Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
DAN PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh :
Vania Mitzi Dinata
NIM: 153114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BIENAYMÉ-GALTON-WATSON BRANCHING PROCESS
AND ITS APPLICATIONS IN BIOLOGY
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics

By :
Vania Mitzi Dinata
NIM: 153114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019

ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 23 Januari 2019
Penulis,

Vania Mitzi Dinata

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

MOTTO

“Like wildflowers; you must allow yourself to grow in all the places people
never thought you would.”-E.V.

“once in a blue moon”

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Kemuliaan Tuhan, kedua orangtua dan keluargaku, serta almamaterku.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama

: Vania Mitzi Dinata

Nomor Mahasiswa

: 153114008

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON DAN
PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya
maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal:23 Januari 2019

Yang menyatakan

(Vania Mitzi Dinata)

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR
Ucapan Puji dan Syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang
dengan murah

hati mencurahkan segala kebaikan-Nya melalui orang-orang

sekitar dan dari setiap peristiwa yang penulis alami sehingga skripsi ini dapat
selesai tepat waktu. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas
Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia
membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen
pembimbing skripsi.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiamoko, M.Sc, dan
Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi
Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis
selama proses perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, Adriel dan keluarga yang telah membantu serta mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.
7. Teman-teman

Prodi

Matematika Angkatan 2015, teman-teman

MASDHA FM, serta teman-teman baik yang mendukung penulis dalam
mengerjakan skripsi: Lawi, Dini, Selly, Nevi, Kak Ambar, Ce Monic, Kak
Eka,Rani, Ayu, Arel, Gita, Rio, Anton, Dimas, Arga.
8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses
penulisan skripsi ini.

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan
mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih
banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis

mengharapkan kritik yang membangun dan saran demi penyempurnaan skripsi
ini. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi
referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 23 Januari 2019
Penulis,

Vania Mitzi Dinata

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Proses stokastik percabangan Bienaymé-Galton-Watson (BGW)
merupakan sebuah proses stokastik yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan
Watson. Proses BGW termasuk jenis rantai Markov waktu diskret. Proses BGW
dapat diterapkan di dalam beberapa bidang, salah satunya yang dibahas di dalam
skripsi ini adalah penerapan di dalam bidang biologi. Proses stokastik
percabangan tepat digunakan dalam contoh kasus pembelahan patogen dan sel

punca. Pembelahan patogen dalam proses penyembuhan memungkinkan munculnya patogen mutan yang kebal obat. Di lain pihak, dalam kasus pembelahan sel
punca yang sudah rusak akan memungkinkan muncul penyakit kanker. Oleh
karena itu, penulis membahas model matematika yang berhubungan dengan
menghitung peluang dari kedua contoh permasalahan dalam bidang biologi
tersebut. Pembahasan dari penerapan proses stokastik tersebut menggunakan
asumsi yang diberikan diawal masing-masing kasus.
Model matematika dari proses percabangan dalam bidang biologi tersebut
digunakan untuk menghitung peluang keadaan populasi di waktu yang akan
datang. Pertama akan dihitung model pertumbuhan populasi menggunakan fungsi
pembangkit momen serta distribusi peluang keturunan. Selanjutnya, dihitung juga
peluang dari munculnya mutasi dari populasi awal. Setelah menyesuaikan dengan
asumsi awal pada masing-masing kasus biologi, akan didapatkan model matematika dari proses percabangan BGW.
Kata kunci: proses stokastik , proses percabangan BGW, pembelahan patogen,
sel punca, patogen mutan, sel kanker.

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT

The Bienaymé-Galton-Watson (BGW) branching stochastic process is a
discrete time stochastic process that was introduced by Bienaymé, Galton, and
Watson. The BGW process is a type of discrete Markov chain. The BGW branching stochastic process can be applied in several subject, one of which is discussed
in this paper is the application in biology. The branching stochastic process is
used correctly in the case of pathogenic cleavage and stem cells. Cleavage of
pathogens in the healing process allows the emergence of drug-resistant mutant
pathogens. On the other hand, in the case of division of damaged stem cells it will
allow cancer to appear. Therefore, the author discuss mathematical models related
to calculating the opportunities of both examples of problems in biology. The discussion of the application of the stochastic process uses the assumptions that given at the beginning of each case.
The mathematical model of the branching process in biology is used to
calculate the probability of future population conditions. First, the population
growth model will be calculated using the generating function and the probability
offspring distribution. Furthermore, the probability for the emergence of mutations from the initial population is also calculated. After adjusting to the initial
assumptions in each case of biology, a mathematical model of the BGW branching process will be obtained.
Keywords:: stochastic process, BGW branching process, pathogenic cleavage,
stem cells, mutant pathogen,cancer cells.

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA .......................................................................v
MOTTO ................................................................................................................ vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... viii
KATA PENGANTAR .......................................................................................... ix
ABSTRAK ............................................................................................................ xi
ABSTRACT ......................................................................................................... xii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................1
A. Latar Belakang ..............................................................................................1
B. Rumusan Masalah .........................................................................................3
C. Batasan Masalah............................................................................................3
D. Tujuan Penulisan ...........................................................................................3
E. Manfaat Penulisan .........................................................................................4
F. Metode Penulisan ..........................................................................................4
G. Sistematika Penulisan ...................................................................................4
BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK ................................6
A. Teori Peluang ................................................................................................6
B. Proses Stokastik ..........................................................................................25
C. Sifat-sifat dari Kalkulus ..............................................................................29
BAB III PROSES PERCABANGAN BGW ......................................................34
A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW ...........................34
B. Persamaan Total Distribusi Keturunan .......................................................50
C. Peluang Muncul Mutasi ..............................................................................56
xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga ................................58
BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG
BIOLOGI ..............................................................................................................63
A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat 63
B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker .....................77
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................85
A. Kesimpulan .................................................................................................85
B. Saran ............................................................................................................86
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................88

xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.
A. Latar Belakang
Proses stokastik seringkali muncul di dalam masalah-masalah pada bidang biologi
dan fisika. Untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan proses stokastik
diperlukan beberapa cabang matematika, di antaranya statistika, teori peluang, kalkulus,
dan analisis. Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋𝑡 (𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 },

dengan T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama dari peubah

acak. Untuk setiap t, 𝑋𝑡 (𝑠) menyatakan satu peubah acak yang terdefinisi pada S. Untuk
setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋𝑡 (𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang terdefinisi pada T dan disebut

lintasan sampel atau realisasi dari proses stokastik.

