Xiia mate matika peminatan LKS
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:
1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;
2. menerapkan konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan cermat dan jeli dalam memilih cara yang
tepat untuk mencari solusi suatu permasalahan.
Penerapan Matriks
Penerapan Matriks dalam Sistem
Persamaan Linear (SPL)
•
•
•
•
Menjelaskan konsep invers matriks dalam
menentukan penyelesaian SPL.
Mencari penyelesaian SPL menggunakan
invers matriks.
Menjelaskan konsep determinan matriks
dalam menentukan penyelesaian SPL.
Mencari penyelesaian SPL menggunakan
determinan matriks.
Penerapan Matriks dalam Transformasi
Geometri
•
•
•
•
•
•
•
•
Menjelaskan konsep transformasi titik
oleh matriks.
Menentukan koordinat bayangan titik
setelah ditransformasi oleh suatu matriks.
Menjelaskan konsep transformasi kurva
oleh matriks.
Menentukan persamaan bayangan kurva
setelah ditransformasi oleh suatu matriks.
Menjelaskan konsep transformasi bangun
datar segi-n oleh matriks.
Menentukan bentuk dan luas bayangan
bangun datar segi-n setelah ditransformasi
oleh suatu matriks.
Bersikap cermat dan jeli dalam memilih cara yang tepat untuk mencari solusi suatu
permasalahan.
Mampu menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan penyelesaian SPL dan transformasi geometri.
Matematika Kelas XII
1
A. Pilihan Ganda
1.
Nilai
Jawaban: b
Diketahui SPLDV:
x = 3y ⇔
x – 3y = 0
2y + 3 = 4x ⇔ –4x + 2y = –3
Matriks koefisien SPLDV tersebut adalah
2.
–
4.
–
–
+
+
= ,
Oleh karena
−
= = – , dan
≠
=
, maka SPLDV memiliki
satu penyelesaian.
b.
−
= −
SPLDV
memiliki nilai a1 = 2,
− + =
a2 = –1, b1 = –6, b2 = 3, c1 = –4, dan c2 = 2.
Nilai
=
−
=
2
−
= –2,
Dx =
=
−
= –2, dan
= –2.
Oleh karena
=
=
, maka SPLDV
memiliki tak hingga penyelesaian.
c.
2
+ = −
SPLDV
memiliki nilai a1 = 1,
− − =
a2 = –2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –3, dan c2 = 5.
Penerapan Matriks
−
.
, maka SPLDV
−
−
−
−
= 18 × 3 – (–2) × (–27) = 54 – 54 = 0
x = = = 0
Jadi, nilai x = 0.
5.
Jawaban: d
Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian SPLDV,
maka:
3m + 2n = –17
2m + 3n = –8
Mencari nilai m dan n menggunakan determinan
matriks.
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
D =
=3×3–2×2 = 9 – 4
=5
Dm =
≠
=
− =
memiliki nilai a1 = 1,
SPLDV
+ =
a2 = 2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.
Nilai
= 3 × 3 – (–2) × (–2) = 9 – 4 = 5
+
Jawaban: c
a.
=
= – , dan
Jawaban: c
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
D =
= 0 × (–3) × (–1) + 3 × (–7) × 1 + 8 × 1 × (–2)
– 8 × (–3) × 1 – 0 × (–7) × (–2) – 3 × 1 × (–1)
= 0 – 21 – 16 + 24 – 0 + 3
= –10
3.
−
=
−
.
−
tidak memiliki penyelesaian.
Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.
Dz = − − −
− − −
=– ,
Oleh karena
−
.
−
Jawaban: d
Nilai determinan variabel z:
−
−
= –17 × 3 – 2 × (–8)
= –51 + 16 = –35
Dn =
−
−
= 3 × (–8) – (–17) × 2
= –24 + 34 = 10
Dengan demikian, diperoleh:
n=
m=
=
=
−
= –7
=2
Nilai m + n = –7 + 2 = –5.
Jadi, nilai m + n = –5.
6. Jawaban: a
x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linear
+ =
maka 3x1 + 4y1 = 0 dan x1 + 2y1 = 2
+ =
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
=
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
=3×2–4×1=6–4=2
−
Adj A =
−
−
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
−
⇔ =
−
× + ( − ) ×
=
( −) × + ×
−
=
+
A–1 =
−
−
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x1 = –4 dan y1 = 3.
Nilai x1 + 2y1 = × (–4) + 2 × 3 = –2 + 6 = 4
Jadi, nilai x1 + 2y1 = 4.
7. Jawaban: a
Diketahui SPLTV:
−
+ − −
+
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
− .
− −
D = −
–
–
+
–
+
+
= 2 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 3 + 0 × 1 × 0 – 0 × 1 × 3
– 2 × (–2) × 0 – (–1) × 1 × 4
= 8 + 6 + 0 – 0 – 0 + 4 = 18
−
−
D x = − − −
–
–
+
–
+
+
= 16 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 19 + 0 × (–3) × 0
– 0 × 1 × 19 – 16 × (–2) × 0 – (–1) × (–3) × 4
= 64 + 38 + 0 – 0 – 0 – 12 = 90
D y = − − −
–
–
–
+
+
+
= 2 × (–3) × 4 + 16 × (–2) × 3 + 0 × 1 × 19
– 0 × (–3) × 3 – 2 × (–2) × 19 – 16 × 1 × 4
= –24 – 96 + 0 – 0 + 76 – 64
= –108
−
−
D z = −
–
–
–
+
+
+
= 2 × 1 × 19 + (–1) × (–3) × 3 + 16 × 1 × 0
– 16 × 1 × 3 – 2 × (–3) × 0 – (–1) × 1 × 19
= 38 + 9 + 0 – 48 – 0 + 19 = 18
Dengan demikian, diperoleh :
−
x = = = 5
y = = = –6
z = = = 1
Jadi, HP = {(5, –6, 1)}.
8. Jawaban: c
Misalkan: x = harga sebuah buku
y = harga sebuah bolpoin
Harga 4 buku dan 2 bolpoin Rp11.400,00, maka
4x + 2y = 11.400.
Matematika Kelas XII
3
Harga 3 buku dan 4 bolpoin Rp11.300,00, maka
3x + 4y = 11.300.
Dengan demikian, diperoleh SPLDV:
4x + 2y = 11.400
3x + 4y = 11.300
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
D=
= 4 × 4 – 2 × 3 = 16 – 6 = 10
Dx =
= 4 × 11.300 – 11.400 × 3
= 45.200 – 34.200
= 11.000
Dengan demikian, diperoleh :
=
= 2.300
y= =
= 1.100
x=
Hal ini berarti, harga sebuah buku Rp2.300,00
dan harga sebuah bolpoin Rp 1.100,00.
Harga sebuah buku dan sebuah bolpoin = x + y
= Rp2.300,00 + Rp1.100,00 = Rp3.400,00
Uang kembalian Arman = Rp5.000 – Rp3.400,00
= Rp1.600,00
Jadi, uang kembalian yang diterima Arman
sebesar Rp1.600,00.
9. Jawaban: b
Misalkan: x = usia Ali sekarang
y = usia Doni sekarang
Empat tahun lalu usia Ali
kali usia Doni, maka
diperoleh persamaan:
(x – 4) =
(y
– 4) ⇔ 3(x – 4) = y – 4
⇔ 3x – 12 = y – 4
⇔ 3x – y = 8
Empat tahun yang akan datang jumlah usia Ali
dan Doni 24 tahun, maka diperoleh persamaan:
(x + 4) + (y + 4) = 24 ⇔ x + y = 16
Dengan demikian, diperoleh SPLDV:
3x – y = 8
x + y = 16
4
−
=
−
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.
det A =
−
= 3 × 1 – (–1) × 1 = 3 + 1 = 4
Adj A =
−
= 11.400 × 4 – 2 × 11.300
= 45.600 – 22.600
= 23.000
Dy =
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
Penerapan Matriks
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
⇔ =
−
× + ×
=
−× + ×
A–1 =
+
=
− +
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x = 6 dan y = 10.
Hal ini berarti, usia Ali sekarang 6 tahun dan usia
Doni sekarang 10 tahun.
Jadi, usia Doni sekarang 10 tahun.
10. Jawaban: d
Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti
x = –1 dan y = 2.
Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke persamaan
SPLDV.
⇔
+
−
+
+
=2
=2
⇔ 3(a – 1) + 2(2 + b) = 12
⇔
3a – 3 + 4 + 2b = 12
⇔
3a + 2b = 11
⇔
−
− −
+
+
− +
− +
. . . (1)
= –2
= –2
⇔ 3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24
⇔
–3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24
⇔
–3a – 16b = –25
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV baru
dalam variabel a dan b sebagai berikut.
3a + 2b = 11
–3a – 16b = –25
Mencari nilai a dan b menggunakan determinan
matriks.
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
−
D =
− −
− −
Adj A =
− −
Adj A =
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
− − −
=
− × ( −) + ( − ) ×
=
× ( −) + ×
−
− −
=
=
=
− +
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x = –3 dan y = 1.
Jadi, HP = {(–3, 1)}.
⇔
= 3 × (–16) – 2 × (–3)
= –48 + 6 = –42
Da =
− −
= 11 × (–16) – 2 × (–25)
= –176 + 50 = –126
Db =
b.
3
− −
= 3 × ( – 25) – 11 × (–3)
= –75 + 33 = –42
Dengan demikian, diperoleh:
a=
=
−
−
b=
=
−
−
=3
=1
Diperoleh a = 3 dan b = 1.
Nilai a + b = 3 + 1 = 4.
Jadi, nilai a + b = 4.
B. Uraian
1.
a.
Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan invers matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai
berikut.
−
=
− −
Misalkan A =
, X = , dan
− −
−
B = , maka diperoleh kesamaan matriks
AX = B.
det A =
= 2 × (–4) – 5 × (–3)
− −
= –8 + 15 = 7
A–1 =
Menentukan penyelesaian SPL menggunakan
determinan matriks.
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
D =
–
− .
− −
−
–
+
–
+
+
= 2 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 0 + 2 × 4 × 3
– 2 × 0 × 0 – 2 × (–3) × 3 – (–1) × 4 × 4
= 0 + 0 + 24 – 0 + 18 + 16
= 58
Dx =
–
−
−
− − −
–
–
+
+
+
= 6 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 5 + 2 × (–4) × 3
– 2 × 0 × 5 – 6 × (–3) × 3 – (–1) × (–4) × 4
= 0 + 15 – 24 – 0 + 54 – 16
= 29
Dy =
–
− − −
–
–
+
+
+
= 2 × (–4) × 4 + 6 × (–3) × 0 + 2 × 4 × 5
– 2 × (–4) × 0 – 2 × (–3) × 5 – 6 × 4 × 4
= –32 – 0 + 40 – 0 + 30 – 96
= –58
Matematika Kelas XII
5
−
−
−
Dz =
–
–
+
–
−
Dx =
+
–
+
= 2 × 0 × 5 + (–1) × (–4) × 0 + 6 × 4 × 3
– 6 × 0 × 0 – 2 × (–4) × 3 – (–1) × 4 × 5
= 0 + 0 + 72 – 0 + 24 + 20
= 116
Dengan demikian, diperoleh :
x=
=
−
y = = = –1
–
Jadi, HP = {( , –1, 2)}.
a.
