Materi Pemrograman Linier

Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dual Problem
Inverse

dari LP (Primal)
Bukan lagi masalah optimal bagi peubah
keputusan
Masalah optimal bagi sumber daya
Untuk mempelajari efek perubahanperubahan koefisien dan ketersediaan
sumber daya pada hasil optimal
Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’
dan menjadi aset: konsep “shadow price”
Bagaimana memanfaatkan aset tersebut
dengan optimal
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Menentukan Dual Problem dari
suatu LP (Primal)
LP

semula dinamakan Primal Problem
Jika Primal kasus max → Dual kasus min
Jika Primal kasus min → Dual kasus max
Dibedakan dari tipe permasalahan
◦ Masalah max yang normal: semua peubah non
negatif dan semua kendala ≤
◦ Masalah min yang normal: semua peubah non
negatif dan semua kendala ≥

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Secara Umum


Primal

◦ Normal
Max

max z c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
s.t. a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn b2
.
.
.
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm
x j 0, ( j 1,...,n )



Dual:
◦ Normal min
◦ Invers dari
Primal
◦ Dengan setiap
peubah

mewakili setiap
kendala

min w b1 y1  b2 y2  ...  bm ym
s.t. a11 y1  a21 y2  ...  am1 ym c1
a12 y1  a22 y2  ...  am 2 ym c2
.
.
.
a1n y1  a2 n y2  ...  amn ym cn
yi 0, (i 1,..., m)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs
Dual
Primal: max z
Dual: min w
(x1≥0) (x2≥0) … (xn≥0)
 
x1

x2
xn
…
 
a11
a12
a1n
…
≤b1
(y1≥0) y1
a21
a22
a2n
…
≤b2
(y2≥0) y2
…
 
 
…

…
…
…
(ym≥0) ym
am1
am2
amn
≤bm
…
 
≥c
≥c
≥c
…
 
1

Kendala dual ke-j
bersesuaian
dengan peubah

primal ke-j

2

n

Peubah dual ke-i
bersesuaian
dengan kendala
primal keDR.-iRahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh LP Dakota sebagai Primal

max z 60 x1  30 x2  20 x3
s.t. 8 x1  6 x2  x3

48 (bahan kayu)

4 x1  2 x2  1.5 x3 20 (jam finishing)
2 x1  1.5 x2  0.5 x3 8 (jam carpentry)

x1 , x2 , x3 0
x1: jumlah
bangku
x2: jumlah meja
x3: jumlah kursi
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah
Dakota
Seolah-olah

Dakota akan menjual seluruh sumber daya
(aset) nya, kepada pihak lain.
Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya
◦Kayu dengan harga y1
◦Jam finishing dengan harga y2
◦Jam carpentry dengan harga y3
Fungsi

obyektif adalah minimum total biaya yang harus

dikeluarkan oleh pihak pembeli aset
◦Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y 1)
◦Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y 2)
◦Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y 3)

min w 48 y1  20 y2  8 y3
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Masalah
Dakota
Kendala

pada Dual: ‘konsep opportunity cost’,
Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan
bangku lebih besar daripada harga bangku
Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan
meja lebih besar daripada harga meja
Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan
kursi lebih besar daripada harga kursi

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

max z 60 x1  30 x2  20 x3
s.t. 8 x1  6 x2  x3

48 (bahan kayu)

4 x1  2 x2  1.5 x3 20 (jam finishing)
2 x1  1.5 x2  0.5 x3 8 (jam carpentry)
x1 , x2 , x3 0

x1: jumlah
bangku
x2: jumlah meja
x3: jumlah kursi

Harga setiap aset/sumber daya adalah yi ,i=1,
2, 3
Produk

Bangku
Meja
Kursi

Nilai Jual Aset
Yang dipakai
untuk
produksi

Harga produk

8 y1  4 y2  2 y3

60

6 y1  2 y2  1.5 y3

30
20

y1  1.5 y2  0.5 y3

8 y1  4 y2  2 y3 60
6 y1  2 y2  1.5 y3 30
y1  1.5 y2  0.5 y3 20
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Primal vs
Dual Dakota Problem
Dual: min
w
 
y1
(y1≥0
y2
)
(y2≥0 ym
)
(y3≥0
) Dual
 

Primal: max z
(x1≥0 (x2≥0 (x3≥0
)
)
)
 
x1
x2
x3
8
6
1
≤48
4
2
1.5 ≤20
2
1.5 ≥20
0.5 ≤8
≥60
≥30
 
min w 48 y1  20 y2  8 y3
s.t.8 y1  4 y2  2 y3 60
6 y1  2 y2  1.5 y3 30
y1  1.5 y2  0.5 y3 20
y1 , y2 , y3 0

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Primal Pada Diet Problem
min z 50 x1  20 x2  30 x3  80 x4
s.t.

400x1  200x2  150x3  500x4 500
3x1  2 x2 6

2 x1  2 x2  4 x3  4 x4 10
2 x1  4 x2  x3  5 x4 8

(Calorie
constraint)
(Chocolate
constraint)
(Sugar constraint)
(Fat constraint)

x1 , x2 , x3 , x4 0

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Dual untuk Diet Problem
Pada

primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus

dibeli
◦ Memenuhi kebutuhan nutrisi
◦ Dengan biaya minimum
Pada

dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi:

◦ Kalori, coklat, gula dan lemak
◦ Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal
Nutrisi

tersebut adalah aset yang kita jual

◦ Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan
maksimum
Kendala

dari sudut pandang calon pembeli:

◦ Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus
lebih murah daripada harga makanan masing-masing
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

min z 50 x1  20 x2  30 x3  80 x4

s.t. 400x1  200x2  150x3  500x4 500 (Calorie
constraint)
3x1  2 x2 6
(Chocolate
constraint)
2 x1  2 x2  4 x3  4 x4 10
(Sugar constraint)
2 x1  4 x2  x3  5 x4 8
x1 , x2 , x3 , x4 0

x1:
x2:
x3:
x4:

jumlah
jumlah
jumlah
jumlah

y1:
y2:
y3:
y4:

harga
harga
harga
harga

Brownie
Ice Cream
Soda
Cheesecake

per
per
per
per

unit
unit
unit
unit

(Fat constraint)

Makanan

Nilai Jual
Nutrisi

Brownie

400 y1  3 y2  2 y3  2 x4

50

200 y1  2 y2  2 y3  4 x4

20

150 y1  4 y3  x4

30

500 y1  4 y3  5 x4

80

Ice cream

kalori Soda
coklat Cheesecake
gula
lemak

Harga
makanan

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

400 y1  3 y2  2 y3  2 y4 50
200 y1  2 y2  2 y3  4 y4 20
150 y1  4 y3  y4 30

Kendala dari sudut
pandang pembeli koleksi
nutrisi kita

500 y1  4 y3  5 y4 80

Tujuan penjualan
nutrisi?
Pendapatan maksimum:
- Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali
harga setiap unit nutrisi

max w 500 y1  6 y2  10 y3  8 y4

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dalam bentuk Tabel Dual vs
Primal Diet Problem
Dual: max
w
 
(y1≥0)
(y2≥0)
(y3≥0)
 

y1
y2
ym

Primal: min z
(x1≥0 (x2≥0 (x3≥0 (x4≥0
)
)
)
)
 
X1
x2
x3
x4
400 200 150 500 ≥500
3
2
0
0
≥6
2
2
4
4
≥10
2
4
1
5
≥8
≤50 ≤20 ≤30 ≤80 
max w 500 y1  6 y2  10 y3  8 y4

s.t.

400 y1  3 y2  2 y3  2 y4 50

200 y1  2 y2  2 y3  4 y4 20
150 y1  4 y3  y4 30
500 y1  4 y3  5 y4 80
y1 , y2 , y3 , y4 0

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Weak
Duality)
max z c1 x1  c2 x2  ...  cn xn

min w b1 y1  b2 y2  ...  bm ym

s.t. a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1

s.t. a11 y1  a21 y2  ...  am1 ym c1

a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn b2

a12 y1  a22 y2  ...  am 2 ym c2

.
.
.
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm
x j 0, ( j 1,...,n )

 x1 
x 
Solusi
2
feasibel dari x  
 ... 
primal:
 
 xn 

.
.
.
a1n y1  a2 n y2  ...  amn ym cn
yi 0, (i 1,..., m)

Solusi
feasibel dari y  y1
dual:

y2 ...

ym 

z untuk x w untuk y
cx yb
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh Weak Duality pada
Dakota Problem
max z 60 x1  30 x2  20 x3
s.t. 8 x1  6 x2  x3

48 (bahan kayu)

4 x1  2 x2  1.5 x3 20 (jam finishing)
2 x1  1.5 x2  0.5 x3 8 (jam carpentry)

1
x 1

1

Solusi
feasibel dari
primal.

x1 , x2 , x3 0

Dengan nilai
z:

z 601  301  201 110

z 110

w

Tidak ada solusi dual
feasibel dengan w680

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Dual (Strong Duality)
Solusi
optimal dari
primal:

 x1 
x 
x  2 
 ... 
 
 xn 

Solusi
optimal dari y  y1
dual:

y2 ...

Maka akan berlaku:max z min w

cx yb
Jika BV adalah basis optimal bagi primal
maka solusi optimal dari dual adalah:

y c BV B  1
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

ym 

Solusi Dual Dakota Problem
berdasarkan Teorema Dual:
BV  s1 , x3 , x1

Basis optimal bagi
primal

c BV  0 20 60

2
 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

y c BV B  1  0 10 10
Solusi optimal bagi
dual:

y1 0, y2 10, y3 10
w 48 0  2010  810 280

Harga setiap aset/sumber daya
adalah:
-Kayu (y1) seharga $0
-Jam finishing (y2) seharga $10

Dengan harga jual
aset: $280
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Membaca Solusi Dual dari
Optimal Tableau
 Solusi

dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal
(Primal)
 Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min
 Karena peubah dual mewakili kendala dual:
◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala (≤, ≥, =)

PRIMAL kasus
MAX

Tanda
pada
kendala

Solusi Dual ke-i
dari baris nol
tableau optimal

PRIMAL kasus
MIN
Tanda
Solusi Dual dari
pada
kendala

baris nol tableau
optimal

≤

Koefisien si

≤

Koefisien si

≥

(-) Koefisien ei

≥

(-) Koefisien ei

=

Koefisien ai - M

=

Koefisien ai + M
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Dakota’s
Problem


Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤



Solusi dual (yi, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala



Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah
koefisien si, i=1, 2, 3

Tablea
u2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

Baris 0

1

0

5

0

0

10

10

Baris 1
Baris 2
Baris 3

0
0
0

0
0
1

-2
-2
1.25

0
1
0

1
0
0

2
2
-0.5

-8
-4
1.5

 y1

y2

y3   0 10 10

Harga setiap aset/sumber daya
adalah:
-Kayu (y1) seharga $0
-Jam finishing (y2) seharga $10
- Jam carpentry (y3) seharga $10

rhs

BV
z=28
280
0
s1=2
24
4
8
x3=8
2
x1=2

min w max z 280

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tableau Optimal Diet’s
Problem



Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥



Solusi dual (yi, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala



Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-)
koefisien ei, i=1, 2, 3, 4

 y1
z
Baris
1
Baris
2
Baris
3
Baris
4

y2

y3

y4   0 2.5 7.5 0

x1
x2
1 -2,75

x3

x4

e1

0

0

-50

0 -0,25

0

1

1

0 3,75

0

0

0

a2
a3
a4
rhs
02,5-M 7,5-M 7,5-M
90

0 0,25 -0,25

0

0 -0,25 0,25

0

-4
0 -1,75 -0,25
1
0 495,6
-46,6 36,4
aset
nutrisi1 126,2
adalah:

0 1,75 0,25

-1

0
-1 setiap
0
Harga
-Kalori (y1) seharga $0
0 1,5
1
0
0
0
-Coklat (y2) seharga $2.5
- Gula (y3) seharga $7.5
-Lemak (y4) seharga $0

-0,5

0

a1

BV
z=90
x3=1
1 e4=5
e1=4
5
32
x2=3
432

e2
e3
e4
0 -2,5 -7,5

0

-1 126,2 46,6 -36,4

max w min z 90
0

0,5

0

Dengan harga jual
maksimum $90

0

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

3

Konsep Shadow Prices (Harga
Bayangan)
 Shadow

Price kendala ke-i suatu LP:
◦ Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai
optimal z jika jumlah sumber daya
(koefisien rhs) bertambah satu unit
 Dapat dianalisis dari konsep dual
max z baru max z lama  Δbi  harga bayangan kendala ke - i 
min z baru min z lama  Δbi  harga bayangan kendala ke - i 

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Shadow Price dari
Dakota’s Problem
 Nilai

optimal keuntungan
max z 280

 Diperoleh

pada ketersediaan:
 48 unit kayu
 20 jam finishing
 8 jam carpentry

Dari dual:
 Setiap unit kayu berharga $0
 Setiap jam finishing berharga $10
 Setiap jam carpentry berharga $10
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Nilai

optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual:

max z 48 y1  20 y2  8 y3
48 0  2010  810 280
Harga

bayangan finishing hour adalah:
Perbaikan (penambahan) nilai z ketika
persediaan finishing hour bertambah 1 jam

b2 20  b1 21
max z 48 y1  20 y2  8 y3

max z ' 48 y1  21y2  8 y3
48 0  2110  810 290

Perbaikan z
sebesar y2 =
$10: Shadow
Price
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

optimal peubah dual ke- i adalah
shadow price dari kendala ke- i masalah Primal

 Solusi

max z baru max z lama  Δbi yi
Δb i 1

max z lama - max z baru  yi

 Harga

bayangan kayu adalah:
 Perbaikan (penambahan) nilai z ketika
persediaan kayu bertambah 1 unit
y1 $0

 Harga

bayangan carpentry hour adalah:
 Perbaikan (penambahan) nilai z ketika
persediaan carpentry hour bertambah 1
jam
y3 $10
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Konsep Complementary
Slackness

Dengan logika:
 Sumber daya yang habis terpakai ( si atau ei =0),
pasti sangat berharga
 Penambahan satu unit dari sumber daya tsb akan
menaikkan nilai z (harga bayangan yi>0)
daya yang tidak habis terpakai ( si atau ei
>0), dianggap tidak berharga (harga bayangan
yi=0)

 Sumber

◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan
menaikkan nilai z

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Teorema Complementary
Slackness
Peubah
primal

1
x 1

1

Peubah
Dual

y  y1

y2 ...

ym 

x

akan primal optimal dan y akan dual
optimal jika dan hanya jika:
si yi 0(i 1,..., m)
e j x j 0( j 1,..., n)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dari Dakota’s Problem
BFS : x1 2, x2 0, x3 8, s1 24, s2 s3 0, z 280
Kayu

bersisa 24 unit
Finishing hour habis terpakai → penambahan akan
meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi 
Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan
meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi
Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price
Tambahan kayu, $0
Tambahan finishing hour $10
Tambahan carpentry hour $10

si

yi

si yi 0(i 1,..., m)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc