Rumus Rumus Matematika SMP Kelas 9
Rumus Rumus Matematika SMP Kelas 9
Selasa, 06 November 2012
Rumus Kesebangunan
Rumus Kesebangunan (Tugas)
Rumus Kesebangunan
Rumus-rumus kesebangunan sangat dibutuhkan dalam geometri, baik bidang datar maupun bangun ruang. Rumus
kesebangunan ini juga mendasari ilmu trigonometri. Dengan demikian sangat penting bagi kita untuk mengingat rumus
kesebangunan ini. Berikut ini aalah rumus-rumus kesebangunan
Dua bangun dikatakan sebangun jika
a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki perbandingan senilai
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar.
2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.
3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar.
4. Syarat dua segitiga kongruen:
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd)
d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).
Yang pertama : untuk kasus siku-siku
Yang kedua : untuk segitiga sembarang
Penurunan rumus kesebangunan
Berapa panjang PQ jika AB (sisi yang panjang) dan DC (sisi yang pendek) diketahui panjangnya dan perbandingan AP :
AC = BQ : BD diketahui.
Jawabannya ADA, simaklah ulasan berikut ini! Langsung aja ke TKP. hehehe
Pada posting sebelumnya, House of Math sudah mengulas cara menyelesaikan soal tersebut. Namun cara yang
digunakan lumayan panjang. Nah sekarang House of Math akan mengulas tentang rumus cepat untuk menyelesaikan soal
tersebut.
Dengan menggunakan proses berfikir pada posting pembahasan soal tersebut, kita bisa menurunkan rumus cepatnya.
Inilah caranya:
1. Kita buat perpanjangan garis PQ di R
2. Misal = AP : AC = BQ : BD = m : n
3. Selanjutnya Pandang segitiga ADC
Berlaku hubungan:
4. Pandang segitiga ABD
Berlaku hubungan:
5. RQ merupakan sebuah garis yang dapat dibentuk olah garis RP dan garis RQ sehingga:
6. Sehingga untuk menghitung panjang PQ dapat langsung menggunakan rumus :
Dengan:
AB = sisi yang panjang
DC = sisi yang pendek
m : n = perbandingan letak P dan Q (kecil : besar)
Sekian penurunan rumus cepatnya, sepanjang itu menghasilkan rumus yang singkat,yang cepat, yang memudahkan
pengerjaan soal.
Diposkan oleh farizrizriz di 02:48 Rumus Kesebangunan Matematika
Diposkan oleh Arya Jr di 04.09 4 komentar:
Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke Pinterest
Peluang
Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
Rumus Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika ini untuk anak SMA demi UAN
SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur
adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari
n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis
atau
.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa
banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak
permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu
himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k
unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel.
Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan
bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan
gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari
hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan
kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A
dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac
adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan
dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan
genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika
. Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah
terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua
kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas
stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S
denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak
pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi
dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap
maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X
adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagalRumus Peluang
Silahkan anda baca dan perhatikan dengan baik langkah-langkah dalam
mengerjakan soal perbandingan dengan cepat agar tidak bingung. Jika pada
akhirnya Anda mengalami kebingungan juga, silahkan berkomentar. Berikut
langkah-langkahnya:
1. carilah bilangan pengali yang diperoleh dari angka real yang sudah
diketahui dibagi dengan angka perbandingan (bilangan pengali=angka
real : angka perbandingan)
2. Buatlah tabel dengan empat kolom yang terdiri dari: yang dicari, angka
perbandingan, bilangan pengali, dan angka real
3. masukan angka perbandingan yang akan dicari angka realnya di kolom
angka perbandingan
4. kalikan
bilangan pengali dengan angka perbandingan sehingga
didapat angka real (angka real = angka perbandingan x bilangan pengali)
Contoh Soal 1
Perbandingan umur Edi dengan umur Ayah adalah 2 : 6. Jika umur Ayah 42 tahun
maka:
a. Berapa umur Andi ?
b. Berapa jumlah umur mereka ?
c. Berapa selisih umur mereka ?