Nilai
=
–,
Oleh karena
= –3, dan
≠
=
–
–
, maka SPLDV memiliki
− =
SPLDV
memiliki nilai a1 = 3,
− + =
a2 = –2, b1 = –1, b2 = , c1 = 3, dan c2 = 2.
Nilai
= –,
Oleh karena
=
−
=
= – , dan
≠
= .
, maka SPLDV
tak memiliki penyelesaian.
c.
−
.
−
–
–
+
+
+
= 2 × 2 × 1 + 0 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 1
– (–1) × 2 × 0 – 2 × 4 × 1 – 0 × (–4) × 1
= 4+0+4–0–8–0
= 0
6
Penerapan Matriks
–
–
+
+
+
–
–
+
+
+
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
.
−
− −
−
−
−
− − −
D =
–
–
+
+
+
= 0 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × (–1)
– (–1) × 3 × 2 – 0 × 6 × (–1) – 6 × (–6)
× (–2)
= 0 + 72 – 6 + 6 – 0 – 72
= 0
−
Dx = −
−
− − −
−
− −
–
d.
–
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
D =
+
= 2 × 2 × 2 + 0 × 1 × 0 + 1 × (–4) × 1
– 1 × 2 × 0 – 2 × 1 × 1 – 0 × (–4) × 2
= 8+0–4–0–2–0
= 2
Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, dan Dz ≠ 0,
maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian.
satu penyelesaian.
b.
+
Dz = − −
− + = −
SPLDV − = memiliki nilai a1 = –1,
a2 = 4, b1 = 3, b2 = –1, c1 = –1, dan c2 = 4.
+
= 2 × 1 × 1 + 1 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 2
– (–1) × 1 × 0 – 2 × 4 × 2 – 1 × (–4) × 1
= 2 + 0 + 8 – 0 – 16 + 4
= –2
z = = = 2
2.
–
−
D y = − −
=
–
= 1 × 2 × 1 + 0 × 4 × 2 + (–1) × 1 × 1
– (–1) × 2 × 2 – 1 × 4 × 1 – 0 × 1 × 1
= 2+0–1+4–4–0
= 1
–
–
–
+
+
+
= 6 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 1 + (–1) × (–3) × (–1)
– (–1) × 3 × 1 – 6 × 6 × (–1) – 6 × (–3)
× (–2)
= –36 + 36 – 3 + 3 + 36 – 36
= 0
Dengan demkian, diperoleh SPLDV:
p–A=4
p + A = 18
Menentukan nilai p dan A menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
−
A =
Dy =
–
–
+
–
+
− 0
0
−6 −
− 6 −
2
1 − 2
1
+
= 0 × (–3) × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × 1
– (–1) × (–3) × 2 – 0 × 6 × 1 – 6 × (–6)
× (–2)
= 0 + 72 + 6 – 6 – 0 – 72 = 0
−
Misalkan A =
, X = A , dan B = ,
maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.
0
0
− 6 − − 6
2 −1
2 −1
Dz =
–
–
–
+
+
+
= 0 × 3 × 1 + 6 × (–3) × 2 + 6 × (–6) × (–1)
– 6 × 3 × 2 – 0 × (–3) × (–1) – 6 × (–6) × 1
= 0 – 36 + 36 – 36 – 0 + 36 = 0
Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka
SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian.
3.
det A =
Adj A =
−
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
+
= +
memiliki nilai a1 = p,
SPLDV
+ =
A–1 =
a2 = q, b1 = 6, b2 = 8, c1 = 2q + 1, dan c2 = 4p.
SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika
=
=
⇔
.
Dengan demikian, diperoleh:
=
=
⇔
=
=
4.
Misalkan: p = panjang potongan papan
A = lebar potongan papan
Lebar potongan papan 4 cm kurang dari
panjangnya, maka diperoleh:
A=p–4
⇔ p–A=4
. . . (1)
Keliling potongan papan = 36, maka:
K = 2(p + A)
⇔
36 = 2(p + A)
⇔ p + A = 18
. . . (2)
=
A
−
+
=
− +
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
p = 11 dan l = 7.
Luas potongan papan = p × A = 11 × 7 = 77 cm2.
Jadi, luas potongan papan 77 cm2.
⇔ 9q = 4(2q + 1)
⇔ 9q = 8q + 4
⇔ q=4
4p = 3q ⇔ 4p = 3 × 4 ⇔ p = 3
Jadi, nilai p = 3 dan q = 4.
Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5
berikut menggunakan invers matriks atau determinan
matriks.
× + ×
=
− × + ×
⇔ = ⇔ = ⇔ 4p = 3q
⇔
−
= 1 × 1 – (–1) × 1 = 1 + 1 = 2
5.
Misalkan: x = banyak pesawat jenis A
y = banyak pesawat jenis B
z = banyak pesawat jenis C
Jumlah penumpang kelas bisnis = 305
maka:
50x + 75y + 40z = 305
⇔ 10x + 15y + 8z = 61
. . . (1)
Jumlah penumpang kelas ekonomi = 185
maka:
30x + 45y + 25z = 185
⇔ 6x + 9y + 5z = 37
. . . (2)
Matematika Kelas XII
7
Jumlah penumpang kelas VIP = 206
maka:
32x + 50y + 30z = 206
⇔ 16x + 25y + 15z = 103
. . . (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV
sebagai berikut.
10x + 15y + 8z = 61
. . . (1)
6x + 9y + 5z
= 37
. . . (2)
16x + 25y + 15z = 103
. . . (3)
Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan
determinan matriks.
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
Dy =
–
–
–
+
–
+
–
–
+
+
+
+
–
+
–
+
+
−
−
−
x = = − = 3
y = = − = 1
z = = − = 2
Jadi, perusahaan penerbangan tersebut harus
menyiapkan 3 unit pesawat jenis A, 1 unit pesawat
jenis B, dan 2 unit pesawat jenis C.
–
+
= 10 × 9 × 103 + 15 × 37 × 16 + 61 × 6 × 25
– 61 × 9 × 16 – 10 × 37 × 25 – 15 × 6 × 103
= 9.270 + 8.880 + 9.150 – 8.784 – 9.250 – 9.270
= –4
Dengan demikian, diperoleh:
= 10 × 9 × 15 + 15 × 5 × 16 + 8 × 6 × 25
– 8 × 9 × 16 – 10 × 5 × 25 – 15 × 6 × 15
= 1.350 + 1.200 + 1.200 – 1.152 – 1.250 – 1.350
= –2
Dx =
+
–
Dz =
–
–
= 10 × 37 × 15 + 61 × 5 × 16 + 8 × 6 × 103
– 8 × 37 × 16 – 10 × 5 × 103 – 61 × 6 × 15
= 5.550 + 4.880 + 4.944 – 4.736 – 5.150 – 5.490
= –2
.
D =
+
= 61 × 9 × 15 + 15 × 5 × 103 + 8 × 37 × 25
– 8 × 9 × 103 – 61 × 5 × 25 – 15 × 37 × 15
= 8.235 + 7.725 + 7.400 – 7.416 – 7.625 – 8.325
= –6
A. Pilihan Ganda
Jadi, bayangan titik P(3, –1) setelah ditransformasi
1.
−
oleh matriks M =
adalah P′(5, –4).
Jawaban: e
Misalkan bayangan titik P(3, –1) setelah
−
ditransformasi oleh matriks M =
adalah
P′(x′, y′), maka:
′
−
′ =
−
× + − × −
=
× + × −
+
=
=
−
−
8
Penerapan Matriks
2.
Jawaban: b
Bayangan titik A setelah ditransformasi oleh
matriks M =
′
=
′
⇔
adalah A′(5, 6), maka:
−
′
=
′
⇔
⇔
⇔
⇔
−
=–
−
× +
− ×
=–
− × + ×
−
=–
− +
= –
−
−
⇔ =
Jadi, Koordinat titik A(–1, 2).
3. Jawaban: d
Bayangan titik K(–3, 2) setelah ditransformasi oleh
matriks M =
′
=
′
⇔
adalah K′(a – 2b, b + 1), maka:
−
−
=
+
−
−
=
+
− +
Dari kesamaan matriks diperoleh:
a – 2b = –3a ⇔ 4a = 2b
. . . (1)
b + 1 = –3 + 2b ⇔ b = 4
. . . (2)
Substitusikan nilai b = 4 ke dalam persamaan (1).
4a = 2b
⇔ 4a = 2 × 4
⇔ a=2
Nilai 2a + b = 2 × 2 + 4 = 4 + 4 = 8
Jadi, nilai 2a + b = 8.
⇔
4. Jawaban: d
Misalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = 4 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
−
matriks M =
adalah (x′, y′), maka
diperoleh kesamaan matriks:
′ −
′ =
⇔
⇔
−
− ′
=
′
′
= − ′
′
=
−′ + ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
⇔
x = y′
. . . (1)
y = (–3x′ + y′)
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis x – 2y = 4 sehingga diperoleh:
x – 2y = 4
⇔
⇔
⇔
y′ – (–3x′ + y′)
y′ + 2x′ – y′
2x′ – y′
=4
=4
=4
⇔
6x′ – y′ = 12
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 6x′ – y′ = 12,
maka persamaan bayangan garis x – 2y = 4
adalah 6x – y = 12.
Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = 4
−
setelah ditransformasi oleh matriks M =
adalah 6x – y = 12.
5. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) pada elips + = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
⇔
′
′ =
−
=
−
=
−
′
′
′
′
′
⇔ =
′ ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
⇔
x =
× 4x′ = x′
. . . (1)
y =
(x′ + 2y′)
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per
samaan elips + = 1 sehingga diperoleh:
Matematika Kelas XII
9
′
⇔
+
+
′ + ′
=1
=1
⇔
6x′2 + (x′ + 2y′)2 = 48
2
⇔ 6x′ + x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48
⇔
7x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan + = 1,
maka persamaan bayangan elips + = 1
adalah 7x2 + 4xy + 4y2 = 48.
Jadi, persamaan bayangan elips + = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
2
2
adalah 7x + 4xy + 4y = 48.
6. Jawaban: d
Misalkan titik (x, y) pada parabola 5y + x2 = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diperoleh
kesamaan matriks:
⇔
⇔
⇔
′
′ =
−
′
=
′
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola 5y + x2 = 1 sehingga diperoleh:
5y + x2 = 1
⇔
(–x′
+ 2y′) + ( (3x′ – y′))2
+ 2y′) + (3x′ – y′)2
=1
=1
⇔
25(–x′ + 2y′) + (3x′ – y′)2 = 25
⇔ –25x′ + 50y′ + 9x′2 – 6x′y′ + y′2 = 25
⇔
9x′2 + y′2 – 25x′ + 50y′ – 6x′y′ = 25
10
Penerapan Matriks
⇔
⇔
. . . (2)
5×
⇔
− − ′
= – − ′
−′ − ′
=–
− ′
– (–x′)
=
(3x′
+ 4y′)
x′
. . . (1)
. . . (2)
x2 – 2y2 = 1
(–x′
⇔
⇔
′
′ =
−
−
′
=
− ′
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan hiperbola x2 – 2y2 = 1 sehingga diperoleh:
. . . (1)
(–x′
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
y=
x = (3x′ – y′)
+ 2y′)
7. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) pada hiperbola x2 – 2y2 = 1
dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
x = – (–3x′ – 4y′) =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
y=
setelah ditransformasi oleh matriks M =
2
2
adalah 9x + y – 25x + 50y – 6xy = 25.