Proses percabangan (branching process) merupakan sebuah proses stokastik waktu
diskret yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan Watson sehingga dikenal juga
dengan nama proses Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Proses BGW banyak digunakan
pada model pertumbuhan dan peluruhan populasi. Populasi dapat berupa gen mutan,
neutron pada reaksi rantai nuklir, ataupun hewan dengan siklus kelahiran tahunan.
Pertumbuhan populasi menyebabkan munculnya keturunan. Banyaknya keturunan dari
setiap individu berbeda tetapi memiliki pola distribusi peluang yang identik. Pola yang
dimiliki yakni efek percabangan. Pola distribusi peluang yang identik dapat digunakan
untuk menghitung peluang dari sifat-sifat keturunan maupun proses secara keseluruhan.
Pada tugas akhir ini, penerapan proses percabangan di bidang biologi akan
difokuskan pada perhitungan peluang munculnya gen kanker dalam suatu jaringan dan
peluang munculnya patogen yang kebal terhadap obat. Secara sederhana, penyakit
1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

kanker muncul karena keadaan hormon yang tidak normal dalam tubuh sehingga
merangsang sel punca yang rusak dalam tubuh sehingga tidak dapat dihancurkan. Sel
punca adalah sumber untuk sel-sel baru dan terus diproduksi oleh tubuh. Pada saat sel
punca membelah, mereka dapat memperbanyak diri sendiri atau menjadi jenis sel yang
baru. Tugas khusus dari sel punca adalah untuk berkembang menjadi sel-sel lain yang
lebih spesifik. Pada penderita kanker, ketidakteraturan hormon itu mengakibatkan sel-sel
punca yang rusak masih ada dan terus bertambah banyak. Pada patogen yang kebal obat,
patogen bertambah banyak dengan cara membelah diri. Populasi patogen terus
bertumbuh sehingga memiliki kemungkinan munculnya patogen yang kebal terhadap
obat selama proses penyembuhan. Kedua kasus biologi tersebut memiliki kemiripan
yaitu berkembang biak dengan membelah diri dan perkembangbiakan individu satu
dengan lain tidak saling memengaruhi (independent). Dengan memperhatikan hal-hal
tersebut, proses percabangan BGW cukup tepat untuk mempelajari kedua masalah dalam
bidang biologi itu.
Sebagai contoh, dengan menggunakan proses percabangan BGW dapat dilakukan
perhitungan peluang saat satu gen mutasi mulai muncul di tengah-tengah populasi.
Dalam menghitung peluang mutasi yang digunakan dalam proses percabangan, perlu
ditentukan dulu persamaan dan distribusi total keturunan secara umum dan khusus.
Topik yang akan dibahas pada skripsi ini adalah teori dasar proses percabangan BGW
dan penerapannya pada masalah perhitungan peluang munculnya mutasi penyebab
penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat. Menggunakan proses
percabangan BGW akan didapatkan model sederhana untuk masalah peluang risiko
penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya patogen yang kebal obat
selama proses pengobatan. Model dapat digunakan untuk memperkirakan peluang dari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

banyaknya sel mutan yang mengakibatkan kanker dan patogen yang kebal terhadap obat
di masa depan.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana definisi dan sifat-sifat dasar proses percabangan BGW?
2. Bagaimana penerapan proses percabangan BGW dalam mempelajari (memodelkan
dan menganalisis) dua masalah dalam bidang biologi yaitu masalah penyebab
munculnya patogen yang kebal obat selama proses pengobatan dan risiko munculnya
gen kanker?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Proses stokastik yang dibahas ialah proses percabangan BGW dengan waktu diskret.
2. Model yang digunakan adalah model sederhana dari proses percabangan BGW
dengan dua parameter.
3. Kasus dalam bidang biologi difokuskan pada munculnya mutasi gen penyebab
penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini untuk mengetahui, mempelajari teori dasar dan
penerapan proses percabangan BGW dalam masalah biologi. Tugas akhir ini akan
difokuskan pada penerapan proses percabangan BGW dalam mencari model matematika
sederhana dalam masalah risiko munculnya sel kanker dan munculnya patogen yang
kebal obat selama proses pengobatan. Model tersebut dapat digunakan dalam
perhitungan peluang muncul atau tidak mutasi dalam kedua kasus biologi tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat mempelajari penerapan proses
percabangan dalam masalah di bidang biologi, mendapatkan model sederhana pada
masalah peluang risiko penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya
patogen yang kebal obat selama pengobatan menggunakan proses percabangan. Selain
itu juga dapat diperkirakan perilaku populasi berdasarkan perhitungan peluang dari
model proses BGW.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan metode studi
pustaka, yakni dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal yang
berkaitan dengan proses percabangan dan penerapannya dalam bidang biologi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK
A. Teori Peluang
B. Proses Stokastik
C. Sifat-sifat dari Kalkulus
BAB III PROSES PERCABANGAN BGW

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5

A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW
B. Persamaan Total Distribusi Keturunan
C. Peluang Muncul Mutasi
D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga
BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI
A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat
B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK
Dalam bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam
skripsi, yaitu teori peluang dan proses stokastik.
A. Teori Peluang
Untuk menyelesaikan permasalahan dalam skripsi ini, perlu diingat kembali
mengenai konsep dasar teori peluang.
Definisi 2.1.1
Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat
ditentukan secara pasti sampai percobaan tersebut selesai dilakukan.
Hasil percobaan acak tidak dapat diprediksi sebelumnya, namun dapat ditentukan himpunan peluang hasil dari percobaan.
Definisi 2.1.2
Himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak disebut sebagai ruang sampel dari percobaan tersebut dan dinotasikan dengan S.
Contoh 2.1.2:
Jika hasil dari sebuah percobaan adalah klasifikasi jenis kelamin bayi yang
baru lahir maka 𝑆 = {𝑙, 𝑝}, dengan hasil l mengidentifikasikan bahwa laki-

laki dan p adalah perempuan.
Definisi 2.1.3

Anggota dari ruang sampel disebut sebagai titik sampel.
Contoh 2.1.3:
Titik sampel dari ruang sampel S pada contoh 2.1.2 adalah l dan p.

6

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7

Definisi 2.1.4
Setiap subhimpunan dari ruang sampel disebut sebagai kejadian. Dengan kata
lain, kejadian adalah sebuah himpunan yang memuat peluang hasil dari
percobaan. Kejadian seringkali dinotasikan dengan E.
Contoh 2.1.4
Jika 𝐸 = {𝑝} maka E adalah kejadian jenis kelamin bayi yang baru lahir adalah perempuan.
Definisi 2.1.5
Untuk setiap dua kejadian E dan F dari sebuah ruang sampel S, didefinisikan
𝐸 ∪ 𝐹 memuat semua hasil yang ada di E atau di F atau di E dan F.
Himpunan 𝐸 ∪ 𝐹 disebut gabungan dari kejadian E dan F.

Contoh 2.1.5

Jika kejadian 𝐸 = {𝑙} dan 𝐹 = {𝑝} maka 𝐸 ∪ 𝐹 = {𝑙, 𝑝}.
Definisi 2.1.6

Untuk setiap dua kejadian E dan F, didefinisikan 𝐸 ∩ 𝐹 adalah kejadian yang
memuat semua hasil yang berada di E dan sekaligus di F. Himpunan 𝐸 ∩ 𝐹

disebut irisan dari kejadian E dan F.
Contoh 2.1.6

Dilakukan percobaan acak melempar sebuah koin setimbang sebanyak 2 kali.
Titik sampel dari percobaan adalah gambar yang dinotasikan dengan G dan
angka yang dinotasikan dengan A. Jika E = {(G,G), (G,A), (A,G)} adalah
kejadian dengan setidaknya 1 gambar muncul dan F = {(G,A), (A,G), (A,A)}
adalah kejadian dengan setidaknya 1 angka muncul maka 𝐸 ∩ 𝐹 =

{(𝐺, 𝐴), (𝐴, 𝐺))} adalah kejadian dengan tepat 1 gambar dan 1 angka muncul.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8

Definisi 2.1.7
Untuk setiap kejadian E, didefinisikan kejadian baru 𝐸 𝑐 yang memuat semua

hasil dalam ruang sampel S yang tidak berada di E. Kejadian 𝐸 𝑐 akan muncul
jika dan hanya jika E tidak muncul. Kejadian 𝐸 𝑐 disebut komplemen dari ke-

jadian E.

Contoh 2.1.7
Dilakukan percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Jika kejadian 𝐸 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, maka 𝐸 𝑐 akan muncul
saat jumlahan dadu tidak sama dengan 7.
Definisi 2.1.8
Kejadian E dan F dikatakan saling asing apabila memenuhi

Contoh 2.1.8

𝐸 ∩ 𝐹 = ∅.

Kejadian A merupakan munculnya sisi gambar dan B munculnya sisi angka
apabila sebuah koin dilempar sekali. Kejadian A dan B saling asing karena
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Definisi 2.1.9
Peluang adalah sebuah fungsi dari ruang sampel S ke ℝ yang memenuhi tiga

sifat di bawah ini:

1. ℙ(𝐴) ∈ [0,1] ∀𝐴 ⊆ 𝑆
2. ℙ(𝑆) = 1, dan

3. untuk barisan berhingga atau tak hingga yang saling asing 𝐴𝑖 di dalam S
berlaku

ℙ (⋃ 𝐴𝑖 ) = ∑ ℙ(𝐴𝑖 ),
𝑖

𝑖

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9

Karena |𝑆| = 𝑛 dan telah diketahui ∀𝐴 ⊆ 𝑆, peluang suatu kejadian A dapat

dihitung yaitu:

Contoh 2.1.9

ℙ(𝐴) =

|𝐴|
.
|𝑆|

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6 sebanyak satu kali, terdapat
6 titik sampel dalam ruang sampel {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yaitu muncul sisi dadu
bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin saja terjadi
misalnya: munculnya mata dadu ganjil, munculnya mata dadu genap, munculnya mata dadu prima, dan sebagainya. Bila pada percobaan diinginkan
muncul mata dadu 2, 3 dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel dari ruang sampel
3

6, maka peluang kejadian muncul mata dadu prima adalah .
6

Definisi 2.1.10

Peluang bersyarat dari kejadian E dengan syarat kejadian F didefinisikan
sebagai berikut

Definisi 2.1.11

ℙ(𝐸|𝐹) =

ℙ(𝐸 ∩ 𝐹)
, ℙ(𝐹) ≠ 0.
ℙ(𝐹)

Kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika diketahui
ℙ(𝐸|𝐹) = ℙ(𝐸).

Sebagai akibatnya, E dan F saling bebas jika dan hanya jika ℙ(𝐸 ∩ 𝐹) =

ℙ(𝐸)ℙ(𝐹).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10

Contoh 2.1.11
Pada pelemparan dua keping koin sekali, M munculnya sisi angka pada koin
pertama, dan N munculnya sisi gambar pada koin kedua adalah kejadian sal1

1

1

ing bebas; 𝑆 = {𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺}, ℙ(𝑀) = , ℙ(𝑁) = , ℙ(𝑀 ∩ 𝑁) = ,
2
1⁄

1

ℙ(𝑀|𝑁) = 1⁄4 = 2 = ℙ(𝑀).
2

2

4

Aturan Bayes merupakan perluasan dari peluang bersyarat.
Teorema 2.1.12 (Aturan Bayes)
Untuk dua kejadian E dan F berlaku
ℙ(𝐹|𝐸) =

Contoh 2.1.12

=

ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹)
ℙ(𝐹 ∩ 𝐸)
=
ℙ(𝐸)
ℙ(𝐸 ∩ 𝐹) + ℙ(𝐸 ∩ 𝐹 𝐶 )
ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹)
ℙ(𝐸|𝐹)ℙ(𝐹) + ℙ(𝐸|𝐹 𝐶 )ℙ(𝐹 𝐶 )

Diketahui populasi suatu kota terdiri dari 45% wanita dan 55% pria dan
diketahui juga 70% dari pria dan 10% dari wanita adalah seorang perokok.
Keterangan: P= kejadian yang terpilih adalah pria, W= kejadian yang terpilih
adalah wanita, R= kejadian yang terpilih adalah perokok. Peluang kejadian
seorang perokok dipilih secara acak, maka dengan menggunakan aturan
Bayes diperoleh
ℙ(𝑃|𝑅) =

ℙ(𝑅|𝑃)ℙ(𝑃)
ℙ(𝑅|𝑃)ℙ(𝑃) + ℙ(𝑅|𝑊)ℙ(𝑊)

70 55
.
100
100
ℙ(𝑃|𝑅) =
= 0,895.
10 45
70 55
.
+
.
100 100 100 100

Teorema 2.1.13 (Hukum Peluang Total)

Diketahui 𝐹1 , 𝐹2 , … , 𝐹𝑘 adalah partisi dari ruang sampel S, yakni

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11

(1) 𝐹𝑖 ∩ 𝐹𝑗 = ∅, untuk 𝑖 ≠ 𝑗
(2) 𝐹1 ∪ 𝐹2 ∪ … ∪ 𝐹𝑘 = 𝑆

untuk setiap kejadian 𝐸 ⊆ 𝑆 berlaku

Contoh 2.1.13

𝑘

𝑘

𝑖=1

𝑖=1

ℙ(𝐸) = ∑ ℙ(𝐴 ∩ 𝐹𝑖 ) = ∑ ℙ(𝐴|𝐹𝑖 )ℙ(𝐹𝑖 ).

Dari hasil penelitian sebuah negara didapatkan bahwa 7% penduduk pria dan
0,4% penduduk wanita mengidap buta warna. Prosentase penduduk dalam
negara tersebut yakni, tersebut 49% pria dan 51% wanita. Seorang penduduk
dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa seseorang tersebut buta warna.
Keterangan : C= kejadian orang yang terpilih buta warna; P= kejadian orang
yang terpilih adalah pria; W=kejadian orang yang dipilih adalah wanita.
Menurut Teorema 2.1.13, berlaku
ℙ(𝐶) = ℙ(𝐶|𝑃)ℙ(𝑃) + ℙ(𝐶|𝑊)ℙ(𝑊)
= 0,07 ∙ 0,49 + 0,004 ∙ 0,51

Definisi 2.1.14

= 0,03634.

