Materi Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Buah Lingkaran
Materi
Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Buah Lingkaran
Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
April 2012
Email : matikzone@gmail.com
MatikZone’s Series
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh
isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan
jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
A. Pendahuluan
Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui satu titik
pada lingkaran tersebut, mempunyai dua buah garis singgung dengan gradien yang
sama, dan mempunyai dua garis singgung yang dapat ditarik melalui satu titik di luar
lingkaran. Setidaknya itulah yang dapat kita tentukan, dan materi inilah yang selama
ini diajarkan di SMA/MA kelas XI IPA pada Bab Lingkaran, sub bab Menentukan
persamaan garis singung lingkaran. Dengan rincian sebagai berikut:
a. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran,
b. Menentukan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui, dan
c. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.
Muncul pertanyaan, bagaimanakah dengan persamaan garis singgung sekutu
dua lingkaran, apakah bisa kita tentukan? Mengapa selama ini yang dibahas hanya
sebatas menentukan panjang garis singgung sekutu dua lingkaran, yang mana materi
ini telah dibahas di tingkat SMP? Be rikut adalah pembahasan, bagaimana kita
menentukan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran.
B. Dasar Teori
Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik
dan titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Garis y = mx + c menyinggung lingkaran L jika nilai D = 0. Dimana D adalah
diskriminan persamaan kuadrat yang diperoleh setelah mensubtitusikan y = mx + c ke
persamaan lingkaran.
L
y = mx + c
Atau
Garis ax + by + c = 0 menyinggung lingkaran L jika d = r, dengan d adalah jarak titik
pusat lingkaran P (x1 , y1 ) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 dan r adalah jarijari lingkaran, dimana d = PQ =
ax1 + by1 + c
a 2 + b2
.
www.matikzone.wordpress.com
L
ax + by + c = 0
r
P
Q
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran
Y
Dari gambar, m PQ =
PQ tegak lurus gs, maka
Q(x 1 , y1 )
y1
m PQ m gs = −1 ⇒ m gs = −
r
P
y1
x1
x1
X
gs
x1
y1
Persamaan garis singgung
melalui Q( x1 , y1 ) adalah:
y − y1 = m( x − x1 )
x
y − y1 = − 1 ( x − x1 )
y1
y1 ( y − y1 ) = − x1 ( x − x1 )
y1 y − y1 = − x1 x + x1
2
2
x1 x + y1 y = x12 + y1 2
Karena Q(x 1 , y1 ) pada lingkaran, maka x1 2 + y1 2 = r 2 , sehingga persamaan garis
singgungnya adalah:
x1 x + y1 y = r 2
Dengan sistem bagi adil, lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan
garis singgung:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2
dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 mempunyai persamaan garis
singgung: x1 x + y1 y +
A
( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0
2
2
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Singgung Suatu Lingkaran Jika Gradiennya Diketahui
Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx + c ,
Subtitusi y ke persamaan lingkaran
x 2 + (mx + c ) 2 = r 2 ⇒ x 2 + m 2 x 2 + 2mcx + c 2 − r 2 = 0
(
)
(
)
⇒ 1 + m 2 x 2 + 2mcx + c 2 − r 2 = 0
Garis menyinggung lingkaran jika D = b2 – 4ac = 0
(2mc)2 − 4(1 + m 2 )(c 2 − r 2 ) = 0
⇒ 4 m2 c 2 − 4c 2 − 4m 2c 2 + 4r 2 + 4m2 r 2 = 0
⇒
− c2 + r 2 + m 2 r 2 = 0
⇒
c 2 = r 2 + m2 r 2
⇒
c 2 = r 2 1 + m2
⇒
(
(
)
c = ±r 1 + m 2
)
Maka persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah:
y = mx + c
= mx ± r 1 + m 2
Dengan sistem bagi adil, untuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 akan diperoleh
persamaan garis singgung:
y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2
Sehingga gradien garis singgung lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 yang melalui titik
T ( x1 , y1 ) di luar lingkaran dapat kita tentukan dengan rumus:
y1 − b = m(x1 − a ) ± r 1 + m 2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Menentukan gradien garis singgung lingkaran.
2. Gunakan rumus persamaan garis melalui suatu titik, misalnya T ( x1 , y1 ) dan
diketahui gradiennya (m). Persamaannya adalah: y − y1 = m( x − x1 )
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Polar/Kutub
Dari satu titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingk aran
tersebut. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung disebut garis polar atau
garis kutub.
g1
A
T (x1, y1 )
A dan B adalah titik singgung,
juga titik potong garis polar
dengan lingkaran.
P
B
g2
Garis polar/kutub
Misal A ( xA , yA ) maka PGS di titik singgung A adalah x A x + y A y = r 2
…….(1)
B ( xB , yB ) maka PGS di titik singgung B adalah x B x + y B y = r 2
…….(2)
Sehingga persamaan garis
AT adalah x A x1 + y A y1 = r 2
……….(3)
BT adalah x B x1 + y B y1 = r 2
……….(4)
Kurangkan (3) dengan (4), diperoleh
( x A − x B )x1 + ( y A − y B ) y1 = 0 ⇒
Gradien garis AB adalah
( y A − y B ) = − x1
( x A − x B ) y1
( y A − y B ) x1
=−
( x A − x B ) y1
dan garis AB melalui titik A maka
persamaan garis AB adalah
y − yA = −
x1
(x − x A ) ⇒ y1 y − y1 y A = − x1 x + x1 x A
y1
⇒
x1 x + y1 y = x1 x A + y1 y A
⇒
x1 x + y1 y = r 2
Jadi, persamaan garis polar AB pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah: x1 x + y1 y = r 2
Uuntuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan garis polar:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2
www.matikzone.wordpress.com
Dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 persamaan garis polarnya adalah:
x1 x + y1 y +
A
( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0
2
2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Tentukan persamaan garis polarnya.
2. Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, untuk mencari titik A
dan B sebagai titik singgung lingkaran.
3. Gunakan rumus Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran untuk
mencari persamaan garis singgungnya.
Kedudukan Dua Lingkaran:
Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu:
a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ
b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ
c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ
d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ
e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r
R
R
r
P
Q
P
Saling Asing Luar
R
r
Q
PQ r
Bersinggungan Luar
R
R
PQ r
Saling Asing Dalam
Bersinggungan Dalam
PP
Q
r
Berpotongan
www.matikzone.wordpress.com
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika kedudukan dua
lingkaran tersebut saling asing luar, atau bersinggungan luar. Dua lingkaran
mempunyai garis singgung sekutu dalam jika R + r ≤ PQ .
