤ ∫ u T ( t )u( t )dt
0

untuk semua T ∈[0, ∞) dan u ∈ L m2e .
Sama dengan pertidaksamaan (2.4).
T
∫ {u T ( t )u( t ) − y T ( t ) y( t )}dt ≥ 0 ..... (2.4)
0

Terlihat bahwa sistem riel terbatas
adalah sistem LIW disipatif dengan
fungsi daya kuadratis
p( y , u ) = u T ( t )u( t ) − y T ( t ) y( t ) ,
merupakan fungsi daya kuadratis
persamaan (2.2), dengan R = I, Q = -I
dan N = 0.
Secara umum norm sistem riel
terbatas dengan G( s ) ∞ ≤ γ , atau H∞,
memenuhi pertidaksamaan berikut.

∫

T

0

T

y T ( t ) y( t )dt ≤ γ 2 ∫ u T ( t )u( t )dt
0

untuk semua T ∈[0, ∞) dan u ∈ L m2e .
Jadi sistem ini adalah disipatif yang
berkaitan dengan
p( y , u ) = γ 2 u T ( t )u( t ) − y T ( t ) y( t ) , yaitu
fungsi daya kuadratis persamaan (2.2),
dengan R = γ2I, Q = -I dan N = 0.
Sistem-sistem pasif ditentukan oleh
karakteristik sifat masukan-keluaran
36

seperti terlihat dalam pertidaksamaan
(2.5).

∫

T

0

y T ( t )u( t )dt ≥ 0

..… (2.5)

untuk semua T ∈[0, ∞) dan u ∈ L m2e .
Kondisi ini adalah disipatif yang
berkaitan dengan suatu fungsi daya
kuadratis
p( y , u ) = y T ( t )u( t ) + u T ( t ) y( t )

atau bentuk umum fungsi daya kuadratis
persamaan (2.2), dengan R = 0, Q = 0
dan N = I. Sistem seperti ini biasa
dikenal sebagai sistem riel positif ketat
(strictly positive real).
2.1.1. Karakterisasi Sistem LIW
Disipatif
Dalam bagian ini dibahas syarat
perlu dan cukup bahwa suatu sistem
bersifat disipatif yang dituangkan dalam
lemma kedisipatifan, yang merupakan
generalisasi
lemma
KalmanYakubovich untuk sistem riel positif,
dan bounded realness lemma untuk
sistem penguatan terbatas.
Kondisi-kondisi
untuk
lemma
kedisipatifan ekivalen dengan ekspresi
dalam bentuk suatu PML. Karakterisasi
PML dari sistem penguatan terbatas, riel
positif dan sektor terbatas, diturunkan
langsung dari karakterisasi PML
disipatif
sistem
LIW,
dengan
mensubstitusikan
fungsi
dayanya
masing-masing.
Teorema
2.1.:
Misalkan
Σ
= ( A, B, C, D) suatu realisasi minimal dari
suatu sistem LIW stabil. Pernyataanpernyataan berikut adalah ekivalen.
a. Sistem LIW, Σ, bersifat disipatif
berkaitan dengan suatu fungsi daya
kuadratis

[

p( y, u) = y T

Q
uT  T
N

]

N  y
R  u 

Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008

b.

(Karakterisasi PML) Terdapat suatu
matriks simetris, definit positif,
yang
memenuhi
P = P T > 0,
pertidaksamaan
matriks
linier
berikut.

 PA + AT P − C T QC
 T
T
 B P − (QD + N ) C

blok ketidakpastian ∆ dihubungkan ke
sistem melalui sinyal w dan z.
d

Secara umum hasil-hasil dalam
Teorema 2.1 untuk sistem-sistem LIW
disipatif menegaskan adanya kaitan
untuk sistem-sistem penguatan terbatas,
riel positif dan sektor terbatas, yaitu
dengan mensubstitusikan fungsi daya
masing-masing dalam hasil-hasil yang
umum.
3.

