Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

  Topik dalam Teorema dasar

  

  Teorema dasar kalkulus

  Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

  Langsung ke:

   Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua

  operasi pusat (differentiation) da

  

  Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut

  

  sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan

  

  bahwa sebuahpat dibalikkan

   menggunakan pendiferensialan.

  Pengintegralan dengan:

  Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema

  

  dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung

  ebuah fungsi menggunakan salah satu

  dari banyagian teorema ini memiliki

  

  aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu. Penyataan yang pertama kali dipublikasikan danri versi terbatas

  

  teorema dasar ini diberikan ole membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow,

  enyelesaikan perkembangan dari teori matematika di

  sekitarnya.ensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

  

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus

Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

  Daftar isi

  

  

   o

   o

  

   

    

  

  

  

   Intuisi

  Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan

  uatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.

  Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel. Dalam

  erlihat bahwa:

  Dengan logika di atas, sebuah perubahan x (atau Δx) adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal dx. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengijinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sb\ ebuah integral untuk memulihkan turunan semula.

   Pernyataan formal

  Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bagian pertama berkutat pada turunan sebuaedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan da

   Bagian pertama Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.

  Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebua

  

a, b]. Misalkan juga F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua x pada [a,

b], dengan

  Maka F adalah kontinu pada [a, b], terdiferensialkan (differentiable) pada interval terbuka (a, b), dan untuk semua x pada (a, b)

   Bagian kedua Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua.

  Misalkan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada

  ri f, yakni salah satu dari fungsi-

  fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua x pada [a, b], Maka

   Korolari

  Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuaa,

  b]. Misalkan juga F adalah sebuah fungsi yang untuk semua x pada [a, b],

  Maka untuk semua x pada [a, b], dan

   Contoh

  Misalkan kita perlu menghitung

2 Di sini, f(x) = x dan kita dapat menggunakan sebagai antiturunan.

  Sehingga: Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung

3 Di sini, f(t) = t dan kita dapat menggunakan sebagai antiturunan. Sehingga:

  Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:

   Pembuktian bagian pertama

  Andaikan Misalkan terdapat dua bilangan x dan x + Δx pada [a, b]. Sehingga didapatkan

  1

  1 dan Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan Bisa ditunjukan bahwa

  (Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.) Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga Menurutuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x , x + Δx]

  1

  1

  sehingga Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

  Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah Newton untuk F pada x 1 .

  Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan: Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x .

  1 Untuk mencari limit lainnya, kita gunakanc ada pada interval [x , x + Δx],

  1

  1

  sehingga x

  1 ≤ c ≤ x 1 + Δx.

  Juga, dan Sehingga menurut teori apit, Substitusikan ke (3), kita dapatkan Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan yang menyelesaikan pembuktian

  (Leithold dkk., 1996)

  Misalnya f kontinu pada interval [a, b], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan

  Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan

  x , ..., x 1 n

  sehingga Maka Sekarang kita tambahkan setiap F(x ) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive),

  i

  sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama: Kuantitas di atas dapat ditulis sebagai penjumalhan berikut: Kemudan kita akan menggunakaninyatakan dengan singkat, Misalkan F kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat c pada (a, b) yang Sehingga Fungsi F terdiferensialkan pada interval [a, b]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval x . Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,

  i-1

  Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan

  Asumsi ini mengimplikasikan F'(c i ) = f(c i ). Juga, x i − x i − 1 dapat diekspresikan sebagai Δx dari partisi i.

  Deret yang konvergen dari penjumlahan Riemann. Angka pada kanan atas adalah luas dari persegi panjang abu-abu. Ia konvergen ke intergal fungsi tersebut. Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, denganerupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa Δx i tidak perlulah sama untuk setiap nilai i, atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan n persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya. Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan

  akni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal

  ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga. Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bagian sisi kiri tetaplah F(b) - F(a). yang menyelesaikan pembuktian.

   Perampatan

  Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsida [a, b] dan x adalah bilangan pada [a, b] sehingga f kontinu pada x , maka terdiferensialkan untuk x = x dengan F'(x ) = f(x ). Kita dapat melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan

  n F'(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.

  Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya). Versi andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan f: U → C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan

  pat

  dihitung sebagai Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalahn berorientasi dan ω adalah sebuah bentuk

  1 n−1, yaknida M kelas C . Jika ∂M

  menandakanerinduksinya, maka

  Di sini adalahng hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold. Teorema ini seringkali digunakan dalam situasi ketika M adalah submanifold berorientasi terbenam (embedded oriented submanifold) dari manifold yang lebih besar di mana bentuk ω didefinisikan

   Lihat pula 

   Catatan kaki

  1. ngan limit atas variabel dan limit bawah sembarang. Jenis integral tertentu ini mengijinkan kita menghitung satu dari banyak didefinisikan oleh kebanyakan penulis sebagai sebuah operasi yang menghasilkan salah satu antiturunan sembarang sebuah fungsi, meliputi yang tidak nol. 2. ee, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes

  in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America,

   Referensi Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable.

   7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002. Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York:

   HarperCollins College Publishers. Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).

   Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus:  early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole. Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume  (London, 1939)

   Pranala luar

  

   