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika kedudukan dua
lingkaran tersebut saling asing luar, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, atau
berpotongan. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika R − r ≤ PQ .
Titik Bagi Ruas Garis AB
Koordinat titik bagi ruas garis AB yaitu titik C, dimana AC : CB = a : b adalah
a x + b xA ay B + by A
C (x C , y C ) = C B
,
a +b
a+b
b
B
a
C
A
Dua Segitiga yang Sebangun
Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan
perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Perhatikan gambar, segitiga ABC
sebangun dengan segitiga PQR, maka ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R dan
AB AC BC
=
=
PQ PR QR
Q
B
β
β
A
α
γ
P
C
α
γ
R
www.matikzone.wordpress.com
C. Persamaan Garis Singgung Sekutu Dua Lingkaran
Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan terlebih dulu titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan
persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran. Adapun
lingkaran yang akan digunakan, bisa memilih lingkaran pertama atau lingkaran kedua.
Titik potong kedua garis singgung adalah:
Garis Singgung Sekutu Dalam
g1
A
D
R
r
P
Q
E
C
B
g2
Perhatikan gambar di atas!
∆PBE sebangun dengan ∆QDE , karena ∠ PBE = ∠QDE = 90 0 dan ∠PEB = ∠QED
(saling bertolak belakang) mengakibatkan ∠ BPE = ∠DQE , sehingga
PE PB R
=
=
QE QD r
atau
PE : QE = R : r .
Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan
perbandingan PE : EQ = R : r
r
Q
R
E
P
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Maka koordinat titik E adalah E
,
R
+
r
R
+
r
www.matikzone.wordpress.com
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R > r.
A
D
R
r
Q
S
P
C
B
Perhatikan gambar di atas!
∆ PBS sebangun dengan ∆QCS , karena ∠PBS = ∠ QCS = 90 0 dan ∠PSB = ∠ QSC
(saling berhimpit) mengakibatkan ∠BPS = ∠CQS , sehingga
PQ + QS PB R
PQ
R
=
= ⇒
+1 =
QS
QC r
QS
r
⇒
PQ R − r
=
; R>r
QS
r
Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis
PQ dengan perbandingan PQ : QS = ( R − r ) : r ; R > r sehingga
r
S
R–r
Q
P
www.matikzone.wordpress.com
( R − r ) xS + rx P ( R − r ) yS + ry P
Q (xQ , yQ ) = Q
,
(R − r ) + r
( R − r )+ r
diperoleh :
⇒ xQ =
(R − r ) xS + rx P ⇒
(R − r ) + r
RxQ = ( R − r ) xS + rx P
⇒ ( R − r ) xS = Rx Q − rx P
⇒
dan
⇒ yQ =
(R − r ) y S + ry P ⇒
(R − r ) + r
xS =
Rx Q − rxP
(R − r)
Ry Q = ( R − r ) yS + ry P
⇒ ( R − r )y S = Ry Q − ry P
⇒
yS =
Ry Q − ry P
(R − r )
Sehingga kita dapatkan koordinat titik S adalah
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S ( x S , y S ) = S
,
R
−
r
R
−
r
Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar
lingkaran kita menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien
garis singgungnya terlebih dulu.
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r.
Jika R = r (jari- jari kedua lingkaran sama), maka kedua garis singgung sekutu sejajar
dan tidak mempunyai titik potong. Kedua garis singgung sejajar dengan garis PQ,
yaitu garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Sehingga diperoleh
m gs = mPQ =
yQ − yP
xQ − xP
.
www.matikzone.wordpress.com
g1
g2
Q
r
P
R= r
Persamaan garis singgung sekutunya kita kita tentukan dengan menggunakan
persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya. Persamaan garis
singgung dengan gradien m untuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 adalah
y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 .
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r
mempunyai absis yang sama
dan kedua titik pusat lingkaran
Y
P
X
Q
r
r
www.matikzone.wordpress.com
Dua Lingkaran yang Bersinggungan
R
P
R
r
E
Q
Bersinggungan Luar
PQ r
S
Bersinggungan Dalam
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
pada lingkaran yang bersinggungan luar, merupakan
Titik E
,
R + r
R+ r
titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung sekutu dalam.
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
pada dua lingkaran yang bersinggungan dalam, juga
Titik S
,
R − r
R− r
merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung
sekutu luar. Titik E dan titik S adalah titik singgung sekutu. Sehingga persamaan garis
singgung sekutunya dapat ditentukan dengan rumus menentukan persamaan garis
singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
D. Soal dan Pembahasannya
Pada pembahasan soal di bawah, untuk soal pertama kita akan menentukan
gradien garis singgung terlebih dulu, kemudian mencari persamaan garis singgung
sekutunya dengan menggunakan lingkaran pertama, juga dengan lingkaran kedua.
Untuk soal kedua kita gunakan kedua cara namun dengan lingkaran yang sama yaitu
menggunakan lingkaran pertama. Soal ketiga dan keempat adalah contoh soal dengan
karakteristik khusus.
Soal Pertama:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam L1 ≡ ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 = 16 dan
L2 ≡ ( x − 12) + ( y − 3) = 4 .
