MATEMATIKA UNTUK PGSD MATEMATIKA UNTUK PGSD
MAKALAH PERSAAMAAN LINEAR
BESERTA SIFAT – SIFAT & CONTOH
Dosen Pengampu :
Dra. Endang Setyo Winarni, M. Pd
Disusun Oleh :
Reynaldi Choirul Fadjri : 150151603160
Kartika Widiarti
: 150151603047
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
AGUSTUS 2015
A.
Persamaan Linear
1. Kalimat Terbuka
Kalimat yang memuat variabel bebas disebut kalimat terbuka :
Contoh :
a. x adalah bilangan ganjil
b. y lebih besar dari 15
c. p kurang dari 2
d. n adalah bilangan genap
Pada contoh di atas variabel bebasnya yaitu x, y, p, dan n.
Apabila x, y, p, dan n diganti secara berarti maka diperoleh
suatu proposisi. Misalnya x pada contoh a. diganti 3
kalimatnya menjadi 3 adalah bilangan ganjil (proposisi benar)
dan apabila x diganti 2 kalimatnya menjadi 2 adalah bilangan
ganjil (proposisi salah). Pengganti-pengganti x, y, p, dan n
yang membuat kalimat-kalimat tersebut menjadi proposisi
disebut konstanta. Konstanta-konstanta yang membuat
kalimat terbuka menjadi proposisi benar disebut penyelesaian
atau jawaban.
2. Kesamaan
Suatu proposisi benar yang memuat tanda “sama” disebut
kesamaan.
Contoh :
2 x 5 = 10 x 1
14 = 2 x 7
6+2=8
Bagian yang dipisahkan dengan tanda “=” disebut ruas, di
sebelah kiri tanda “=”
Disebut ruas kiri dan yang di sebelah kanan tanda “=”
disebut ruas kanan.
Sifat-sifat kesamaan :
a. Sifat Aditif
Jika a = b maka a + c = b + c adalah benar, dengan a, b
dan c bilangan real.
Contoh : jika 2 + 5 = 7 maka (2+5) + 4 = 7 + 4 bernilai
benar.
b. Sifat Multiplikatif
jika a = b maka a x c = b x c adalah benar dengan a, b
dan c bilangan-bilangan real.
Contoh : jika 2 + 5 = 7 maka (2+5 ) x 3 = 7 x 3
3. Persamaan
Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda “sama” disebut
persamaan.
Contoh :
2x = 14
3y = y2
4n + 7 = 2n + 11
Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses
mencari suatu bilangan (konstanta) yang membuat suatu
persamaan menjadi proposisi benar, konstanta tersebut
dinamakan penyelesaian atau akar dari persamaannya.
Himpunan semua penyelesaian suatu persamaan disebut
himpunan penyelesaian.
Contoh :
a. 2x = 14 himpunan penyelesaiannya = {7}
b. 2x + 5 = 9 himpunan penyelesaiannya = {2}
c. x + y = 5, x dan y bilangan asli, himpunan
penyelesaiannya {(1,4), (2,3), (3,2)}
d. X2 + 8x + 12 = 0 himpunan penyelesaiannya {-6, -2}
Dua persamaan mempunyai himpunan penyelesaian
yang sama disebut persamaan-persamaan yang
ekuivalen.
a. Sifat aditif
Jika kedua ruas suatu persamaan ditambah dengan
bilangan yang sama, maka diperoleh persamaan lain yang
ekuivalen dengan persamaan semula.
Contoh :
x + 2 = 5, x bilangan asli.
Persamaan tersebut mempuyai himpunan penyelesaian
{3}. Jika kedua ruas masing-masing ditambah 4
terdapatlah persamaan baru yaitu (x + 2) + 4 = 5 + 4 atau
x + 6 = 9. Persamaan terakhir ini mempunyai himpunan
penyelesaian yang sama yaitu {3}.
Jadi persamaan x + 2 = 5 ekuivalen dengan persamaan (x
+ 2) + 4 = 5 + 4.
Perhatikan : Notasi untuk ekuivalen ditulis jadi x + 2 = 5
ekuivalen dengan
(x + 2) + 4 = 5 + 4 ditulis x + 2 = 5 ⇔ (x + 2) + 4 = 5 +
4
Contoh lain :
X2 – 16 = 0, x bilangan bulat.