SISTEM KENDALI DISIPATIF
Model matematis sistem yang
dikendalikan dibentuk dari hubungan
sinyal masukan dan keluaran ke
kendalian maupun pengendali.
w

z

P

y

u

K

Gambar 1. Diagram blok sistem lingkar
tertutup

Variabel-variabel bebas dari model
adalah sinyal-sinyal masukan, dan
variabel-variabel tak bebas berupa
sinyal-sinyal keluaran.
3.1. Sistem Kendali LIW Disipatif
Dalam perancangan sistem kendali
selalu diinginkan memperoleh kinerja
sistem kokoh terhadap ketidakpastian.
Sistem M dengan masukan berupa
gangguan d dan kinerja keluaran e, serta

z

w


PB − C T (QD + N )
 0;

λmin ( TS ) ≥ 1

… (3.26)

Selanjutnya, himpunan pengendali
disipatif orde-k tidak kosong, jika dan
hanya jika (ii) memuat beberapa T, S
yang memenuhi batasan rank (3.27).
… (3.27)
Rank ( I − TS ) ≤ k
Bila D12 dan D21T mempunyai rank
kolom penuh, maka ( I − D12+ D12 ) dan

(I − D

21

D21+ ) adalah nol dan W12 ,W21 dapat

dinyatakan sebagai matriks identitas.
3.2.2. Perumusan PML dan SifatSifat Konveksitas
Sistem kendali dapat diselesaikan
(pengendali K (s ) diperoleh), bila

Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No. 1, Februari 2008

41

WPT Φ X cl WP < 0

ekivalen dengan pertidaksamaan berikut
N T

 0


T
T  AT + TA
0  
  − QC1T

I m1   T
T
 B1 − N C1T

B1 − C1T NT
− QD11
− R − N T D11 − D11T N

− C1T QT 
 N T
Q 
0
T
− D11Q 

0 
 0;

T > 0;

ekivalen dengan
 AT + TA
B1 − C NT

− QD11
 − QC1T


 BT − NT C T − R − NT D − DT N
1
11
11
 1
T

T

N T


 0


0


I 

N T


 0


0

 0 yang memenuhi PML (4.5)
berikut.
 AclT X + XAcl
 T
 Bcl X − N T Ccl
 −
QCcl


XBcl − CclT N
− R + N T Dcl + DclT N
− QDcl

(

)

− CclT Q 

− DclT Q  < 0

Q 

..… (4.5)
Pengendali K (s ) yang dirancang
tentunya
harus
dapat
memenuhi
pertidaksamaan
(4.4)
dan
pertidaksamaan (4.5). Konveksitas dapat
dilaksanakan dengan mencari suatu
solusi bersama, yaitu
X = XD > 0

x K = AK x K + B K y
u = C K x K + DK y

dan fungsi alih sistem lingkar tertutup
adalah persamaan (3.9).
Untuk merancang pengendali K (s ) ,
langkahnya adalah sebagai berikut.
Katakan A ∈ℜ nxn dan D22 ∈ℜ p xm ,
dan k adalah orde dari pengendali
( AK ∈ℜ kxk ).
Perubahan variabel pengendali
secara mutlak didefinisikan dalam
bentuk-bentuk matriks Lyapunov X
(yang tidak diketahui) (Polderman,
1998).
Khususnya partisi X dan inversnya
sebagai
M ;
 T
 S L

;
X −1 = 
X =
2

* 

S = S T ∈ ℜ nxn ;

MT


2

* 

T = T T ∈ ℜ nxn

..... (4.6)

44

bahwa X  T T  =  I , sehingga
 M   0
  

XΠ T = Π S

dengan

I S 

Π S := 
T 
0 L 

 T
ΠT :=  T
M

I

0 

dan

..... (4.7)

Didefinisikan
variabel-variabel
pengendali baru sebagai berikut.
Aˆ K = LAK M T + LBK C2T + SB2C K M T + S ( A + B2 DK C2 )T
Bˆ K = LBK + SB2 DK
Cˆ = C M T + D C T
K

untuk
pertidaksamaan
(4.4)
dan
pertidaksamaan (4.5).
Diasumsikan kendalian strictly
proper : D22 = 0 .
Pengendali
dapat
K (s )
direpresentasi kan dalam bentuk ruang
keadaan seperti berikut.

