Materi Pemrograman Linier

Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

 Solusi

optimal masalah Dakota
sebelum perubahan:

x1 :# produksi bangku
x2 :# produksi meja
x3 :# produksi kursi
BFS : x1 2, x2 0, x3 8, s1 24, s2 s3 0, z 280

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Perubahan koefisien fungsi
obyektif peubah BV

LP Dakota x1 dan x3 adalah BV, akan
dipelajari perubahan koefisien fungsi obyektif
bagi peubah ini:

 Pada

BV  s1 , x3 , x1

c1 60  c1 60  

 Matriks

dan vektor berikut ini tidak
mengalamiBperubahan:
, B  1 , dan b
rhs : B  1b

 cBV koefisien

fungsi obyektif bagi BV

mengalami perubahan, sehingga terdapat
perubahan pada: c BV B  1
 z optimal akan mengalami perubahan, karena
dihitung dari
c B  1b
BV

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

 Koefisien

baris nol untuk BV tidak mengalami
perubahan (tetap 0)

 Koefisien

baris nol untuk seluruh NBV
mengalami perubahan:
c j c BV B  1a j  c j

 BV

tetap optimal jika setiap koefisien baris nol
bagi setiap NBV tetap non negatif:

c j 0
 BV

akan mengalami perubahan (suboptimal) jika salah
satu dari koefisien baris nol bagi NBV bernilai negatif:

cj  0

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Pada Kasus Dakota
c1 60  c1 60  
c BV  0 20 60   

2

 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

c BV B  1  0 10  0.5 10  1.5

NBV  x2 , s2 , s3 

6 0
N  2 1
1.5 0
a2 as2

0
0
1
as3

 48
b  20
 8 

 Koefisien

baris nol untuk NBV mengalami
perubahan
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

 Koefisien

baris nol untuk x2:

c2 c BV B  1a 2  c2
6
c2  0 10  0.5 10  1.5   2   30
1.5

 Koefisien

5  1.25

baris nol untuk s2:

cs2 c BV B  1a s2  cs2
 0
c2  0 10  0.5 10  1.5  1  0 10  0.5
0

 Koefisien

baris nol untuk s3:

cs3 c BV B  1a s3  cs3
 0
c2  0 10  0.5 10  1.5  0  0
10  1.5
1 M.Sc

DR. Rahma Fitriani,S.Si.,

 BV

tetap optimal jika setiap koefisien baris nol
bagi setiap NBV tetap non negatif:
5  1.25 0
10  0.5 0

  4
 20

10  1.5 0

 

20
3

bagi ketiga rentang daerah ∆ agar BV

tetap optimal: 4  20

 Irisan

c1 60  c1 60  

56 c1 80

keuntungan membuat bangku (c1) turun
sampai dengan $56 dan naik sampai dengan
$80, bangku (x1) masih tetap diproduksi

 Jika

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

keuntungan membuat bangku (c1) berubah
menjadi 70 (∆=10), BV yang ada tidak
mengalami perubahan

 Jika

BV  s1 , x3 , x1
 Karena:

B, B  1 , dan b

rhs : B  1b

 Tidak

mengalami perubahan
 Solusi bagi BV juga tidak berubah
 Akan

 24 s1
B  1b  8  x3
 
 2  x1

tetapi koefisien baris nol bagi NBV
dan solusi optimal z mengalami perubahan
c2 5  1.25 5  1.2510 17.5

cs2 10  0.5 10  0.510 15

>0

cs3 10  1.5 10  1.510 25
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

 48
b  20
 8 

c BV B  1  0 10  0.5 10  1.5 
∆=10

 0 5 25

 Solusi

optimal z:

 48
z c BV B  1b 0 5 25  20 0  100  200 300
 
 8 
 Atau

dari koefisien fungsi obyektif yang
baru dan solusi optimal:

z 70 x1  30 x2  20 x3
70 2   30 0  20 8 300

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

c2 17.5 cs 15 cs 25
 Tableau

z 300

3

2

Optimal

Tablea
u2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

Baris 0

1

0

17.5

0

0

15

25

Baris 1
Baris 2
Baris 3

0
0
0

0
0
1

-2
-2
1.25

0
1
0

1
0
0

2
2
-0.5

-8
-4
1.5

 Perubahan

rhs

BV
z=30
300
0
s1=2
24
4
8
x3=8
2
x1=2

keuntungan membuat bangku,
menjadi $70, dianggap tidak cukup tinggi,
sehingga produksi bangku (x1) tidak
bertambah (tetap 2 buah).
 Perubahan keuntungan tersebut tetap
menaikkan keuntungan optimal

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

keuntungan membuat bangku (c1) berubah
menjadi 100 (∆=40), BV akan mengalami
perubahan
 Perubahan akan terjadi pada koefisien baris
nol yang memuat ∆ (koefisien NBV)
 Jika

c2 5  1.25

5  1.25 40  55

cs2 10  0.5

10  0.5 40  10

cs3 10  1.5

10  1.5 40 70

 48
 Dan z: z c BV B  1b  0 10  0.5 10  1.5   20
 
10
 48
 0  10 70  20 360
 
8 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
DR.

 Tableau

yang sub optimal:
 Dari tableau optimal sebelum perubahan,
dengan perubahan koefisien baris nol bagi x1
Tablea
u2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

Baris 0
Baris 2
Baris 1
Baris 2
Baris 3

1
0
0
0
0

0
0
0
0
1

55
-2
-2
-2
1.25

0
1
0
1
0

0
0
1
0
0

-10
2
2
2
-0.5

70
-4
-8
-4
1.5

Ratio
BV
Test
z=36
360
0
s1=2
8
x3=8 24/2=12
24
4
8/2=4
8
x3=8 No ratio
2
x1=2
rhs

baris nol bagi s2