Diberikan S adalah ruang sampel dan T adalah himpunan terhitung. Peubah
acak diskret X adalah fungsi dari S ke T. Distribusi dari peubah acak X adalah
barisan nilai peluang ℙ(𝑋 = 𝑘) untuk setiap 𝑘 ∈ 𝑇.
Contoh 2.1.14

Pada satu kali pelemparan sekeping koin setimbang, X bernilai 0 saat
kejadian muncul angka dan bernilai 1 saat kejadian muncul gambar. Peluang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12

1

X bernilai 1 dan X bernilai 0 masing-masing adalah . Tiga koin setimbang
2
dilempar dan menghasilkan 8 kemungkinan yaitu {𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴,

𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺|𝐴 = sisi angka, 𝐺 = sisi gambar}, sehingga peluang
1

3

X bernilai 0 yang ditulis ℙ(𝑋 = 0) adalah . Selanjutnya ℙ(𝑋 = 1) = 8,
ℙ(𝑋 = 2) =

3
1
, ℙ(𝑋 = 3) = .
8
8

8

Definisi 2.1.15

Distribusi dari peubah acak X adalah himpunan nilai-nilai dari X beserta peluangnya. Distribusi peubah acak diskret ditentukan oleh fungsi masa peluang
(fmp).
Jika X dan Y peubah acak diskret, maka fmp gabungannya
ℙ(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦).

Peluang bersyarat dari Y apabila diketahui 𝑋 = 𝑥 adalah

Contoh 2.1.15

ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥) =

ℙ(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)
.
ℙ(𝑋 = 𝑥)

Diberikan satu kotak yang berisi sembilan bola yang terdiri dari dua bola
merah, 3 bola biru dan 4 bola putih. Tiga bola diambil secara acak tanpa
dikembalikan. Tentukan fmp bersyarat dari banyaknya bola biru yang terambil jika diketahui banyaknya bola merah yang terambil adalah satu.
Keterangan: Y= banyak bola biru yang terambil dengan 𝑌 = 𝑦 dan 𝑦 ∈
{0,1,2}; X= banyak bola merah yang terambil.

Menurut definisi distribusi bersyarat berlaku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13

4
3 2
)
( )( )(
𝑦 1 2−𝑦
4
3
9
)
)
(
(
(
)
ℙ(𝑌 = 𝑦, 𝑋 = 1)
𝑦 2−𝑦
3
ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 1) =
=
=
2 7
ℙ(𝑋 = 1)
21
( )( )
1 2
9
( )
3

Definisi 2.1.16

2
,
7
4
=
,
7
1
{7 ,

𝑦=0

𝑦 = 1.
𝑦=2

Nilai harapan peubah acak diskret X, dilambangkan dengan 𝔼(𝑋), didefinisi-

kan sebagai jumlah hasil kali nilai peubah acak dengan masing-masing peluangnya:
𝔼(𝑋) = ∑ 𝑥ℙ(𝑋 = 𝑥).
∀𝑥

Contoh 2.1.16

Peluang seseorang menembak tepat sasaran adalah 0,6. Jika dia melakukan
tembakan sebanyak 100 kali maka nilai harapan seseorang menembak
mengenai sasaran adalah

Definisi 2.1.17

𝔼(𝑋) = 100 ∙ 0,6 = 60.

Nilai harapan bersyarat dari peubah acak Y apabila diberikan 𝑋 = 𝑥 adalah
𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑦ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥).
∀𝑦

Beberapa sifat nilai harapan bersyarat:

1. Untuk setiap peubah acak X, Y dan Z dan konstanta a dan b berlaku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14

𝔼(𝑎𝑌 + 𝑏𝑍|𝑋 = 𝑥) = 𝑎𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) + 𝑏𝔼(𝑍|𝑋 = 𝑥)

2. Jika g adalah sebuah fungsi, maka nilai harapan bersyarat untuk peubah
acak diskret 𝑔(𝑌) adalah

𝔼(𝑔(𝑌)|𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑔(𝑦)ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥)
∀𝑌

3. Jika X dan Y saling bebas, maka 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝔼(𝑌)

4. Jika 𝑌 = 𝑔(𝑋), maka 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝑔(𝑥).

Contoh 2.1.17
Diberikan

nilai

peluang

dari

= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}:

ℙ(1,1) =

0,5, ℙ(1,2) = 0,1, ℙ(2,1) = 0,1, ℙ(2,2) = 0,3 Dapat dihitung peluang ber-

syarat X bila diberikan 𝑌 = 1. Diketahui

ℙ𝑌 (1) = ∑ ℙ(𝑥, 1) = ℙ(1,1) + ℙ(2,1) = 0,6

sehingga diperoleh

𝑋

ℙ𝑋|𝑌 (1|1) = ℙ(𝑋 = 1|𝑌 = 1) =
ℙ𝑋|𝑌 (2|1) =

Definisi 2.1.18

ℙ(2,1) 1
= .
ℙ𝑌 (1) 6

ℙ(𝑋 = 1, 𝑌 = 1)
ℙ(1,1) 5
=
=
ℙ(𝑌 = 1)
ℙ𝑌 (1) 6

Diberikan peubah acak Y dan 𝐴1 , 𝐴2 ,… , 𝐴𝑘 adalah partisi dari ruang sampel S.

Berlaku 𝔼(𝑌) = ∑𝑘𝑖=1 𝔼(𝑌|𝐴𝑖 )ℙ(𝐴𝑖 ).

Jika X dan Y dua peubah acak yang mempunyai distribusi bersama, maka
𝔼(𝑌) = ∑ 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥)ℙ(𝑋 = 𝑥).
𝑋

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

Contoh 2.1.18
Sebuah koin setimbang dilambungkan berkali-kali. Dinotasikan A= kejadian
muncul angka, G= kejadian muncul gambar. Koin dilambungkan sekali
dengan kemungkinan hasil A dan G, dilambungkan dua kali dengan kemungkinan 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺 dan seterusnya sehingga didapatkan S = {𝐴, 𝐺, 𝐴𝐴, 𝐴𝐺,

𝐺𝐴, 𝐺𝐺, 𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, … }. Andaikan S dipartisi menjadi 3 partisi: S1 =

{lambungan 1: A}; S2 = {lambungan 1 dan 2: GA};

𝑆3 = {lambungan 1 dan 2: GG} dengan S1 terjadi saat diperlukan setidaknya

3 kali pelambungan, S2 terjadi saat diperlukan setidaknya 4 kali pelambungan

dan S3 terjadi saat diperlukan hanya 2 kali pelambungan. Tentukan nilai
harapan dari Y= banyaknya pelambungan yang dilakukan untuk mendapat
dua gambar berurutan.
Menurut Definisi 2.1.18
𝔼(𝑌) = 𝔼(𝑌|S1)ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|𝑆2 )ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|S3 )ℙ(𝑆3 )

karena pelambungan bersifat saling bebas, berlaku

dan

𝔼(𝑌|S1) = 1 + 𝔼(𝑌),

𝔼(𝑌|S2 ) = 2 + 𝔼(𝑌)

1
1
1
𝔼(𝑌) = (1 + 𝔼(𝑌)) + (2 + 𝔼(𝑌)) + 2 ∙
2
4
4

4𝔼(𝑌) = 2 + 2𝔼(𝑌) + 2 + 𝔼(𝑌) + 2
Definisi 2.1.19

𝔼(𝑌) = 6.

