Materi Pemrograman Linier

Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dual Simpleks untuk Menentukan solusi
optimal baru setelah perubahan rhs dari
LP
 Menggunakan

prinsip analisis sensitivitas
 Perubahan rhs dari LP mempengaruhi:
◦ rhs pada tableau optimal
◦ Z pada tableau optimal
 Tentukan terlebih dahulu perubahan-perubahan
tersebut
 Dual simpleks diterapkan jika dihadapi tableau
yang sub optimal
 Sub optimal ditunjukkan oleh salah satu rhs ada

yan (-)

x1 :# produksi bangku

Pada kasus Dakota
x :# produksi meja
2

x3 :# produksi kursi
Persediaan
finishing hour
Misalkan



b2 20  b2 20  

finishing hour bertambah menjadi 30 jam, atau ∆ =10

Rhs pada tableau terakhir diperoleh berdasarkan

hubungan:

2
 8   48   24  2 
1


B  1b 0
2
 4  20     8  2 
0  0.5 1.5   8   2  0.5 

 44 
 28 
  3

Indikasi
kasus sub
optimal



Z optimal pada tableau terakhir diperoleh
berdasarkan hubungan:  24  2 
 44 
c BV  0 20 60
B  1b  8  2   28 
 2  0.5 
  3
 44 
c BV B  1b  0 20 60  28  380
  3

Tableau 2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z

1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0

1
0

s1
0
1
0
0

s2
10
2
2
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

e4
0
0
0
0

rhs
380
44
28
-3

BV
z=380
s1=44
x3=28
x1=-3

Tableau 2

Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

1.

2.

z
1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2

10
10
2
22
2
-0.5
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

e4
0
0
0
0

rhs
380
44
28
-3

BV
z=380
s1=44
x3=28
x1=-3

Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?
◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya
Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot).
Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap
peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot
Hanya satu
(-) pada
baris pivot:

Lakukan ERO: s1 menggantikan x1
s2

Tableau 2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2
10
2
2
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

e4
0
0
0
0

rhs
380
44
28
-3

BV
z=380
s1=44
x3=28
x1=-3

Dengan ERO:
Tableau 3
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
20
4
4
-2

x2
30
3
3
-2,5

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2
0
0
0
1

s3
40
-2
2
-3

e4
0
0
0
0

rhs
320
32
16
6

BV
z=320
s1=32
x3=16
s2=6



Dengan tambahan finishing hour dianggap lebih
menguntungkan memproduksi kursi saja, sebanyak 16
buah tanpa memproduksi yang lainnya



Masih ada sisa kayu 32 unit, dan sisa finishing hour 6 jam

Dual Simpleks untuk
menyelesaikan Normal Min Problem
Diberikan

LP berikut ini:

max z  x1  2 x2
s.t. x1  2 x2  x3 4
2 x1  x2  x3 6
x1 0, x2 0, x3 0
Dengan

bentuk normal:

max z x1  2 x2
s.t. x1  2 x2  x3  e1
2 x1  x2  x3

4
 e2 6

x1 0, x2 0, x3 0, e1 0, e2 0

max z  x1  2 x2
s.t. x1  2 x2  x3  e1
2 x1  x2  x3

4
 e2 6

x1 0, x2 0, x3 0, e1 0, e2 0

Initial

tableau:
Fungsi obyektif dimodifikasi menjadi fungsi maks.
Tableau 0
Baris0
Baris1
Baris2

-z
1
 
 

x1
1
1
2

x2
2
-2
1

x3
0
1
-1

 Dalam

bentuk kanonik:

Tableau 0
Baris0
Baris1
Baris2

-z
1
 
 

x1
1
-1
-2

x2
2
2
-1

x3
0
-1
1

e1
0
-1
0

e1
0
1
0

e2
0
0
-1

e2
0
0
1

rhs
0
4
6

rhs
0
-4
-6

BV
-z=0
e1=-4
e2=-6

Tableau 0
Baris0
Baris1
Baris2
Baris2

1.

2.

-z
1
 
 
 

x1
x1
11
-1
-1
-2
-2

x2
2
2
-1
-1

x3
0
-1
1
1

e1
0
1
0
0

e2
0
0
1
1

rhs
0
-4
-6
-6

BV
-z=0
e1=-4
e2=-6
e2=-6

Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?
◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya
Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot).
Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap
peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot
x1 : 

1
2

x2 : 

2
 2
1

Lakukan ERO: x1 menggantikan e2

Tableau 0
Baris0
Baris1
Baris2

-z
1
 
 

x1
1
-1
-2

x2
2
2
-1

x3
0
-1
1

e1
0
1
0

e2
0
0
1

rhs
0
-4
-6

BV
-z=0
e1=-4
e2=-6

e2
0,5
-0,5
-0,5

rhs
-3
-1
3

BV
-z=-3
e1=-1
x1=3

Dengan ERO diperoleh:
Tableau 1
Baris0
Baris1
Baris2
1.

2.

-z
1
0
0

x1
0
0
1

x2
1,5
2,5
0,5

x3
0,5
-1,5
-0,5

e1
0
1
0

Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?
◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya
Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot).
Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap
peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot
Hanya x3
Lakukan ERO: x3 menggantikan e1

Tableau 1
Baris0
Baris1
Baris2

-z
1
0
0

x1
0
0
1

x2
1,5
2,5
0,5

x3
0,5
-1,5
-0,5

e1
0
1
0

e2
0,5
-0,5
-0,5

rhs
-3
-1
3

BV
-z=-3
e1=-1
x1=3

Dengan ERO diperoleh:
Tableau 2
Baris0
Baris1
Baris2

-z
1
0
0
1.

x1
0
0
1

x2
2,333333
-1,66667
-0,33333

x3
0
1
0

e1
0,333333
-0,66667
-0,33333

e2
rhs
BV
0,333333 -3,33333 -z=-3,333
0,333333 0,666667 x3=0,6667
-0,33333 3,333333 x1=3,3333

Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?
◦ sudah: solusi optimal diperoleh.

BFS : x1 3.3333, x2 0, x3 0.6667, e1 0, e2 0, z 3.333