Jawab:
Dalam soal tersebut angka real yang sudah diketahui adalah umur ayah yaitu 49
tahun, sedangkan angka perbandingannya adalah 7, maka bilangan pengalinya
adalah angka real : angka perbandingan = 49 : 7 = 7. Jika dibuatkan ke
dalam tabel akan seperti ini:
Jadi:
a. Umur Edi = 14 tahun
b. Jumlah umur mereka = 56 tahun
c. Selisih umur mereka = 28 tahun
Contoh Soal 2
Pak Andi menjual buah mangga, jeruk, dan apel dengan perbandingan 3 : 5 : 9.
Jika selisih buah apel dengan jeruk adalah 24 buah, maka
a. Berapa jumlah buah mangga ?
b. Berapa jumlah buah jeruk ?
c. Berapa jumlah buah apel ?
d. Berapa jumlah semua buah yang dijual ?
e. Berapa selisih buah apel dengan mangga ?
f. Berapa selisih buah jeruk dengan mangga ?
Jawab:
Bilangan pengali = 24 : 4 = 6
Jadi :
a. Jumlah buah mangga = 18 buah
b. Jumlah buah jeruk = 30 buah
c. Jumlah buah apel = 54 buah
d. Total semua buah = 102 buah
e. Selisih apel dengan mangga = 36 buah
f. Selisih jeruk dengan mangga = 12 buah
Contoh Soal 3
Pak Mono menanam berbagai macam sayuran di ladangnya. Ladang pak Tani
luasnya 1.800 m2. Jika lahan tersebut ditanami terong, sawi, kol, tomat dan cabe
dengan perbandingan 2 : 4 : 5 : 6 : 7 , maka
a. Berapa m2 lahan yang ditanami terong ?
b. Berapa m2 lahan yang ditanami sawi ?
c. Berapa m2 lahan yang ditanami kol ?
d. Berapa m2 lahan yang ditanami tomat ?
e. Berapa m2 lahan yang ditanami cabe ?
f. Berapa m2 selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol ?
g. Berapa m2 selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong ?
Jawab:
Angka real yang diketahui = 1.800 m2
Angka perbandingan yang diketahui = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 24
Bilangan pengali = 1.800 : 24 = 75
Jadi:
a. lahan yang ditanami terong adalah 150 m2
b. lahan yang ditanami sawi adalah 300 m2
c. lahan yang ditanami kol adalah 375 m2
d. lahan yang ditanami tomat adalah 450 m2
e. lahan yang ditanami cabe adalah 525 m2
f. selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol adalah 150 m 2
g. selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong adalah 300 m 2
Demikianlah tips menghitung soal perbandingan dengan cepat. Semoga artikel
ini memudahkan anda untuk mengerjakan soal-soal tentang perbandingan
khususnya perbandingan senilai atau seharga.
Cara Cepat Perbandingan Berbalik Nilai
Soal dan Cara Cepat Perbandingan
Banyak orang bertanya di forum yang ada di facebook, bagaimana cara
mengerjakan soal-soal perbandingan berbalik nilai. Nah pada kesempatan ini
Mafia Online akan membahas cara cepat menghitung perbandingan berbalik
nilai. Ingat cara ini hanya berlaku untuk perbandingan berbalik nilai, dan tidak
berlaku untuk perbandingan senilai. Cara ini sangat cocok digunakan pada saat
menghadapi “perang akhir” di sekolah, karena membutuhkan kecepatan dalam
menjawabnya.
Sekarang coba perhatikan contoh soal di bawah ini, yang Mafia Online ambil dari
soal-soal “perang akhir”. Perhatikan baik-baik ya!
Contoh Soal 1
Proyek perbaikan jalan selesai selama 30 hari dengan pekerja sebanyak 15
orang. Setelah 6 hari pelaksanaan, proyek tersebut dihentikan selama 4 hari
karena suatu hal. Jika kemampuan bekerja setiap orang sama dan agar proyek
dapat selesai tepat waktu, pekerja tambahan yang diperlukan adalah ….
A. 1 orang
B. 3 orang
C. 6 orang
D. 9 orang
(UN 2009/2010 paket 10)
Penyelesaian:
Waktu
30
24
20
Pekerja
15
15
x
Untuk mencari nilai x, baris atas jika dikalikan akan sama dengan baris di
bawahnya, maka:
24 . 15 = 20 . x
360 = 20x
x = 360/20
x = 18 orang
tambahan pekerja = 18 – 15 = 3 orang (Jawaban C)
Contoh Soal 2
Suatu pekerjaan akan selesai dikerjakan oleh 24 orang selama 20 hari. Agar
pekerjaan tersebut dapat diselesaikan selama 15 hari, banyak tambahan pekerja
yang diperlukan adalah ….
A. 6 orang
B. 8 orang
C. 18 orang
D. 32 orang
(UN 2010/2011 paket 15)
Penyelesaian:
24 orang => 20 hari
x orang => 15 hari
24 . 20 = x . 15
24 . 4 = x . 3
8.4=x
x = 32 orang
tambahan pekerja = 32 – 24 = 8 orang (Jawaban B)
Contoh Soal 3
Suatu hari Tono, memperkirakan persediaan makanan untuk 60 ekor ayam akan
habis dalam 12 hari. Bila hari itu ia membeli lagi 20 ekor ayam, maka persediaan
makanan tersebut akan habis dalam waktu ….
A. 4 hari
B. 9 hari
C. 16 hari
D. 36 hari
(UN 2007/2008)
Penyelesaian:
60 ayam => 12 hari
80 ayam => x hari
60 . 12 = 80 . x
3 . 12 = 4 . x
3.3=x
x = 9 hari (Jawaban B)
Contoh Soal 4
Sebuah proyek dikerjakan oleh 8 orang selesai dalam waktu 15 hari. Supaya
selesai dalam waktu 12 hari, pekerja yang perlu ditambah adalah ….
A. 2 orang
B. 3 orang
C. 4 orang
D. 10 orang
(UN 2008/2009)
Penyelesaian:
8 orang => 15 hari
x orang => 12 hari
8 . 15 = x . 12
2 . 15 = x . 3
2.5=x
x = 10 orang
tambahan
pekerja
=
10
–
Contoh
8
=
Soal
2
orang
(Jawaban
A)
5
Suatu pekerjaan dikerjakan oleh 12 orang dan direncanakan selesai dalam waktu
25 hari. oleh karena kehabisan bahan baku, pekerjaan terhenti saat memasuki
hari ke 16 selama 2 hari. agar pekerjaan selesai pada waktunya maka jumlah
pekerja yang harus di tambah adalah
a. 5 orang
b. 4 orang
c. 3 orang
d. 2 orang
Penyelesian:
Perhatikan soal tersebut (kena jebak kalau kurang jeli), dalam 25 hari dikerjakan
oleh 12 orang. Karena terhenti pada saat memasuki hari ke-16, berati tepat
berhenti pada hari ke-15 maka sisa waktunya masih 10 hari. Dalam 10 hari ini
maunya dikerjakan oleh 12 orang. Tetapi terhenti selama 2 hari maka sisa waktu
yang harus dikerjakan 8 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika dibuatkan
tabel akan tampak seperti di bawah ini.
waktu
pekerja
25
10
8
12
12
x
Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:
10 . 12 = 8 . x
120 = 8x
x = 120/8
x = 15 orang
tambahan
pekerja
=
15
–
12
=
3
orang
(Jawaban
C)
Contoh Soal 6
Sebuah proyek dikerjakan oleh 6 pekerja dan direncanakan selesai selama 15
hari. Namun pada hari ke-9 sampai 13, proyek diliburkan. Agar proyek selesai
tepat pada waktunya, maka tambahan pekerja yang harus ditambah adalah
a. 8 orang
b. 10 orang
c. 12 orang
d. 15 orang
Penyelesian:
(Baca soalnya dengan baik dan pahami maksudnya). Dalam 15 hari dikerjakan
oleh 6 orang. Karena libur pada saat memasuki hari ke-9, berati proyek tersebut
sudah dikerjakan selama 8 hari dan dikerjakan oleh 6 orang juga, maka sisa
waktunya masih 7 hari. Dalam 7 hari ini maunya dikerjakan oleh 6 orang. Tetapi
karena ada hari libur selama 5 hari (hari ke-9 sampai hari ke-13) maka sisa
waktu yang harus dikerjakan 2 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika
dibuatkan tabel akan tampak seperti di bawah ini.
Waktu
Pekerja
15
6
7
6
2
x
Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:
7.6=2.x
42 = 2x
x = 42/2
x = 21 orang
tambahan pekerja = 21 – 6 = 15 orang (Jawaban D)
Oke, agar lebih jelasnya silahkan anda perhatikan contoh soal berikut ini. Soalsoal berikut berisi cara penyelesaian dengan menggunakan persamaan umum
dan persamaan khusus.
Contoh Soal 1
Sepasang sepatu dijual seharga Rp. 216.000,00, dengan keuntungan 8%.
Tentukanlah harga belinya?
Jawab:
Diketahui:
Harga Penjualan
= Rp. 216.000,00
Persentase keuntungan = 8%
Ditanyakan: Harga beli = . . . ?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan soal ini ada dua alternatif yang bisa Anda gunakan yaitu
dengan persamaan umum dan persamaan khusus. Sekarang kita coba dengan
persamaan
umum,
yakni:
2 Harga beli= Rp. 5.400.000 – 25 Harga beli
2 Harga beli + 25 Harga beli = Rp. 5.400.000
27 Harga beli = Rp. 5.400.000
Harga beli = Rp. 5.400.000/ 27
Harga beli = Rp. 200.000
Sekarang kita coba dengan persamaan khusus. Dalam hal ini gunakan persamaan
khusus nomor 1. Dimana harga penjualan dan persantase keuntungan sudah
diketahui.
Maka:
Harga pembelian
Harga pembelian
Harga pembelian
Harga pembelian
= Rp. 200.000 x 100 / (100+8)
=Rp. 216.000 x 100/108
=Rp. 21.600.000/108
=Rp. 200.000
Jadi, harga beli sepatu tersebut adalah Rp. 200.000,00.
Contoh Soal 2
Suatu barang dibeli dengan harga Rp. 450.000,00 kemudian barang itu dijual
kembali dengan kerugian sebesar 10%. Berapakah harga jual barang itu?
Jawab:
Diketahui:
Harga beli = Rp. 450.000,00
Persentase kerugian = 10%
Ditanyakan: harga jual = . . .?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan soal ini ada dua alternatif yang bisa Anda gunakan yaitu
dengan persamaan umum dan persamaan khusus. Sekarang kita coba dengan
persamaan umum, yakni:
Rp. 450.000 = Rp. 4.500.000 – 10 Harga jual
10 harga jual = Rp. 4.500.000 - Rp. 450.000
10 harga jual = Rp. 4.050.000
Harga jual = Rp. 4.050.000/10
Harga jual = Rp. 405.000
Sekarang kita coba dengan persamaan khusus. Dalam hal ini gunakan
persamaan khusus nomor 4. Dimana harga pembelian dan persantase kerugian
sudah diketahui.
Harga pembelian = {(100-10) /100} x Rp. 450.000
Harga pembelian =(90/100) x Rp. 450.000
Harga pembelian =Rp. 405.000
Jadi, harga penjualan barang itu adalah Rp. 405.000,00.
Berdasarkan dua contoh soal di atas, dengan menggunakan rumus umum
maupun rumus khusus akan didapatkan jawaban yang sama. Persamaan umum
melibatkan aljabar sedangkan persamaan khusus tidak melibatkan aljabar. Akan
tetapi rumus khusus melibatkan kemampuan otak yang cukup untuk
menghafalkan rumus-rumus tersebut.