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {4, 4} Jika kedua ruas masing-masing ditambah 16
terdapatlah persamaan baru x2 = 16.
Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {4, 4}.
Jadi persamaan x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = 16.
b. Sifat multiplikatif
Jika kedua ruas suatu persamaan dikalikan dengan
bilangan yang sama dan bukan nol, maka diperoleh
persamaan lain yg ekuivalen dengan persamaan semula.
Contoh :
6x = 8, x bilangan rasional.
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {
1
1
}
3
Jika kedua ruas masing-masing dikalikan 5 maka diperoleh
persamaan baru yaitu 30x = 40. Persamaan baru ini
1
mempunyai himpunan penyelesaian { 1
}
3
Jadi persamaan 6x = 8 ⇔ 30x = 40
Contoh lain :
1
x2 = 5, x bilangan rasional
5
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian =
{-5, 5}.
Jika kedua ruas masing-masing dikalikan dengan 5 maka
diperoleh persamaan baru yaitu
x2 = 25.
Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {5,5}
1
Jadi persamaan
x2 = 5 ⇔ x2 = 25.
5
4. Persamaan Linear dengan satu variabel (peubah)
a. Persamaan linear dalam x
Bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel
(peubah) yaitu ax + b = 0
dengan a ≠ 0. Menyelesaikan persamaan linear artinya
menentukan persamaan yang paling sederhana dan
ekuivalen dengan persamaan semula. Langkah-langkahnya:
usahakan suku-suku yang memuat variabel pada satu ruas
dan konstanta-konstanta (bilangan tetap) juga usahakan
pada ruas yang lain.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2(x – 1) + 4(x + 2) =
5x + 2
Jawab :
2(x – 1) + 4(x + 2) = 5x + 2
2x – 2 + 4x + 8 = 5x + 2
6x + 6 = 5x + 2
6x + 6 – 5x – 6 = 5x + 2 – 5x – 6
x = -4
Jadi himpunan penyelesaiannya {-4}
Contoh lain :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1
2
1
(2x + 10) (2x + 3) =
2
3
6
Jawab :
1
2
(2x + 10) -
2
3
(2x + 3) =
1
6
KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut adalah 6.
Jika kedua ruas dikalikan dengan 6, maka persamaannya
menjadi :
3(2x + 10) – 2.2(2x + 3) = 1
6x + 30 – 4(2x + 3 ) = 1
6x + 30 – 8x – 12 = 1
-2x + 18 = 1
-2x + 18 – 18 = 1 – 18
-2x = - 17
1
1
(-2x) =
(-17 )
2
2
17
2
-x = x =
x = 8
17
2
1
2
Jadi himpunan penyelesaiannya { 8
1
2
}
Perhatikan :
a. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya
tidak bervariabel langkah penyelesaiannya : mengubah
lebih dahulu persamaan tersebut dengan mengalikan
bilangan pada kedua ruas persamaan itu dengan KPK
(Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut pecahanpecahannya.
b. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya
mempunyai variabel, langkah menyelesaikannya :
mengubah dahulu persamaan tersebut dengan jalan
mengubah semua sukunya menjadi pecahan dengan
satu penyebut.
Contoh :
menyelesaikan persamaan yang memuat pecahan dan
penyebutnya mempunyai variabel, sebagai berikut :
Tentukan himpunan penyelesaian
rasional.
Jawab :
3 x−4
4 x−12
3 x−4
4 x−12
-2
=2–2
=2
3 x−4
4 x−12
= 2, x bilangan
3 x−4
4 x−12
-2 =0
3 x−4−2(4 x−12)
4 x−12
=0
3 x−4−8 x+ 24
4 x−12
=0
−5+20
4 x−12
=0
Pecahan tersebut bernilai nol, jika pembilang = 0 dan
penyebut ≠ 0
Jadi 5x + 20 = 0
-5x + 20 – 20 = 0 – 20
-5x = - 20
1
1
(-5x) =
(-20)
5
5
-x = -4
x = 4
Untuk x = 4 penyebut ≠ 0
4x – 12 = 4(4) – 12 = 16 – 12 + 4
Jadi himpunan penyelesaiannya = {4}
()
()
5. Persamaan linear dengan dua variabel (peubah)
Jika kita akan menentukan dua konstanta sebagai pengganti
dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua
persamaan yang diketahui. Biasanya pada soal cerita memuat
dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya
dengan dua variabel (peubah). Jika terjadi dari kedua hal yang
belum diketahui hanya diketahui satu hubungan saja maka
diperoleh satu persamaan dengan dua variabel.
