Materi Pemrograman Linier
Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Kasus Khusus (Special Case) LP
Jumlah solusi optimal yang lebih
dari satu (alternative or multiple
optimal solutions)
2. Tidak ada solusi feasibel
(infeasible LP)
3. LP yang tidak terbatas
(unbounded): ada titik di dalam
daerah feasibel dengan nilai z
→∞ (untuk kasus maks)
1.
LP dengan Multiple optimal
Solution
max z 3x1 2 x2
s.t.
1
40
x1 601 x2 1
(AB)
1
50
x1 501 x2 1
(CD)
x1 0, x2 0
Isoprofit line:
z 3x1 2 x2 60
(20,0); (0,30)
Z=6
0
LP dengan Multiple optimal
Solution
Titik sepanjang
garis AE terkena
isoprofit line paling
akhir
Titik sepanjang
garis AE adalah
solusi optimal
Isoprofit line sejajar
dengan AB: salah
satu garis kendala
(constraint)
Z=6
0
Infeasible LP
max z 3x1 2 x2
s.t.
1
40
x1 601 x2 1
(AB)
1
50
x1 501 x2 1
(CD)
x1 30
(F)
x2 20
(H)
x1 0, x2 0
Tidak ada
himpunan titik
yang memenuhi
semua kendala
Tidak terbentuk daerah
feasibel
Unbounded LP
max z 2 x1 x2
s.t. x1 x2 1
(AB)
2 x1 x2 6
(CD)
x1 0, x2 0
Isoprofit line:
z 2 x1 x2 4
( 2,0); (0, 4)
Tidak ada batas bagi isoprofit line di
dalam daerah feasibel, Z→∞
Contoh LP: Diet Problem
Aturan
diet (yang aneh) hanya boleh
mengkonsumsi
◦ Brownies, Ice cream, soda, cheesecake
Setiap
jenis makanan ada harga tertentu
per unit
Ingin dipenuhi kebutuhan harian: kalori,
coklat, gula dan lemak harian, dari
asupan ke-empat jenis makanan tersebut
Ingin diputuskan, berapa konsumsi setiap
jenis makanan tsb per hari,
◦ Sesuai kebutuhan
◦ Biaya minimum
Tabel untuk Diet Problem
Coklat
Kalori (ons)
Gula
(ons)
Lemak
(ons)
Harga
(cent)
Brownies/potong
400
3
2
2
50
Chocolate Ice
cream/sendok
Soda/botol
200
150
2
0
2
4
4
1
20
30
500
0
4
5
80
500
6
10
8
Cheesecake/potong
Minimum Kebutuhan
harian
Apa peubah
keputusanny
a?
x1 :# Brownie/ha ri
x2 :# Chocolate Ice Cream/hari
x3 :# Soda/hari
x2 :# Cheesecake /hari
Apa fungsi obyektif? Meminimumkan
biaya membeli makanan
Harga (cent)
X1: #potong
Brownies
50
X2: #sendok
Ice cream
20
X3: #botol
Soda
30
X4: #potong
cheesecake
80
min z 50 x1 20 x2 30 x3 80 x4
Apa fungsi kendala? Kebutuhan minimum harian
setiap nutrisi (kalori, coklat, gula dan lemak)
Kalori
X1: #potong
Brownies
400
X2: #sendok
Ice cream
200
X3: #botol X4: #potong Kebutuhan
Soda
cheesecake minimum
150
500
500
400 x1 200 x2 150 x3 500 x4 500
Coklat(ons)
3
2
3x1 2 x2 6
0
0
6
Gula(ons)
X1: #potong
Brownies
2
X2: #sendok
Ice cream
2
X3: #botol X4: #potong Kebutuhan
Soda
cheesecake minimum
4
4
10
2 x1 2 x2 4 x3 4 x4 10
Lemak(ons)
2
4
1
5
2 x1 4 x2 x3 5 x4 8
Batasan tanda bagi peubah keputusan? Jumlah
makanan yang dikonsumsi: harus non negatif
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
LP untuk Diet Problem
min z 50 x1 20 x2 30 x3 80 x4
s.t.