Selasa, 06 November 2012
Rumus Kesebangunan
Rumus Kesebangunan (Tugas)
Rumus Kesebangunan
Rumus-rumus kesebangunan sangat dibutuhkan dalam geometri, baik bidang datar maupun bangun ruang. Rumus
kesebangunan ini juga mendasari ilmu trigonometri. Dengan demikian sangat penting bagi kita untuk mengingat rumus
kesebangunan ini. Berikut ini aalah rumus-rumus kesebangunan
Dua bangun dikatakan sebangun jika
a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki perbandingan senilai
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar.
2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.
3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar.
4. Syarat dua segitiga kongruen:
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd)
d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).
Yang pertama : untuk kasus siku-siku
Yang kedua : untuk segitiga sembarang
Penurunan rumus kesebangunan
Berapa panjang PQ jika AB (sisi yang panjang) dan DC (sisi yang pendek) diketahui panjangnya dan perbandingan AP :
AC = BQ : BD diketahui.
Jawabannya ADA, simaklah ulasan berikut ini! Langsung aja ke TKP. hehehe
Pada posting sebelumnya, House of Math sudah mengulas cara menyelesaikan soal tersebut. Namun cara yang
digunakan lumayan panjang. Nah sekarang House of Math akan mengulas tentang rumus cepat untuk menyelesaikan soal
tersebut.
Dengan menggunakan proses berfikir pada posting pembahasan soal tersebut, kita bisa menurunkan rumus cepatnya.
Inilah caranya:
1. Kita buat perpanjangan garis PQ di R
2. Misal = AP : AC = BQ : BD = m : n
3. Selanjutnya Pandang segitiga ADC
Berlaku hubungan:
4. Pandang segitiga ABD
Berlaku hubungan:
5. RQ merupakan sebuah garis yang dapat dibentuk olah garis RP dan garis RQ sehingga:
6. Sehingga untuk menghitung panjang PQ dapat langsung menggunakan rumus :
Dengan:
AB = sisi yang panjang
DC = sisi yang pendek
m : n = perbandingan letak P dan Q (kecil : besar)
Sekian penurunan rumus cepatnya, sepanjang itu menghasilkan rumus yang singkat,yang cepat, yang memudahkan
pengerjaan soal.
Diposkan oleh farizrizriz di 02:48 Rumus Kesebangunan Matematika
Diposkan oleh Arya Jr di 04.09 4 komentar:
Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke FacebookBagikan ke Pinterest
Peluang
Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
Rumus Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika ini untuk anak SMA demi UAN
SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur
adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari
n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis
atau
.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa
banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak
permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu
himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k
unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel.
Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan
bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan
gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari
hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan
kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A
dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac
adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan
dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan
genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika
. Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah
terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua
kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas
stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S
denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak
pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi
dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap
maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X
adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagalRumus Peluang
Silahkan anda baca dan perhatikan dengan baik langkah-langkah dalam
mengerjakan soal perbandingan dengan cepat agar tidak bingung. Jika pada
akhirnya Anda mengalami kebingungan juga, silahkan berkomentar. Berikut
langkah-langkahnya:
1. carilah bilangan pengali yang diperoleh dari angka real yang sudah
diketahui dibagi dengan angka perbandingan (bilangan pengali=angka
real : angka perbandingan)
2. Buatlah tabel dengan empat kolom yang terdiri dari: yang dicari, angka
perbandingan, bilangan pengali, dan angka real
3. masukan angka perbandingan yang akan dicari angka realnya di kolom
angka perbandingan
4. kalikan
bilangan pengali dengan angka perbandingan sehingga
didapat angka real (angka real = angka perbandingan x bilangan pengali)
Contoh Soal 1
Perbandingan umur Edi dengan umur Ayah adalah 2 : 6. Jika umur Ayah 42 tahun
maka:
a. Berapa umur Andi ?
b. Berapa jumlah umur mereka ?
c. Berapa selisih umur mereka ?
