Materi Pemrograman Linier

Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Simplex Algorithm (Algoritma
Simpleks)
Dapat

diterapkan apabila
permasalah LP sudah dirubah ke
dalam bentuk standar (standard
form)
Bentuk standar suatu LP:
◦ Jika semua kedala berupa
persamaan dan semua peubah non
negatif

solusi simultan dari m

persamaan kendala

Mencari

Kasus
1

• Untuk kendala ≤
• Tambahkan non
negatif slack variable

Kasus
2

• Untuk kendala ≥
• Kurangkan dengan
non negatif excess
variable

Bagaimana merubah LP ke

Bentuk Standar (Standard Form)

Contoh pada kasus Maksimum:
LP Leather Limited
Leather

Limited memproduksi 2 tipe

sabuk
◦ Deluxe model
◦ Regular model
Produksi

kedua tipe tersebut
membutuhkan bahan baku dari kulit
dan jam kerja pembuatan
Bahan baku dan jam kerja terbatas
Ingin ditentukan jumlah produksi
yang memaksimumkan profit

LP Leather Limited dalam Tabel

 
Leather (sq
yard)
Skilled Labour
(Hour)
Profit/belt ($)
Peubah
Keputusan?

x1
x2
# Deluxe # Regular Persediaa
Belt
Belt
n/minggu

1

1

40

2
4

1
3

60
 

x1 :# Deluxe belt/ minggu
x2 :# Regular belt/ minggu

 
Leather (sq
yard)
Skilled Labour

(Hour)
Profit/belt ($)

x1
1

x2
1

2
4

1
3

Batasan
40
60
 

max z 4 x1  3x2
s.t. x1  x2 40 (Leather)
2 x1  x2 60 (Labour)
x1 0, x2 0
Semua kendala
adalah ≤,
digunakan
slack variabel

si 0, i 1,2

Untuk masing-masing
kendala

Mengukur jumlah sumber daya
(leather dan labour) yang tidak
terpakai untuk membuat sabuk

max z 4 x1  3x2
s.t. x1  x2 40 (Leather)

2 x1  x2 60 (Labour)
x1 0, x2 0
Leather
constraint:
Labour constraint:

x1  x2 40

x1  x2  s1 40

2 x1  x2 60

2 x1  x2  s3 60

Bentuk Standar:

max z 4 x1  3x2
s.t. x1  x2  s1
2 x1  x2

40
 s2 60

x1 , x2 , s1 , s2 0

Contoh pada kasus Minimum: LP
Diet Problem
min z 50 x1  20 x2  30 x3  80 x4
s.t.

400x1  200x2  150x3  500x4 500
3x1  2 x2 6

2 x1  2 x2  4 x3  4 x4 10
2 x1  4 x2  x3  5 x4 8

(Calorie
constraint)
(Chocolate
constraint)

(Sugar constraint)
(Fat constraint)

x1 , x2 , x3 , x4 0
Semua kendala
adalah ≥,
digunakan
excess variabel

ei 0, i 1,...,4 Untuk masing-masing
kendala

Mengukur kelebihan terpenuhinya
batasan (calorie, chocolate, sugar

Calorie constraint

400x1  200x2  150x3  500x4 500

400x1  200x2  150x3  500x4  e1 500

Chocolate constraint

3x1  2 x2 6

3x1  2 x2  e2 6

Sugar constraint

2 x1  2 x2  4 x3  4 x4 10

2 x1  2 x2  4 x3  4 x4  e3 10

Fat constraint

2 x1  4 x2  x3  5 x4 8

2 x1  4 x2  x3  5 x4  e4 8

Bentuk Standar LP Diet Problem

min z 50 x1  20 x2  30 x3  80 x4
s.t.

400x1  200x2  150x3  500x4  e1
3x1  2 x2

2 x1  2 x2  4 x3  4 x4
2 x1  4 x2  x3  5 x4
x1 , x2 , x3 , x4 , e1 , e2 , e3 , e4 0

500

 e2

6

 e3

10

 e4 8

Bentuk umum LP Standar
max(min) z c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
s.t. a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn b2
.

Ax b

.
.
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm
xi 0, (i 1,..., n )
 a11 a12 ... a1n 
a
a22 ... a2 n 
21


.
.

A 
 .
. 


.
.


 am1 am 2 ... amn 

 x1 
x 
 2
.

x
.
 
.
 xn 

 b1 
b 
 2
.

b
.
 
.
bm 

Beberapa Definisi
Definisi 1:
Basic Solution
bagi

Ax b

Membuat jadi nol n-m peubah dan
mencari solusi bagi m peubah sisanya
Definisi 2:

Basic Feasibel Solution (bfs): Sembarang
solusi dari LP, dengan seluruh peubah ≥
0
Basic Variable (BV): Peubah yang bernilai
> 0 di dalam bfs
Non Basic Variable (NBV): Peubah yang
bernilai = 0 di dalam bfs

Teorema-teorema
Teorema 1:

Daerah feasibel dari LP adalah convex set.
Jika LP mempunyai solusi optimal, solusi tsb
adalah salah satu dari titik ekstrim dari daerah
feasibel.
Teorema 2:

• Untuk sembarang LP, terdapat satu titik
ekstrim dari daerah feasibel LP yang unik, yang
bersesuaian dengan masing-masing bfs.
• Terdapat paling sedikit satu bfs yang
bersesuaian dengan masing-masing titik
ekstrim dari daerah feasibel.

Contoh Kasus Leather Limited
max z 4 x1  3x2
s.t. x1  x2  s1
2 x1  x2

40
 s2 60

x1 , x2 , s1 , s2 0
Dengan metode
grafis, hanya
pada sumbu x1
dan x2
Garis AB:

x2 40  x1

Titik: A (40,0) & B (0,40)
Garis CD: x2

60  2 x1

Titik: C (30,0) & D (0,60)

Titik E, perpotongan AB
dan CD: Solusi40
dari
 x 60 
1

Titik: E (20,20)

2 x1

Contoh Kasus Leather Limited
Daerah feasibel:
FCEB, dengan
titik F-C-E-B
sebagai titik-titik
ekstrim
Titik
Ekstrim
F (0, 0)
C (30, 0)
E (20,
20)
B (0, 40)

max z 4 x1  3x2
s.t. x1  x2  s1
2 x1  x2

40
 s2 60

x1 , x2 , s1 , s2 0
BFS
x1  x2 0, s1  40, s2 60
 
x1 30, x2 0, s1 10, s2 0
x1 20, x2 20
  , s1 0, s2 0
x1 0, x2 40 , s1 0, s2 20

BV
s1 , s2
 
x1 , s1
x1 ,  x2
x2 , s2

x1 0, x2 60, s1  20, s2 0 Bkn BFS  
D (0, 60)
 
 
A (40, 0) x1 40, x2 0, s1 40, s2  20 Bkn BFS

NBV
x1 ,  x2
 
x2 , s2
s1 , s2
x 1 , s1
s1  0
s2  0

Setiap

titik ekstrim di dalam
daerah feasibel adalah BFS (BV
dan NBV)
Solusi optimal adalah salah satu
dari BFS
BFS dengan nilai z terbesar
(terkecil) pada kasus maks (min)
Algoritma Simpleks: bergerak
dari satu BFS ke BFS
berikutnya sampai diperoleh
BFS yang menjadi solusi
optimal