Contoh :
Dua bilangan cacah jumlahnya 5, bilangan-bilangan berapakah
itu ?
Jawab :
Misalnya : bilangan yang ke I adalah x, bilangan yang ke II
adalah y.
x + y = 5 dan y bilangan cacah.
Untuk x = 0 → 0 + y = 5
y=5
→
Untuk x = 1
1+y=5
y=4
→
Untuk x = 2
2+y=5
y=3
→
Untuk x = 3
3+y=5
y=2
→
Untuk x = 4
4+y=5
y=1
→
Untuk x = 5
5+y=5
y=0
Jadi pasangan bilangan-bilangan tersebut yaitu 0 dan 5, atau
1 dan 4, atau 2 dan 3, atau 3 dan 2, atau 4 dan 1, atau 5
dan 0. Di dalam matematika biasa ditulis penyelesaiannya
(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0), dan Himpunan
Penyelesaiannya { (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}.
6. Cara-cara Menyelesaikan Persamaan
a. Eliminasi dengan Substitusi
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka salah satu variabel dari persamaan pertama
dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya
substitusikan ke dalam persamaan yang ke dua tadi, dengan
demikian nilai dari salah satu variabel dapat ditemukan,
kemudian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi
dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang
lain dapat ditentukan nilainya.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n
= 13 dan 3m + 2n = 7 dengan m
dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 .......(1)
3m + 2n = 7 .......(2)
1) 5m + 4n = 13
5m = 13 – 4n
3
m=
13−4 n
5
m=
13−4 n
5
→ 3m + 2n
( 13−45 n )
+ 2n = 7
n
( 39−12
)
5
+ 2n = 7
39 – 12n + 10n = 35
-2n + 39 – 39
= 35 – 39
-2n = -4
1
1
(-2) =
(-4)
2
2
-n = -2
n = 2 → 3m + 2n = 7
3m + 2(2) = 7
3m + 4 = 7
3m + 4 – 4
3m = 3
1
(3m)
3
m =1
=
=7
=7–4
1
(3)
3
Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
b.Eliminasi dengan penjumlahan atau Pengurangan
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka nilai mutlak koefisien dari variabel yang akan
dieliminasi (dihilangkan) disamakan dulu. Selanjutnya kedua
persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan supaya
menghasilkan persamaan baru yang hanya memuat satu
variabel saja.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan
5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7
dengan m dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 ..........(1)
3m + 2n = 7 ..........(2)
(3)(5m) + 3(4n) = 3(13) ..........(1)
5(3m) + 5(2n) = 5(7) ..........(2)
15 m+12 n=39
15 m+10 n=35
( 15 m−15 m ) + ( 12 n−10 n )=39−35
-
2n = 4
1
(2n) =
2
1
(4)
2
n=2
substitusi n = 2 pada persamaan 5m + 4n = 13
diperoleh
n = 2 → 5m + 4n = 13
5m + 4(2) = 13
5m + 8 = 13
5m + 8 – 8 = 13 – 8
5m = 5
1
1
(5m) =
(5)
5
5
m = 1
jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
c. Eliminasi dengan cara menyamakan
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka dari masing – masing persamaan, variabel yang akan
dihilangkan dinyatakan dalam variabel lain.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan
5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7
dengan m dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 → 5m = 13 – 4n
5m = 13 – 4n
1
(5m) = (13 – 4n )
5
13−4 n
m =
..........(1)
5
3m + 2n = 7
→
3m + 2n – 2n = 7 – 2n
3m = 7 – 2n
1
(3m) =
3
m=
1
(7−2 n)
3
7−2 n
3
..........(2)
persamaan (1) = (2)
13−4 n
5
15
( 13−45 n )
=
=
15
7−2 n
3
( 7−23 n )
3(13 – 4n) = 5(7-2n)
39 – 12n = 35 – 10n
39 – 12n – 39 + 10n = 35 – 10n – 39 + 10n
-2n = -4
1
(-2) =
2
-n = -2
1
(-4)
2
n =2
substitusi n = 2 pada persamaan 5m + 4n = 13 diperoleh
5m + 4(2)
= 13
5m + 8
= 13
5m + 8 -8
= 13 – 8
5m
=5
1
(5m) =
5
1
(5)
5
m=1
Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
7. Contoh mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita ke
dalam persamaan
a. Panjang sebuah persegi panjang, panjangnya 4m
lebihnya dari lebar. Luas persegi panjang itu 12m2.