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
− ′
= − ′
′ − ′
= ′
− + ′
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 5y + x2 = 1,
maka persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1
adalah 9x2 + y2 – 25x + 50y – 6xy = 25.
Jadi, persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1
⇔
2
x′
( (3x′ + 4y′))2 – 2( x′)2 = 1
(3x′
+ 4y′)2 –
=1
(3x′ + 4y′)2 – 2x′2 = 16
⇔
⇔ 9x′2 + 24x′y′ + 16y′2 – 2x′2 = 16
⇔
7x′2 + 16y′2 + 24x′y′ = 16
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 – 2y2 = 1,
maka persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1
adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.
Jadi, persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.
8. Jawaban: b
Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi
−
matriks M =
adalah P′Q′R′S′ dengan
koordinat titik P′(xP′, yP′), Q′(xQ′, yQ′), C′(xR′, yR′),
dan D′(xS′, yS′), maka:
′ ′ ′
′ ′ ′
′
′
−
=
− −
=
− −
=
− +
−
=
−
−
+
−
−
′ ′
′ ′ ′
−
=
−
Sehingga diperoleh:
−
−
′
′
′
′ ′
′ ′
′
− −
−
− + −
+ + −
+
=
− + − + + − +
− +
− −
− −
=
− −
−
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P′(–6, –2),
Q′(4, 4), R′(5, 3), dan S′(–3, –5).
Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius
sebagai berikut.
5
′
=
−
=
+
+
′
′
− −
=
−
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik K(–5, – ),
L(–4, –1), M(3, 1 ), dan N(2, 2).
Y
Gambar KLMN pada koordinat kartesius sebagai
berikut.
Q′
4
3
Y
4
R′
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
3
X
M
–2
P′
N
2
1
–3
–4
S′
–5
–6
–5
K
–4
L
–3
–2
–1 0
–1
1
2
3
4
X
–2
Dari gambar di atas terlihat, P′S′ sejajar dengan
Q′R′. Dengan demikian, P′Q′R′S′ berbentuk
trapesium.
Jadi, bayangan PQRS berbentuk trapesium.
9. Jawaban: c
Bangun datar KLMN ditransformasi oleh
−
matriks M =
menghasilkan bayangan
−
K′L′M′N′ dengan koordinat titik K′(–4, 3),
L′(–2, 0), M′(0, 3), dan N′(–2, 6), maka:
–3
Dari gambar terlihat, KL sejajar dengan NM dan
KN sejajar dengan LM. Dengan demikian, KLMN
berbentuk jajargenjang.
Jadi, bangun datar KLMN berbentuk jajargenjang.
10. Jawaban: c
Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik
A(–2, 2), B(–2, –2), C(4, 2), dan D(3, 4).
Gambar segi empat ABCD pada koordinat
kartesius sebagai berikut.
Matematika Kelas XII
11
5
Y
–26 = a(1 – a) + 4
⇔
a – a2 + 30 = 0
⇔
a2 – a – 30 = 0
⇔
(a – 6)(a + 5) = 0
⇔ (a – 6) = 0 atau (a + 5) = 0
⇔
a = 6 atau
a = –5
Oleh karena a < 0, maka nilai a = –5.
Substitusikan nilai a = –5 ke dalam persamaan (2).
4a – 2 = b(1 – a) + 2
⇔ 4 × (–5) – 2 = b(1 – (–5)) + 2
⇔
–20 – 2 = b × 6 + 2
⇔
–22 = 6b + 2
⇔
6b = –24
⇔
b = –4
Dengan demikian, diperoleh:
D
4
3
A
C
2
E
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
6
X
–2
B
Dari gambar dapat diketahui:
LABCD = LABC + LACD
= × AB × AC + × AC × DE
= ×4×6+ ×6×2
=2×6+3×2
= 12 + 6
= 18 satuan luas
Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi
matriks M =
adalah A′B′C′D′, maka:
LA′B′C′D = | det M| LABCD
=
b.
× 18
−
ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah P′(x′, y′), maka:
= 1 × 5 – 3 × 3 × 18
= 5 – 9 × 18
= – 4 × 18
= 4 × 18
= 72 satuan luas
Jadi, luas bayangan ABCD adalah 72 satuan luas.
′ −
′ =
−
− −
=
− −
− ×
− + ×
−
=
− ×
− + ×
−
B. Uraian
1.
a.
Bayangan titik K(1 – a, 2) setelah
ditransformasi oleh matriks M =
adalah K′(–26, 4a – 2), maka:
′
=
′
⇔
−
−
=
−
⇔
−
− +
=
−
− +
Dari kesamaan matriks diperoleh:
–26 = a(1 – a) + 4
. . . (1)
4a – 2 = b(1 – a) + 2
. . . (2)
12
Penerapan Matriks
−
M=
=
−
−
Jadi, matriks M =
.
−
Menentukan bayangan titik P(b, a – b).
Titik P(b, a – b) = P(–4, –5 – (–4)) = P(–4, –1)
Misalkan bayangan titik P(–4, –1) setelah
−
=
=
−
Jadi, bayangan titik P(–4, –1) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah P′(18, 15).
2.
Menentukan persamaan garis.
Bayangan titik B(p, q) setelah ditransformasi oleh
matriks M =
adalah B′(5, 11), maka:
′
=
′
⇔
− ′
=
′
⇔
−
=
−
⇔
× +
− ×
=
− × + ×
⇔
−
=
− +
⇔
=
−
3.
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
′
′ =
−
⇔
Dari kesamaan matriks diperoleh nilai p = 4 dan
q = –3.
Dengan demikian, diperoleh persamaan garis:
4x – (–3)y = 4 ⇔ 4x + 3y = 4
Menentukan persamaan bayangan garis.
Misalkan titik (x, y) pada garis 4x + 3y = 4 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
⇔
⇔
x = – y′
y
⇔
− ′
=
− ′
⇔
′ − ′
=
−′ + ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
x = 3x′ – y′
. . . (1)
y = –5x′ + 2y′
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 4x + 3y = 4 sehingga diperoleh:
4x + 3y = 4
⇔ 4(3x′ – y′) + 3(–5x′ + 2y′) = 4
⇔
12x′ – 4y′ – 15x′ + 6y′ = 4
⇔
–3x′ + 2y′ = 4
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 4x + 3y = 4,
maka persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4
adalah –3x + 2y = 4.
Jadi, persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4
setelah ditransformasi oleh matriks M =
adalah –3x + 2y = 4.
=
. . . (1)
× 5x′ = x′
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per-
′
′ =
⇔
−
′
=
− ′
− ′
=
′
− ′
= ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper
oleh kesamaan matriks:
−
′
=
′
Misalkan titik (x, y) pada elips + y2 = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
samaan elips + y2 = 1 sehingga diperoleh:
⇔
⇔
′
′
+ y2 = 1
+ x′2 = 1
+ x′2 = 1
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan + y2 = 1,
maka persamaan bayangan elips + y2 = 1
adalah + x2 = 1.
Jadi, persamaan bayangan elips + y2 = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah + x2 = 1.
4.
Lingkaran x2 + y2 = 5 memiliki jari-jari r =
Luas lingkaran :
.
L = πr2 = π( )2 = 5π
| det M | = | |
=|3×5–1×6|
= | 15 – 6 | = 9
Matematika Kelas XII
13
Misalkan luas bayangan lingkaran adalah L′,
maka:
L′ = | det M | × L = 9 × 5π = 45π
Jadi, luas bayangan lingkaran adalah 45π satuan
luas.
5.
a.
# ′ $ ′
# $
=
− # $
# ′ $ ′
=
−
+ +
=
+ −
Bayangan titik A(–4, 0) dan B(0, –2) setelah
!
ditransformasi oleh matriks M =
"
adalah A′(0, –4) dan B′(–4, 8), maka:
′ ′ !
=
′ ′ "
⇔
′ ′
!
= ′ ′
"
−
−
=
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik
C′(0, 4) dan D′(4, –8).
c.
Gambarkan bangun datar A′B′C′D′ pada
koordinat kartesius sebagai berikut.
9
⇔
− −
!
= −
−
"
6
⇔
− −
!
= −
×
−
"
⇔
− −
!
=
−
−
"
3
⇔
+ +
!
=
+ −
"
⇔
!
=
−
"
⇔
B′
5
4 C′
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah C′ dan D′, maka:
A. Pilihan Ganda
1.
Jawaban: d
+ + =
Matriks koefisien SPLTV + + =
+ + =
14
Penerapan Matriks
1
2
3
4
5
6
X
–2
–3
–4
!
= −
"
Menentukan koordinat titik C′ dan D′.
Bayangan titik C(4, 0) dan D(0, 2) setelah
8
7
A′
–5
–6
–7
Jadi, matriks M =
.
−
b.
Y
–8
D′
–9
Dari gambar di atas terlihat bahwa A′D′ sejajar
dengan B′C′ dan B′A′ sejajar dengan C′D′.
Dengan demikian, A′B′C′D′ berbentuk jajargenjang.
adalah
.
=
SPLTV − = dapat dituliskan dalam bentuk
+ =
+ + =
+ − = .
+ + =
Dengan demikian, matriks koefisien SPLTV tersebut
adalah
− .
2. Jawaban: a
Nilai determinan utama:
−
D =
− −
= 3 × (–1) – (–2) × (–5)
= –3 – 10
= –13
Jadi, nilai determinan utama adalah –13.
3. Jawaban: e
Nilai determinan variabel x:
− %
Dx =
& −
= –12 × (–4) – 9 × 7
= 48 – 63
= –15
Jadi, nilai determinan variabel x adalah –15.
4. Jawaban: c
Nilai determinan variabel y:
Dy =
'
' +
= –4
⇔
8 × 1 – k(k +1) = –4
⇔
8 – k2 – k + 4 = 0
⇔
k2 + k – 12 = 0
⇔
(k + 4)(k – 3) = 0
⇔ (k + 4) = 0 atau (k – 3) = 0
⇔
k = –4 atau
k=3
Nilai k > 0, maka k = 3.
Nilai determinan utama:
=
D =
'
=8×1–2×3
=8–6
=2
Jadi, nilai determinan utama adalah 2.
5. Jawaban: e
Nilai determinan variabel y:
−
− −
Dy =
–
–
–
+
+
+
= 1 × 3 × 0 + 1 × 1 × (–1) + (–1) × 2 × 0
– (–1) × 3 × (–1) – 1 × 1 × 0 – 1 × 2 × 0
= 0–1+0–3–0–0
= –4
Jadi, nilai determinan variabel y adalah –4.
6. Jawaban: d
Nilai determinan variabel z:
−
Dz = − −
− −
–
–
–
+
+
+
= 1 × (–1) × 3 + 0 × 4 × 2 + (–6) × 2 × (–3)
– (–6) × (–1) × 2 – 1 × 4 × (–3) – 0 × 2 × 3
= –3 + 0 + 36 – 12 + 12 – 0
= 33
Jadi, nilai determinan variabel z adalah 33.
7. Jawaban: b
Nilai determinan variabel x:
Dx =
− − − −
−
−
−
−
–
–
–
+
+
+
= (4p –1) × 0 × 0 + (–2) × p × (–1) + 1 × (–16) × 2
– 1 × 0 × (–1) – (4p –1) × p × 2 – (–2) × (–16) × 0
= 0 + 2p – 32 – 0 – 2p(4p –1) – 0
= 2p – 32 – 8p2 + 2p
= – 8p2 + 4p – 32
Nilai Dx = –72, maka:
–8p2 + 4p – 32 = –72
⇔
–8p2 + 4p + 40 = 0
⇔
2p2 – p – 10 = 0
⇔
(2p – 5)(p + 2) = 0
⇔
2p – 5 = 0
atau p + 2 = 0
⇔
p=2
atau
p = –2
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 atau –2.
Matematika Kelas XII
15
8. Jawaban: c
+ =
SPLDV
tidak memiliki penyelesaian
+ =
jika
a.
=
≠
.
Nilai
−
=
=– ,
Diperoleh nilai
b.
= –2, dan
≠
=
.
.
−
= − = –2,
=
Nilai
= − = – ,
−
penyelesaian jika
a.
=
≠
b.
= = – , dan
sehingga SPLDV
tidak memiliki penyelesaian.
c.
9. Jawaban: b
+ =
SPLDV + = memiliki satu penyelesaian
jika
a.
≠
.
− + =
memiliki nilai a1 = –3,
SPLDV
− =
a2 = 2, b1 = 3, b2 = –2, c1 = 3, dan c2 = 2.
Nilai
=
−
Diperoleh nilai
16
=–
dan
=
Penerapan Matriks
.
=
−
=– .
≠
=– .
sehingga SPLDV
Nilai
=
= 2.
=
−
=
.
= –2,
=
=
≠
−
= –2, dan
.
− = −
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
+ =
a2 = 4, b1 = –3, b2 = 6, c1 = –3, dan c2 = 6.
Nilai
−
=
=
=
,
=
−
= – , dan
=– .
≠
=
.
− =
SPLDV
memiliki nilai a1 = 2,
− = −
a2 = 4, b1 = –3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.
Nilai
−
=
=
=
,
=
=
−
−
=
,
dan
=– .
Diperoleh nilai
d.
=
− =
memiliki nilai a1 = 4,
SPLDV
− + =
a2 = –2, b1 = –6, b2 = 3, c1 = 4, dan c2 = 2.
Diperoleh nilai
Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.
Diperoleh nilai
−
=
+ =
SPLDV
memiliki tak berhingga
+ =
= .
Diperoleh nilai
dan
10. Jawaban: d
.
− =
memiliki nilai a1 = 1,
SPLDV
− + =
a2 = –2, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = 2.
=
Jadi, SPLDV pilihan b memiliki satu penyelesaian.
= = –2, dan
=
=
memiliki satu penyelesaian.
−
Diperoleh nilai
= = –2.
Diperoleh nilai
c.
=
≠
−
− = −
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
− + =
a2 = –1, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –6, dan c2 = 3.
Nilai
− =
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
+ =
a2 = 4, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 3, dan c2 = 6.
Nilai
− + =
memiliki nilai a1 = –1,
SPLDV
− =
a2 = 2, b1 = 2, b2 = –1, c1 = 1, dan c2 = 2.
b.
≠
.
− + =
SPLDV
memiliki nilai a1 = –2,
− = −
a2 = 4, b1 = 3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.
−
Nilai
=
−
=– .
=
= – ,
=
−
= – , dan
Diperoleh nilai
=
=
sehingga
SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian.
Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhingga
penyelesaian.
11. Jawaban: e
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
D =
−
= 4 × (–3) – 6 × 2
= –12 – 12
= –24
−
Dy =
y =
$
$
=
−
= –6
Jadi, nilai y = –6.
12. Jawaban: b
Diketahui (p, q) merupakan penyelesaian SPLDV,
maka:
–5p + 3q = –10
4p – 2q = 12
Mencari nilai p dan q menggunakan determinan
matriks.
−5
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
−
D =
−
= –5 × (–2) – 3 × 4
= 10 – 12
= –2
Dp =
−
−
= –10 × (–2) – 3 × 12
= 20 – 36
= –16
Dq =
− −
= –5 × 12 – (–10) × 4
= –60 + 40
= –20
$
−
$
−
p = $ = − = 8
q = $ = − = 10
Nilai 2q – 4p = 2 × 10 – 4 × 8 = 20 – 32 = –12.
Jadi, nilai 2q – 4p = –12.
13. Jawaban: c
−+
+
⇔
⇔
⇔
=4
x – y + 4 = 4(2x + 3y)
x – y + 4 = 8x + 12y
7x + 13y = 4
+ +
+
. . . (1)
= –1
⇔ x + 2y + 1 = –(x + y)
⇔ x + 2y + 1 = –x – y
⇔
2x + 3y = –1
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:
7x + 13y = 4
2x + 3y = –1
Menentukan nilai x dan y menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
= 4 × 28 – (–16) × 2
= 112 + 32
= 144
Dengan demikian, diperoleh:
&
=
−
&
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
−
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
&
= 7 × 3 – 13 × 2
= 21 – 26 = –5
−
Adj A =
&
−
A–1 =
*/;
Adj A = –
−
&
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
−
⇔ = – − &
−
( − )
−
⇔ = –
− &
−
1
+
⇔ = – −
− & = –
−
=
−
Matematika Kelas XII
17
Dengan demikian, diperoleh x = –5 dan y = 3.
Nilai x + 3y = –5 + 3 × 3 = –5 + 9 = 4
Jadi, nilai x + 3y = 4.
14. Jawaban: d
Menentukan titik potong antara garis 7x + 2y = –13
dan 8x – 3y = –36 sama dengan menentukan
& + = −
penyelesaian SPLDV
.
− = −
Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan
determinan matriks.
&
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
&
D =
−
= 7 × (–3) – 2 × 8
= –21 – 16 = –37
= (–13) × (–3) – 2 × (–36)
= 39 + 72
= 111
& −
−
Dy =
= 7 × (–36) – (–13) × 8
= –252 + 104
= –148
Dengan demikian, diperoleh:
$
$
−
x = $ = −& = –3
y = $ = −& = 4
Kedua garis berpotongan di titik (p, q + 1), maka:
p = x = –3
q + 1 = 4 ⇔ q = 3.
Nilai p – q = –3 – 3 = –6
Jadi, nilai p – q = –6.
15. Jawaban: e
Terlebih dahulu dicari nilai m dan n menggunakan
invers matriks.
det A =
Penerapan Matriks
−
= 4 × (–2) – 2 × 3 = –8 – 6 = –14
− −
Adj A =
−
A–1 =
*/;
Adj A = –
1
− −
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
?
⇔ = –
@
=–
=–
− − −
− −
−
− ( − )
−
−
−
−
+
−
−
=
−
Dengan demikian, diperoleh nilai m = –2 dan n = 3.
Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian sistem
=–
+ =
persamaan
, maka:
+ =
4m + 3n = a ⇔ a = 4 × (–2) + 3 × 3
⇔ a = –8 + 9 = 1
5m + 2n = b ⇔ b = 5 × (–2) + 2 × 3
⇔ b = –10 + 6 = –4
Nilai a + b = 1 – 4 = –3
Jadi, nilai a + b = –3.
16. Jawaban: d
Misalkan: banyak gula aren = x bungkus
banyak gula pasir = y bungkus
Berat seluruh gula aren = 0,5x.
Berat seluruh gula pasir = y.
Berat seluruh gula aren dikurangi berat seluruh
gula pasir sama dengan 2 kg, maka 0,5x – y = 2
⇔ x – 2y = 4
. . . (1)
Jumlah berat seluruh gula 18 kg, maka 0,5x + y = 18
⇔ x + 2y = 36
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV
sebagai berikut.
x – 2y = 4
x + 2y = 36
? + @ = −
.
Diketahui SPLDV
? − @ = −
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
? −
=
− @ −
−
,
−
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
−
− −
Dx =
18
?
Misalkan A =
, X = @ , dan B =
−
Menentukan nilai x dan y menggunakan determinan
matriks.
−
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
= 1 × 2 – (–2) × 1 = 2 + 2 = 4
D=
Dx =
−
= 4 × 2 – (–2) × 36
= 8 + 72 = 80
Dy =
−
Adj A = –1
*/;
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
A–1 =
−
⇔ = –1
−
( −)
= –
−
−
= –
−
% +
−
= –
=
−
= 1 × 36 – 4 × 1
= 36 – 4 = 32
Dengan demikian, diperoleh:
$
$
Dengan demikian, diperoleh nilai x = 28 dan y = 35.
Hasil penjualan jeruk = 28 × Rp15.000,00 =
Rp420.000,00.
Jadi, hasil penjualan jeruk Rp420.000,00.
x = $ = = 20
y= $ = =8
Banyak gula = x + y = 20 + 8 = 28
Jadi, banyak gula dalam kardus 28 bungkus.
,
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
=1×2–1×3
= 2 – 3 = –1
−
Adj A =
−
18. Jawaban: a
Misalkan bilangan tersebut ab, a = angka pertama
dan b = angka kedua.
Dua kali angka pertama ditambah 2 hasilnya
merupakan angka kedua, maka
2a + 2 = b ⇔ 2a – b = –2
. . . (1)
Angka pertama ditambah angka kedua hasilnya
11, maka a + b = 11
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV
sebagai berikut.
2a – b = –2
a + b = 11
Menentukan nilai a dan b menggunakan determinan
matriks.
−
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
D =
17. Jawaban: b
Misalkan: x = banyak jeruk yang terjual (kg)
y = banyak salak yang terjual (kg)
Jumlah jeruk dan salak yang terjual selama
seminggu = 63 kg, maka x + y = 63
. . . (1)
Hasil penjualan jeruk dan salak selama seminggu
= Rp770.000,00, maka 15.000x + 10.000y =
770.000 ⇔ 3x + 2y = 154
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:
x + y = 63
3x + 2y = 154
Menentukan nilai x dan y menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
=
Misalkan A =
, X = , dan B =
= 2 × 1 – (–1) × 1
=2+1
=3
Da =
− −
= (–2) × 1 – (–1) × 11
= –2 + 11
=9
Db =
−
= 2 × 11 – (–2) × 1
= 22 + 2
= 24
Matematika Kelas XII
19
Dengan demikian, diperoleh:
a=
$
$
b=
$
$
=
%
=
=3
=8
Bilangan = ab = 38
Jadi, bilangan tersebut 38.
21. Jawaban: e
Bayangan titik K(m, –1) setelah ditransformasi
oleh matriks M =
adalah K′(11, m), maka:
?
′
′ =
?
19. Jawaban: d
Misalkan bayangan titik Q(–3, 7) setelah
⇔
�
1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;
2. menerapkan konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan cermat dan jeli dalam memilih cara yang
tepat untuk mencari solusi suatu permasalahan.
Penerapan Matriks
Penerapan Matriks dalam Sistem
Persamaan Linear (SPL)
•
•
•
•
Menjelaskan konsep invers matriks dalam
menentukan penyelesaian SPL.
