RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang Vektor Umum)

RUANG VEKTOR

(Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang

Vektor Umum)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi

University of Jember Indonesia

Jember, 2009

Outline

1 Ruang Vektor Ruang-n Euclidis

Ruang Vektor Umum

2 Basis dan Dimensi Kebebasan Linier Konsep Basis dan Dimensi

3 Ruang Vektor Khusus Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam Basis Ortonormal Koordinat - Perubahan Basis

Outline

1 Ruang Vektor Ruang-n Euclidis

Ruang Vektor Umum

2 Basis dan Dimensi Kebebasan Linier Konsep Basis dan Dimensi

3 Ruang Vektor Khusus Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam Basis Ortonormal Koordinat - Perubahan Basis

Outline

1 Ruang Vektor Ruang-n Euclidis

Ruang Vektor Umum

2 Basis dan Dimensi Kebebasan Linier Konsep Basis dan Dimensi

3 Ruang Vektor Khusus Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam Basis Ortonormal Koordinat - Perubahan Basis

Definisi-definisi

tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 , ..., a n ). Himpunan

semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Dua vektor u = (u 1 , u

2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R u = v jika u 1 =v 1 ,u 2 =v 2 , ..., u n =v n u + v = (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , ..., u n +v n )

jika k skalar, maka ku = (ku 1 , ku 2 , ..., ku n )

Definisi-definisi

tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 , ..., a n ). Himpunan

semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Dua vektor u = (u 1 , u

2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R u = v jika u 1 =v 1 ,u 2 =v 2 , ..., u n =v n u + v = (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , ..., u n +v n )

jika k skalar, maka ku = (ku 1 , ku 2 , ..., ku n )

Definisi-definisi

tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 , ..., a n ). Himpunan

semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Dua vektor u = (u 1 , u

2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R u = v jika u 1 =v 1 ,u 2 =v 2 , ..., u n =v n u + v = (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , ..., u n +v n )

jika k skalar, maka ku = (ku 1 , ku 2 , ..., ku n )

Definisi-definisi

tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 , ..., a n ). Himpunan

semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Dua vektor u = (u 1 , u

2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R u = v jika u 1 =v 1 ,u 2 =v 2 , ..., u n =v n u + v = (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , ..., u n +v n )

jika k skalar, maka ku = (ku 1 , ku 2 , ..., ku n )

Definisi-definisi

tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 , ..., a n ). Himpunan

semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Dua vektor u = (u 1 , u

2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R u = v jika u 1 =v 1 ,u 2 =v 2 , ..., u n =v n u + v = (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , ..., u n +v n )

jika k skalar, maka ku = (ku 1 , ku 2 , ..., ku n )

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Sifat Ilmu Hitung dalam R n

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka

1 u +v=v+u

2 u + (v + w) = (u + v ) + w

3 u +0=0+u=u

4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5 k (lu) = (kl)u

6 k (u + v ) = ku + kv

7 (k + l)u = ku + lu

8 1u =u

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi Jika u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) adalah sebarang

vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan

u ·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka:

u ·v=v·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

Norm dan Jarak Euclidis

Analog dengan norm pada R 2 dan R 3

Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) pada R n adalah

||u|| = (u · u) 2 = u 2 1 2 +u 2 2 + ... + u n

Analog dengan jarak pada R 2 dan R 3

Jarak Euclidis antara titik u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R n dinotasikan d (u, v ) dan sama dengan

||u − v || = q (u

1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2

Norm dan Jarak Euclidis

Analog dengan norm pada R 2 dan R 3

Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) pada R n adalah

||u|| = (u · u) 2 = u 2 1 2 +u 2 2 + ... + u n

Analog dengan jarak pada R 2 dan R 3

Jarak Euclidis antara titik u = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan v = (v 1 , v 2 , ..., v n ) pada R n dinotasikan d (u, v ) dan sama dengan

||u − v || = q (u

1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2 u +v=v+u

3 u + (v + w) = (u + v ) + w

4 ∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5 ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7 k (lu) = (kl)u