Hitunglah panjang dan lebar persegi panjang itu. Cara
menentukan persamaannya sebagai berikut :
Misalkan : Panjang dari persegi panjang = am
Lebar dari persegi panjang = bm
Panjangnya 4m lebihnya dari lebar, persamaannya
menjadi a – 4 = b atau a = b + 4
Luas persegi panjang = panjang x lebar ( dalam hal
ini luasnya a x b )
12 = a x b
12 = ( b + 4 ) x b
b. Aida pergi ke toko membeli gula dan beras , harga 1 kg
gula 2 kali harga 1 kg beras. Aida membeli 4kg beras
dan 6kg gula harganya Rp. 24.000. Berapa masingmasing harga gula dan beras setiap kg?
Cara menentukan persamaannya sebagai berikut :
Misalkan harga 1 kg beras = x rupiah.
Harga gula 2 kali harga 1 kg beras berarti harga 1 kg
gula = 2x rupiah
4kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000 atau 4x
+ 12x = 24.000
8. Soal-soal latihan :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
a. x + 6 = 7
b. 2x – 7aa = 5
c. 3 ( x-2) + 2 (x+1) = 4x + 1
2. Selesaikan pasangan-pasangan persamaan berikut ini dengan
cara substitusi, peubahnya bilangan nyata.
a. 9a + 6b = 0 dan 3a + 2b = 17
b. 6p – 3q = 33 dan 5p + 8q = -4
3. Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1
kg apel 3 kali harga 1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan
3kg rambutan dengan harga Rp. 9.000,00. Berapa masingmasing harga apel dan rambutan setiap kg ?
Daftar Pustaka :
Winarni, E.S. Sri Harmini.2011. Matematika Untuk PGSD.
Bandung : PT Remaja Rosdakarya
Hudoyo, Herman dan Sutawidjaja,
Akbar.1996.Matematika.Jakarta : Depdikbud
BESERTA SIFAT – SIFAT & CONTOH
Dosen Pengampu :
Dra. Endang Setyo Winarni, M. Pd
Disusun Oleh :
Reynaldi Choirul Fadjri : 150151603160
Kartika Widiarti
: 150151603047
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
AGUSTUS 2015
A.
Persamaan Linear
1. Kalimat Terbuka
Kalimat yang memuat variabel bebas disebut kalimat terbuka :
Contoh :
a. x adalah bilangan ganjil
b. y lebih besar dari 15
c. p kurang dari 2
d. n adalah bilangan genap
Pada contoh di atas variabel bebasnya yaitu x, y, p, dan n.
Apabila x, y, p, dan n diganti secara berarti maka diperoleh
suatu proposisi. Misalnya x pada contoh a. diganti 3
kalimatnya menjadi 3 adalah bilangan ganjil (proposisi benar)
dan apabila x diganti 2 kalimatnya menjadi 2 adalah bilangan
ganjil (proposisi salah). Pengganti-pengganti x, y, p, dan n
yang membuat kalimat-kalimat tersebut menjadi proposisi
disebut konstanta. Konstanta-konstanta yang membuat
kalimat terbuka menjadi proposisi benar disebut penyelesaian
atau jawaban.
2. Kesamaan
Suatu proposisi benar yang memuat tanda “sama” disebut
kesamaan.
Contoh :
2 x 5 = 10 x 1
14 = 2 x 7
6+2=8
Bagian yang dipisahkan dengan tanda “=” disebut ruas, di
sebelah kiri tanda “=”
Disebut ruas kiri dan yang di sebelah kanan tanda “=”
disebut ruas kanan.
Sifat-sifat kesamaan :
a. Sifat Aditif
Jika a = b maka a + c = b + c adalah benar, dengan a, b
dan c bilangan real.
Contoh : jika 2 + 5 = 7 maka (2+5) + 4 = 7 + 4 bernilai
benar.
b. Sifat Multiplikatif
jika a = b maka a x c = b x c adalah benar dengan a, b
dan c bilangan-bilangan real.