Misal X adalah suatu peubah acak dengan 𝔼(𝑋) = 𝑈. Variansi peubah X,

dengan simbol 𝑉𝑎𝑟(𝑋), didefinisikan sebagai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

𝑡

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼[(𝑋 − 𝑈)2 ] = ∑(𝑥𝑖 − 𝑈)2 ℙ(𝑥𝑖 ).
𝑖=1

Variansi peubah X merupakan rata-rata nilai harapan dari deviasi kuadrat.
Teorema 2.1.20
Apabila X suatu peubah acak dengan rata-rata 𝔼(𝑋) = 𝑈 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2 ,
maka

Contoh 2.1.20

𝜎 2 = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 = 𝔼(𝑋 2 ) − 𝑈 2 .

Banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama satu minggu
adalah sebanyak X. Peluang terjadinya 𝑋 = 𝑥 adalah ℙ(𝑋). Dihitung rata-rata

banyaknya pesanan yang diharapkan dan variansinya, dengan diketahui data
sebagai berikut.
X

0

1

2

3

ℙ (X)

0,125

0,375

0,375

0,125

Dihitung terlebih dahulu nilai harapan dari kasus diatas
𝔼(𝑋) = 0 ∙ ℙ(0) + 1 ∙ ℙ(1) + 2 ∙ ℙ(2) + 3 ∙ ℙ(3),

𝔼(𝑋) = 0 ∙ 0,125 + 1 ∙ 0,375 + 2 ∙ 0,375 + 3 ∙ 0,125,

𝔼(𝑋) = 1,5.

Selanjutnya dihitung variansinya,
𝑡

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝑈)2 ℙ(𝑥𝑖 )
𝑖=1

= (0 − 1,5)2 ∙ 0,125 + (1 − 1,5)2 ∙ 0,375

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

+(2 − 1,5)2 ∙ 0,375 + (3 − 1,5)2 ∙ 0,125

= 0,75.

Definisi 2.1.21

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan nilai bilangan bulat positif.
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak didefinisikan sebagai berikut
𝑔𝑋 (𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑥 ) = ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 = 𝑛)
𝑛≥0

Jelas bahwa, 𝑔𝑋 (𝑠) adalah sebuah deret pangkat dan berlaku |𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 =

𝑛)| ≤ |𝑠|𝑛 , 𝑠 ∈ (−1,1].
Proposisi 2.1.22

Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling asing, maka 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) =

𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠).

Bukti: Menurut definisi
𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 + 𝑌 = 𝑛)
𝑛≥0

di lain pihak,

𝑛

ℙ(𝑋 + 𝑌 = 𝑛) = ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘; 𝑌 = 𝑛 − 𝑘)
𝑘=0
𝑛

= ∑ ℙ(𝑋 = 𝑘)ℙ(𝑌 = 𝑛 − 𝑘),
𝑘=0

di mana persamaan terakhir didapatkan dari X dan Y yang saling bebas.
Jadi 𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = ∑𝑛≥0 𝑠 𝑛 ∑𝑘≥0 ℙ(𝑋 = 𝑘)ℙ(𝑌 = 𝑛 − 𝑘)
= ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑋 = 𝑛) ∑ 𝑠 𝑛 ℙ(𝑌 = 𝑛)
𝑛≥0

= 𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠).

𝑛≥0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

Proposisi 2.1.23
Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑔𝑋

dan 𝑔𝑌 . Diasumsikan |𝑠| < 1

Jika 𝑔𝑋 (𝑠) = 𝑔𝑌 (𝑠) maka X dan Y memiliki distribusi yang sama.

Berikut akan dijelaskan beberapa contoh peubah acak diskret yang akan
sering digunakan.
1. Peubah Acak Bernouli
Diberikan percobaan dengan dua hasil yang mungkin: sukses dan gagal.
Kita notasikan 𝑋 = 1 bila percobaan berhasil dan 𝑋 = 0 bila percobaan
gagal. Nilai 0 dan 1 adalah nilai peubah acak Bernoulli. Dinotasikan
ℙ(𝑋 = 1) = 𝑝 dan ℙ(𝑋 = 0) = 𝑞 = 1 − 𝑝. Kita mempunyai
dan

𝔼(𝑋) = 1 ∙ 𝑝 + 0 ∙ (1 − 𝑝) = 𝑝,

𝔼(𝑋 2 ) = 1 ∙ 𝑝 + 02 ∙ (1 − 𝑝) = 𝑝.

Sehingga, 𝔼(𝑋) = 𝑝 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 = 𝑝 − 𝑝2

= 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝𝑞.

2. Peubah Acak Binomial
Dipandang n peubah acak Bernoulli yang saling bebas dan berdistribusi
identik 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 . Diberikan p adalah peluang kesuksesan. Untuk 𝑖 =
1, … , 𝑛

ℙ(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝.

Apabila B adalah peubah acak yang memberikan jumlah sukses dengan n
ulangan (trial), dengan i merupakan sukses jika 𝑋𝑖 = 1 dan gagal jika 𝑋𝑖 =
0, maka menurut Proposisi 2.1.23

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

𝐵 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 .

Peubah acak B dikatakan mempunyai distribusi Binomial dengan parameter n dan p yang dapat dibuktikan dengan Proposisi 2.2.23 fungsi
pembangkit momen dari B sama dengan distribusi Binomial. Sehingga
didapatkan ℙ(𝐵 = 𝑘) untuk 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛.

Secara umum, jumlah peluang untuk sukses sebanyak k dalam n kali

percobaan adalah
𝑛!
𝑛
( )=
.
𝑘
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Untuk masing-masing kemungkinan memiliki peluang 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 dan

masing-masing kemungkinan saling bebas. Jadi, untuk k=0,1,…,n berlaku
𝑛
distribusi binomial ℙ(𝐵 = 𝑘) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 .
𝑘

Nilai harapan dari distribusi Binomial adalah

𝔼(𝐵) = 𝔼(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝔼(𝑋1 ) + 𝔼(𝑋2 ) + ⋯ + 𝔼(𝑋𝑛 ) = 𝑛𝑝.

Variansi distribusi Binomial adalah

𝑉𝑎𝑟(𝐵) = 𝔼(𝐵2 ) − [𝔼(𝐵)]2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞.

3. Peubah Acak Geometri

Diasumsikan peluang percobaan p adalah sukses dan 𝑞 = 1 − 𝑝 adalah

gagal. X adalah peubah acak yang berdistribusi Geometri, jika distribusi
dari X diberikan oleh
ℙ(𝑋 = 𝑘) = 𝑞 𝑘−1 𝑝 untuk semua 𝑘 ≥ 1.

Dari jumlahan deret Geometri
∑ 𝑥𝑘 =
𝑘≥0

1
untuk semua 𝑥 ∈ (−1,1),
1−𝑥

dengan menurunkan jumlahan di atas didapatkan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

∑ 𝑘𝑥 𝑘−1 =
𝑘≥1

1
.
(1 − 𝑥)2

Penerapan rumus tersebut mendapatkan nilai harapan
𝔼(𝑋) = ∑ 𝑘𝑞 𝑘−1 𝑝 = 𝑝
𝑘≥1

Variansi dari distribusi Geometri adalah
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼(𝑋 2 ) − [𝔼(𝑋)]2 =

Definisi 2.1.24

1
1
=
.
(1 − 𝑞)2 𝑝

(1 − 𝑝)
1+𝑞 1
−
=
.
𝑝2
𝑝2
𝑝2

Peubah acak N dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter
𝜆 jika

ℙ(𝑁 = 𝑘) = 𝑒

−𝜆

dan 𝜆 merupakan parameter dari N.

𝜆𝑘
untuk 𝑘 = 0,1, … ,
𝑘!

Selanjutnya dihitung nilai harapan dari peubah acak Poisson N dengan pa-

rameter 𝜆:

∞

𝔼(𝑁) = ∑ 𝑘ℙ(𝑁 = 𝑘)
𝑘=0
∞

= ∑ 𝑘𝑒
𝑘=1

=𝑒

−𝜆

=𝑒

−𝜆

−𝜆

∞

𝜆𝑘−1
𝜆∑
(𝑘 − 1)!
𝑘=1
∞

𝜆∑

𝑘=0

= 𝑒 −𝜆 𝜆𝑒 𝜆
= 𝜆.

𝜆𝑘
𝑘!

𝜆𝑘
𝑘!

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

Nilai harapan dan variansi distribusi Poisson dihitung sebagai berikut.
Dimisalkan terlebih dahulu
𝔼(𝑁 2 ) = 𝔼(𝑁 2 ) − 𝔼(𝑁) + 𝔼(𝑁)
= 𝔼[𝑁 2 − 𝑁] + 𝔼(𝑁)

= 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] + 𝔼(𝑁),

selanjutnya

∞

𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] = ∑ 𝑘(𝑘 − 1)ℙ(𝑁 = 𝑘)
𝑘=0
∞

= ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝑒
𝑘=2
∞

= ∑ 𝑘(𝑘 − 1)
𝑘=2
2

∞

=𝜆 ∑
karena

𝑘=2

−𝜆

𝜆𝑘
𝑘!

𝑒 −𝜆 𝜆2 𝜆𝑘−2
𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)!

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−2
(𝑘 − 2)!

∞

sehingga

Oleh karena itu,

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘−2
=1
∑
(𝑘 − 2)!

𝑘=2

𝔼[𝑁(𝑁 − 1)] = 𝜆2 .
𝔼(𝑁 2 ) = 𝔼[𝑁(𝑁 − 1)} + 𝔼(𝑁)

𝔼(𝑁 2 ) = 𝜆2 + 𝜆.

Variansi dari distribusi Poisson adalah 𝑉𝑎𝑟(𝑁) = 𝔼(𝑁 2 ) − [𝔼(𝑁)]2 =

𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

Perluasan dari Distribusi Poisson
Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆. Jika 𝑁 =
0 maka 𝑁1 = 0. Misalkan 𝑛 ≥ 1, dan diberikan

𝑁1 adalah binomial

dengan parameter n dan p. Dengan demikian, dapat ditulis jumlahan
𝑛

𝑁𝑖 = ∑ 𝑋𝑖
𝑖=1

yang merupakan peubah acak Bernoulli dengan distribusi ℙ(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝

dan ℙ(𝑋𝑖 = 0) = 1 − 𝑝.

Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆.
𝑛
ℙ(𝑁1 = 𝑘|𝑁 = 𝑛) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 .
𝑘
∞

ℙ(𝑁1 = 𝑘) = ∑ ℙ(𝑁1 = 𝑘|𝑁 = 𝑛)ℙ(𝑁 = 𝑛).
𝑛=𝑘
∞

𝜆𝑛
𝑛
= ∑ ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒 −𝜆 .
𝑘
𝑛!
𝑛=𝑘

∞

∞

1
1
= 𝑝𝑘 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 ∑
(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝜆𝑛−𝑘 .
(𝑛
𝑘!
− 𝑘)!
𝑛=𝑘

∞

1
1
∑
(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝜆𝑛−𝑘 = ∑ (1 − 𝑝)𝑛 𝜆𝑛 = 𝑒 𝜆(1−𝑝) .
(𝑛 − 𝑘)!
𝑛!

𝑛=𝑘

ℙ(𝑁1 = 𝑘) =

𝑛=𝑘

(𝜆𝑝)𝑘
1 𝑘 𝑘 −𝜆 𝜆(1−𝑝)
𝑝 𝜆 𝑒 𝑒
= 𝑒 −𝜆𝑝
.
𝑘!
𝑘!

Didapatkan fungsi pembangkit momen dari 𝑁1

𝑔𝑁1 (𝑠) = 𝔼(𝑠 𝑁1 ) = ∑ 𝔼(𝑠 𝑁1 |𝑁 = 𝑛)ℙ(𝑁 = 𝑛),
𝑛≥0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23

digunakan nilai rata-rata untuk nilai harapan. Distribusi peubah acak
Binomial adalah jumlahan dari peubah acak Bernoulli yang saling bebas.
Sehingga
𝑛

𝔼(𝑠 𝑁1 |𝑁 = 𝑛) = 𝔼(𝑠 ∑𝑖=1 𝑋𝑖 ) = 𝔼(𝑠 𝑋 )𝑛 .

Oleh karena itu didapatkan,

𝑔𝑁1 (𝑠) = ∑ 𝔼(𝑠 𝑋 )𝑛 ℙ(𝑁 = 𝑛) = 𝑔𝑁 (𝐸(𝑠 𝑋 )).
𝑛≥0

Karena N adalah peubah acak Poisson dengan parameter 𝜆 dimiliki

𝑔𝑁 (𝑠) = 𝑒 𝜆(−1+𝑠) . Karena X adalah peubah acak Bernoulli dimiliki
𝔼(𝑠 𝑋 ) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠. Sehingga

𝑔𝑁1 (𝑠) = 𝑔𝑁 (𝔼(𝑠 𝑋 )) = exp(𝜆(−1 + 1 − 𝑝 + 𝑝𝑠)) = exp(𝜆𝑝(−1 + 𝑠)).

