BAB 12 Limit fixs banget

BAB 12
LIMIT FUNGSI
Pada bab ini akan dipelajari tentang limit fungsi aljabar dan limit fungsi
trigonometri.
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. Definisi Limit
Definisi umum limit fungsi adalah

lim f  x   L

x �a

yang artinya untuk x

0
mendekati a maka f(x) mendekati L. Menghindari bentuk 0
2. Menyelesaikan limit fungsi aljabar sederhana
a. Subtitusi langsung
Jika ada soal tentang limit fungsi aljabar tidak ada penyebut,
maka langsung dapat dikerjakan.
Contoh :

lim x 2  x  12  ...
x
Nilai dari �2
Jawab :
lim x2  x  12  22  2  12  6  12   6
x �2

b.

Pemfaktoran
Contoh :

lim

Nilai dari
Jawab :

lim

x �3

c.

x �3

x 9
x 3

x 9
 ...
x 3

 lim



x 3



x 3

x 3
 x 3  9 3  3  3  6
x �3

Mengalikan dengan sekawan
Contoh :

lim

Nilai dari
Jawab :



x �3

x 9
 ...

x 3

137

Sekawan dari penyebut
diperoleh :

x 9

lim

x 3

x �3

 lim

x �3

 lim

x 9

�

x  3 adalah

x  3 , sehingga

x 3

x 3
x 3
x  9 x 3





x 9

 x 3  9 3  3  3  6
d. Aturan L’Hopital (turunan)
Basic concept :
Menggunakan aturan turunan , bisa mempercepat menghitung
nilai limit yang ribet
Contoh :
x2  3x  5
lim
 ...
x �3
x 3
Nilai dari
Jawab :
x2  3x  5 1.2x  3 1.2.3  3
lim


x �3
x 3
1

1
 6 3  3
3. Menyelesaikan limit fungsi tak berhingga
a. Bentuk akar linier
Bentuk akar linier yang dimaksud adalah bentuk :
lim ax  b  px  q  R
x �3

x ��





Maka berlaku :
 1 R   � jika a  p
 2  R  0 jika a  p
 3 R   � jika a  p
b.

Bentuk akar kuadrat
Bentuk akar linier yang dimaksud adalah bentuk :

lim

x ��





ax2  bx  c  px2  qx  r  R

Maka berlaku :

138

 1 R   �
b q
 2 R 

2 a
 3 R   �

c.

jika a  p
jika a  p

jika a  p
Bentuk pembagian dengan pangkat tertinggi
Ada 3 kasus limit tak hingga yang diselesaikan dengan cara dibagi
pangkat tertinggi :
1)
Jika pangkat tertinggi pembilang dan penyebut
sama (m = n) maka :
axm  bx  c a
lim

x �� pxn  qx  r
p

Contoh :

lim

2)

Nilai dari

x ��

4x 5  3x  2
2x

5



4
2
2

Jika pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari
pangkat tertinggi penyebut (m > n) maka hasilnya �

lim

axm  bx  c

pxn  qx  r
Contoh :
x ��

lim

3)

 4x

2

Nilai dari

x ��

�

4x 5  x  6
3x 3  2x2

�

Jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari
pangkat tertinggi penyebut (m < n) maka hasilnya 0

axm  bx  c
0
x �� pxn  qx  r
lim

Contoh :

lim

Nilai dari

x ��

4x 2  x  6
3x 6  2x2

B. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Basic concept :
tan x
sinx
lim
 lim
1
x �0 x
x �0
x


139

0





lim

sin ax
tan ax a
 lim

x �0
bx
bx
b

lim

sin ax
tan ax a
 lim

x
�
0
sin bx
tan bx b

lim

sin ax
tan ax a
 lim

tan bx x�0 sin bx b

lim

sin ax  sin bx
a b

tan cx  tan dx c  d

x �0

x �0

x �0

x �0


Metode supertrik :
Beberapa rumus untuk menghitung limit trigonometri :

1  cos ax
 a
lim

x �0 sin cx. tandx
2 .c.d
2



lim

1  cos ax
 a

2
sin cx. tan dx 2 .c.d2

lim

1  cos ax
 a

sin cx. tandx 2 .c.d

2



x �0

2



x �0

2



1  cos ax �a �
lim
��
x �0 1  cosbx
�b �



1  cos ax
�a �
��
x �0 1  cosbx
�b �

2

lim

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1.

UN 2010
�2

Nilai


lim�
�x  2 x

A.

1
4

x �2

2

8 �
�
 4 �= . . .

D. 4

140

1
B. 2
C. 2
Pembahasan :
2  x  2  8
�2
8 �
lim �  2
 lim
�
x �2 x  2 x  4
x �2
x2 4
�
�
2x  4 2 2 1
� lim 2

 
x�2 x  4
2x 4 2
2.

E. ∞

Jawaban:B

UN 2010
Nilai

�sin x  sin 5x �
�
6x
�= . . .

lim�
�
x�0

1
D. 3
E. -1

A. 2
B. 1
1
C. 2
Pembahasan :
�sin x  sin 5x �
�sin x sin 5x �
�
� lim�6x  6x �
lim
6x
x�0 �
� x�0 �
�
sin x
sin 5x
 lim

6x lim
6x
x�0
x �0
1 5
  1
6 6
3.

UN 2011

lim

(x  4)

Nilai x�4 x  2 = . . .
A. 0
B. 4
C. 8
Pembahasan :
x 4
1
1
1
lim


 4
x�4
1.1
1
1
x 2
2 x 2 4 4

141

D. 12
E. 16

Jawaban:B

Jawaban:B
4.

UN 2011
1  cos 2x

Nilai

lim 2x sin 2x
x �0

=...

A.

1
8

1
D. 2

B.

1
6

E. 1

1
C. 4
Pembahasan :

1   1  2 sin2 x 
1  cos 2x
 lim
lim
2x sin 2x
x �0 2x sin 2x
x �0
 lim
x �0

1  1  2 sin2 x
2x sin 2x

2 sin2 x
x �0 2x sin 2x
2 sin x sin x
 lim
2x sin 2x
x �0
sin x sin x
 lim
�
x sin 2x
x �0
1 1
 1� 
2 2
 lim

5.

Jawaban:D

UN 2012

lim 3 

5x

9x = . . .
Nilai x�0
A. -30
B. -27
C. 15
Pembahasan :

D. 30
E. 36

142

lim
x �0

6.

5x

5
5

1.1
1
3 9  x 
2 9x
2 9
5
   30
1
6


Jawaban:A

UN 2012
1  cos 2x

lim x tan 2x

Nilai x�0
A. -2
B. -1
C. 0
Pembahasan :

=...

D. 1
E. 2

1   1  2 sin2 x 
1  cos 2x
 lim
lim
x tan 2x
x�0 x tan 2x
x�0
2 sin2 x
x�0 x tan 2x
2 sin x sin x x 2x
 lim
��
x tan 2x x 2x
x�0
sin x sin x 2x
x
 lim2 � � �
�
x
x tan 2x 2x
x�0
1
 2 ����
1 1 1 1
2
 lim

7.

UN 2012
Nilai
A.

lim
x�3

2 x 1
x3
=...



1
4

D. 2



1
2

E. 4

B.
C. 1
Pembahasan :

143

Jawaban:D

lim
x �3

2 x1
2 x 1 2 x 1
 lim
�
x 3
x 3
2 x 1
x�3
4   x  1
 lim
x�3  x  3  �
2  x 1



 lim
x�3

 lim
x�3



 3  x

 x  3 �
2

2

1
2 4



1



x 1

x 1





1
4
Jawaban:A

PAKET SOAL LATIHAN

x 2  3x  18
 ...
2
1. x �3 x  3x
A. 1
B. 2
C. 3
t2
lim
...
t �4 t  4
2. Nilai
1
A. 2
lim

B.

1
4

C.

1

4

lim
3.

x �3

D. 4
E. 5

D.



1
2

E. – 2

9  x2
4  x2  7

 ...

A. 16
B. 8
C. – 2

D. – 8
E. – 16

144

4.

lim

A.
B.
C.

lim
5.

B.
C.

lim

B.
C.

lim
x �2

 ...

1
2
1
4


D.

1
4

3  10  x
x 1

 ...
1
D. 6

6

1
3
1

6


E. 3

9 x  9 x
x

 ...

1
D. 3
2
E. 3

–3
1

3
0

x 2
 ...
3  4x  1
2
D. 3
3
E. 2

A. – 4
B.
C.



E. – 1

x �0

A.

7.

x

x �1

A.

6.

2 4  x

x �0

3
2
2

3


145

1
2

9x 3  1
 ...
x �� 6x  2x 2  x 3
lim

8.

A. 9
B. 3
C. 0

D. – 1
E. – 2

1  2x
...
3x
9.
A. ~
lim

x ��

B.
C.

D. 0

1
2
3

E.



2
3

4x 4  1
 ...
x �� x  3x2  2x3
lim

10.

A. ~
B. 4
C. 2

lim
x �0

11. Nilai
A. 2
B. 4
C. 8
12. Nilai
A.
B.
C.

lim
x �0

D. 0
E. – 2

1  cos 4x
�1 �
x tan � x �
�2 �= …
D. 16
E. 32

cos 2x  cos x
x2
=…

1
2
2
3
1

2

2
D. 3
3

E. 2


1

146

lim

13.

x �k 2x  2k

x k
 ...
 sin x  k 

A. 3
1
B. 3
C.

3  x2  5
x 2

x �2

B.

1
2
2

3

C.

3

4

A.

E. – 3

1

3
lim

14. Nilai

D. – 1

 ...



lim

D.
E.



x cos2 3x  1
2

B.
C.



5
6

D. – 2
E. – 3

5
3
D.
4
E. 3

7
3
6
3
sin x  sin 7x
 ...
x �0
x cos 6x
lim

17. Nilai

4
5

  ...

sin 3x. tan x
15. Nilai
A. 3
B. 2
C. 1
1  cos 4x
lim
 ...
x �0 x sin 3x
16.
8
A. 3
x �0



147

3
A. 2
B. 3
C. 4
lim

x �3

18. Nilai
A. – 6
B. – 3
C. 0

D. 8
E. 12

x 3  3x2  9x  27
 ...
1  cos  2x  6 
D. 3
E. 6

148