Contoh : jika 2 + 5 = 7 maka (2+5 ) x 3 = 7 x 3
3. Persamaan
Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda “sama” disebut
persamaan.
Contoh :
2x = 14
3y = y2
4n + 7 = 2n + 11
Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses
mencari suatu bilangan (konstanta) yang membuat suatu
persamaan menjadi proposisi benar, konstanta tersebut
dinamakan penyelesaian atau akar dari persamaannya.
Himpunan semua penyelesaian suatu persamaan disebut
himpunan penyelesaian.
Contoh :
a. 2x = 14 himpunan penyelesaiannya = {7}
b. 2x + 5 = 9 himpunan penyelesaiannya = {2}
c. x + y = 5, x dan y bilangan asli, himpunan
penyelesaiannya {(1,4), (2,3), (3,2)}
d. X2 + 8x + 12 = 0 himpunan penyelesaiannya {-6, -2}
Dua persamaan mempunyai himpunan penyelesaian
yang sama disebut persamaan-persamaan yang
ekuivalen.
a. Sifat aditif
Jika kedua ruas suatu persamaan ditambah dengan
bilangan yang sama, maka diperoleh persamaan lain yang
ekuivalen dengan persamaan semula.
Contoh :
x + 2 = 5, x bilangan asli.
Persamaan tersebut mempuyai himpunan penyelesaian
{3}. Jika kedua ruas masing-masing ditambah 4
terdapatlah persamaan baru yaitu (x + 2) + 4 = 5 + 4 atau
x + 6 = 9. Persamaan terakhir ini mempunyai himpunan
penyelesaian yang sama yaitu {3}.
Jadi persamaan x + 2 = 5 ekuivalen dengan persamaan (x
+ 2) + 4 = 5 + 4.
Perhatikan : Notasi untuk ekuivalen ditulis jadi x + 2 = 5
ekuivalen dengan
(x + 2) + 4 = 5 + 4 ditulis x + 2 = 5 ⇔ (x + 2) + 4 = 5 +
4
Contoh lain :
X2 – 16 = 0, x bilangan bulat.
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {4, 4} Jika kedua ruas masing-masing ditambah 16
terdapatlah persamaan baru x2 = 16.
Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {4, 4}.
Jadi persamaan x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = 16.
b. Sifat multiplikatif
Jika kedua ruas suatu persamaan dikalikan dengan
bilangan yang sama dan bukan nol, maka diperoleh
persamaan lain yg ekuivalen dengan persamaan semula.
Contoh :
6x = 8, x bilangan rasional.
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {
1
1
}
3
Jika kedua ruas masing-masing dikalikan 5 maka diperoleh
persamaan baru yaitu 30x = 40. Persamaan baru ini
1
mempunyai himpunan penyelesaian { 1
}
3
Jadi persamaan 6x = 8 ⇔ 30x = 40
Contoh lain :
1
x2 = 5, x bilangan rasional
5
Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian =
{-5, 5}.
Jika kedua ruas masing-masing dikalikan dengan 5 maka
diperoleh persamaan baru yaitu
x2 = 25.
Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {5,5}
1
Jadi persamaan
x2 = 5 ⇔ x2 = 25.
5
4. Persamaan Linear dengan satu variabel (peubah)
a. Persamaan linear dalam x
Bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel
(peubah) yaitu ax + b = 0
dengan a ≠ 0. Menyelesaikan persamaan linear artinya
menentukan persamaan yang paling sederhana dan
ekuivalen dengan persamaan semula. Langkah-langkahnya:
usahakan suku-suku yang memuat variabel pada satu ruas
dan konstanta-konstanta (bilangan tetap) juga usahakan
pada ruas yang lain.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2(x – 1) + 4(x + 2) =
5x + 2
Jawab :
2(x – 1) + 4(x + 2) = 5x + 2
2x – 2 + 4x + 8 = 5x + 2
6x + 6 = 5x + 2
6x + 6 – 5x – 6 = 5x + 2 – 5x – 6
x = -4
Jadi himpunan penyelesaiannya {-4}
Contoh lain :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1
2
1
(2x + 10) (2x + 3) =
2
3
6
Jawab :
1
2
(2x + 10) -
2
3
(2x + 3) =
1
6
KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut adalah 6.
Jika kedua ruas dikalikan dengan 6, maka persamaannya
menjadi :
3(2x + 10) – 2.2(2x + 3) = 1
6x + 30 – 4(2x + 3 ) = 1
6x + 30 – 8x – 12 = 1
-2x + 18 = 1
-2x + 18 – 18 = 1 – 18
-2x = - 17
1
1
(-2x) =
(-17 )
2
2
17
2
-x = x =
x = 8
17
2
1
2
Jadi himpunan penyelesaiannya { 8
1
2
}
Perhatikan :
a. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya
tidak bervariabel langkah penyelesaiannya : mengubah
lebih dahulu persamaan tersebut dengan mengalikan
bilangan pada kedua ruas persamaan itu dengan KPK
(Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut pecahanpecahannya.
b. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya
mempunyai variabel, langkah menyelesaikannya :
mengubah dahulu persamaan tersebut dengan jalan
mengubah semua sukunya menjadi pecahan dengan
satu penyebut.
Contoh :
menyelesaikan persamaan yang memuat pecahan dan
penyebutnya mempunyai variabel, sebagai berikut :
Tentukan himpunan penyelesaian
rasional.
Jawab :
3 x−4
4 x−12
3 x−4
4 x−12
-2
=2–2
=2
3 x−4
4 x−12
= 2, x bilangan
3 x−4
4 x−12
-2 =0
3 x−4−2(4 x−12)
4 x−12
=0
3 x−4−8 x+ 24
4 x−12
=0
−5+20
4 x−12
=0
Pecahan tersebut bernilai nol, jika pembilang = 0 dan
penyebut ≠ 0
Jadi 5x + 20 = 0
-5x + 20 – 20 = 0 – 20
-5x = - 20
1
1
(-5x) =
(-20)
5
5
-x = -4
x = 4
Untuk x = 4 penyebut ≠ 0
4x – 12 = 4(4) – 12 = 16 – 12 + 4
Jadi himpunan penyelesaiannya = {4}
()
()
5. Persamaan linear dengan dua variabel (peubah)
Jika kita akan menentukan dua konstanta sebagai pengganti
dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua
persamaan yang diketahui. Biasanya pada soal cerita memuat
dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya
dengan dua variabel (peubah). Jika terjadi dari kedua hal yang
belum diketahui hanya diketahui satu hubungan saja maka
diperoleh satu persamaan dengan dua variabel.
Contoh :
Dua bilangan cacah jumlahnya 5, bilangan-bilangan berapakah
itu ?
Jawab :
Misalnya : bilangan yang ke I adalah x, bilangan yang ke II
adalah y.
x + y = 5 dan y bilangan cacah.
Untuk x = 0 → 0 + y = 5
y=5
→
Untuk x = 1
1+y=5
y=4
→
Untuk x = 2
2+y=5
y=3
→
Untuk x = 3
3+y=5
y=2
→
Untuk x = 4
4+y=5
y=1
→
Untuk x = 5
5+y=5
y=0
Jadi pasangan bilangan-bilangan tersebut yaitu 0 dan 5, atau
1 dan 4, atau 2 dan 3, atau 3 dan 2, atau 4 dan 1, atau 5
dan 0. Di dalam matematika biasa ditulis penyelesaiannya
(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0), dan Himpunan
Penyelesaiannya { (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}.