2
2
Jawab:
www.matikzone.wordpress.com
3 x + 4 y − 38 = 0
3 x − 4 y − 14 = 0
L2
L1
L1 ≡ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 16 mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
2
2
L2 ≡ ( x − 12) + ( y − 3) = 4 mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(12− 2)2 + (3 − 3)2
R+r =4+2 =6
R − r = 4 −2 = 2
= 100 = 10
R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
, sehingga kita peroleh
Diketahui bahwa koordinat titik E
,
R
+
r
R
+
r
4.12 + 2.2 4.3 + 2.3
52 18
26
koordinat titik E adalah: E
,
= E ,
= E , 3
4+2
4+2
6 6
3
Cara 1: Menggunakan Lingkaran Pertama.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:
y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 3 = m(x − 2 ) ± 4 1 + m 2
26
Garis singgung melalui titik E , 3
3
www.matikzone.wordpress.com
26
3 − 3 = m − 2 ± 4 1 + m2
3
20
⇒
0=
m ± 4 1 + m2
3
20
⇒ ± 4 1+ m 2 =
m
3
400m 2
⇒ 16 + 16m 2 =
9
⇒ 144 + 144 m 2 = 400m 2
y − 3 = m ( x − 2) ± 4 1 + m 2 ⇒
⇒
256 m2 = 144
⇒
16m 2 = 9
9
m2 =
16
3
m=±
4
⇒
⇒
26
26
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x −
3
3
3
3
26
Untuk m = ⇒
y − 3 = x −
4
4
3
3
26
⇒
y −3 = x −
4
4
Jadi, persamaan garis
⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0
singgung sekutu dalam L1
3
3
26
Untuk m = − ⇒
y − 3 = − x −
dan L2 adalah:
4
4
3
• g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0
3
26
⇒
y −3 = − x +
• g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0
4
4
⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Cara 2: Menggunakan Lingkaran Kedua.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
y − yQ = m( x − xQ ) ± r 1 + m2 ⇒ y − 3 = m( x − 12) ± 2 1 + m 2
26
Garis singgung melalui titik E , 3
3
www.matikzone.wordpress.com
y − 3 = m( x − 12) ± 2 1 + m2 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
26
3 − 3 = m − 12 ± 2 1 + m 2
3
10
0 = − m ± 2 1+ m 2
3
10
± 2 1+ m 2 = − m
3
100 m2
4 + 4m 2 =
9
2
36 + 36 m = 100m 2
⇒
64m 2 = 36
⇒
16m 2 = 9
⇒
m2 =
⇒
9
16
3
m=±
4
26
26
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x −
3
3
3
3
26
Untuk m = ⇒
y − 3 = x −
4
4
3
3
26
⇒
y −3 = x −
4
4
Jadi, persamaan garis
⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0
singgung sekutu dalam L1
3
3
26
Untuk m = − ⇒
y − 3 = − x −
dan L2 adalah:
4
4
3
• g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0
3
26
⇒
y −3 = − x +
• g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0
4
4
⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Soal Kedua:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar lingkaran L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16
dan L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4)2 = 4 .
www.matikzone.wordpress.com
Jawab:
y = 5 x − 23
5 x + 12 y − 149 = 0
L1
L2
y=2
L1 ≡ ( x − 5) + ( y − 6 ) = 16 mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
2
2
L2 ≡ ( x − 15) + ( y − 4) = 4 mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(15− 5) 2 + (4 − 6)2
R+r =4+2= 6
R − r = 4 −2 = 2
= 100+ 4 = 104
R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
, sehingga kita peroleh
Diketahui bahwa koordinat titik S
,
R
−
r
R
−
r
4.15 − 2.5 4.4 − 2.6
50 4
koordinat titik S adalah: S
,
= S , = S (25, 2)
4−2
4−2
2 2
Cara 1: Dengan Menentukan Persamaan garis Polar
Persamaan garis polar berdasar titik S(25, 2) pada lingkaran L1 (dipilih L1) adalah:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 ⇒ (25 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16
⇒
⇒
⇒
20x − 100− 4 y + 24 − 16 = 0
20x − 4 y − 92 = 0
y = 5 x − 23
www.matikzone.wordpress.com
Subtitusi y ke persamaan L1
( x − 5)2 + ( y − 6)2 = 16 ⇒
( x − 5 )2 + (5 x − 29)2 = 16
⇒ x 2 − 10x + 25 + 25x 2 − 290x + 841− 16 = 0
⇒
26x 2 − 300x + 850 = 0
⇒
13x 2 − 150x + 425 = 0
(13x − 85)( x − 5) = 0
⇒
⇒
x=
85
atau x = 5
13
Subtitusi x ke persamaan garis polar (bukan ke persamaan lingkaran).
85
85
425 299 126
⇒ y = 5 ⋅ − 23 =
−
=
13
13
13 13 13
∗ x = 5 ⇒ y = 5 ⋅ 5 − 23 = 25 − 23 = 2
∗x =
85 126
⇒ T1 ,
13 13
⇒ T2 (5, 2)
85 126
T1 ,
dan T2 (5, 2 ) adalah titik potong garis polar dengan lingkaran yang
13 13
merupakan titik singgung pada lingkaran L1.
Kita tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran L1. Persamaan
garis singgung melalui T ( x1 , y1 ) pada lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 adalah:
( x1 − a)(x − a ) + ( y1 − b )( y − b) = r 2
85 126 85
126
T1 ,
− 6 ( y − 6) = 16
⇒ − 5 ( x − 5 ) +
13 13 13
13
20
48
⇒
( x − 5) + ( y − 6) − 16 = 0
13
13
⇒
20(x − 5) + 48( y − 6) − 208 = 0
⇒
20 x + −100 + 48 y − 288 − 208 = 0
⇒
20 x + 48 y − 596 = 0
⇒
5 x + 12 y − 149 = 0
T1 (5, 2) ⇒ (5 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16
⇒
0( x − 5) − 4( y − 6) − 16 = 0
⇒
⇒
⇒
− 4 y + 24 − 16 = 0
− 4 y = −8
y=2
www.matikzone.wordpress.com
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
5 x + 12 y − 149 = 0
dan
y=2
Cara 2: Dengan Menentukan Gradien Garis Singgung.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah (dipilih L1 ):
y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 6 = m( x − 5 ) ± 4 1 + m 2
Garis singgung melalui titik S (25, 2)
y − 6 = m( x − 5) ± 4 1 + m 2 ⇒
2 − 6 = m(25 − 5 ) ± 4 1 + m 2
⇒
− 4 = 20m ± 4 1 + m2
⇒
− 1 = 5m ± 1 + m2
⇒
⇒
± 1 + m 2 = 5m + 1
1 + m 2 = 25m 2 + 10 m + 1
⇒ 24m 2 + 10m = 0
⇒ m(24m + 10 ) = 0
⇒
m = 0 atau m = −
10
5
=−
24
12
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S (25, 2) adalah: y − 2 = m(x − 25)
Untuk m = 0 ⇒
y − 2 = 0( x − 25)
⇒ y−2= 0
⇒
y=2
5
5
Untuk m = − ⇒
y − 2 = − ( x − 25 )
12
12
5
125
⇒
y −2 = − x+
12
12
⇒
12 y − 24 = −5 x + 125
⇒ 5 x + 12 y − 149 = 0
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luar L1 dan L2 adalah:
y=2
dan
5 x + 12 y − 149 = 0
www.matikzone.wordpress.com
Soal Ketiga:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar lingkaran L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5
2
dan L2 ≡ x −
2
12
6
+ y + = 5.
5
5
Jawab:
L1 ≡ ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R =
2
2
2
5
2
6
6
12
12
L2 ≡ x − + y + = 5 mempunyai pusat Q , − dan jari- jari r =
5
5
5
5
5
Hubungan dua lingkaran
2
2
64 256
320
16
12 6
PQ = − 4 + − − 2 =
+
=
=
= 1,79
25 25
25
5
5
5
0 < 1,79 < 4,47
R + r = 5 + 5 = 2 5 = 4,47
R − r < PQ < R + r
R −r = 5 − 5 = 0
Maka L1 dan L2 berpotontan di dua titik, tidak mempunyai garis singgung sekutu
dalam, hanya mempunyai garis singgung sekutu luar.
Untuk R = r (jari- jari kedua lingkaran sama, yaitu
PQ.
m gs = mPQ
5 ), kedua garis singgung sejajar
6
16
− −2 −
16
=
= 5
= 5 = =2
8
xQ − x P 12 − 4
8
−
5
5
yQ − y P
Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2.
Persamaan garis singgung L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 (dipilih L1) dengan gradien 2
adalah:
y − 2 = 2(x − 4) ± 5 1 + 2 2 ⇒
⇒
⇒
y = 2 + 2x − 8 ± 5
y = 2x − 6 ± 5
y = 2 x − 11
atau
y = 2x −1
www.matikzone.wordpress.com
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luar L1 dan L2 adalah:
y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 .
y = 2x −1
y = 2 x − 11
P
L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 ) 2 = 5
Q
2
2
6
12
L2 ≡ x − + y + = 5
5
5
Soal Keempat:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam antara lingkaran
L1 ≡ ( x − 1) + ( y − 1) = 9 dan L2 ≡ (x − 6 ) + ( y − 1) = 4 .
2
2
2
2
Jawab:
www.matikzone.wordpress.com
L1 ≡ ( x − 1) + ( y − 1) = 9 mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3
2
2
L2 ≡ (x − 6 ) + ( y − 1) = 4 mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(6 − 1)2 + (1− 1)2
R + r = 3+ 2 = 5
R − r = 3−2 =1
= 25 = 5
R + r = PQ
R − r < PQ
Maka L1 dan L2 bersinggungan luar, mempunyai satu garis singgung sekutu dalam
dan dua garis singgung sekutu luar.
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
(x − 1) 2 + ( y − 1)2 = 9
(x − 6) 2 + ( y − 1) 2 = 4
( x − 1)2 − ( x − 6) 2 = 5
−
x 2 − 2 x + 1 − x 2 + 12 x − 35 = 5
10 x = 40
x=4
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
Cara 2:
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Titik singgung sekutu dua lingkaran adalah E
,
R+r
R+ r
18 + 2 3 + 2
E
,
= E (4, 1)
3+ 2 3 + 2
=
E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat
ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita
cari menggunakan lingkaran pertama.
www.matikzone.wordpress.com
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b )( y − b ) = r 2 ⇒ (4 − 1)( x − 1) + (1 − 1)( y − 1) = 9
⇒
3( x − 1) = 9
⇒
⇒
⇒
3x − 3 = 9
3 x = 12
x=4
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
E. Kesimpulan
Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan koordinat titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan
persamaan garis singgung sekutunya dengan cara “Menentukan persamaan garis
singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran”. Jika jari-jari kedua lingkaran sama,
maka persamaan garis singgung sekutu luar ditentukan denga n persamaan garis
singgung lingkaran jika diketahui gradiennya, dengan gradien garis singgung sama
dengan gradien garis PQ. Pada dua lingkaran yang bersinggungan luar dan
bersinggungan dalam, ditemukan titik singgung sekutu, sehingga persamaan garis
singgung dapat ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik
pada lingkaran.
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran
bisa menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis
singgung terlebih dulu. Dipilih cara mana yang lebih mudah. Karena terdapat dua
buah lingkaran, maka dapat dipilih salah satu lingkaran untuk menentukan persamaan
garis singgung sekutunya.
F. Bahan Bacaan
Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk kelas VIII
SMP/MTs. Jakarta. BSE Depdiknas.
Departemen Matematika Technos. –tanpa tahun-. Teori Ringkas Matematika.
Surabaya. Litbang LP3T Technos.
Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap Pintar Matematika (Bilingual). Jakarta.
Cerdas Pustaka Publisher.
Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA.
Jakarta. Grafindo Media Pratama.
www.matikzone.wordpress.com
Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic
Publisher and Distributors. (PDF File)
Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia.
Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung.
Erlangga.
No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)
G. Aplikasi Pendukung
• Microsoft Office Word 2007
• Goegebra Portable 4.2
• Geogebra Setup 3.0 (http://www.geogebra.org)
Simak juga:
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar dan
masalah tentangnya…. tentunya di www.matikzone.wordpress.com
www.matikzone.wordpress.com
Tabel Banyak Garis Singgung Sekutu (GSS) Dua Lingkaran
No
Banyak
GSS
Hubungan 2
Lingkaran
D
L
1
E
2
Cara menentukan persamaan GSS
2
Dalam (D)
Luar (L)
Menentukan titik potong kedua
Garis Singgung kemudian
mencari PGS melalui titik di
luar lingkaran. Titik potong:
Menentukan titik potong kedua
Garis Singgung kemudian
mencari PGS melalui titik di
luar lingkaran. Titik potong:
Rx Q + rx P RyQ + ryP
E
,
R+ r
R+ r
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S
,
R−r
R− r
Jika jari-jari lingkaran sama mk
Dengan:
S
m gs = mPQ =
L1: Pusat P , jari-jari R
L2: Pusat Q, jari-jari r
Saling Asing Luar
yQ − yP
xQ − xP
PGS ditentukan dengan rumus
PGS jika diketahui gradiennya.
Cara 1:
2
PGS ≡ L1 − L2 = 0
1
2
Cara 2:
Menentukan titik singgung
sekutu
Rx Q + rx P RyQ + ryP
E
,
R+ r
R+ r
Bersinggungan Luar
-- Sda --
, kemudian gunakan PGS
melalui titik pada lingkaran.
3
0
2
-
-- Sda --
Berpotongan
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
4
0
Bersinggungan
Dalam
1
-
Cara 2:
Menentukan titik singgung
sekutu
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S
,
R−r
R− r
, kemudian gunakan PGS
melalui titik pada lingkaran.
