JURUSAN PENDlDlKAN MATEMATIKA FPMIPA IKlP PADANG
KETERKONTROLAN DAN KETEROBSERVASIAN
SISTEM LlNlER
MAKALAH
, ,.
,
;
p, c
'
-
~'rs
,
S ' \.
...
;;I
.
.t'>,
. -. , ;
.
& ' V . r n .
& - ;
..,:=*:.. 0
Karena Y adjoint dellgan diri sendiri, maka menurut Lemma 2.5.2 terdapat
himpunan ortonormal e 1, ez, . ,en, yang merupakan vektor eigen dari Y, yang
2.+
berturut-turut berkorespondensi dengan nilai eigen X1X2,
. ,An. Selanjutnya
karena
=nX;
n
IYI
#O
j
Xi # O V i .
i=l
Maka diperoleh
A; = c T l ' e ; # 0 dimana Ye; = X;e;,
Te; = 1
Tetapi karena vektor eigen el, e2,.- . ,en merupakan basis dari Cn,maka untuk
sebarang vektor x E Cin dapat dinyatakan sebagai x = Cy=,aiei. sehingga
Tetapi karena semua X i positif, maka Cy=lXXilai12 2 0 dan ini sama dengan
no1 jika semua a; sama, dengan nol, yaitu jika x = 0. Jadi Y > 0.
3 . d 1. Misalkan X nilai eigen dari Y maka
Karena diketahui Y tlefinit positif maka X positif. Jadi no1 bukan nilai eigen
dari Y.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Jika matriks A, B, C. D,E, dan F konstan maka dari (3.3) d m (3.4) diperoleh
Sehingga, dari Teorelxa 3.1.1 dan Lemma 3.1.1, diperoleh ha1 berikut .
Sistem invarian terhadap waktu outputnya terkontrol pada saat t o jika dan
hanya jika
Teorema 2.2 Sisten? invarian terhadap waktu
x=Ax+Bu
y =c x
outputnya terkontrol ;jika d u n hanya jika
atau ekivalen denga,~?
Ps[CB CAB
CAn-'B]
mempunyai rang m .
Bukti: Dari (3.7) clan dengan mensubstitusikan D = 0 ke (3.6) diperoleh
(3.9). Selanjutnya alian dibuktikan (3.10). Untuk itu definisikan
Dengan menggunakan (2.7), yaitu
diperoleh
Definisi kan
vj =
M aka
1'
aj(t1 - T ) U ( T ) d~
Misalkan sistem (3.S) outputnya terkontrol maka untuk Y sebarang, persamaan
(*) dapat diselesaikan (untuk v ) . Sehingga menurut Teorema 2.1.2 rang P =
m. Sebaliknya misallian rang P = m maka menurut Teorema 2.1.2 sistem
(*) selalu dapat diselesaikan (untuk v ) . Jadi terdapat u yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain sistem terkontrol.
2.2
State yang Dapat Dikontrol
Tinjau sistem persanlaan diferensial
i = A ( t ) x + B ( t ) u+ E ( t ) w
Definisi 2.2 Untuk srtatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.11) dikatakan
mempunyai state ter.l,.orztrol pada saat to jika untuk setiap x ( t o ) dun x ( t l ) sebarang, terdapat u ( t ) dan t l , to
5 t 5 tl <
oo, sehingga solusi x ( t ) yang
berkaitan dengan u ( l ) memenuhi x ( t o ) = xo, x ( t l ) = x l . Yaitu, terdapat u ( t )
yang membawakan ro k e
XI
dalam waktu t l .
Teorema 2.3 Sistem (3.11) mempunyai state terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to dimana X ( t o ,t l ) didefinisikan oleh.
(3.3).
Bukti ini diperoleh dcngan mensubstitusikan C = I, D = 0 dan F = 0
Teorema 3.1.1 dan de~lganmenggunakan Lemma 3.1.l.
Teorema 2.4 Sister,, invarian terhadap waktu x = Ax
ke
+ B u mempunyai state
terkontrol jika dun I~cr~zya
jika X ( t o , t l ) > 0 atau ekivalen dengan
mempunyai rang n . Bukti dari teorema ini diperoleh dengan mensubstitusikan
C = I , D = 0 dun F = 0 ke Teorema 3.1.2.