Mencari penyelesaian SPL menggunakan
invers matriks.
Menjelaskan konsep determinan matriks
dalam menentukan penyelesaian SPL.
Mencari penyelesaian SPL menggunakan
determinan matriks.
Penerapan Matriks dalam Transformasi
Geometri
•
•
•
•
•
•
•
•
Menjelaskan konsep transformasi titik
oleh matriks.
Menentukan koordinat bayangan titik
setelah ditransformasi oleh suatu matriks.
Menjelaskan konsep transformasi kurva
oleh matriks.
Menentukan persamaan bayangan kurva
setelah ditransformasi oleh suatu matriks.
Menjelaskan konsep transformasi bangun
datar segi-n oleh matriks.
Menentukan bentuk dan luas bayangan
bangun datar segi-n setelah ditransformasi
oleh suatu matriks.
Bersikap cermat dan jeli dalam memilih cara yang tepat untuk mencari solusi suatu
permasalahan.
Mampu menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan penyelesaian SPL dan transformasi geometri.
Matematika Kelas XII
1
A. Pilihan Ganda
1.
Nilai
Jawaban: b
Diketahui SPLDV:
x = 3y ⇔
x – 3y = 0
2y + 3 = 4x ⇔ –4x + 2y = –3
Matriks koefisien SPLDV tersebut adalah
2.
–
4.
–
–
+
+
= ,
Oleh karena
−
= = – , dan
≠
=
, maka SPLDV memiliki
satu penyelesaian.
b.
−
= −
SPLDV
memiliki nilai a1 = 2,
− + =
a2 = –1, b1 = –6, b2 = 3, c1 = –4, dan c2 = 2.
Nilai
=
−
=
2
−
= –2,
Dx =
=
−
= –2, dan
= –2.
Oleh karena
=
=
, maka SPLDV
memiliki tak hingga penyelesaian.
c.
2
+ = −
SPLDV
memiliki nilai a1 = 1,
− − =
a2 = –2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –3, dan c2 = 5.
Penerapan Matriks
−
.
, maka SPLDV
−
−
−
−
= 18 × 3 – (–2) × (–27) = 54 – 54 = 0
x = = = 0
Jadi, nilai x = 0.
5.
Jawaban: d
Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian SPLDV,
maka:
3m + 2n = –17
2m + 3n = –8
Mencari nilai m dan n menggunakan determinan
matriks.
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
D =
=3×3–2×2 = 9 – 4
=5
Dm =
≠
=
− =
memiliki nilai a1 = 1,
SPLDV
+ =
a2 = 2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.
Nilai
= 3 × 3 – (–2) × (–2) = 9 – 4 = 5
+
Jawaban: c
a.
=
= – , dan
Jawaban: c
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
D =
= 0 × (–3) × (–1) + 3 × (–7) × 1 + 8 × 1 × (–2)
– 8 × (–3) × 1 – 0 × (–7) × (–2) – 3 × 1 × (–1)
= 0 – 21 – 16 + 24 – 0 + 3
= –10
3.
−
=
−
.
−
tidak memiliki penyelesaian.
Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.
Dz = − − −
− − −
=– ,
Oleh karena
−
.
−
Jawaban: d
Nilai determinan variabel z:
−
−
= –17 × 3 – 2 × (–8)
= –51 + 16 = –35
Dn =
−
−
= 3 × (–8) – (–17) × 2
= –24 + 34 = 10
Dengan demikian, diperoleh:
n=
m=
=
=
−
= –7
=2
Nilai m + n = –7 + 2 = –5.
Jadi, nilai m + n = –5.
6. Jawaban: a
x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linear
+ =
maka 3x1 + 4y1 = 0 dan x1 + 2y1 = 2
+ =
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
=
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
=3×2–4×1=6–4=2
−
Adj A =
−
−
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
−
⇔ =
−
× + ( − ) ×
=
( −) × + ×
−
=
+
A–1 =
−
−
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x1 = –4 dan y1 = 3.
Nilai x1 + 2y1 = × (–4) + 2 × 3 = –2 + 6 = 4
Jadi, nilai x1 + 2y1 = 4.
7. Jawaban: a
Diketahui SPLTV:
−
+ − −
+
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
− .
− −
D = −
–
–
+
–
+
+
= 2 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 3 + 0 × 1 × 0 – 0 × 1 × 3
– 2 × (–2) × 0 – (–1) × 1 × 4
= 8 + 6 + 0 – 0 – 0 + 4 = 18
−
−
D x = − − −
–
–
+
–
+
+
= 16 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 19 + 0 × (–3) × 0
– 0 × 1 × 19 – 16 × (–2) × 0 – (–1) × (–3) × 4
= 64 + 38 + 0 – 0 – 0 – 12 = 90
D y = − − −
–
–
–
+
+
+
= 2 × (–3) × 4 + 16 × (–2) × 3 + 0 × 1 × 19
– 0 × (–3) × 3 – 2 × (–2) × 19 – 16 × 1 × 4
= –24 – 96 + 0 – 0 + 76 – 64
= –108
−
−
D z = −
–
–
–
+
+
+
= 2 × 1 × 19 + (–1) × (–3) × 3 + 16 × 1 × 0
– 16 × 1 × 3 – 2 × (–3) × 0 – (–1) × 1 × 19
= 38 + 9 + 0 – 48 – 0 + 19 = 18
Dengan demikian, diperoleh :
−
x = = = 5
y = = = –6
z = = = 1
Jadi, HP = {(5, –6, 1)}.
8. Jawaban: c
Misalkan: x = harga sebuah buku
y = harga sebuah bolpoin
Harga 4 buku dan 2 bolpoin Rp11.400,00, maka
4x + 2y = 11.400.
Matematika Kelas XII
3
Harga 3 buku dan 4 bolpoin Rp11.300,00, maka
3x + 4y = 11.300.
Dengan demikian, diperoleh SPLDV:
4x + 2y = 11.400
3x + 4y = 11.300
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
D=
= 4 × 4 – 2 × 3 = 16 – 6 = 10
Dx =
= 4 × 11.300 – 11.400 × 3
= 45.200 – 34.200
= 11.000
Dengan demikian, diperoleh :
=
= 2.300
y= =
= 1.100
x=
Hal ini berarti, harga sebuah buku Rp2.300,00
dan harga sebuah bolpoin Rp 1.100,00.
Harga sebuah buku dan sebuah bolpoin = x + y
= Rp2.300,00 + Rp1.100,00 = Rp3.400,00
Uang kembalian Arman = Rp5.000 – Rp3.400,00
= Rp1.600,00
Jadi, uang kembalian yang diterima Arman
sebesar Rp1.600,00.
9. Jawaban: b
Misalkan: x = usia Ali sekarang
y = usia Doni sekarang
Empat tahun lalu usia Ali
kali usia Doni, maka
diperoleh persamaan:
(x – 4) =
(y
– 4) ⇔ 3(x – 4) = y – 4
⇔ 3x – 12 = y – 4
⇔ 3x – y = 8
Empat tahun yang akan datang jumlah usia Ali
dan Doni 24 tahun, maka diperoleh persamaan:
(x + 4) + (y + 4) = 24 ⇔ x + y = 16
Dengan demikian, diperoleh SPLDV:
3x – y = 8
x + y = 16
4
−
=
−
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.
det A =
−
= 3 × 1 – (–1) × 1 = 3 + 1 = 4
Adj A =
−
= 11.400 × 4 – 2 × 11.300
= 45.600 – 22.600
= 23.000
Dy =
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
Penerapan Matriks
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
⇔ =
−
× + ×
=
−× + ×
A–1 =
+
=
− +
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x = 6 dan y = 10.
Hal ini berarti, usia Ali sekarang 6 tahun dan usia
Doni sekarang 10 tahun.
Jadi, usia Doni sekarang 10 tahun.
10. Jawaban: d
Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti
x = –1 dan y = 2.
Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke persamaan
SPLDV.
⇔
+
−
+
+
=2
=2
⇔ 3(a – 1) + 2(2 + b) = 12
⇔
3a – 3 + 4 + 2b = 12
⇔
3a + 2b = 11
⇔
−
− −
+
+
− +
− +
. . . (1)
= –2
= –2
⇔ 3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24
⇔
–3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24
⇔
–3a – 16b = –25
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV baru
dalam variabel a dan b sebagai berikut.
3a + 2b = 11
–3a – 16b = –25
Mencari nilai a dan b menggunakan determinan
matriks.
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
−
D =
− −
− −
Adj A =
− −
Adj A =
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
− − −
=
− × ( −) + ( − ) ×
=
× ( −) + ×
−
− −
=
=
=
− +
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
x = –3 dan y = 1.
Jadi, HP = {(–3, 1)}.
⇔
= 3 × (–16) – 2 × (–3)
= –48 + 6 = –42
Da =
− −
= 11 × (–16) – 2 × (–25)
= –176 + 50 = –126
Db =
b.
3
− −
= 3 × ( – 25) – 11 × (–3)
= –75 + 33 = –42
Dengan demikian, diperoleh:
a=
=
−
−
b=
=
−
−
=3
=1
Diperoleh a = 3 dan b = 1.
Nilai a + b = 3 + 1 = 4.
Jadi, nilai a + b = 4.
B. Uraian
1.
a.
Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan invers matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai
berikut.
−
=
− −
Misalkan A =
, X = , dan
− −
−
B = , maka diperoleh kesamaan matriks
AX = B.
det A =
= 2 × (–4) – 5 × (–3)
− −
= –8 + 15 = 7
A–1 =
Menentukan penyelesaian SPL menggunakan
determinan matriks.
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
D =
–
− .
− −
−
–
+
–
+
+
= 2 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 0 + 2 × 4 × 3
– 2 × 0 × 0 – 2 × (–3) × 3 – (–1) × 4 × 4
= 0 + 0 + 24 – 0 + 18 + 16
= 58
Dx =
–
−
−
− − −
–
–
+
+
+
= 6 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 5 + 2 × (–4) × 3
– 2 × 0 × 5 – 6 × (–3) × 3 – (–1) × (–4) × 4
= 0 + 15 – 24 – 0 + 54 – 16
= 29
Dy =
–
− − −
–
–
+
+
+
= 2 × (–4) × 4 + 6 × (–3) × 0 + 2 × 4 × 5
– 2 × (–4) × 0 – 2 × (–3) × 5 – 6 × 4 × 4
= –32 – 0 + 40 – 0 + 30 – 96
= –58
Matematika Kelas XII
5
−
−
−
Dz =
–
–
+
–
−
Dx =
+
–
+
= 2 × 0 × 5 + (–1) × (–4) × 0 + 6 × 4 × 3
– 6 × 0 × 0 – 2 × (–4) × 3 – (–1) × 4 × 5
= 0 + 0 + 72 – 0 + 24 + 20
= 116
Dengan demikian, diperoleh :
x=
=
−
y = = = –1
–
Jadi, HP = {( , –1, 2)}.
a.
Nilai
=
–,
Oleh karena
= –3, dan
≠
=
–
–
, maka SPLDV memiliki
− =
SPLDV
memiliki nilai a1 = 3,
− + =
a2 = –2, b1 = –1, b2 = , c1 = 3, dan c2 = 2.