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Buah Lingkaran
Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
April 2012
Email : matikzone@gmail.com
MatikZone’s Series
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh
isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan
jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
A. Pendahuluan
Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui satu titik
pada lingkaran tersebut, mempunyai dua buah garis singgung dengan gradien yang
sama, dan mempunyai dua garis singgung yang dapat ditarik melalui satu titik di luar
lingkaran. Setidaknya itulah yang dapat kita tentukan, dan materi inilah yang selama
ini diajarkan di SMA/MA kelas XI IPA pada Bab Lingkaran, sub bab Menentukan
persamaan garis singung lingkaran. Dengan rincian sebagai berikut:
a. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran,
b. Menentukan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui, dan
c. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.
Muncul pertanyaan, bagaimanakah dengan persamaan garis singgung sekutu
dua lingkaran, apakah bisa kita tentukan? Mengapa selama ini yang dibahas hanya
sebatas menentukan panjang garis singgung sekutu dua lingkaran, yang mana materi
ini telah dibahas di tingkat SMP? Be rikut adalah pembahasan, bagaimana kita
menentukan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran.
B. Dasar Teori
Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik
dan titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Garis y = mx + c menyinggung lingkaran L jika nilai D = 0. Dimana D adalah
diskriminan persamaan kuadrat yang diperoleh setelah mensubtitusikan y = mx + c ke
persamaan lingkaran.
L
y = mx + c
Atau
Garis ax + by + c = 0 menyinggung lingkaran L jika d = r, dengan d adalah jarak titik
pusat lingkaran P (x1 , y1 ) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 dan r adalah jarijari lingkaran, dimana d = PQ =
ax1 + by1 + c
a 2 + b2
.
www.matikzone.wordpress.com
L
ax + by + c = 0
r
P
Q
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran
Y
Dari gambar, m PQ =
PQ tegak lurus gs, maka
Q(x 1 , y1 )
y1
m PQ m gs = −1 ⇒ m gs = −
r
P
y1
x1
x1
X
gs
x1
y1
Persamaan garis singgung
melalui Q( x1 , y1 ) adalah:
y − y1 = m( x − x1 )
x
y − y1 = − 1 ( x − x1 )
y1
y1 ( y − y1 ) = − x1 ( x − x1 )
y1 y − y1 = − x1 x + x1
2
2
x1 x + y1 y = x12 + y1 2
Karena Q(x 1 , y1 ) pada lingkaran, maka x1 2 + y1 2 = r 2 , sehingga persamaan garis
singgungnya adalah:
x1 x + y1 y = r 2
Dengan sistem bagi adil, lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan
garis singgung:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2
dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 mempunyai persamaan garis
singgung: x1 x + y1 y +
A
( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0
2
2
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Singgung Suatu Lingkaran Jika Gradiennya Diketahui
Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx + c ,
Subtitusi y ke persamaan lingkaran
x 2 + (mx + c ) 2 = r 2 ⇒ x 2 + m 2 x 2 + 2mcx + c 2 − r 2 = 0
(
)
(
)
⇒ 1 + m 2 x 2 + 2mcx + c 2 − r 2 = 0
Garis menyinggung lingkaran jika D = b2 – 4ac = 0
(2mc)2 − 4(1 + m 2 )(c 2 − r 2 ) = 0
⇒ 4 m2 c 2 − 4c 2 − 4m 2c 2 + 4r 2 + 4m2 r 2 = 0
⇒
− c2 + r 2 + m 2 r 2 = 0
⇒
c 2 = r 2 + m2 r 2
⇒
c 2 = r 2 1 + m2
⇒
(
(
)
c = ±r 1 + m 2
)
Maka persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah:
y = mx + c
= mx ± r 1 + m 2
Dengan sistem bagi adil, untuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 akan diperoleh
persamaan garis singgung:
y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2
Sehingga gradien garis singgung lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 yang melalui titik
T ( x1 , y1 ) di luar lingkaran dapat kita tentukan dengan rumus:
y1 − b = m(x1 − a ) ± r 1 + m 2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Menentukan gradien garis singgung lingkaran.
2. Gunakan rumus persamaan garis melalui suatu titik, misalnya T ( x1 , y1 ) dan
diketahui gradiennya (m). Persamaannya adalah: y − y1 = m( x − x1 )
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Polar/Kutub
Dari satu titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingk aran
tersebut. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung disebut garis polar atau
garis kutub.
g1
A
T (x1, y1 )
A dan B adalah titik singgung,
juga titik potong garis polar
dengan lingkaran.
P
B
g2
Garis polar/kutub
Misal A ( xA , yA ) maka PGS di titik singgung A adalah x A x + y A y = r 2
…….(1)
B ( xB , yB ) maka PGS di titik singgung B adalah x B x + y B y = r 2
…….(2)
Sehingga persamaan garis
AT adalah x A x1 + y A y1 = r 2
……….(3)
BT adalah x B x1 + y B y1 = r 2
……….(4)
Kurangkan (3) dengan (4), diperoleh
( x A − x B )x1 + ( y A − y B ) y1 = 0 ⇒
Gradien garis AB adalah
( y A − y B ) = − x1
( x A − x B ) y1
( y A − y B ) x1
=−
( x A − x B ) y1
dan garis AB melalui titik A maka
persamaan garis AB adalah
y − yA = −
x1
(x − x A ) ⇒ y1 y − y1 y A = − x1 x + x1 x A
y1
⇒
x1 x + y1 y = x1 x A + y1 y A
⇒
x1 x + y1 y = r 2
Jadi, persamaan garis polar AB pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah: x1 x + y1 y = r 2
Uuntuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 mempunyai persamaan garis polar:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2
www.matikzone.wordpress.com
Dan untuk lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 persamaan garis polarnya adalah:
x1 x + y1 y +
A
( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0
2
2
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Tentukan persamaan garis polarnya.
2. Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, untuk mencari titik A
dan B sebagai titik singgung lingkaran.
3. Gunakan rumus Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran untuk
mencari persamaan garis singgungnya.
Kedudukan Dua Lingkaran:
Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu:
a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ
b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ
c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ
d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ
e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r
R
R
r
P
Q
P
Saling Asing Luar
R
r
Q
PQ r
Bersinggungan Luar
R
R
PQ r
Saling Asing Dalam
Bersinggungan Dalam
PP
Q
r
Berpotongan
www.matikzone.wordpress.com
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika kedudukan dua
lingkaran tersebut saling asing luar, atau bersinggungan luar. Dua lingkaran
mempunyai garis singgung sekutu dalam jika R + r ≤ PQ .