Dari Teormea 3.2.2 diperoleh Lemma berikut
Lemma 2.2 X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to jika dun hanya jika r a n k [ B A B
n
d'imana
Keterkontrolan dari Transformasi Koordinat
Perhatikan Sistem linier
x = Ax+ Bu
y=Cx+Du
Jika dilakukan transforma.si koordinat x = M q , dimana M adalah matriks tak
singulir, maka diperoleh
Mq=AMq+ Bu
y=CMq+Du
Teorema 2.5 Tranqli)rmasi koordinat dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state atav output dari sistem linier
-
An-' B1
Bukti: Dari (3.4)diperoleh
Y(to,tl) =
D D ~+SD ( M - ~ B ) ~ ( C M ) ~+ CMM-IBD~
Jadi uji keterkontrola 1 1 . Y (to,t l ) , tidak berubah. Hal ini menunjukkan bahwa
keterkontrolan dari output tidak berubah jika dilakukan transformasi koordinat. Selanjutnya, d e ~ ~ g amensubstitusikan
n
C = I, D = 0 diperoleh bahwa
uji keterkontrolan da.ri state, yaitu X(to, t l ) , juga tidak berubah.
Teorema 2.6 MisalXvn A mempunyai nilai eigen yang saling
berbeda dun M def
= [vl
. . . v,], dimana vl, vz, - ,v, adalah vektor eigen dari
A. Maka sistem (3.14) mempunyai state yang terkontrol jika dun hanya jika
B = M-'B tidak mfrnpunyai baris nol.
Bukti: Dari (3.14 ) cliperoleh
dimana A = M-' AM clan B = M-' B.
Andaikan baris dari 23 ada yang sama dengan nol, misalkan baris ke-i, maka
4.; = Xiqi, dimana Xi adalah nilai eigen yang berkorespondensi dengan vektor
eigen vi. Dalam kasus ini komponen ke-i dari solusi, yaitu qi berbentuk qi =
cexit. Untuk c # 0, q; tidak dapat dibawa ke no1 didalam waktu hingga, karena
untuk Xi > 0 ex" + m atau untuk Xi < 0 exit + m , jika t + m .
Ini berarti kompone~
I ke-i tidak terkontrol. Sehingga solusi t ak terkontrol,
bertentangan dengall sitem mempunyai state terkontrol. Ini membuktikan
bahwa jika st atenya t crl 0 (dtfinit positif)
ill i
Bukti dari lemma
T ( ~t O
, ) C T ( 7ke
)
diperoleh dengan mensubstitusikan
Lc~uma3.1.1.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Sistem invarian terhaclap waktu
Teorema 2.9
dapat diobservasi jika dan hanya jika
mempunyai rang n.
Bulcti: Menurut l'corema 3.3.1 sistem (3.19) terobservasi jika dan hanya
jika no1 bukan nilai eigen dari K ( t o , t l ) . Menurut Lemma 3.3.1, ini ekivalen
dengan K ( t o ,t l ) > 0. .J adi, dari Lemma 3.2.1 dengan mengganti B dengan
dan A dengan X T ,sistem (3.19) terobsevasi jika dan hanya jika r a n g (Q) = n.
Keobservasian dari Transformasi koordinat
Perhatikan sistem (3.13). Jika dilakukan transformasi koordinat x = Mq maka
dari (3.14) diperoleh
Untuk keobservasian~~~:a,
menurut Teorema 3.3.2, kita harus menguji rang dari
Tetapi rang Q* = r n ~ l g Q'M untuk sebarang matriks tak singulir M . Jadi
transformasi koordinaf tidak mengubah sifat keobservasian dari sistem.
Teorema 2.10 Mis~~llianA mempunyai nilai eigen yang saling
def
berbeda dun M =
[ I Y ~
va
. . - v,], dimana
v1,v2,
- . ,v, adalah vektor eigen
dari A. Maka sisterir invarian terhadap waktu (3.14) terobservasi jika dun
hanya jika C = C M r'ddak mempunyai kolom no/.
Bukti: Dari (3.14) cliperoleh
Andaikan kolom dari C ada yang sama dengan no1 , misalkan kolom ke-i, maka
output y tidak dipengaruhi oleh qi. Sehingga qi(to)bisa mempunyai nilai sebarang. Oleh karena itu q(to) tidak dapat ditentukan secara unik. Dengan
kata lain tidak terobscrvasi. Sebaliknya, misalkan C tidak memuat kolom nol.