400 x1 200 x2 150 x3 500 x4 500
3x1 2 x2 6
2 x1 2 x2 4 x3 4 x4 10
2 x1 4 x2 x3 5 x4 8
x1 , x2 , x3 , x4 0
LP dengan lebih dari 2
peubah keputusan. Metode
Grafis tidak dapat
digunakan.
Contoh LP: Penjadwalan
(Schedulling)
Sebuah
kantor pos, membutuhkan
karyawan full time dengan jumlah yang
berbeda setiap hari dalam satu minggu.
Aturan serikat kerja:
◦ Setiap karyawan full time: 5 hari berturutturut bekerja, 2 hari libur.
◦ Mis: bekerja Senin – Jumat, Sabtu dan
Minggu libur
Masalah
penjadwalan: minimum jumlah
karyawan yang sesuai kebutuhan,
tanpa melanggar aturan serikat pekerja
Tabel Kebutuhan Karyawan
Kantor Pos per hari
Hari ke-1 Senin
Hari ke-2 Selasa
Hari ke-3 Rabu
Hari ke-4 Kamis
Hari ke-5 Jumat
Hari ke-6 Sabtu
Hari ke-7 Minggu
Apa peubah
keputusanny
a?
#Karyawan full time yang
diperlukan
17
13
15
19
14
16
11
xi , i 1,...,7
Jumlah karyawan yang memulai
bekerja pada hari ke- i
Senin
Senin
Selasa On
Bekerja Rabu On
pada Kamis On
hari Jumat On
Sabtu
Minggu On
Selasa
Of
On
On
On
On
Of
Of
Jika
X1
Bekerja Mulai Hari
Rabu
Kamis Jumat
Of
On
On
Of Of
On
On Of
Of
On On
Of
On
On
On
On
On
On
Of
On
On
On
X2
X3
On
X4
Sabtu
On
On
On
Of
Of
Minggu
On
On
On
On
Of
On
On
On
X5
X6
Of
X7
xi , i 1,...,7 Jumlah karyawan yang memulai
bekerja pada hari ke- i
Kendala jumlah kebutuhan karyawan per
hari:
x1
x4 x5 x6 x7 17
Senin:
Selasa:
x1 x2
x5 x6 x7 13
Rabu:
x1 x2 x3
Kamis:
x1 x2 x3 x4
x6 x7 15
x7 19
#KYW
17
13
15
19
14
16
11
Jumat:
Sabtu:
Minggu:
x1 x2 x3 x4 x5
x2 x3 x4 x5 x6
14
16
x3 x4 x5 x6 x7 11
Fungsi obyektif? Meminimumkan jumlah
karyawan
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Batasan tanda? Jumlah karyawan non
negatif
xi 0, i 1,...,7
LP Masalah Penjadwalan
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
s.t:
x1
x4 x5 x6 x7 17
x1 x2
x5 x6 x7 13
x1 x2 x3
x6 x7 15
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4 x5
x2 x3 x4 x5 x6
x7 19
14
16
x3 x4 x5 x6 x7 11
xi 0, i 1,...,7
LP lebih dari satu peubah, metode grafis
tidak sesuai
Harus diselesaikan dengan Metode
Simpleks
Latihan Soal
Tentukan termasuk kasus manakah
masalah LP berikut:
1. Max z = x1+x2
s.t
x1+x2≤ 4
x1-x2 ≥5
x1, x2 ≥ 0
2. Max z=4x1+x2
s.t
8x1+2x2≤ 16
5x1+2x2≤ 12
x1, x2 ≥ 0
3. Petani Joni memiliki 45 are
tanah. Dia Akan menanami
tanahnya tersebut dengan gandum
atau jagung. Setiap are tanah yang
ditanami gandum menghasilkan
keuntungan sebesar 200 dollar,
dan setiap are tanah yang
ditanami jagung menghasilkan
keuntungan 300 dollar. Tenaga
kerja dan pupuk yang digunakan
setiap are tanah ada pada Tabel
Tenaga
Kerja
Pupuk
Gandum
Jagung
3 tenaga kerja
2 Tenaga
Kerja
2 ton
4 Ton
Tersedia 100 tenaga kerja dan
120 ton pupuk. Gunakan
pemrograman linier untuk
menentukan bagaimana Pak
Joni dapat memaksimumkan
keuntungan dari tanahnya
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Kasus Khusus (Special Case) LP
Jumlah solusi optimal yang lebih
dari satu (alternative or multiple
optimal solutions)
2. Tidak ada solusi feasibel
(infeasible LP)
3. LP yang tidak terbatas
(unbounded): ada titik di dalam
daerah feasibel dengan nilai z
→∞ (untuk kasus maks)
1.
LP dengan Multiple optimal
Solution
max z 3x1 2 x2
s.t.
1
40
x1 601 x2 1
(AB)
1
50
x1 501 x2 1
(CD)
x1 0, x2 0
Isoprofit line:
z 3x1 2 x2 60
(20,0); (0,30)
Z=6
0
LP dengan Multiple optimal
Solution
Titik sepanjang
garis AE terkena
isoprofit line paling
akhir
Titik sepanjang
garis AE adalah
solusi optimal
Isoprofit line sejajar
dengan AB: salah
satu garis kendala
(constraint)
Z=6
0
Infeasible LP
max z 3x1 2 x2
s.t.
1
40
x1 601 x2 1
(AB)
1
50
x1 501 x2 1
(CD)
x1 30
(F)
x2 20
(H)
x1 0, x2 0
Tidak ada
himpunan titik
yang memenuhi
semua kendala
Tidak terbentuk daerah
feasibel
Unbounded LP
max z 2 x1 x2
s.t. x1 x2 1
(AB)
2 x1 x2 6
(CD)
x1 0, x2 0
Isoprofit line:
z 2 x1 x2 4
( 2,0); (0, 4)
Tidak ada batas bagi isoprofit line di
dalam daerah feasibel, Z→∞
Contoh LP: Diet Problem
Aturan
diet (yang aneh) hanya boleh
mengkonsumsi
◦ Brownies, Ice cream, soda, cheesecake
Setiap
jenis makanan ada harga tertentu
per unit
Ingin dipenuhi kebutuhan harian: kalori,
coklat, gula dan lemak harian, dari
asupan ke-empat jenis makanan tersebut
Ingin diputuskan, berapa konsumsi setiap
jenis makanan tsb per hari,
◦ Sesuai kebutuhan
◦ Biaya minimum
Tabel untuk Diet Problem
Coklat
Kalori (ons)
Gula
(ons)
Lemak
(ons)
Harga
(cent)
Brownies/potong
400
3
2
2
50
Chocolate Ice
cream/sendok
Soda/botol
200
150
2
0
2
4
4
1
20
30
500
0
4
5
80
500
6
10
8
Cheesecake/potong
Minimum Kebutuhan
harian
Apa peubah
keputusanny
a?
x1 :# Brownie/ha ri
x2 :# Chocolate Ice Cream/hari
x3 :# Soda/hari
x2 :# Cheesecake /hari
Apa fungsi obyektif? Meminimumkan
biaya membeli makanan
Harga (cent)
X1: #potong
Brownies
50
X2: #sendok
Ice cream
20
X3: #botol
Soda
30
X4: #potong
cheesecake
80
min z 50 x1 20 x2 30 x3 80 x4
Apa fungsi kendala? Kebutuhan minimum harian
setiap nutrisi (kalori, coklat, gula dan lemak)
Kalori
X1: #potong
Brownies
400
X2: #sendok
Ice cream
200
X3: #botol X4: #potong Kebutuhan
Soda
cheesecake minimum
150
500
500
400 x1 200 x2 150 x3 500 x4 500
Coklat(ons)
3
2
3x1 2 x2 6
0
0
6
Gula(ons)
X1: #potong
Brownies
2
X2: #sendok
Ice cream
2
X3: #botol X4: #potong Kebutuhan
Soda
cheesecake minimum
4
4
10
2 x1 2 x2 4 x3 4 x4 10
Lemak(ons)
2
4
1
5
2 x1 4 x2 x3 5 x4 8
Batasan tanda bagi peubah keputusan? Jumlah
makanan yang dikonsumsi: harus non negatif
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
LP untuk Diet Problem
min z 50 x1 20 x2 30 x3 80 x4
s.t.
400 x1 200 x2 150 x3 500 x4 500
3x1 2 x2 6
2 x1 2 x2 4 x3 4 x4 10
2 x1 4 x2 x3 5 x4 8
x1 , x2 , x3 , x4 0
LP dengan lebih dari 2
peubah keputusan. Metode
Grafis tidak dapat
digunakan.
Contoh LP: Penjadwalan
(Schedulling)
Sebuah
kantor pos, membutuhkan
karyawan full time dengan jumlah yang
berbeda setiap hari dalam satu minggu.
Aturan serikat kerja:
◦ Setiap karyawan full time: 5 hari berturutturut bekerja, 2 hari libur.
◦ Mis: bekerja Senin – Jumat, Sabtu dan
Minggu libur
Masalah
penjadwalan: minimum jumlah
karyawan yang sesuai kebutuhan,
tanpa melanggar aturan serikat pekerja
Tabel Kebutuhan Karyawan
Kantor Pos per hari
Hari ke-1 Senin
Hari ke-2 Selasa
Hari ke-3 Rabu
Hari ke-4 Kamis
Hari ke-5 Jumat
Hari ke-6 Sabtu
Hari ke-7 Minggu
Apa peubah
keputusanny
a?
#Karyawan full time yang
diperlukan
17
13
15
19
14
16
11
xi , i 1,...,7
Jumlah karyawan yang memulai
bekerja pada hari ke- i
Senin
Senin
Selasa On
Bekerja Rabu On
pada Kamis On
hari Jumat On
Sabtu
Minggu On
Selasa
Of
On
On
On
On
Of
Of
Jika
X1
Bekerja Mulai Hari
Rabu
Kamis Jumat
Of
On
On
Of Of
On
On Of
Of
On On
Of
On
On
On
On
On
On
Of
On
On
On
X2
X3
On
X4
Sabtu
On
On
On
Of
Of
Minggu
On
On
On
On
Of
On
On
On
X5
X6
Of
X7
xi , i 1,...,7 Jumlah karyawan yang memulai
bekerja pada hari ke- i
Kendala jumlah kebutuhan karyawan per
hari:
x1
x4 x5 x6 x7 17
Senin:
Selasa:
x1 x2
x5 x6 x7 13
Rabu:
x1 x2 x3
Kamis:
x1 x2 x3 x4
x6 x7 15
x7 19
#KYW
17
13
15
19
14
16
11
Jumat:
Sabtu:
Minggu:
x1 x2 x3 x4 x5
x2 x3 x4 x5 x6
14
16
x3 x4 x5 x6 x7 11
Fungsi obyektif? Meminimumkan jumlah
karyawan
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Batasan tanda? Jumlah karyawan non
negatif
xi 0, i 1,...,7
LP Masalah Penjadwalan
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
s.t:
x1
x4 x5 x6 x7 17
x1 x2
x5 x6 x7 13
x1 x2 x3
x6 x7 15
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4 x5
x2 x3 x4 x5 x6
x7 19
14
16
x3 x4 x5 x6 x7 11
xi 0, i 1,...,7
LP lebih dari satu peubah, metode grafis
tidak sesuai
Harus diselesaikan dengan Metode
Simpleks
Latihan Soal
Tentukan termasuk kasus manakah
masalah LP berikut:
1. Max z = x1+x2
s.t
x1+x2≤ 4
x1-x2 ≥5
x1, x2 ≥ 0
2. Max z=4x1+x2
s.t
8x1+2x2≤ 16
5x1+2x2≤ 12
x1, x2 ≥ 0
3. Petani Joni memiliki 45 are
tanah. Dia Akan menanami
tanahnya tersebut dengan gandum
atau jagung. Setiap are tanah yang
ditanami gandum menghasilkan
keuntungan sebesar 200 dollar,
dan setiap are tanah yang
ditanami jagung menghasilkan
keuntungan 300 dollar. Tenaga
kerja dan pupuk yang digunakan
setiap are tanah ada pada Tabel
Tenaga
Kerja
Pupuk
Gandum
Jagung
3 tenaga kerja
2 Tenaga
Kerja
2 ton
4 Ton
Tersedia 100 tenaga kerja dan
120 ton pupuk. Gunakan
pemrograman linier untuk
menentukan bagaimana Pak
Joni dapat memaksimumkan
keuntungan dari tanahnya