Nilai
= –,
Oleh karena
=
−
=
= – , dan
≠
= .
, maka SPLDV
tak memiliki penyelesaian.
c.
−
.
−
–
–
+
+
+
= 2 × 2 × 1 + 0 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 1
– (–1) × 2 × 0 – 2 × 4 × 1 – 0 × (–4) × 1
= 4+0+4–0–8–0
= 0
6
Penerapan Matriks
–
–
+
+
+
–
–
+
+
+
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
−
.
−
− −
−
−
−
− − −
D =
–
–
+
+
+
= 0 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × (–1)
– (–1) × 3 × 2 – 0 × 6 × (–1) – 6 × (–6)
× (–2)
= 0 + 72 – 6 + 6 – 0 – 72
= 0
−
Dx = −
−
− − −
−
− −
–
d.
–
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
D =
+
= 2 × 2 × 2 + 0 × 1 × 0 + 1 × (–4) × 1
– 1 × 2 × 0 – 2 × 1 × 1 – 0 × (–4) × 2
= 8+0–4–0–2–0
= 2
Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, dan Dz ≠ 0,
maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian.
satu penyelesaian.
b.
+
Dz = − −
− + = −
SPLDV − = memiliki nilai a1 = –1,
a2 = 4, b1 = 3, b2 = –1, c1 = –1, dan c2 = 4.
+
= 2 × 1 × 1 + 1 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 2
– (–1) × 1 × 0 – 2 × 4 × 2 – 1 × (–4) × 1
= 2 + 0 + 8 – 0 – 16 + 4
= –2
z = = = 2
2.
–
−
D y = − −
=
–
= 1 × 2 × 1 + 0 × 4 × 2 + (–1) × 1 × 1
– (–1) × 2 × 2 – 1 × 4 × 1 – 0 × 1 × 1
= 2+0–1+4–4–0
= 1
–
–
–
+
+
+
= 6 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 1 + (–1) × (–3) × (–1)
– (–1) × 3 × 1 – 6 × 6 × (–1) – 6 × (–3)
× (–2)
= –36 + 36 – 3 + 3 + 36 – 36
= 0
Dengan demkian, diperoleh SPLDV:
p–A=4
p + A = 18
Menentukan nilai p dan A menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
−
A =
Dy =
–
–
+
–
+
− 0
0
−6 −
− 6 −
2
1 − 2
1
+
= 0 × (–3) × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × 1
– (–1) × (–3) × 2 – 0 × 6 × 1 – 6 × (–6)
× (–2)
= 0 + 72 + 6 – 6 – 0 – 72 = 0
−
Misalkan A =
, X = A , dan B = ,
maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.
0
0
− 6 − − 6
2 −1
2 −1
Dz =
–
–
–
+
+
+
= 0 × 3 × 1 + 6 × (–3) × 2 + 6 × (–6) × (–1)
– 6 × 3 × 2 – 0 × (–3) × (–1) – 6 × (–6) × 1
= 0 – 36 + 36 – 36 – 0 + 36 = 0
Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka
SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian.
3.
det A =
Adj A =
−
Adj A =
−
Dengan demikian, diperoleh :
X = A–1B
+
= +
memiliki nilai a1 = p,
SPLDV
+ =
A–1 =
a2 = q, b1 = 6, b2 = 8, c1 = 2q + 1, dan c2 = 4p.
SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika
=
=
⇔
.
Dengan demikian, diperoleh:
=
=
⇔
=
=
4.
Misalkan: p = panjang potongan papan
A = lebar potongan papan
Lebar potongan papan 4 cm kurang dari
panjangnya, maka diperoleh:
A=p–4
⇔ p–A=4
. . . (1)
Keliling potongan papan = 36, maka:
K = 2(p + A)
⇔
36 = 2(p + A)
⇔ p + A = 18
. . . (2)
=
A
−
+
=
− +
= =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai
p = 11 dan l = 7.
Luas potongan papan = p × A = 11 × 7 = 77 cm2.
Jadi, luas potongan papan 77 cm2.
⇔ 9q = 4(2q + 1)
⇔ 9q = 8q + 4
⇔ q=4
4p = 3q ⇔ 4p = 3 × 4 ⇔ p = 3
Jadi, nilai p = 3 dan q = 4.
Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5
berikut menggunakan invers matriks atau determinan
matriks.
× + ×
=
− × + ×
⇔ = ⇔ = ⇔ 4p = 3q
⇔
−
= 1 × 1 – (–1) × 1 = 1 + 1 = 2
5.
Misalkan: x = banyak pesawat jenis A
y = banyak pesawat jenis B
z = banyak pesawat jenis C
Jumlah penumpang kelas bisnis = 305
maka:
50x + 75y + 40z = 305
⇔ 10x + 15y + 8z = 61
. . . (1)
Jumlah penumpang kelas ekonomi = 185
maka:
30x + 45y + 25z = 185
⇔ 6x + 9y + 5z = 37
. . . (2)
Matematika Kelas XII
7
Jumlah penumpang kelas VIP = 206
maka:
32x + 50y + 30z = 206
⇔ 16x + 25y + 15z = 103
. . . (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV
sebagai berikut.
10x + 15y + 8z = 61
. . . (1)
6x + 9y + 5z
= 37
. . . (2)
16x + 25y + 15z = 103
. . . (3)
Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan
determinan matriks.
Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien
Dy =
–
–
–
+
–
+
–
–
+
+
+
+
–
+
–
+
+
−
−
−
x = = − = 3
y = = − = 1
z = = − = 2
Jadi, perusahaan penerbangan tersebut harus
menyiapkan 3 unit pesawat jenis A, 1 unit pesawat
jenis B, dan 2 unit pesawat jenis C.
–
+
= 10 × 9 × 103 + 15 × 37 × 16 + 61 × 6 × 25
– 61 × 9 × 16 – 10 × 37 × 25 – 15 × 6 × 103
= 9.270 + 8.880 + 9.150 – 8.784 – 9.250 – 9.270
= –4
Dengan demikian, diperoleh:
= 10 × 9 × 15 + 15 × 5 × 16 + 8 × 6 × 25
– 8 × 9 × 16 – 10 × 5 × 25 – 15 × 6 × 15
= 1.350 + 1.200 + 1.200 – 1.152 – 1.250 – 1.350
= –2
Dx =
+
–
Dz =
–
–
= 10 × 37 × 15 + 61 × 5 × 16 + 8 × 6 × 103
– 8 × 37 × 16 – 10 × 5 × 103 – 61 × 6 × 15
= 5.550 + 4.880 + 4.944 – 4.736 – 5.150 – 5.490
= –2
.
D =
+
= 61 × 9 × 15 + 15 × 5 × 103 + 8 × 37 × 25
– 8 × 9 × 103 – 61 × 5 × 25 – 15 × 37 × 15
= 8.235 + 7.725 + 7.400 – 7.416 – 7.625 – 8.325
= –6
A. Pilihan Ganda
Jadi, bayangan titik P(3, –1) setelah ditransformasi
1.
−
oleh matriks M =
adalah P′(5, –4).
Jawaban: e
Misalkan bayangan titik P(3, –1) setelah
−
ditransformasi oleh matriks M =
adalah
P′(x′, y′), maka:
′
−
′ =
−
× + − × −
=
× + × −
+
=
=
−
−
8
Penerapan Matriks
2.
Jawaban: b
Bayangan titik A setelah ditransformasi oleh
matriks M =
′
=
′
⇔
adalah A′(5, 6), maka:
−
′
=
′
⇔
⇔
⇔
⇔
−
=–
−
× +
− ×
=–
− × + ×
−
=–
− +
= –
−
−
⇔ =
Jadi, Koordinat titik A(–1, 2).
3. Jawaban: d
Bayangan titik K(–3, 2) setelah ditransformasi oleh
matriks M =
′
=
′
⇔
adalah K′(a – 2b, b + 1), maka:
−
−
=
+
−
−
=
+
− +
Dari kesamaan matriks diperoleh:
a – 2b = –3a ⇔ 4a = 2b
. . . (1)
b + 1 = –3 + 2b ⇔ b = 4
. . . (2)
Substitusikan nilai b = 4 ke dalam persamaan (1).
4a = 2b
⇔ 4a = 2 × 4
⇔ a=2
Nilai 2a + b = 2 × 2 + 4 = 4 + 4 = 8
Jadi, nilai 2a + b = 8.
⇔
4. Jawaban: d
Misalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = 4 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
−
matriks M =
adalah (x′, y′), maka
diperoleh kesamaan matriks:
′ −
′ =
⇔
⇔
−
− ′
=
′
′
= − ′
′
=
−′ + ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
⇔
x = y′
. . . (1)
y = (–3x′ + y′)
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis x – 2y = 4 sehingga diperoleh:
x – 2y = 4
⇔
⇔
⇔
y′ – (–3x′ + y′)
y′ + 2x′ – y′
2x′ – y′
=4
=4
=4
⇔
6x′ – y′ = 12
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 6x′ – y′ = 12,
maka persamaan bayangan garis x – 2y = 4
adalah 6x – y = 12.
Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = 4
−
setelah ditransformasi oleh matriks M =
adalah 6x – y = 12.
5. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) pada elips + = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
⇔
′
′ =
−
=
−
=
−
′
′
′
′
′
⇔ =
′ ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
⇔
x =
× 4x′ = x′
. . . (1)
y =
(x′ + 2y′)
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per
samaan elips + = 1 sehingga diperoleh:
Matematika Kelas XII
9
′
⇔
+
+
′ + ′
=1
=1
⇔
6x′2 + (x′ + 2y′)2 = 48
2
⇔ 6x′ + x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48
⇔
7x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan + = 1,
maka persamaan bayangan elips + = 1
adalah 7x2 + 4xy + 4y2 = 48.
Jadi, persamaan bayangan elips + = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
2
2
adalah 7x + 4xy + 4y = 48.
6. Jawaban: d
Misalkan titik (x, y) pada parabola 5y + x2 = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diperoleh
kesamaan matriks:
⇔
⇔
⇔
′
′ =
−
′
=
′
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola 5y + x2 = 1 sehingga diperoleh:
5y + x2 = 1
⇔
(–x′
+ 2y′) + ( (3x′ – y′))2
+ 2y′) + (3x′ – y′)2
=1
=1
⇔
25(–x′ + 2y′) + (3x′ – y′)2 = 25
⇔ –25x′ + 50y′ + 9x′2 – 6x′y′ + y′2 = 25
⇔
9x′2 + y′2 – 25x′ + 50y′ – 6x′y′ = 25
10
Penerapan Matriks
⇔
⇔
. . . (2)
5×
⇔
− − ′
= – − ′
−′ − ′
=–
− ′
– (–x′)
=
(3x′
+ 4y′)
x′
. . . (1)
. . . (2)
x2 – 2y2 = 1
(–x′
⇔
⇔
′
′ =
−
−
′
=
− ′
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan hiperbola x2 – 2y2 = 1 sehingga diperoleh:
. . . (1)
(–x′
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
y=
x = (3x′ – y′)
+ 2y′)
7. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) pada hiperbola x2 – 2y2 = 1
dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
x = – (–3x′ – 4y′) =
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
y=
setelah ditransformasi oleh matriks M =
2
2
adalah 9x + y – 25x + 50y – 6xy = 25.