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika kedudukan dua
lingkaran tersebut saling asing luar, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, atau
berpotongan. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika R − r ≤ PQ .
Titik Bagi Ruas Garis AB
Koordinat titik bagi ruas garis AB yaitu titik C, dimana AC : CB = a : b adalah
a x + b xA ay B + by A
C (x C , y C ) = C B
,
a +b
a+b
b
B
a
C
A
Dua Segitiga yang Sebangun
Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan
perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Perhatikan gambar, segitiga ABC
sebangun dengan segitiga PQR, maka ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R dan
AB AC BC
=
=
PQ PR QR
Q
B
β
β
A
α
γ
P
C
α
γ
R
www.matikzone.wordpress.com
C. Persamaan Garis Singgung Sekutu Dua Lingkaran
Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan terlebih dulu titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan
persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran. Adapun
lingkaran yang akan digunakan, bisa memilih lingkaran pertama atau lingkaran kedua.
Titik potong kedua garis singgung adalah:
Garis Singgung Sekutu Dalam
g1
A
D
R
r
P
Q
E
C
B
g2
Perhatikan gambar di atas!
∆PBE sebangun dengan ∆QDE , karena ∠ PBE = ∠QDE = 90 0 dan ∠PEB = ∠QED
(saling bertolak belakang) mengakibatkan ∠ BPE = ∠DQE , sehingga
PE PB R
=
=
QE QD r
atau
PE : QE = R : r .
Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan
perbandingan PE : EQ = R : r
r
Q
R
E
P
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Maka koordinat titik E adalah E
,
R
+
r
R
+
r
www.matikzone.wordpress.com
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R > r.
A
D
R
r
Q
S
P
C
B
Perhatikan gambar di atas!
∆ PBS sebangun dengan ∆QCS , karena ∠PBS = ∠ QCS = 90 0 dan ∠PSB = ∠ QSC
(saling berhimpit) mengakibatkan ∠BPS = ∠CQS , sehingga
PQ + QS PB R
PQ
R
=
= ⇒
+1 =
QS
QC r
QS
r
⇒
PQ R − r
=
; R>r
QS
r
Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis
PQ dengan perbandingan PQ : QS = ( R − r ) : r ; R > r sehingga
r
S
R–r
Q
P
www.matikzone.wordpress.com
( R − r ) xS + rx P ( R − r ) yS + ry P
Q (xQ , yQ ) = Q
,
(R − r ) + r
( R − r )+ r
diperoleh :
⇒ xQ =
(R − r ) xS + rx P ⇒
(R − r ) + r
RxQ = ( R − r ) xS + rx P
⇒ ( R − r ) xS = Rx Q − rx P
⇒
dan
⇒ yQ =
(R − r ) y S + ry P ⇒
(R − r ) + r
xS =
Rx Q − rxP
(R − r)
Ry Q = ( R − r ) yS + ry P
⇒ ( R − r )y S = Ry Q − ry P
⇒
yS =
Ry Q − ry P
(R − r )
Sehingga kita dapatkan koordinat titik S adalah
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S ( x S , y S ) = S
,
R
−
r
R
−
r
Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar
lingkaran kita menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien
garis singgungnya terlebih dulu.
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r.
Jika R = r (jari- jari kedua lingkaran sama), maka kedua garis singgung sekutu sejajar
dan tidak mempunyai titik potong. Kedua garis singgung sejajar dengan garis PQ,
yaitu garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Sehingga diperoleh
m gs = mPQ =
yQ − yP
xQ − xP
.
www.matikzone.wordpress.com
g1
g2
Q
r
P
R= r
Persamaan garis singgung sekutunya kita kita tentukan dengan menggunakan
persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya. Persamaan garis
singgung dengan gradien m untuk lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 adalah
y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 .
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r
mempunyai absis yang sama
dan kedua titik pusat lingkaran
Y
P
X
Q
r
r
www.matikzone.wordpress.com
Dua Lingkaran yang Bersinggungan
R
P
R
r
E
Q
Bersinggungan Luar
PQ r
S
Bersinggungan Dalam
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
pada lingkaran yang bersinggungan luar, merupakan
Titik E
,
R + r
R+ r
titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung sekutu dalam.
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
pada dua lingkaran yang bersinggungan dalam, juga
Titik S
,
R − r
R− r
merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung
sekutu luar. Titik E dan titik S adalah titik singgung sekutu. Sehingga persamaan garis
singgung sekutunya dapat ditentukan dengan rumus menentukan persamaan garis
singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
D. Soal dan Pembahasannya
Pada pembahasan soal di bawah, untuk soal pertama kita akan menentukan
gradien garis singgung terlebih dulu, kemudian mencari persamaan garis singgung
sekutunya dengan menggunakan lingkaran pertama, juga dengan lingkaran kedua.
Untuk soal kedua kita gunakan kedua cara namun dengan lingkaran yang sama yaitu
menggunakan lingkaran pertama. Soal ketiga dan keempat adalah contoh soal dengan
karakteristik khusus.
Soal Pertama:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam L1 ≡ ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 = 16 dan
L2 ≡ ( x − 12) + ( y − 3) = 4 .
2
2
Jawab:
www.matikzone.wordpress.com
3 x + 4 y − 38 = 0
3 x − 4 y − 14 = 0
L2
L1
L1 ≡ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 16 mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
2
2
L2 ≡ ( x − 12) + ( y − 3) = 4 mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(12− 2)2 + (3 − 3)2
R+r =4+2 =6
R − r = 4 −2 = 2
= 100 = 10
R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
, sehingga kita peroleh
Diketahui bahwa koordinat titik E
,
R
+
r
R
+
r
4.12 + 2.2 4.3 + 2.3
52 18
26
koordinat titik E adalah: E
,
= E ,
= E , 3
4+2
4+2
6 6
3
Cara 1: Menggunakan Lingkaran Pertama.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:
y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 3 = m(x − 2 ) ± 4 1 + m 2
26
Garis singgung melalui titik E , 3
3
www.matikzone.wordpress.com
26
3 − 3 = m − 2 ± 4 1 + m2
3
20
⇒
0=
m ± 4 1 + m2
3
20
⇒ ± 4 1+ m 2 =
m
3
400m 2
⇒ 16 + 16m 2 =
9
⇒ 144 + 144 m 2 = 400m 2
y − 3 = m ( x − 2) ± 4 1 + m 2 ⇒
⇒
256 m2 = 144
⇒
16m 2 = 9
9
m2 =
16
3
m=±
4
⇒
⇒
26
26
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x −
3
3
3
3
26
Untuk m = ⇒
y − 3 = x −
4
4
3
3
26
⇒
y −3 = x −
4
4
Jadi, persamaan garis
⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0
singgung sekutu dalam L1
3
3
26
Untuk m = − ⇒
y − 3 = − x −
dan L2 adalah:
4
4
3
• g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0
3
26
⇒
y −3 = − x +
• g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0
4
4
⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Cara 2: Menggunakan Lingkaran Kedua.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
y − yQ = m( x − xQ ) ± r 1 + m2 ⇒ y − 3 = m( x − 12) ± 2 1 + m 2
26
Garis singgung melalui titik E , 3
3
www.matikzone.wordpress.com
y − 3 = m( x − 12) ± 2 1 + m2 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
26
3 − 3 = m − 12 ± 2 1 + m 2
3
10
0 = − m ± 2 1+ m 2
3
10
± 2 1+ m 2 = − m
3
100 m2
4 + 4m 2 =
9
2
36 + 36 m = 100m 2
⇒
64m 2 = 36
⇒
16m 2 = 9
⇒
m2 =
⇒
9
16
3
m=±
4
26
26
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x −
3
3
3
3
26
Untuk m = ⇒
y − 3 = x −
4
4
3
3
26
⇒
y −3 = x −
4
4
Jadi, persamaan garis
⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0
singgung sekutu dalam L1
3
3
26
Untuk m = − ⇒
y − 3 = − x −
dan L2 adalah:
4
4
3
• g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0
3
26
⇒
y −3 = − x +
• g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0
4
4
⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
Soal Kedua:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar lingkaran L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16
dan L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4)2 = 4 .
www.matikzone.wordpress.com
Jawab:
y = 5 x − 23
5 x + 12 y − 149 = 0
L1
L2
y=2
L1 ≡ ( x − 5) + ( y − 6 ) = 16 mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
2
2
L2 ≡ ( x − 15) + ( y − 4) = 4 mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(15− 5) 2 + (4 − 6)2
R+r =4+2= 6
R − r = 4 −2 = 2
= 100+ 4 = 104
R + r < PQ dan R − r < PQ
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
, sehingga kita peroleh
Diketahui bahwa koordinat titik S
,
R
−
r
R
−
r
4.15 − 2.5 4.4 − 2.6
50 4
koordinat titik S adalah: S
,
= S , = S (25, 2)
4−2
4−2
2 2
Cara 1: Dengan Menentukan Persamaan garis Polar
Persamaan garis polar berdasar titik S(25, 2) pada lingkaran L1 (dipilih L1) adalah:
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2 ⇒ (25 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16
⇒
⇒
⇒
20x − 100− 4 y + 24 − 16 = 0
20x − 4 y − 92 = 0
y = 5 x − 23
www.matikzone.wordpress.com
Subtitusi y ke persamaan L1
( x − 5)2 + ( y − 6)2 = 16 ⇒
( x − 5 )2 + (5 x − 29)2 = 16
⇒ x 2 − 10x + 25 + 25x 2 − 290x + 841− 16 = 0
⇒
26x 2 − 300x + 850 = 0
⇒
13x 2 − 150x + 425 = 0
(13x − 85)( x − 5) = 0
⇒
⇒
x=
85
atau x = 5
13
Subtitusi x ke persamaan garis polar (bukan ke persamaan lingkaran).
85
85
425 299 126
⇒ y = 5 ⋅ − 23 =
−
=
13
13
13 13 13
∗ x = 5 ⇒ y = 5 ⋅ 5 − 23 = 25 − 23 = 2
∗x =
85 126
⇒ T1 ,
13 13
⇒ T2 (5, 2)
85 126
T1 ,
dan T2 (5, 2 ) adalah titik potong garis polar dengan lingkaran yang
13 13
merupakan titik singgung pada lingkaran L1.
Kita tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran L1. Persamaan
garis singgung melalui T ( x1 , y1 ) pada lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 adalah:
( x1 − a)(x − a ) + ( y1 − b )( y − b) = r 2
85 126 85
126
T1 ,
− 6 ( y − 6) = 16
⇒ − 5 ( x − 5 ) +
13 13 13
13
20
48
⇒
( x − 5) + ( y − 6) − 16 = 0
13
13
⇒
20(x − 5) + 48( y − 6) − 208 = 0
⇒
20 x + −100 + 48 y − 288 − 208 = 0
⇒
20 x + 48 y − 596 = 0
⇒
5 x + 12 y − 149 = 0
T1 (5, 2) ⇒ (5 − 5)( x − 5) + (2 − 6)( y − 6 ) = 16
⇒
0( x − 5) − 4( y − 6) − 16 = 0
⇒
⇒
⇒
− 4 y + 24 − 16 = 0
− 4 y = −8
y=2
www.matikzone.wordpress.com
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
5 x + 12 y − 149 = 0
dan
y=2
Cara 2: Dengan Menentukan Gradien Garis Singgung.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah (dipilih L1 ):
y − y P = m (x − x P ) ± R 1 + m2 ⇒ y − 6 = m( x − 5 ) ± 4 1 + m 2
Garis singgung melalui titik S (25, 2)
y − 6 = m( x − 5) ± 4 1 + m 2 ⇒
2 − 6 = m(25 − 5 ) ± 4 1 + m 2
⇒
− 4 = 20m ± 4 1 + m2
⇒
− 1 = 5m ± 1 + m2
⇒
⇒
± 1 + m 2 = 5m + 1
1 + m 2 = 25m 2 + 10 m + 1
⇒ 24m 2 + 10m = 0
⇒ m(24m + 10 ) = 0
⇒
m = 0 atau m = −
10
5
=−
24
12
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S (25, 2) adalah: y − 2 = m(x − 25)
Untuk m = 0 ⇒
y − 2 = 0( x − 25)
⇒ y−2= 0
⇒
y=2
5
5
Untuk m = − ⇒
y − 2 = − ( x − 25 )
12
12
5
125
⇒
y −2 = − x+
12
12
⇒
12 y − 24 = −5 x + 125
⇒ 5 x + 12 y − 149 = 0
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luar L1 dan L2 adalah:
y=2
dan
5 x + 12 y − 149 = 0
www.matikzone.wordpress.com
Soal Ketiga:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar lingkaran L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5
2
dan L2 ≡ x −
2
12
6
+ y + = 5.