Terbukti bahwa parameter distribusi Poisson dari N adalah 𝜆. Hal tersebut
menunjukkan juga bahwa fpm menyederhanakan perhitungan.
Jumlahan Peubah Acak Poison
Diasumsikan bahwa 𝑁1 dan 𝑁2 adalah peubah acak Poisson yang saling
bebas dengan parameter 𝜆1 dan 𝜆2 .

Misalkan 𝑛 ≥ 0. Dimiliki

𝑛

{𝑁 = 𝑛} = ⋃{𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘}.
𝑘=0

Hal itu dikarenakan jika 𝑁 = 𝑛 maka 𝑁1 haruslah sebarang k. Jika 𝑁1 = 𝑘

maka 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘. Jadi, kejadian {𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘} untuk 𝑘 =
0, . . 𝑛 saling asing. Didapatkan

𝑛

ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ ℙ( 𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘).
𝑘=0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

Sehingga 𝑁1 dan 𝑁2 saling bebas untuk setiap k

ℙ(𝑁1 = 𝑘, 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘) = ℙ(𝑁1 = 𝑘)ℙ( 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘).

Oleh karena itu,

𝑛

ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ ℙ( 𝑁1 = 𝑘)ℙ( 𝑁2 = 𝑛 − 𝑘).
𝑘=0

Digunakan distribusi Poisson 𝑁1 dan 𝑁2 untuk mendapatkan
𝑛

ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ 𝑒 −𝜆1
𝑘=0

𝜆1𝑘 −𝜆 𝜆1𝑛−𝑘
𝑒 2
.
(𝑛 − 𝑘)!
𝑘!

Dengan menggunakan pembagian dan perkalian 𝑛! didapatkan
𝑛

1
1
𝑛
ℙ(𝑁 = 𝑛) = 𝑒 −𝜆1 −𝜆2 ∑ ( ) 𝜆1𝑘 𝜆1𝑛−𝑘 = 𝑒 −𝜆1 −𝜆2 (𝜆1 + 𝜆2 )𝑛 ,
𝑘
𝑛!
𝑛!
𝑘=0

di mana persamaan terakhir menggunakan teorema Binomial. Persamaan
di atas menunjukkan 𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2 adalah distribusi Poisson, dengan
parameter 𝜆1 + 𝜆2 .

Diasumsikan X dan Y adalah peubah acak Poisson yang saling bebas
dengan nilai 𝜆 dan µ.

Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dari X diperoleh.
𝑘 −𝜆

𝑔𝑋 (𝑠) = ∑ 𝑠 𝑒
𝑘≥0

Menggunakan Proposisi 2.2.22 didapatkan

𝜆𝑘
= 𝑒 𝜆(𝑠−1) .
𝑘!

𝑔𝑋+𝑌 (𝑠) = 𝑔𝑋 (𝑠)𝑔𝑌 (𝑠) = 𝑒 𝜆(𝑠−1) 𝑒 𝜇(𝑠−1) = 𝑒 (𝜆+𝜇)(𝑠−1) .

Fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 +
𝜇. Sehingga dapat disimpulkan distribusi dari 𝑋 + 𝑌 adalah distribusi

Poisson dengan parameter 𝜆 + 𝜇.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

B. Proses Stokastik
Pada subbab ini akan dipelajari lebih lanjut mengenai proses stokastik
dengan fokus pada rantai Markov.
Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋𝑡 (𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 },

dimana T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama

dari peubah acak. Untuk setiap t, 𝑋𝑡 (𝑠) menyatakan satu peubah acak yang
terdefinisi pada S.

Untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋𝑡 (𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang

terdefinisi pada T dan disebut lintasan sampel (realisasi, trayektori dari proses
stokastik).
Proses stokastik terbagi dalam 2 klasifikasi waktu:
1. Jika T adalah himpunan diskret (terhitung) maka (𝑋𝑡 )𝑡∈𝑇 disebut proses
stokastik waktu diskret.

2. Jika T adalah himpunan kontinu (tak terhitung) maka (𝑋𝑡 )𝑡∈𝑇 disebut
proses stokastik waktu kontinu.

Proses stokastik yang digunakan dalam skripsi ini hanya proses stokastik
waktu diskret.
Definisi 2.2.1
Rantai Markov merupakan proses stokastik waktu diskret (𝑋𝑛 )𝑛≥0 =

(𝑋0 , 𝑋1 , 𝑋2 , … ) dengan nilai di dalam 𝐾 sehingga berlaku ℙ(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋0 =

𝑥0 , 𝑋1 = 𝑥1 , … , 𝑋𝑛−1 = 𝑥𝑛−1 , 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 ) = ℙ(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖) untuk setiap

Himpunan 𝐾 disebut sebagai ruang keadaan (state space) dari rantai Markov.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

Sifat rantai Markov secara umum adalah peluang kejadian saat ini hanya
dipengaruhi oleh kejadian tepat satu satuan waktu sebelumnya dan tidak dipengaruhi oleh kejadian di masa lampau.
Definisi 2.2.2
Rantai Markov dikatakan homogen waktu apabila peluang bersyarat tidak
bergantung pada n. Notasi 𝒫𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa proses akan berada

di keadaan j apabila diketahui sebelumnya berada di keadaan i. Rantai Markov dapat direpresentasikan dalam matriks 𝒫 yang elemen-elemennya adalah

𝒫𝑖𝑗 = ℙ(𝑋1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖)

𝒫11 𝒫12 … 𝒫1𝑛
𝒫
𝒫22 ⋯ 𝒫2𝑛
)
𝒫 = ( 21
⋮
⋮ ⋱
⋮
𝒫𝑛1 𝒫𝑛2 … 𝒫𝑛𝑛

Matriks ini disebut matriks transisi peluang untuk rantai Markov.
Contoh 2.2.2
Rantai Markov yang mendeskripsikan perubahan cuaca, direpresentasikan
oleh matriks
𝑐 𝑏
ℎ
𝑐 0,2 0,6 0,2
𝒫 = 𝑏 0,1 0,8 0,1
(
)
ℎ 0,1 0,6 0,3

Notasi c=cerah, b=berawan, dan h=hujan. Keadaan cuaca hari ini hanya
dipengaruhi oleh keadaan cuaca kemarin dan tidak dipengaruhi oleh cuaca
hari-hari sebelumnya.
(𝑋𝑛 )𝑛≥0 = (𝑋0 , 𝑋1 , 𝑋2, … ). Peluang transisi 1 langkah dari perubahan cuaca

adalah ℙ(𝑋1 = 𝑏|𝑋0 = 𝑐) = 0,6.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

Peluang transisi n-langkah
Diberikan keadaan i dan j, 𝑛 ≥ 1

ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai di i

akan berada di j setelah n langkah.

Matriks dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j adalah ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖)
disebut matriks transisi n-langkah dari rantai Markov.
Persamaan Chapman-Kolmogorov
Persamaan Chapman-Kolmogorov digunakan untuk menghitung peluang
transisi 𝑛 + 𝑚 langkah, yakni untuk ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ0 = ℕ ∪ {0}
berlaku 𝒫 𝑚+𝑛 = 𝒫 𝑚 𝒫. Dengan kata lain,

(𝒫 𝑚+𝑛 )𝑖𝑗 = ∑(𝒫 𝑚 )𝑖𝑘 + (𝒫 𝑛 )𝑘𝑗 , ∀𝑖𝑗.

Jadi,
ℙ(𝑋𝑛+𝑚 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) = ∑ ℙ(𝑋𝑚 = 𝑘|𝑋0 = 𝑖)ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑘)
𝑘

= ∑ ℙ(𝑋𝑚 = 𝑘|𝑋0 = 𝑖) ℙ(𝑋𝑛+𝑚 = 𝑗|𝑋𝑚 = 𝑘).
Definisi 2.2.3

𝑘

Vektor 𝕊 = (𝕊1 𝕊2 … 𝕊𝑛 ) disebut vektor peluang jika ∑𝑛𝑖=1 𝕊𝑖 = 1.
Contoh 2.2.3

Diberikan vektor peluang cuaca besok bila hari ini cerah,
𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ
1
𝕊=
(
2

𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛
0

𝕊𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ + 𝕊𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛 + 𝕊ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 =

Jadi, vektor 𝕊 adalah vektor peluang.

ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛
1
),
2

1
1
+ 0 + = 1.
2
2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

Definisi 2.2.4
Diberikan rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 = (𝑋0 , 𝑋1, 𝑋2, … ).

1. ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗) disebut distribusi rantai Markov pada waktu ke-n,

2. untuk 𝑛 = 0, ℙ(𝑋0 = 𝑗) disebut distribusi awal dari rantai Markov,

3. vektor peluang 𝕊 = (𝕊1 𝕊2 … 𝕊𝑛 ) disebut distribusi stasioner dari rantai

Markov jika 𝒫 ∙ 𝕊 = 𝕊.

Peluang Rantai Markov
Diberikan rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 .
Didefinisikan:

𝑓𝑖𝑖𝑛 adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimiliki dari keadaan i akan

kembali ke keadaan i untuk pertama kalinya tepat setelah n transisi.

𝑓𝑖 adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai dari keadaan i akan

kembali ke i setelah sejumlah hingga transisi.
Jadi 𝑓𝑖 = ∑𝑛 𝑓𝑖𝑖𝑛 .

Definisi 2.2.5

Diketahui rantai Markov (𝑋𝑛 )𝑛≥0 dengan ruang keadaan 𝐾 dan
𝑛
𝑝𝑖𝑗
= (ℙ𝑛 )𝑖𝑗 = ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖).

(absorbing) apabila 𝑝𝑖𝑖 = 1.

Keadaan

i

dikatakan

menyerap

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

C. Sifat-sifat dari Kalkulus
Di bagian ini akan diberikan beberapa sifat dari kalkulus yang akan
digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Lemma 2.3.1
𝑛
Untuk |𝑥| < 1 berlaku 1 − √1 − 𝑥 = ∑∞
𝑛=1 𝑐𝑛 𝑥

dengan

untuk 𝑛 ≥ 1.

𝑐𝑛 =

(2𝑛 − 2)
− 1)!

22𝑛−1 𝑛! (𝑛

Bukti:

Pembuktian menggunakan deret MacLaurin untuk fungsi √1 − 𝑥.
Ingat:

∞

𝑓 (𝑛) (0) 𝑛
𝑥
𝑓(𝑥) = ∑
𝑛!
𝑛=0

1

𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2 , 𝑓(0) = 1

Jadi

1
1
𝑓 ′ (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2
2
3
1
𝑓′′(𝑥) = − (1 − 𝑥)−2
4
5
3
𝑓 ′′′ (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2
8
7
15
𝑓 (4) (𝑥) = − (1 − 𝑥)−2
16

𝑓(𝑥) = (1 −

dan

1
𝑥)2

∞

=∑

𝑛=0

1
2
1
, 𝑓′′(0) = −
4
3
, 𝑓′′′(0) = −
8
15
, 𝑓 (4) (0) = −
16
, 𝑓′(0) = −

𝑓 (𝑛) (0) 𝑛
𝑥
𝑛!

1
1 1
3 1
15 1 4
= 1 − 𝑥 − ∙ 𝑥2 − ∙ 𝑥3 −
∙ 𝑥 −⋯
2
4 2!
8 3!
16 4!

1
1 1
3 1
15 1 4
∙ 𝑥 + ⋯.
1 − √1 − 𝑥 = 𝑥 + ∙ 𝑥 2 + ∙ 𝑥 3 +
2
4 2!
8 3!
16 4!

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

Diperhatikan barisan koefisien 1 − √1 − 𝑥 yaitu

memiliki pola

1 1 3 15
, , , , …,
2 4 8 16

Jadi,

22𝑛−1 (𝑛

(2𝑛 − 2)!
.
− 1)!

1 − √1 − 𝑥 =

1
1 1
3 1
15 1 4
𝑥 + ∙ 𝑥2 + ∙ 𝑥3 +
∙ 𝑥 +⋯
2
4 2!
8 3!
16 4!
∞

=∑

𝑛=1
∞

(2𝑛 − 2)!
𝑥𝑛
− 1)!

22𝑛−1 𝑛! (𝑛

= ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ∎
𝑛=1

Teorema 2.3.2 (Teorema Nilai Ekstrem)
Jika diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan sifat:

1. f terdiferensial di 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), dan

2. c adalah pembuat maksimum atau minimum dari f,
maka 𝑓 ′ (𝑐) = 0.
Bukti:

Akan dibuktikan maksimum lokal, yakni c adalah pembuat maksimum lokal
dari f. Secara khusus, jika 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) ≤ 0.

Diambil 𝑥 > 𝑐 dengan 𝑦 < 𝑐.

𝑚𝑔 =
𝑚𝑙 =

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)
≥0
𝑐−𝑦

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)
≤0
𝑐−𝑦

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31

Ambil barisan (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ dan (𝑦𝑛 )𝑛∈ℕ dengan 𝑥𝑛 > 𝑐 dan 𝑦𝑛 > 𝑐 ∀𝑛∈ℕ

sehingga 𝑥𝑛 → 𝑐 dan 𝑦𝑛 → 𝑐

Sebagai contoh: 𝑥𝑛 = 𝑐 +

1

𝑛

Karena f terdiferensial di c, maka

𝑦𝑛 = 𝑐 −

1
𝑛

𝑓(𝑦𝑛 ) − 𝑓(𝑐)
𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑐)
= 𝑓 ′ (𝑐) = lim
≥0
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑦𝑛 − 𝑐
𝑥𝑛 − 𝑐

0 ≥ lim

Jadi, 0 ≤ 𝑓′(𝑐) ≤ 0, artinya �