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
− ′
= − ′
′ − ′
= ′
− + ′
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 5y + x2 = 1,
maka persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1
adalah 9x2 + y2 – 25x + 50y – 6xy = 25.
Jadi, persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1
⇔
2
x′
( (3x′ + 4y′))2 – 2( x′)2 = 1
(3x′
+ 4y′)2 –
=1
(3x′ + 4y′)2 – 2x′2 = 16
⇔
⇔ 9x′2 + 24x′y′ + 16y′2 – 2x′2 = 16
⇔
7x′2 + 16y′2 + 24x′y′ = 16
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 – 2y2 = 1,
maka persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1
adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.
Jadi, persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.
8. Jawaban: b
Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi
−
matriks M =
adalah P′Q′R′S′ dengan
koordinat titik P′(xP′, yP′), Q′(xQ′, yQ′), C′(xR′, yR′),
dan D′(xS′, yS′), maka:
′ ′ ′
′ ′ ′
′
′
−
=
− −
=
− −
=
− +
−
=
−
−
+
−
−
′ ′
′ ′ ′
−
=
−
Sehingga diperoleh:
−
−
′
′
′
′ ′
′ ′
′
− −
−
− + −
+ + −
+
=
− + − + + − +
− +
− −
− −
=
− −
−
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P′(–6, –2),
Q′(4, 4), R′(5, 3), dan S′(–3, –5).
Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius
sebagai berikut.
5
′
=
−
=
+
+
′
′
− −
=
−
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik K(–5, – ),
L(–4, –1), M(3, 1 ), dan N(2, 2).
Y
Gambar KLMN pada koordinat kartesius sebagai
berikut.
Q′
4
3
Y
4
R′
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
3
X
M
–2
P′
N
2
1
–3
–4
S′
–5
–6
–5
K
–4
L
–3
–2
–1 0
–1
1
2
3
4
X
–2
Dari gambar di atas terlihat, P′S′ sejajar dengan
Q′R′. Dengan demikian, P′Q′R′S′ berbentuk
trapesium.
Jadi, bayangan PQRS berbentuk trapesium.
9. Jawaban: c
Bangun datar KLMN ditransformasi oleh
−
matriks M =
menghasilkan bayangan
−
K′L′M′N′ dengan koordinat titik K′(–4, 3),
L′(–2, 0), M′(0, 3), dan N′(–2, 6), maka:
–3
Dari gambar terlihat, KL sejajar dengan NM dan
KN sejajar dengan LM. Dengan demikian, KLMN
berbentuk jajargenjang.
Jadi, bangun datar KLMN berbentuk jajargenjang.
10. Jawaban: c
Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik
A(–2, 2), B(–2, –2), C(4, 2), dan D(3, 4).
Gambar segi empat ABCD pada koordinat
kartesius sebagai berikut.
Matematika Kelas XII
11
5
Y
–26 = a(1 – a) + 4
⇔
a – a2 + 30 = 0
⇔
a2 – a – 30 = 0
⇔
(a – 6)(a + 5) = 0
⇔ (a – 6) = 0 atau (a + 5) = 0
⇔
a = 6 atau
a = –5
Oleh karena a < 0, maka nilai a = –5.
Substitusikan nilai a = –5 ke dalam persamaan (2).
4a – 2 = b(1 – a) + 2
⇔ 4 × (–5) – 2 = b(1 – (–5)) + 2
⇔
–20 – 2 = b × 6 + 2
⇔
–22 = 6b + 2
⇔
6b = –24
⇔
b = –4
Dengan demikian, diperoleh:
D
4
3
A
C
2
E
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
6
X
–2
B
Dari gambar dapat diketahui:
LABCD = LABC + LACD
= × AB × AC + × AC × DE
= ×4×6+ ×6×2
=2×6+3×2
= 12 + 6
= 18 satuan luas
Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi
matriks M =
adalah A′B′C′D′, maka:
LA′B′C′D = | det M| LABCD
=
b.
× 18
−
ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah P′(x′, y′), maka:
= 1 × 5 – 3 × 3 × 18
= 5 – 9 × 18
= – 4 × 18
= 4 × 18
= 72 satuan luas
Jadi, luas bayangan ABCD adalah 72 satuan luas.
′ −
′ =
−
− −
=
− −
− ×
− + ×
−
=
− ×
− + ×
−
B. Uraian
1.
a.
Bayangan titik K(1 – a, 2) setelah
ditransformasi oleh matriks M =
adalah K′(–26, 4a – 2), maka:
′
=
′
⇔
−
−
=
−
⇔
−
− +
=
−
− +
Dari kesamaan matriks diperoleh:
–26 = a(1 – a) + 4
. . . (1)
4a – 2 = b(1 – a) + 2
. . . (2)
12
Penerapan Matriks
−
M=
=
−
−
Jadi, matriks M =
.
−
Menentukan bayangan titik P(b, a – b).
Titik P(b, a – b) = P(–4, –5 – (–4)) = P(–4, –1)
Misalkan bayangan titik P(–4, –1) setelah
−
=
=
−
Jadi, bayangan titik P(–4, –1) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah P′(18, 15).
2.
Menentukan persamaan garis.
Bayangan titik B(p, q) setelah ditransformasi oleh
matriks M =
adalah B′(5, 11), maka:
′
=
′
⇔
− ′
=
′
⇔
−
=
−
⇔
× +
− ×
=
− × + ×
⇔
−
=
− +
⇔
=
−
3.
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper −
oleh kesamaan matriks:
′
′ =
−
⇔
Dari kesamaan matriks diperoleh nilai p = 4 dan
q = –3.
Dengan demikian, diperoleh persamaan garis:
4x – (–3)y = 4 ⇔ 4x + 3y = 4
Menentukan persamaan bayangan garis.
Misalkan titik (x, y) pada garis 4x + 3y = 4 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
⇔
⇔
x = – y′
y
⇔
− ′
=
− ′
⇔
′ − ′
=
−′ + ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
x = 3x′ – y′
. . . (1)
y = –5x′ + 2y′
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 4x + 3y = 4 sehingga diperoleh:
4x + 3y = 4
⇔ 4(3x′ – y′) + 3(–5x′ + 2y′) = 4
⇔
12x′ – 4y′ – 15x′ + 6y′ = 4
⇔
–3x′ + 2y′ = 4
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan 4x + 3y = 4,
maka persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4
adalah –3x + 2y = 4.
Jadi, persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4
setelah ditransformasi oleh matriks M =
adalah –3x + 2y = 4.
=
. . . (1)
× 5x′ = x′
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per-
′
′ =
⇔
−
′
=
− ′
− ′
=
′
− ′
= ′
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
matriks M =
adalah (x′, y′), maka diper
oleh kesamaan matriks:
−
′
=
′
Misalkan titik (x, y) pada elips + y2 = 1 dan
bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh
samaan elips + y2 = 1 sehingga diperoleh:
⇔
⇔
′
′
+ y2 = 1
+ x′2 = 1
+ x′2 = 1
Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)
dan (x′, y′) memenuhi persamaan + y2 = 1,
maka persamaan bayangan elips + y2 = 1
adalah + x2 = 1.
Jadi, persamaan bayangan elips + y2 = 1
setelah ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah + x2 = 1.
4.
Lingkaran x2 + y2 = 5 memiliki jari-jari r =
Luas lingkaran :
.
L = πr2 = π( )2 = 5π
| det M | = | |
=|3×5–1×6|
= | 15 – 6 | = 9
Matematika Kelas XII
13
Misalkan luas bayangan lingkaran adalah L′,
maka:
L′ = | det M | × L = 9 × 5π = 45π
Jadi, luas bayangan lingkaran adalah 45π satuan
luas.
5.
a.
# ′ $ ′
# $
=
− # $
# ′ $ ′
=
−
+ +
=
+ −
Bayangan titik A(–4, 0) dan B(0, –2) setelah
!
ditransformasi oleh matriks M =
"
adalah A′(0, –4) dan B′(–4, 8), maka:
′ ′ !
=
′ ′ "
⇔
′ ′
!
= ′ ′
"
−
−
=
−
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik
C′(0, 4) dan D′(4, –8).
c.
Gambarkan bangun datar A′B′C′D′ pada
koordinat kartesius sebagai berikut.
9
⇔
− −
!
= −
−
"
6
⇔
− −
!
= −
×
−
"
⇔
− −
!
=
−
−
"
3
⇔
+ +
!
=
+ −
"
⇔
!
=
−
"
⇔
B′
5
4 C′
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
ditransformasi oleh matriks M =
−
adalah C′ dan D′, maka:
A. Pilihan Ganda
1.
Jawaban: d
+ + =
Matriks koefisien SPLTV + + =
+ + =
14
Penerapan Matriks
1
2
3
4
5
6
X
–2
–3
–4
!
= −
"
Menentukan koordinat titik C′ dan D′.
Bayangan titik C(4, 0) dan D(0, 2) setelah
8
7
A′
–5
–6
–7
Jadi, matriks M =
.
−
b.
Y
–8
D′
–9
Dari gambar di atas terlihat bahwa A′D′ sejajar
dengan B′C′ dan B′A′ sejajar dengan C′D′.
Dengan demikian, A′B′C′D′ berbentuk jajargenjang.
adalah
.
=
SPLTV − = dapat dituliskan dalam bentuk
+ =
+ + =
+ − = .
+ + =
Dengan demikian, matriks koefisien SPLTV tersebut
adalah
− .
2. Jawaban: a
Nilai determinan utama:
−
D =
− −
= 3 × (–1) – (–2) × (–5)
= –3 – 10
= –13
Jadi, nilai determinan utama adalah –13.
3. Jawaban: e
Nilai determinan variabel x:
− %
Dx =
& −
= –12 × (–4) – 9 × 7
= 48 – 63
= –15
Jadi, nilai determinan variabel x adalah –15.
4. Jawaban: c
Nilai determinan variabel y:
Dy =
'
' +
= –4
⇔
8 × 1 – k(k +1) = –4
⇔
8 – k2 – k + 4 = 0
⇔
k2 + k – 12 = 0
⇔
(k + 4)(k – 3) = 0
⇔ (k + 4) = 0 atau (k – 3) = 0
⇔
k = –4 atau
k=3
Nilai k > 0, maka k = 3.
Nilai determinan utama:
=
D =
'
=8×1–2×3
=8–6
=2
Jadi, nilai determinan utama adalah 2.
5. Jawaban: e
Nilai determinan variabel y:
−
− −
Dy =
–
–
–
+
+
+
= 1 × 3 × 0 + 1 × 1 × (–1) + (–1) × 2 × 0
– (–1) × 3 × (–1) – 1 × 1 × 0 – 1 × 2 × 0
= 0–1+0–3–0–0
= –4
Jadi, nilai determinan variabel y adalah –4.
6. Jawaban: d
Nilai determinan variabel z:
−
Dz = − −
− −
–
–
–
+
+
+
= 1 × (–1) × 3 + 0 × 4 × 2 + (–6) × 2 × (–3)
– (–6) × (–1) × 2 – 1 × 4 × (–3) – 0 × 2 × 3
= –3 + 0 + 36 – 12 + 12 – 0
= 33
Jadi, nilai determinan variabel z adalah 33.