Ini ekuivalen dengan cT tidak memuat baris nol. Sehingga, dari proses pembuktian Teorema 3.2.-1.diperoleh I - ( t o ,t l ) tak singulir. Jadi menurut Lemma
3.3.1 dan Teorema 3.3.1 sistem terobservasi.
Teorema 2.11 Misc~lkanoutput dari sistem (3.14) adalah
Maka sistem ini tero0.servasi jika dun hanya jika
1 { c ,c
. . . ,c }
adalah himpunan bebas linier, dimana
J d ,J j , . . . ,Jk adnlah blok Jordan dengan nilai eigen sama A; dun
adalah kolom
I)(
rtama dari Ci.
2. cpl # 0 jika J, c~dalahsatu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bulcti: [Lihat [3] ]
c;l
Bagian 3
Kesimpulan
Sistem
i = A ( t ) x + B ( t ) u + E ( t ) w; y
+ D(t)u + F(t)w
= C(t)x
mempunyai output tc11,kontrolpada saat to jika dan hanya jika Y (to,t l ) > 0
untuk suatu t l > to tlimana
Sistem x = A ( t ) x + B ( f ) u + E ( t ) w
mempunyai state terkontrol pada saat to jika
dan hanya jika X ( t o ,1 , )
> 0 untuk suatu tl > to dimana
Sistem linear
terobservasi pada sa.at t l jika dan hanya jika K(to,t l )
> 0 dimana K(to,t l )
didefinisikan oleh
Transformasi ko0rdina.t dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state
atau output dan sifa.t keterobsevasian dari sistem linier.
Daftar Pustaka
[l] Brockett, R.W., l"iizite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons,
New York, 1970.
[2] Brogan, W. L., hlorlern Control Theory, Quantum Publishers, New York,
1974.
[3] Coddington, E.A. a.nd N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, 1955.
[4] Halmos, P.R., Fiilite Dimensional Vector Spaces, 2nd Ed., D. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1958.
[5] Jacob, B., Lineal .-llgebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990.
[6] Schwarz, R.J ant1 Friedland., Linear Systems, McGraw-Hill, New York,
1965.
[7] Skelton, R.E., Dylrnmic Systems Control, John Wiley & Sons, New York,
1988.
SISTEM LlNlER
MAKALAH
, ,.
,
;
p, c
'
-
~'rs
,
S ' \.
...
;;I
.
.t'>,
. -. , ;
.
& ' V . r n .
& - ;
..,:=*:.. 0
Karena Y adjoint dellgan diri sendiri, maka menurut Lemma 2.5.2 terdapat
himpunan ortonormal e 1, ez, . ,en, yang merupakan vektor eigen dari Y, yang
2.+
berturut-turut berkorespondensi dengan nilai eigen X1X2,
. ,An. Selanjutnya
karena
=nX;
n
IYI
#O
j
Xi # O V i .
i=l
Maka diperoleh
A; = c T l ' e ; # 0 dimana Ye; = X;e;,
Te; = 1
Tetapi karena vektor eigen el, e2,.- . ,en merupakan basis dari Cn,maka untuk
sebarang vektor x E Cin dapat dinyatakan sebagai x = Cy=,aiei. sehingga
Tetapi karena semua X i positif, maka Cy=lXXilai12 2 0 dan ini sama dengan
no1 jika semua a; sama, dengan nol, yaitu jika x = 0. Jadi Y > 0.
3 . d 1. Misalkan X nilai eigen dari Y maka
Karena diketahui Y tlefinit positif maka X positif. Jadi no1 bukan nilai eigen
dari Y.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Jika matriks A, B, C. D,E, dan F konstan maka dari (3.3) d m (3.4) diperoleh
Sehingga, dari Teorelxa 3.1.1 dan Lemma 3.1.1, diperoleh ha1 berikut .
Sistem invarian terhadap waktu outputnya terkontrol pada saat t o jika dan
hanya jika
Teorema 2.2 Sisten? invarian terhadap waktu
x=Ax+Bu
y =c x
outputnya terkontrol ;jika d u n hanya jika
atau ekivalen denga,~?
Ps[CB CAB
CAn-'B]
mempunyai rang m .