6. Cara-cara Menyelesaikan Persamaan
a. Eliminasi dengan Substitusi
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka salah satu variabel dari persamaan pertama
dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya
substitusikan ke dalam persamaan yang ke dua tadi, dengan
demikian nilai dari salah satu variabel dapat ditemukan,
kemudian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi
dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang
lain dapat ditentukan nilainya.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n
= 13 dan 3m + 2n = 7 dengan m
dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 .......(1)
3m + 2n = 7 .......(2)
1) 5m + 4n = 13
5m = 13 – 4n
3
m=
13−4 n
5
m=
13−4 n
5
→ 3m + 2n
( 13−45 n )
+ 2n = 7
n
( 39−12
)
5
+ 2n = 7
39 – 12n + 10n = 35
-2n + 39 – 39
= 35 – 39
-2n = -4
1
1
(-2) =
(-4)
2
2
-n = -2
n = 2 → 3m + 2n = 7
3m + 2(2) = 7
3m + 4 = 7
3m + 4 – 4
3m = 3
1
(3m)
3
m =1
=
=7
=7–4
1
(3)
3
Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
b.Eliminasi dengan penjumlahan atau Pengurangan
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka nilai mutlak koefisien dari variabel yang akan
dieliminasi (dihilangkan) disamakan dulu. Selanjutnya kedua
persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan supaya
menghasilkan persamaan baru yang hanya memuat satu
variabel saja.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan
5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7
dengan m dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 ..........(1)
3m + 2n = 7 ..........(2)
(3)(5m) + 3(4n) = 3(13) ..........(1)
5(3m) + 5(2n) = 5(7) ..........(2)
15 m+12 n=39
15 m+10 n=35
( 15 m−15 m ) + ( 12 n−10 n )=39−35
-
2n = 4
1
(2n) =
2
1
(4)
2
n=2
substitusi n = 2 pada persamaan 5m + 4n = 13
diperoleh
n = 2 → 5m + 4n = 13
5m + 4(2) = 13
5m + 8 = 13
5m + 8 – 8 = 13 – 8
5m = 5
1
1
(5m) =
(5)
5
5
m = 1
jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
c. Eliminasi dengan cara menyamakan
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya
maka dari masing – masing persamaan, variabel yang akan
dihilangkan dinyatakan dalam variabel lain.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan
5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7
dengan m dan n bilangan rasional.
Jawab :
5m + 4n = 13 → 5m = 13 – 4n
5m = 13 – 4n
1
(5m) = (13 – 4n )
5
13−4 n
m =
..........(1)
5
3m + 2n = 7
→
3m + 2n – 2n = 7 – 2n
3m = 7 – 2n
1
(3m) =
3
m=
1
(7−2 n)
3
7−2 n
3
..........(2)
persamaan (1) = (2)
13−4 n
5
15
( 13−45 n )
=
=
15
7−2 n
3
( 7−23 n )
3(13 – 4n) = 5(7-2n)
39 – 12n = 35 – 10n
39 – 12n – 39 + 10n = 35 – 10n – 39 + 10n
-2n = -4
1
(-2) =
2
-n = -2
1
(-4)
2
n =2
substitusi n = 2 pada persamaan 5m + 4n = 13 diperoleh
5m + 4(2)
= 13
5m + 8
= 13
5m + 8 -8
= 13 – 8
5m
=5
1
(5m) =
5
1
(5)
5
m=1
Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2
7. Contoh mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita ke
dalam persamaan
a. Panjang sebuah persegi panjang, panjangnya 4m
lebihnya dari lebar. Luas persegi panjang itu 12m2.
Hitunglah panjang dan lebar persegi panjang itu. Cara
menentukan persamaannya sebagai berikut :
Misalkan : Panjang dari persegi panjang = am
Lebar dari persegi panjang = bm
Panjangnya 4m lebihnya dari lebar, persamaannya
menjadi a – 4 = b atau a = b + 4
Luas persegi panjang = panjang x lebar ( dalam hal
ini luasnya a x b )
12 = a x b
12 = ( b + 4 ) x b
b. Aida pergi ke toko membeli gula dan beras , harga 1 kg
gula 2 kali harga 1 kg beras. Aida membeli 4kg beras
dan 6kg gula harganya Rp. 24.000. Berapa masingmasing harga gula dan beras setiap kg?
Cara menentukan persamaannya sebagai berikut :
Misalkan harga 1 kg beras = x rupiah.
Harga gula 2 kali harga 1 kg beras berarti harga 1 kg
gula = 2x rupiah
4kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000 atau 4x
+ 12x = 24.000
8. Soal-soal latihan :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
a. x + 6 = 7
b. 2x – 7aa = 5
c. 3 ( x-2) + 2 (x+1) = 4x + 1
2. Selesaikan pasangan-pasangan persamaan berikut ini dengan
cara substitusi, peubahnya bilangan nyata.
a. 9a + 6b = 0 dan 3a + 2b = 17
b. 6p – 3q = 33 dan 5p + 8q = -4
3. Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1
kg apel 3 kali harga 1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan
3kg rambutan dengan harga Rp. 9.000,00. Berapa masingmasing harga apel dan rambutan setiap kg ?
Daftar Pustaka :
Winarni, E.S. Sri Harmini.2011. Matematika Untuk PGSD.
Bandung : PT Remaja Rosdakarya
Hudoyo, Herman dan Sutawidjaja,
Akbar.1996.Matematika.Jakarta : Depdikbud