8 k (u + v ) = ku + kv

9 (k + l)u = ku + lu

10 1u =u

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u =0 k0 =0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan

vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V Teorema Subruang

Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruang dari V ⇐⇒

1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W

Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan

vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V Teorema Subruang

Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruang dari V ⇐⇒

1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W

Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan

vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V Teorema Subruang

Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruang dari V ⇐⇒

1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W

Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan

vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V Teorema Subruang

Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruang dari V ⇐⇒

1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W

Kombinasi Linier dan Merentang

Kombinasi Linier Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor

v 1 , v 2 , ..., v n jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai w =k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k n v n

dengan k 1 , k 2 , ..., k n adalah skalar-skalar. Merentang

Jika v 1 , v 2 , ..., v r ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linier dari v 1 , v 2 , ..., v r maka vektor-vektor v 1 , v 2 , ..., v r dikatakan merentang V . Dinotasikan:

V = lin{v 1 , v 2 , ..., v r }

Kombinasi Linier dan Merentang

Kombinasi Linier Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor

v 1 , v 2 , ..., v n jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai w =k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k n v n

dengan k 1 , k 2 , ..., k n adalah skalar-skalar. Merentang

Jika v 1 , v 2 , ..., v r ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linier dari v 1 , v 2 , ..., v r maka vektor-vektor v 1 , v 2 , ..., v r dikatakan merentang V . Dinotasikan:

V = lin{v 1 , v 2 , ..., v r }

Himpunan Kombinasi Linier

Teorema Jika v 1 , v 2 , ..., v r ∈ V dan W = {k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r }, maka W subruang V . W subruang terkecil yang memuat v 1 , v 2 , ..., v r

Himpunan Kombinasi Linier

Teorema Jika v 1 , v 2 , ..., v r ∈ V dan W = {k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r }, maka W subruang V . W subruang terkecil yang memuat v 1 , v 2 , ..., v r

Himpunan Kombinasi Linier

Teorema Jika v 1 , v 2 , ..., v r ∈ V dan W = {k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r }, maka W subruang V . W subruang terkecil yang memuat v 1 , v 2 , ..., v r

Kebebasan Linier

Definisi Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dan

satu-satunya solusi untuk sistem homogen k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r =0 adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebas

linier, dan v 1 , v 2 , ..., v r disebut vektor-vektor bebas linier Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.

bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya

Kebebasan Linier

Definisi Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dan

satu-satunya solusi untuk sistem homogen k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r =0 adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebas

linier, dan v 1 , v 2 , ..., v r disebut vektor-vektor bebas linier Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.

bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya

Kebebasan Linier

Definisi Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dan

satu-satunya solusi untuk sistem homogen k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r =0 adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebas

linier, dan v 1 , v 2 , ..., v r disebut vektor-vektor bebas linier Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.

bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya

Kebebasan Linier

Definisi Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dan

satu-satunya solusi untuk sistem homogen k 1 v 1 +k 2 v 2 + ... + k r v r =0 adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebas

linier, dan v 1 , v 2 , ..., v r disebut vektor-vektor bebas linier Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.

bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya

Teorema Kebebasan Linier

Jika sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut

tak bebas linier Sebuah himpunan

mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain

Misalkan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dalam R n . Jika r > n maka S tak bebas linier

Teorema Kebebasan Linier

Jika sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut

tak bebas linier Sebuah himpunan

mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain

Misalkan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dalam R n . Jika r > n maka S tak bebas linier

Teorema Kebebasan Linier

Jika sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut

tak bebas linier Sebuah himpunan

mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain

Misalkan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor-vektor dalam R n . Jika r > n maka S tak bebas linier

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Basis dan Dimensi

Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v 1 , v 2 , ..., v r } ⊂ V . S disebut

basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

1 Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas

linier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

V.

Teorema Basis

Teorema a Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis Teorema b

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor yang merentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis

Teorema c Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan r vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar untuk menjadi basis V

Teorema Basis

Teorema a Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis Teorema b

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor yang merentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis

Teorema c Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan r vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar untuk menjadi basis V

Teorema Basis

Teorema a Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis Teorema b

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah himpunan n vektor yang merentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis

Teorema c Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan r vektor bebas linier

pada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar untuk menjadi basis V

Ruang Baris dan Ruang Kolom

Tinjaulah matriks m ×n

Subruang R n yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang baris

Subruang R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruang

kolom A

Ruang Baris dan Ruang Kolom

Tinjaulah matriks m ×n

Subruang R n yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang baris

Subruang R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruang

kolom A

Teorema Ruang Baris (Kolom)

Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Vektor-vektor baris taknol pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A

Ruang baris dan ruang kolom suatu matriks memiliki dimensi yang sama

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan

dinyatakan dengan rank (A)

Teorema Ruang Baris (Kolom)

Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Vektor-vektor baris taknol pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A

Ruang baris dan ruang kolom suatu matriks memiliki dimensi yang sama

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan

dinyatakan dengan rank (A)

Teorema Ruang Baris (Kolom)

Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Vektor-vektor baris taknol pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A

Ruang baris dan ruang kolom suatu matriks memiliki dimensi yang sama

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan

dinyatakan dengan rank (A)

Teorema Ruang Baris (Kolom)

Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Vektor-vektor baris taknol pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A

Ruang baris dan ruang kolom suatu matriks memiliki dimensi yang sama

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan

dinyatakan dengan rank (A)

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1 A invertibel

2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3 A ekivalen baris terhadap I n

4 Ax = b selalu konsisten

5 det (A) 6= 0

6 rank (A) = n

7 Vektor-vektor baris A bebas linier

8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Beberapa Teorema Lanjutan

Sebuah sistem linier Ax =b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang

kolom matriks A Sebuah sistem linier Ax =b

akan konsisten jika dan hanya jika rank (A) = rank (A|b) Jika Ax = b sistem konsisten

yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jika rank (A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − r parameter

Beberapa Teorema Lanjutan

Sebuah sistem linier Ax =b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang

kolom matriks A Sebuah sistem linier Ax =b

akan konsisten jika dan hanya jika rank (A) = rank (A|b) Jika Ax = b sistem konsisten

yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jika rank (A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − r parameter

Beberapa Teorema Lanjutan

Sebuah sistem linier Ax =b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang

kolom matriks A Sebuah sistem linier Ax =b

akan konsisten jika dan hanya jika rank (A) = rank (A|b) Jika Ax = b sistem konsisten

yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jika rank (A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − r parameter

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma:

4 < v,v> ≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0 untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan k skalar

0, v > =< v , 0 >= 0 < u, v + w >=< u, v > + < u, w > < u, kv > = k < u, v >

Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan k skalar

0, v > =< v , 0 >= 0 < u, v + w >=< u, v > + < u, w > < u, kv > = k < u, v >

Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan k skalar

0, v > =< v , 0 >= 0 < u, v + w >=< u, v > + < u, w > < u, kv > = k < u, v >

Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan k skalar

0, v > =< v , 0 >= 0 < u, v + w >=< u, v > + < u, w > < u, kv > = k < u, v >

Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam

Analog dengan ruang Euclidis Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka

norm vektor u = 1 ||u|| =< u, u >

jarak antara titik u dan v adalah

d (u, v ) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka

< u, v > 2 ≤< u, u >< v , v >

Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam

Analog dengan ruang Euclidis Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka

norm vektor u = 1 ||u|| =< u, u >

jarak antara titik u dan v adalah

d (u, v ) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka

< u, v > 2 ≤< u, u >< v , v >

Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam

Analog dengan ruang Euclidis Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka

norm vektor u = 1 ||u|| =< u, u >

jarak antara titik u dan v adalah

d (u, v ) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka

< u, v > 2 ≤< u, u >< v , v >

Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam

Analog dengan ruang Euclidis Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka

norm vektor u = 1 ||u|| =< u, u >

jarak antara titik u dan v adalah

d (u, v ) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka

< u, v > 2 ≤< u, u >< v , v >

Sifat Dasar Norm dan Jarak

d (u, v ) = 0 ⇐⇒ u = v kkuk = |k|kuk

d (u, v ) = d(v , u) ku + v k ≤ kuk + kv k d (u, v ) ≤ d(u, w) + d(w, v )

Jika V ruang hasilkali dalam maka norm dan jarak yang didefinisikan memenuhi semua sifat

yang didaftar dalam tabel di atas

Ortogonalitas

Dalam ruang hasilkali dalam vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v > = 0.

Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W

Teorema Pythagoras yang digeneralisasi Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang

hasilkali dalam, maka ku + v k 2 = kuk 2 + kv k 2

Ortogonalitas

Dalam ruang hasilkali dalam vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v > = 0.

Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W

Teorema Pythagoras yang digeneralisasi Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang

hasilkali dalam, maka ku + v k 2 = kuk 2 + kv k 2

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis ortonormal pada ruang

hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } himpunan ortogonal dari vektor-vektor

taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis ortonormal pada ruang

hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } himpunan ortogonal dari vektor-vektor

taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis ortonormal pada ruang

hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } himpunan ortogonal dari vektor-vektor

taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis ortonormal pada ruang

hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } himpunan ortogonal dari vektor-vektor

taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis ortonormal pada ruang

hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } himpunan ortogonal dari vektor-vektor

taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Proyeksi Ortogonal

Misalkan V adalah ruang hasilkali dalam dan {v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan ortonormal dari

vektor-vektor V . Jika W menyatakan ruang yang direntang

oleh v 1 , v 2 , ..., v r maka tiap vektor u dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk

u =w 1 +w 2

dengan w 1 terletak pada W w 1 =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v r > v r = proy W u dan w 2 ortogonal terhadap W w 2 = u− < u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + ...+ < u, v n > v n

Proses Gram-Schmidt

Teorema Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol

mempunyai sebuah basis ortonormal Bukti

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n } dari sebarang basis S = {u 1 , u 2 , ..., u n } dengan menggunakan proses

Gram-Schmidt

Step 1 v

1 = 1 ku 1 k

Proses Gram-Schmidt

Teorema Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol

mempunyai sebuah basis ortonormal Bukti

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n } dari sebarang basis S = {u 1 , u 2 , ..., u n } dengan menggunakan proses

Gram-Schmidt

Step 1 v

1 = 1 ku 1 k

Proses Gram-Schmidt

Teorema Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol

mempunyai sebuah basis ortonormal Bukti

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n } dari sebarang basis S = {u 1 , u 2 , ..., u n } dengan menggunakan proses

Gram-Schmidt

Step 1 v

1 = 1 ku 1 k

Proses Gram-Schmidt

Step 2

u 2 −proy

= v W1 u v 2 u 2 −<u 2 , v 1 = > 1

2 ku 2 −proy W1 u 2 k

ku 2 −<u 2 , v 1 > v 1 k

Step 3 u 3 −proy W2 u v 3

u 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2

3 = ku 3 −proy u 3 k W2 = ku 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2 k

Step 4 u 4 v −proy W3 u 4 u 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3

4 = ku 4 −proy

W3 u 4 k ku 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3 k

Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } merupakan himpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjut hingga mendapat basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n }

Proses Gram-Schmidt

Step 2

u 2 −proy

= v W1 u v 2 u 2 −<u 2 , v 1 = > 1

2 ku 2 −proy W1 u 2 k

ku 2 −<u 2 , v 1 > v 1 k

Step 3 u 3 −proy W2 u v 3

u 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2

3 = ku 3 −proy u 3 k W2 = ku 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2 k

Step 4 u 4 v −proy W3 u 4 u 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3

4 = ku 4 −proy

W3 u 4 k ku 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3 k

Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } merupakan himpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjut hingga mendapat basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n }

Proses Gram-Schmidt

Step 2

u 2 −proy

= v W1 u v 2 u 2 −<u 2 , v 1 = > 1

2 ku 2 −proy W1 u 2 k

ku 2 −<u 2 , v 1 > v 1 k

Step 3 u 3 −proy W2 u v 3

u 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2

3 = ku 3 −proy u 3 k W2 = ku 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2 k

Step 4 u 4 v −proy W3 u 4 u 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3

4 = ku 4 −proy

W3 u 4 k ku 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3 k

Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } merupakan himpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjut hingga mendapat basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n }

Proses Gram-Schmidt

Step 2

u 2 −proy

= v W1 u v 2 u 2 −<u 2 , v 1 = > 1

2 ku 2 −proy W1 u 2 k

ku 2 −<u 2 , v 1 > v 1 k

Step 3 u 3 −proy W2 u v 3

u 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2

3 = ku 3 −proy u 3 k W2 = ku 3 −<u 3 , v 1 > v 1 −<u 3 , v 2 > v 2 k

Step 4 u 4 v −proy W3 u 4 u 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3

4 = ku 4 −proy

W3 u 4 k ku 4 −<u 4 , v 1 > v 1 −<u 4 , v 2 > v 2 −<u 4 , v 3 > v 3 k

Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } merupakan himpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjut hingga mendapat basis ortonormal {v 1 , v 2 , ..., v n }

Koordinat

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapat

dinyatakan dalam bentuk v =c 1 v 1 +c 2 v 2 + ... + c n v n dengan tepat satu cara

Skalar c 1 , c 2 , ..., c n disebut koordinat v relatif terhadap basis S

Koordinat

Jika S = {v 1 , v 2 , ..., v n } adalah basis untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapat

dinyatakan dalam bentuk v =c 1 v 1 +c 2 v 2 + ... + c n v n dengan tepat satu cara