7. Jawaban: b
Nilai determinan variabel x:
Dx =
− − − −
−
−
−
−
–
–
–
+
+
+
= (4p –1) × 0 × 0 + (–2) × p × (–1) + 1 × (–16) × 2
– 1 × 0 × (–1) – (4p –1) × p × 2 – (–2) × (–16) × 0
= 0 + 2p – 32 – 0 – 2p(4p –1) – 0
= 2p – 32 – 8p2 + 2p
= – 8p2 + 4p – 32
Nilai Dx = –72, maka:
–8p2 + 4p – 32 = –72
⇔
–8p2 + 4p + 40 = 0
⇔
2p2 – p – 10 = 0
⇔
(2p – 5)(p + 2) = 0
⇔
2p – 5 = 0
atau p + 2 = 0
⇔
p=2
atau
p = –2
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 atau –2.
Matematika Kelas XII
15
8. Jawaban: c
+ =
SPLDV
tidak memiliki penyelesaian
+ =
jika
a.
=
≠
.
Nilai
−
=
=– ,
Diperoleh nilai
b.
= –2, dan
≠
=
.
.
−
= − = –2,
=
Nilai
= − = – ,
−
penyelesaian jika
a.
=
≠
b.
= = – , dan
sehingga SPLDV
tidak memiliki penyelesaian.
c.
9. Jawaban: b
+ =
SPLDV + = memiliki satu penyelesaian
jika
a.
≠
.
− + =
memiliki nilai a1 = –3,
SPLDV
− =
a2 = 2, b1 = 3, b2 = –2, c1 = 3, dan c2 = 2.
Nilai
=
−
Diperoleh nilai
16
=–
dan
=
Penerapan Matriks
.
=
−
=– .
≠
=– .
sehingga SPLDV
Nilai
=
= 2.
=
−
=
.
= –2,
=
=
≠
−
= –2, dan
.
− = −
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
+ =
a2 = 4, b1 = –3, b2 = 6, c1 = –3, dan c2 = 6.
Nilai
−
=
=
=
,
=
−
= – , dan
=– .
≠
=
.
− =
SPLDV
memiliki nilai a1 = 2,
− = −
a2 = 4, b1 = –3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.
Nilai
−
=
=
=
,
=
=
−
−
=
,
dan
=– .
Diperoleh nilai
d.
=
− =
memiliki nilai a1 = 4,
SPLDV
− + =
a2 = –2, b1 = –6, b2 = 3, c1 = 4, dan c2 = 2.
Diperoleh nilai
Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.
Diperoleh nilai
−
=
+ =
SPLDV
memiliki tak berhingga
+ =
= .
Diperoleh nilai
dan
10. Jawaban: d
.
− =
memiliki nilai a1 = 1,
SPLDV
− + =
a2 = –2, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = 2.
=
Jadi, SPLDV pilihan b memiliki satu penyelesaian.
= = –2, dan
=
=
memiliki satu penyelesaian.
−
Diperoleh nilai
= = –2.
Diperoleh nilai
c.
=
≠
−
− = −
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
− + =
a2 = –1, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –6, dan c2 = 3.
Nilai
− =
memiliki nilai a1 = 2,
SPLDV
+ =
a2 = 4, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 3, dan c2 = 6.
Nilai
− + =
memiliki nilai a1 = –1,
SPLDV
− =
a2 = 2, b1 = 2, b2 = –1, c1 = 1, dan c2 = 2.
b.
≠
.
− + =
SPLDV
memiliki nilai a1 = –2,
− = −
a2 = 4, b1 = 3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.
−
Nilai
=
−
=– .
=
= – ,
=
−
= – , dan
Diperoleh nilai
=
=
sehingga
SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian.
Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhingga
penyelesaian.
11. Jawaban: e
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
D =
−
= 4 × (–3) – 6 × 2
= –12 – 12
= –24
−
Dy =
y =
$
$
=
−
= –6
Jadi, nilai y = –6.
12. Jawaban: b
Diketahui (p, q) merupakan penyelesaian SPLDV,
maka:
–5p + 3q = –10
4p – 2q = 12
Mencari nilai p dan q menggunakan determinan
matriks.
−5
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
−
D =
−
= –5 × (–2) – 3 × 4
= 10 – 12
= –2
Dp =
−
−
= –10 × (–2) – 3 × 12
= 20 – 36
= –16
Dq =
− −
= –5 × 12 – (–10) × 4
= –60 + 40
= –20
$
−
$
−
p = $ = − = 8
q = $ = − = 10
Nilai 2q – 4p = 2 × 10 – 4 × 8 = 20 – 32 = –12.
Jadi, nilai 2q – 4p = –12.
13. Jawaban: c
−+
+
⇔
⇔
⇔
=4
x – y + 4 = 4(2x + 3y)
x – y + 4 = 8x + 12y
7x + 13y = 4
+ +
+
. . . (1)
= –1
⇔ x + 2y + 1 = –(x + y)
⇔ x + 2y + 1 = –x – y
⇔
2x + 3y = –1
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:
7x + 13y = 4
2x + 3y = –1
Menentukan nilai x dan y menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
= 4 × 28 – (–16) × 2
= 112 + 32
= 144
Dengan demikian, diperoleh:
&
=
−
&
Misalkan A =
, X = , dan B = ,
−
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
&
= 7 × 3 – 13 × 2
= 21 – 26 = –5
−
Adj A =
&
−
A–1 =
*/;
Adj A = –
−
&
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
−
⇔ = – − &
−
( − )
−
⇔ = –
− &
−
1
+
⇔ = – −
− & = –
−
=
−
Matematika Kelas XII
17
Dengan demikian, diperoleh x = –5 dan y = 3.
Nilai x + 3y = –5 + 3 × 3 = –5 + 9 = 4
Jadi, nilai x + 3y = 4.
14. Jawaban: d
Menentukan titik potong antara garis 7x + 2y = –13
dan 8x – 3y = –36 sama dengan menentukan
& + = −
penyelesaian SPLDV
.
− = −
Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan
determinan matriks.
&
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
&
D =
−
= 7 × (–3) – 2 × 8
= –21 – 16 = –37
= (–13) × (–3) – 2 × (–36)
= 39 + 72
= 111
& −
−
Dy =
= 7 × (–36) – (–13) × 8
= –252 + 104
= –148
Dengan demikian, diperoleh:
$
$
−
x = $ = −& = –3
y = $ = −& = 4
Kedua garis berpotongan di titik (p, q + 1), maka:
p = x = –3
q + 1 = 4 ⇔ q = 3.
Nilai p – q = –3 – 3 = –6
Jadi, nilai p – q = –6.
15. Jawaban: e
Terlebih dahulu dicari nilai m dan n menggunakan
invers matriks.
det A =
Penerapan Matriks
−
= 4 × (–2) – 2 × 3 = –8 – 6 = –14
− −
Adj A =
−
A–1 =
*/;
Adj A = –
1
− −
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
?
⇔ = –
@
=–
=–
− − −
− −
−
− ( − )
−
−
−
−
+
−
−
=
−
Dengan demikian, diperoleh nilai m = –2 dan n = 3.
Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian sistem
=–
+ =
persamaan
, maka:
+ =
4m + 3n = a ⇔ a = 4 × (–2) + 3 × 3
⇔ a = –8 + 9 = 1
5m + 2n = b ⇔ b = 5 × (–2) + 2 × 3
⇔ b = –10 + 6 = –4
Nilai a + b = 1 – 4 = –3
Jadi, nilai a + b = –3.
16. Jawaban: d
Misalkan: banyak gula aren = x bungkus
banyak gula pasir = y bungkus
Berat seluruh gula aren = 0,5x.
Berat seluruh gula pasir = y.
Berat seluruh gula aren dikurangi berat seluruh
gula pasir sama dengan 2 kg, maka 0,5x – y = 2
⇔ x – 2y = 4
. . . (1)
Jumlah berat seluruh gula 18 kg, maka 0,5x + y = 18
⇔ x + 2y = 36
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV
sebagai berikut.
x – 2y = 4
x + 2y = 36
? + @ = −
.
Diketahui SPLDV
? − @ = −
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
? −
=
− @ −
−
,
−
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
−
− −
Dx =
18
?
Misalkan A =
, X = @ , dan B =
−
Menentukan nilai x dan y menggunakan determinan
matriks.
−
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
= 1 × 2 – (–2) × 1 = 2 + 2 = 4
D=
Dx =
−
= 4 × 2 – (–2) × 36
= 8 + 72 = 80
Dy =
−
Adj A = –1
*/;
−
Sehingga diperoleh:
X = A–1B
A–1 =
−
⇔ = –1
−
( −)
= –
−
−
= –
−
% +
−
= –
=
−
= 1 × 36 – 4 × 1
= 36 – 4 = 32
Dengan demikian, diperoleh:
$
$
Dengan demikian, diperoleh nilai x = 28 dan y = 35.
Hasil penjualan jeruk = 28 × Rp15.000,00 =
Rp420.000,00.
Jadi, hasil penjualan jeruk Rp420.000,00.
x = $ = = 20
y= $ = =8
Banyak gula = x + y = 20 + 8 = 28
Jadi, banyak gula dalam kardus 28 bungkus.
,
maka diperoleh persamaan matriks AX = B.
det A =
=1×2–1×3
= 2 – 3 = –1
−
Adj A =
−
18. Jawaban: a
Misalkan bilangan tersebut ab, a = angka pertama
dan b = angka kedua.
Dua kali angka pertama ditambah 2 hasilnya
merupakan angka kedua, maka
2a + 2 = b ⇔ 2a – b = –2
. . . (1)
Angka pertama ditambah angka kedua hasilnya
11, maka a + b = 11
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV
sebagai berikut.
2a – b = –2
a + b = 11
Menentukan nilai a dan b menggunakan determinan
matriks.
−
Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien
.
−
D =
17. Jawaban: b
Misalkan: x = banyak jeruk yang terjual (kg)
y = banyak salak yang terjual (kg)
Jumlah jeruk dan salak yang terjual selama
seminggu = 63 kg, maka x + y = 63
. . . (1)
Hasil penjualan jeruk dan salak selama seminggu
= Rp770.000,00, maka 15.000x + 10.000y =
770.000 ⇔ 3x + 2y = 154
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:
x + y = 63
3x + 2y = 154
Menentukan nilai x dan y menggunakan invers
matriks.
SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.
=
Misalkan A =
, X = , dan B =
= 2 × 1 – (–1) × 1
=2+1
=3
Da =
− −
= (–2) × 1 – (–1) × 11
= –2 + 11
=9
Db =
−
= 2 × 11 – (–2) × 1
= 22 + 2
= 24
Matematika Kelas XII
19
Dengan demikian, diperoleh:
a=
$
$
b=
$
$
=
%
=
=3
=8
Bilangan = ab = 38
Jadi, bilangan tersebut 38.
21. Jawaban: e
Bayangan titik K(m, –1) setelah ditransformasi
oleh matriks M =
adalah K′(11, m), maka:
?
′
′ =
?
19. Jawaban: d
Misalkan bayangan titik Q(–3, 7) setelah
⇔