 LT


Dari XX −1 = I , dapat disimpulkan

K

K

2

Dˆ K = DK

..... (4.8)
ˆ
Variabel-variabel
baru AK , Bˆ K , Cˆ K
masing-masing mempunyai dimensi n x
n, n x m2, dan p2 x n. Jika L ∈ ℜ nxk dan
M ∈ ℜ nxk mempunyai rank baris penuh,
maka jika Aˆ K , Bˆ K , Cˆ K , Dˆ K dan matriks T,
S diberikan, maka dapat selalu dihitung
(diperoleh)
matriks
pengendali
yang
memenuhi
AK , BK , C K , DK
persamaan-persamaan dalam (4.8). Jika
M dan L adalah matriks persegi (k = n)
invertible,
maka AK , BK , C K , DK
dan
adalah unik.
Dalam perancangan orde penuh,
selalu dapat diasumsikan bahwa M dan L
mempunyai rank baris penuh. Jadi
variabel AK , BK , C K , D K dapat digantikan
oleh Aˆ K , Bˆ K , Cˆ K , Dˆ K tanpa kehilangan
bentuk umumnya.
Pengendali dapat ditentukan jika
dan hanya jika sistem PML berikut
fisibel.
Sebut S = S T ∈ ℜ nxn , T = T T ∈ ℜ nxn ,
dan matriks Aˆ K , Bˆ K , Cˆ K , Dˆ K sehingga
T

I

I
>0
S 

..... (4.9)

Jurnal Sains dan Teknologi EMAS, Vol. 18, No.1, Februari 2008


I
 + β kl Φ A + β lk Φ TA  < 0
S
 k ,l

 T
 α kl 

 I

..... (4.10)
 Φ A + Φ TA
 T
 Φ B − N T Ccl
 − QC
cl


(

Φ B − CclT N

− R + N T Dcl + DclT N
− QDcl

− CclT Q 

− DclT Q  < 0
Q 

)

..... (4.11)
dengan
 AT + B2Cˆ K A + B2 Dˆ K C2 
;
Φ A = 
Aˆ K
SA + Bˆ K C2 

 B + B2 Dˆ K D21 

Φ B =  1

ˆ
 SB1 + BK D21 

4.3. Hasil-Hasil Khusus PML Pengendali Disipatif dengan Peletakan
Kutub
Sistem Riel Terbatas:
 Φ A + Φ TA

 Φ TB
 C
cl


ΦB
−I
Dcl

CclT 

DclT  < 0
− I 

Pada mulanya harus diketahui
matriks nominal G0 (s ) dari model sistem
yang akan disimulasikan. Hal ini
diperoleh dengan mengolah matriks A,
B, C dan D. Kemudian dilanjutkan untuk
menentukan matriks fungsi bobot W1 (s )
dan W2 (s ) , merupakan matriks bobot
yang bergantung pada frekuensi. W1 (s )
adalah sebuah filter low pass, yang
berkaitan dengan S = 1 / (1 + G 0 K ) , S
adalah fungsi sensitivitas; sedangkan
W2 (s ) adalah sebuah filter high pass,
yang
berkaitan
dengan
T = G0 K / (1 + G0 K ) , T adalah fungsi alih
lingkar tertutup, yang merupakan
complementary sensitivity. Adapun
hubungan antara S dan T adalah
T = I −S .
Selanjutnya menghitung matriks
dari sistem P(s ) yang berdasarkan G 0 (s ) ,
W1 (s ) dan W2 (s ) yang telah diketahui.

Kasus khusus untuk H∞.
 Φ A + Φ TA

 Φ TB
 C
cl


ΦB
− γ 2I
Dcl

C clT 

DclT  < 0
− I 

Sistem Riel Positif Ketat
 Φ A + Φ TA

 ΦT
B


ΦB
− Dcl + DclT

(