Bukti: Dari (3.7) clan dengan mensubstitusikan D = 0 ke (3.6) diperoleh
(3.9). Selanjutnya alian dibuktikan (3.10). Untuk itu definisikan
Dengan menggunakan (2.7), yaitu
diperoleh
Definisi kan
vj =
M aka
1'
aj(t1 - T ) U ( T ) d~
Misalkan sistem (3.S) outputnya terkontrol maka untuk Y sebarang, persamaan
(*) dapat diselesaikan (untuk v ) . Sehingga menurut Teorema 2.1.2 rang P =
m. Sebaliknya misallian rang P = m maka menurut Teorema 2.1.2 sistem
(*) selalu dapat diselesaikan (untuk v ) . Jadi terdapat u yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain sistem terkontrol.
2.2
State yang Dapat Dikontrol
Tinjau sistem persanlaan diferensial
i = A ( t ) x + B ( t ) u+ E ( t ) w
Definisi 2.2 Untuk srtatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.11) dikatakan
mempunyai state ter.l,.orztrol pada saat to jika untuk setiap x ( t o ) dun x ( t l ) sebarang, terdapat u ( t ) dan t l , to
5 t 5 tl <
oo, sehingga solusi x ( t ) yang
berkaitan dengan u ( l ) memenuhi x ( t o ) = xo, x ( t l ) = x l . Yaitu, terdapat u ( t )
yang membawakan ro k e
XI
dalam waktu t l .
Teorema 2.3 Sistem (3.11) mempunyai state terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to dimana X ( t o ,t l ) didefinisikan oleh.
(3.3).
Bukti ini diperoleh dcngan mensubstitusikan C = I, D = 0 dan F = 0
Teorema 3.1.1 dan de~lganmenggunakan Lemma 3.1.l.
Teorema 2.4 Sister,, invarian terhadap waktu x = Ax
ke
+ B u mempunyai state
terkontrol jika dun I~cr~zya
jika X ( t o , t l ) > 0 atau ekivalen dengan
mempunyai rang n . Bukti dari teorema ini diperoleh dengan mensubstitusikan
C = I , D = 0 dun F = 0 ke Teorema 3.1.2.
Dari Teormea 3.2.2 diperoleh Lemma berikut
Lemma 2.2 X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to jika dun hanya jika r a n k [ B A B
n
d'imana
Keterkontrolan dari Transformasi Koordinat
Perhatikan Sistem linier
x = Ax+ Bu
y=Cx+Du
Jika dilakukan transforma.si koordinat x = M q , dimana M adalah matriks tak
singulir, maka diperoleh
Mq=AMq+ Bu
y=CMq+Du
Teorema 2.5 Tranqli)rmasi koordinat dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state atav output dari sistem linier
-
An-' B1
Bukti: Dari (3.4)diperoleh
Y(to,tl) =
D D ~+SD ( M - ~ B ) ~ ( C M ) ~+ CMM-IBD~
Jadi uji keterkontrola 1 1 . Y (to,t l ) , tidak berubah. Hal ini menunjukkan bahwa
keterkontrolan dari output tidak berubah jika dilakukan transformasi koordinat. Selanjutnya, d e ~ ~ g amensubstitusikan
n
C = I, D = 0 diperoleh bahwa
uji keterkontrolan da.ri state, yaitu X(to, t l ) , juga tidak berubah.
Teorema 2.6 MisalXvn A mempunyai nilai eigen yang saling
berbeda dun M def
= [vl
. . . v,], dimana vl, vz, - ,v, adalah vektor eigen dari
A. Maka sistem (3.14) mempunyai state yang terkontrol jika dun hanya jika
B = M-'B tidak mfrnpunyai baris nol.
Bukti: Dari (3.14 ) cliperoleh
dimana A = M-' AM clan B = M-' B.
Andaikan baris dari 23 ada yang sama dengan nol, misalkan baris ke-i, maka
4.; = Xiqi, dimana Xi adalah nilai eigen yang berkorespondensi dengan vektor
eigen vi. Dalam kasus ini komponen ke-i dari solusi, yaitu qi berbentuk qi =
cexit. Untuk c # 0, q; tidak dapat dibawa ke no1 didalam waktu hingga, karena
untuk Xi > 0 ex" + m atau untuk Xi < 0 exit + m , jika t + m .
Ini berarti kompone~
I ke-i tidak terkontrol. Sehingga solusi t ak terkontrol,
bertentangan dengall sitem mempunyai state terkontrol. Ini membuktikan
bahwa jika st atenya t crl 0 (dtfinit positif)
ill i
Bukti dari lemma
T ( ~t O
, ) C T ( 7ke
)
diperoleh dengan mensubstitusikan
Lc~uma3.1.1.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Sistem invarian terhaclap waktu
Teorema 2.9
dapat diobservasi jika dan hanya jika
mempunyai rang n.
Bulcti: Menurut l'corema 3.3.1 sistem (3.19) terobservasi jika dan hanya
jika no1 bukan nilai eigen dari K ( t o , t l ) . Menurut Lemma 3.3.1, ini ekivalen
dengan K ( t o ,t l ) > 0. .J adi, dari Lemma 3.2.1 dengan mengganti B dengan
dan A dengan X T ,sistem (3.19) terobsevasi jika dan hanya jika r a n g (Q) = n.
Keobservasian dari Transformasi koordinat
Perhatikan sistem (3.13). Jika dilakukan transformasi koordinat x = Mq maka
dari (3.14) diperoleh
Untuk keobservasian~~~:a,
menurut Teorema 3.3.2, kita harus menguji rang dari
Tetapi rang Q* = r n ~ l g Q'M untuk sebarang matriks tak singulir M . Jadi
transformasi koordinaf tidak mengubah sifat keobservasian dari sistem.
Teorema 2.10 Mis~~llianA mempunyai nilai eigen yang saling
def
berbeda dun M =
[ I Y ~
va
. . - v,], dimana
v1,v2,
- . ,v, adalah vektor eigen
dari A. Maka sisterir invarian terhadap waktu (3.14) terobservasi jika dun
hanya jika C = C M r'ddak mempunyai kolom no/.
Bukti: Dari (3.14) cliperoleh
Andaikan kolom dari C ada yang sama dengan no1 , misalkan kolom ke-i, maka
output y tidak dipengaruhi oleh qi. Sehingga qi(to)bisa mempunyai nilai sebarang. Oleh karena itu q(to) tidak dapat ditentukan secara unik. Dengan
kata lain tidak terobscrvasi. Sebaliknya, misalkan C tidak memuat kolom nol.
Ini ekuivalen dengan cT tidak memuat baris nol. Sehingga, dari proses pembuktian Teorema 3.2.-1.diperoleh I - ( t o ,t l ) tak singulir. Jadi menurut Lemma
3.3.1 dan Teorema 3.3.1 sistem terobservasi.
Teorema 2.11 Misc~lkanoutput dari sistem (3.14) adalah
Maka sistem ini tero0.servasi jika dun hanya jika
1 { c ,c
. . . ,c }
adalah himpunan bebas linier, dimana
J d ,J j , . . . ,Jk adnlah blok Jordan dengan nilai eigen sama A; dun
adalah kolom
I)(
rtama dari Ci.
2. cpl # 0 jika J, c~dalahsatu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bulcti: [Lihat [3] ]
c;l
Bagian 3
Kesimpulan
Sistem
i = A ( t ) x + B ( t ) u + E ( t ) w; y
+ D(t)u + F(t)w
= C(t)x
mempunyai output tc11,kontrolpada saat to jika dan hanya jika Y (to,t l ) > 0
untuk suatu t l > to tlimana
Sistem x = A ( t ) x + B ( f ) u + E ( t ) w
mempunyai state terkontrol pada saat to jika
dan hanya jika X ( t o ,1 , )
> 0 untuk suatu tl > to dimana
Sistem linear
terobservasi pada sa.at t l jika dan hanya jika K(to,t l )
> 0 dimana K(to,t l )
didefinisikan oleh
Transformasi ko0rdina.t dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state
atau output dan sifa.t keterobsevasian dari sistem linier.
Daftar Pustaka
[l] Brockett, R.W., l"iizite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons,
New York, 1970.
[2] Brogan, W. L., hlorlern Control Theory, Quantum Publishers, New York,
1974.
[3] Coddington, E.A. a.nd N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, 1955.
[4] Halmos, P.R., Fiilite Dimensional Vector Spaces, 2nd Ed., D. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1958.
[5] Jacob, B., Lineal .-llgebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990.
[6] Schwarz, R.J ant1 Friedland., Linear Systems, McGraw-Hill, New York,
1965.
[7] Skelton, R.E., Dylrnmic Systems Control, John Wiley & Sons, New York,
1988.