5
5
Jawab:
L1 ≡ ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R =
2
2
2
5
2
6
6
12
12
L2 ≡ x − + y + = 5 mempunyai pusat Q , − dan jari- jari r =
5
5
5
5
5
Hubungan dua lingkaran
2
2
64 256
320
16
12 6
PQ = − 4 + − − 2 =
+
=
=
= 1,79
25 25
25
5
5
5
0 < 1,79 < 4,47
R + r = 5 + 5 = 2 5 = 4,47
R − r < PQ < R + r
R −r = 5 − 5 = 0
Maka L1 dan L2 berpotontan di dua titik, tidak mempunyai garis singgung sekutu
dalam, hanya mempunyai garis singgung sekutu luar.
Untuk R = r (jari- jari kedua lingkaran sama, yaitu
PQ.
m gs = mPQ
5 ), kedua garis singgung sejajar
6
16
− −2 −
16
=
= 5
= 5 = =2
8
xQ − x P 12 − 4
8
−
5
5
yQ − y P
Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2.
Persamaan garis singgung L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 (dipilih L1) dengan gradien 2
adalah:
y − 2 = 2(x − 4) ± 5 1 + 2 2 ⇒
⇒
⇒
y = 2 + 2x − 8 ± 5
y = 2x − 6 ± 5
y = 2 x − 11
atau
y = 2x −1
www.matikzone.wordpress.com
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luar L1 dan L2 adalah:
y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 .
y = 2x −1
y = 2 x − 11
P
L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 ) 2 = 5
Q
2
2
6
12
L2 ≡ x − + y + = 5
5
5
Soal Keempat:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam antara lingkaran
L1 ≡ ( x − 1) + ( y − 1) = 9 dan L2 ≡ (x − 6 ) + ( y − 1) = 4 .
2
2
2
2
Jawab:
www.matikzone.wordpress.com
L1 ≡ ( x − 1) + ( y − 1) = 9 mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3
2
2
L2 ≡ (x − 6 ) + ( y − 1) = 4 mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2
2
2
Hubungan dua lingkaran
PQ =
(6 − 1)2 + (1− 1)2
R + r = 3+ 2 = 5
R − r = 3−2 =1
= 25 = 5
R + r = PQ
R − r < PQ
Maka L1 dan L2 bersinggungan luar, mempunyai satu garis singgung sekutu dalam
dan dua garis singgung sekutu luar.
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
(x − 1) 2 + ( y − 1)2 = 9
(x − 6) 2 + ( y − 1) 2 = 4
( x − 1)2 − ( x − 6) 2 = 5
−
x 2 − 2 x + 1 − x 2 + 12 x − 35 = 5
10 x = 40
x=4
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
Cara 2:
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Titik singgung sekutu dua lingkaran adalah E
,
R+r
R+ r
18 + 2 3 + 2
E
,
= E (4, 1)
3+ 2 3 + 2
=
E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat
ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita
cari menggunakan lingkaran pertama.
www.matikzone.wordpress.com
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b )( y − b ) = r 2 ⇒ (4 − 1)( x − 1) + (1 − 1)( y − 1) = 9
⇒
3( x − 1) = 9
⇒
⇒
⇒
3x − 3 = 9
3 x = 12
x=4
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
E. Kesimpulan
Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan koordinat titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan
persamaan garis singgung sekutunya dengan cara “Menentukan persamaan garis
singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran”. Jika jari-jari kedua lingkaran sama,
maka persamaan garis singgung sekutu luar ditentukan denga n persamaan garis
singgung lingkaran jika diketahui gradiennya, dengan gradien garis singgung sama
dengan gradien garis PQ. Pada dua lingkaran yang bersinggungan luar dan
bersinggungan dalam, ditemukan titik singgung sekutu, sehingga persamaan garis
singgung dapat ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik
pada lingkaran.
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran
bisa menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis
singgung terlebih dulu. Dipilih cara mana yang lebih mudah. Karena terdapat dua
buah lingkaran, maka dapat dipilih salah satu lingkaran untuk menentukan persamaan
garis singgung sekutunya.
F. Bahan Bacaan
Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk kelas VIII
SMP/MTs. Jakarta. BSE Depdiknas.
Departemen Matematika Technos. –tanpa tahun-. Teori Ringkas Matematika.
Surabaya. Litbang LP3T Technos.
Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap Pintar Matematika (Bilingual). Jakarta.
Cerdas Pustaka Publisher.
Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA.
Jakarta. Grafindo Media Pratama.
www.matikzone.wordpress.com
Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic
Publisher and Distributors. (PDF File)
Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia.
Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung.
Erlangga.
No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)
G. Aplikasi Pendukung
• Microsoft Office Word 2007
• Goegebra Portable 4.2
• Geogebra Setup 3.0 (http://www.geogebra.org)
Simak juga:
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar dan
masalah tentangnya…. tentunya di www.matikzone.wordpress.com
www.matikzone.wordpress.com
Tabel Banyak Garis Singgung Sekutu (GSS) Dua Lingkaran
No
Banyak
GSS
Hubungan 2
Lingkaran
D
L
1
E
2
Cara menentukan persamaan GSS
2
Dalam (D)
Luar (L)
Menentukan titik potong kedua
Garis Singgung kemudian
mencari PGS melalui titik di
luar lingkaran. Titik potong:
Menentukan titik potong kedua
Garis Singgung kemudian
mencari PGS melalui titik di
luar lingkaran. Titik potong:
Rx Q + rx P RyQ + ryP
E
,
R+ r
R+ r
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S
,
R−r
R− r
Jika jari-jari lingkaran sama mk
Dengan:
S
m gs = mPQ =
L1: Pusat P , jari-jari R
L2: Pusat Q, jari-jari r
Saling Asing Luar
yQ − yP
xQ − xP
PGS ditentukan dengan rumus
PGS jika diketahui gradiennya.
Cara 1:
2
PGS ≡ L1 − L2 = 0
1
2
Cara 2:
Menentukan titik singgung
sekutu
Rx Q + rx P RyQ + ryP
E
,
R+ r
R+ r
Bersinggungan Luar
-- Sda --
, kemudian gunakan PGS
melalui titik pada lingkaran.
3
0
2
-
-- Sda --
Berpotongan
Cara 1:
PGS ≡ L1 − L2 = 0
4
0
Bersinggungan
Dalam
1
-
Cara 2:
Menentukan titik singgung
sekutu
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
S
,
R−r
R− r
, kemudian gunakan PGS
melalui titik pada lingkaran.
www.matikzone.wordpress.com