Jawab:
Dalam soal tersebut angka real yang sudah diketahui adalah umur ayah yaitu 49
tahun, sedangkan angka perbandingannya adalah 7, maka bilangan pengalinya
adalah angka real : angka perbandingan = 49 : 7 = 7. Jika dibuatkan ke
dalam tabel akan seperti ini:
Jadi:
a. Umur Edi = 14 tahun
b. Jumlah umur mereka = 56 tahun
c. Selisih umur mereka = 28 tahun
Contoh Soal 2
Pak Andi menjual buah mangga, jeruk, dan apel dengan perbandingan 3 : 5 : 9.
Jika selisih buah apel dengan jeruk adalah 24 buah, maka
a. Berapa jumlah buah mangga ?
b. Berapa jumlah buah jeruk ?
c. Berapa jumlah buah apel ?
d. Berapa jumlah semua buah yang dijual ?
e. Berapa selisih buah apel dengan mangga ?
f. Berapa selisih buah jeruk dengan mangga ?
Jawab:
Bilangan pengali = 24 : 4 = 6
Jadi :
a. Jumlah buah mangga = 18 buah
b. Jumlah buah jeruk = 30 buah
c. Jumlah buah apel = 54 buah
d. Total semua buah = 102 buah
e. Selisih apel dengan mangga = 36 buah
f. Selisih jeruk dengan mangga = 12 buah
Contoh Soal 3
Pak Mono menanam berbagai macam sayuran di ladangnya. Ladang pak Tani
luasnya 1.800 m2. Jika lahan tersebut ditanami terong, sawi, kol, tomat dan cabe
dengan perbandingan 2 : 4 : 5 : 6 : 7 , maka
a. Berapa m2 lahan yang ditanami terong ?
b. Berapa m2 lahan yang ditanami sawi ?
c. Berapa m2 lahan yang ditanami kol ?
d. Berapa m2 lahan yang ditanami tomat ?
e. Berapa m2 lahan yang ditanami cabe ?
f. Berapa m2 selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol ?
g. Berapa m2 selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong ?
Jawab:
Angka real yang diketahui = 1.800 m2
Angka perbandingan yang diketahui = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 24
Bilangan pengali = 1.800 : 24 = 75
Jadi:
a. lahan yang ditanami terong adalah 150 m2
b. lahan yang ditanami sawi adalah 300 m2
c. lahan yang ditanami kol adalah 375 m2
d. lahan yang ditanami tomat adalah 450 m2
e. lahan yang ditanami cabe adalah 525 m2
f. selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol adalah 150 m 2
g. selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong adalah 300 m 2
Demikianlah tips menghitung soal perbandingan dengan cepat. Semoga artikel
ini memudahkan anda untuk mengerjakan soal-soal tentang perbandingan
khususnya perbandingan senilai atau seharga.
Cara Cepat Perbandingan Berbalik Nilai
Soal dan Cara Cepat Perbandingan
Banyak orang bertanya di forum yang ada di facebook, bagaimana cara
mengerjakan soal-soal perbandingan berbalik nilai. Nah pada kesempatan ini
Mafia Online akan membahas cara cepat menghitung perbandingan berbalik
nilai. Ingat cara ini hanya berlaku untuk perbandingan berbalik nilai, dan tidak
berlaku untuk perbandingan senilai. Cara ini sangat cocok digunakan pada saat
menghadapi “perang akhir” di sekolah, karena membutuhkan kecepatan dalam
menjawabnya.
Sekarang coba perhatikan contoh soal di bawah ini, yang Mafia Online ambil dari
soal-soal “perang akhir”. Perhatikan baik-baik ya!
Contoh Soal 1
Proyek perbaikan jalan selesai selama 30 hari dengan pekerja sebanyak 15
orang. Setelah 6 hari pelaksanaan, proyek tersebut dihentikan selama 4 hari
karena suatu hal. Jika kemampuan bekerja setiap orang sama dan agar proyek
dapat selesai tepat waktu, pekerja tambahan yang diperlukan adalah ….
A. 1 orang
B. 3 orang
C. 6 orang
D. 9 orang
(UN 2009/2010 paket 10)
Penyelesaian:
Waktu
30
24
20
Pekerja
15
15
x
Untuk mencari nilai x, baris atas jika dikalikan akan sama dengan baris di
bawahnya, maka:
24 . 15 = 20 . x
360 = 20x
x = 360/20
x = 18 orang
tambahan pekerja = 18 – 15 = 3 orang (Jawaban C)
Contoh Soal 2
Suatu pekerjaan akan selesai dikerjakan oleh 24 orang selama 20 hari. Agar
pekerjaan tersebut dapat diselesaikan selama 15 hari, banyak tambahan pekerja
yang diperlukan adalah ….
A. 6 orang
B. 8 orang
C. 18 orang
D. 32 orang
(UN 2010/2011 paket 15)
Penyelesaian:
24 orang => 20 hari
x orang => 15 hari
24 . 20 = x . 15
24 . 4 = x . 3
8.4=x
x = 32 orang
tambahan pekerja = 32 – 24 = 8 orang (Jawaban B)
Contoh Soal 3
Suatu hari Tono, memperkirakan persediaan makanan untuk 60 ekor ayam akan
habis dalam 12 hari. Bila hari itu ia membeli lagi 20 ekor ayam, maka persediaan
makanan tersebut akan habis dalam waktu ….
A. 4 hari
B. 9 hari
C. 16 hari
D. 36 hari
(UN 2007/2008)
Penyelesaian:
60 ayam => 12 hari
80 ayam => x hari
60 . 12 = 80 . x
3 . 12 = 4 . x
3.3=x
x = 9 hari (Jawaban B)
Contoh Soal 4
Sebuah proyek dikerjakan oleh 8 orang selesai dalam waktu 15 hari. Supaya
selesai dalam waktu 12 hari, pekerja yang perlu ditambah adalah ….
A. 2 orang
B. 3 orang
C. 4 orang
D. 10 orang
(UN 2008/2009)
Penyelesaian:
8 orang => 15 hari
x orang => 12 hari
8 . 15 = x . 12
2 . 15 = x . 3
2.5=x
x = 10 orang
tambahan
pekerja
=
10
–
Contoh
8
=
Soal
2
orang
(Jawaban
A)
5
Suatu pekerjaan dikerjakan oleh 12 orang dan direncanakan selesai dalam waktu
25 hari. oleh karena kehabisan bahan baku, pekerjaan terhenti saat memasuki
hari ke 16 selama 2 hari. agar pekerjaan selesai pada waktunya maka jumlah
pekerja yang harus di tambah adalah
a. 5 orang
b. 4 orang
c. 3 orang
d. 2 orang
Penyelesian:
Perhatikan soal tersebut (kena jebak kalau kurang jeli), dalam 25 hari dikerjakan
oleh 12 orang. Karena terhenti pada saat memasuki hari ke-16, berati tepat
berhenti pada hari ke-15 maka sisa waktunya masih 10 hari. Dalam 10 hari ini
maunya dikerjakan oleh 12 orang. Tetapi terhenti selama 2 hari maka sisa waktu
yang harus dikerjakan 8 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika dibuatkan
tabel akan tampak seperti di bawah ini.
waktu
pekerja
25
10
8
12
12
x
Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:
10 . 12 = 8 . x
120 = 8x
x = 120/8
x = 15 orang
tambahan
pekerja
=
15
–
12
=
3
orang
(Jawaban
C)
Contoh Soal 6
Sebuah proyek dikerjakan oleh 6 pekerja dan direncanakan selesai selama 15
hari. Namun pada hari ke-9 sampai 13, proyek diliburkan. Agar proyek selesai
tepat pada waktunya, maka tambahan pekerja yang harus ditambah adalah
a. 8 orang
b. 10 orang
c. 12 orang
d. 15 orang
Penyelesian:
(Baca soalnya dengan baik dan pahami maksudnya). Dalam 15 hari dikerjakan
oleh 6 orang. Karena libur pada saat memasuki hari ke-9, berati proyek tersebut
sudah dikerjakan selama 8 hari dan dikerjakan oleh 6 orang juga, maka sisa
waktunya masih 7 hari. Dalam 7 hari ini maunya dikerjakan oleh 6 orang. Tetapi
karena ada hari libur selama 5 hari (hari ke-9 sampai hari ke-13) maka sisa
waktu yang harus dikerjakan 2 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika
dibuatkan tabel akan tampak seperti di bawah ini.
Waktu
Pekerja
15
6
7
6
2
x
Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:
7.6=2.x
42 = 2x
x = 42/2
x = 21 orang
tambahan pekerja = 21 – 6 = 15 orang (Jawaban D)
Oke, agar lebih jelasnya silahkan anda perhatikan contoh soal berikut ini. Soalsoal berikut berisi cara penyelesaian dengan menggunakan persamaan umum
dan persamaan khusus.
Contoh Soal 1
Sepasang sepatu dijual seharga Rp. 216.000,00, dengan keuntungan 8%.
Tentukanlah harga belinya?
Jawab:
Diketahui:
Harga Penjualan
= Rp. 216.000,00
Persentase keuntungan = 8%
Ditanyakan: Harga beli = . . . ?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan soal ini ada dua alternatif yang bisa Anda gunakan yaitu
dengan persamaan umum dan persamaan khusus. Sekarang kita coba dengan
persamaan
umum,
yakni:
2 Harga beli= Rp. 5.400.000 – 25 Harga beli
2 Harga beli + 25 Harga beli = Rp. 5.400.000
27 Harga beli = Rp. 5.400.000
Harga beli = Rp. 5.400.000/ 27
Harga beli = Rp. 200.000
Sekarang kita coba dengan persamaan khusus. Dalam hal ini gunakan persamaan
khusus nomor 1. Dimana harga penjualan dan persantase keuntungan sudah
diketahui.
Maka:
Harga pembelian
Harga pembelian
Harga pembelian
Harga pembelian
= Rp. 200.000 x 100 / (100+8)
=Rp. 216.000 x 100/108
=Rp. 21.600.000/108
=Rp. 200.000
Jadi, harga beli sepatu tersebut adalah Rp. 200.000,00.
Contoh Soal 2
Suatu barang dibeli dengan harga Rp. 450.000,00 kemudian barang itu dijual
kembali dengan kerugian sebesar 10%. Berapakah harga jual barang itu?
Jawab:
Diketahui:
Harga beli = Rp. 450.000,00
Persentase kerugian = 10%
Ditanyakan: harga jual = . . .?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan soal ini ada dua alternatif yang bisa Anda gunakan yaitu
dengan persamaan umum dan persamaan khusus. Sekarang kita coba dengan
persamaan umum, yakni:
Rp. 450.000 = Rp. 4.500.000 – 10 Harga jual
10 harga jual = Rp. 4.500.000 - Rp. 450.000
10 harga jual = Rp. 4.050.000
Harga jual = Rp. 4.050.000/10
Harga jual = Rp. 405.000
Sekarang kita coba dengan persamaan khusus. Dalam hal ini gunakan
persamaan khusus nomor 4. Dimana harga pembelian dan persantase kerugian
sudah diketahui.
Harga pembelian = {(100-10) /100} x Rp. 450.000
Harga pembelian =(90/100) x Rp. 450.000
Harga pembelian =Rp. 405.000
Jadi, harga penjualan barang itu adalah Rp. 405.000,00.
Berdasarkan dua contoh soal di atas, dengan menggunakan rumus umum
maupun rumus khusus akan didapatkan jawaban yang sama. Persamaan umum
melibatkan aljabar sedangkan persamaan khusus tidak melibatkan aljabar. Akan
tetapi rumus khusus melibatkan kemampuan otak yang cukup untuk
menghafalkan rumus-rumus tersebut.