Skalar c 1 , c 2 , ..., c n disebut koordinat v relatif terhadap basis S

Vektor dan Matriks Koordinat

Vektor Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh

(v ) S = {c 1 , c 2 , ..., c n } Matriks Koordinat

dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh

[v ] =  S  

Vektor dan Matriks Koordinat

Vektor Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh

(v ) S = {c 1 , c 2 , ..., c n } Matriks Koordinat

dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh

[v ] =  S  

Kontribusi Basis Ortonormal

Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika

(u) S = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan

(v ) S = (v 1 , v 2 , ..., v n ) maka

kuk = q u 2 +u 2

1 2 + ... + u 2 n

d (u, v ) = p(u 1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2 < u, v > =u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n

Kontribusi Basis Ortonormal

Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika

(u) S = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan

(v ) S = (v 1 , v 2 , ..., v n ) maka

kuk = q u 2 +u 2

1 2 + ... + u 2 n

d (u, v ) = p(u 1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2 < u, v > =u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n

Kontribusi Basis Ortonormal

Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika

(u) S = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan

(v ) S = (v 1 , v 2 , ..., v n ) maka

kuk = q u 2 +u 2

1 2 + ... + u 2 n

d (u, v ) = p(u 1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2 < u, v > =u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n

Kontribusi Basis Ortonormal

Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika

(u) S = (u 1 , u 2 , ..., u n ) dan

(v ) S = (v 1 , v 2 , ..., v n ) maka

kuk = q u 2 +u 2

1 2 + ... + u 2 n

d (u, v ) = p(u 1 −v 1 ) 2 + (u 2 −v 2 ) 2 + ... + (u n −v n ) 2 < u, v > =u 1 v 1 +u 2 v 2 + ... + u n v n

Masalah Perubahan Basis

Masalah Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B,

ke basis baru B ′ , bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v

terhadap basis lama, [v ] B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ] B ′ ?

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Ilustrasi Misal

B = {u 1 , u

2 } dan B = {u 1 , u 2 } (u ′ ) 1 = (a, b) dan (u ′ ) 2 = (c, d)

(v ) B ′ = (k 1 , k 2 ) Tentukan (v ) B !

Solusi

a c [v ] B = bd [v ] B ′

Masalah Perubahan Basis

Masalah Secara Umum Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,

B = {u 1 , u 2 , ..., u n }, ke basis baru B ′ = {u ′ 1 , u ′ 2 , ..., u ′ n }, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basis lama, [v ] B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ] B ′ ?

1 B , ′ 2 B , ..., ′ n B Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B

Masalah Perubahan Basis

Masalah Secara Umum Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,

B = {u 1 , u 2 , ..., u n }, ke basis baru B ′ = {u ′ 1 , u ′ 2 , ..., u ′ n }, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basis lama, [v ] B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ] B ′ ?

1 B , ′ 2 B , ..., ′ n B Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B

Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B ′ ke basis B, maka

P invertibel P −1 adalah matriks transisi dari B ke B ′

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain

untuk suatu ruang hasilkali dalam, maka

P −1 =P t

Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B ′ ke basis B, maka

P invertibel P −1 adalah matriks transisi dari B ke B ′

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain

untuk suatu ruang hasilkali dalam, maka

P −1 =P t

Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B ′ ke basis B, maka

P invertibel P −1 adalah matriks transisi dari B ke B ′

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain

untuk suatu ruang hasilkali dalam, maka

P −1 =P t

Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B ′ ke basis B, maka

P invertibel P −1 adalah matriks transisi dari B ke B ′

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain

untuk suatu ruang hasilkali dalam, maka

P −1 =P t

Matriks Ortogonal

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan

transposnya.

=A t Pernyataan berikut ekivalen

A −1

1 A matriks ortogonal

2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

Matriks Ortogonal

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan

transposnya.

=A t Pernyataan berikut ekivalen

A −1

1 A matriks ortogonal

2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

Matriks Ortogonal

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan

transposnya.

=A t Pernyataan berikut ekivalen

A −1

1 A matriks ortogonal

2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

Matriks Ortogonal

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan

transposnya.

=A t Pernyataan berikut ekivalen

A −1

1 A matriks ortogonal

2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

Matriks Ortogonal

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan

transposnya.

=A t Pernyataan berikut ekivalen

A −1

1 A matriks ortogonal

2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis