MATEMATIKA DISKRIT Minggu 2 Sesi 1

MATEMATIKA DISKRIT
Minggu 2 Sesi 1

1

LOGIKA

Logika
Jika anda mahasiswa IT-Del maka anda tidak sulit belajar
Matematika. Jika anda tidak suka disiplin maka anda
bukan mahasiswa IT-Del . Tetapi, anda sulit belajar
Matematika dan anda tidak suka disiplin. Jadi, anda bukan
mahasiswa IT-Del .
Apakah argumen di atas valid? Hal yang dapat membantu
kita untuk dapat memahami argumen tersebut adalah
logika.

3

• Logika merupakan dasar dari semua penalaran
(reasoning).

• Dalam KBBI, penalaran adalah cara berpikir
dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan
akal budi dan bukan dengan berdasarkan atau
pengalaman.
• Penalaran didasarkan pada hubungan antara
pernyataan (statements).

Proposisi
• Di dalam matematika, tidak semua kalimat
berhubungan dengan logika. Hanya kalimat
yang bernilai benar atau salah saja yang
digunakan dalam penalaran.
Proposisi
• Adalah pernyataan atau kalimat deklaratif
yang bernilai benar (true) atau salah (false),
tetapi tidak keduanya.

Proposisi
• Kalimat deklaratif berikut merupakan
proposisi :

1. Danau Toba terletak di Sumatera Utara
2. 1+1=2
3. 2+2=3

• Selanjutnya, perhatikan kalimat berikut ini
1. Jam berapa ini?
2. Jangan membuang sampah sembarangan.
3. + =
4. + =
Perhatikan kalimat 1 dan 2 bukan proposisi karena
bukan merupakan kalimat deklaratif. Kalimat 3 dan
4 akan menjadi proposisi tergantung nilai yang
kita pilih. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
fungsi proposisi atau kalimat terbuka

Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
(a) 13 adalah bilangan ganjil
(b) Soekarno adalah alumnus UGM.
(c) 1 + 1 = 2
(d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8

(e) Ada monyet di bulan
(f) Hari ini adalah hari Rabu
(g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka
2n adalah bilangan genap
(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan
riil


Contoh Semua pernyataan di bawah ini bukan
proposisi
(a) x-1=0
(b) Tutup pintu itu!
(c) Apakah kamu masih memperhatikan kuliah ini?

9

Menggabungkan proposisi
• Satu atau lebih proposisi dapat digabung
membentuk sebuah proposisi majemuk (compound
proposition).

• Proposisi disimbolkan dengan menggunakan alfabet
seperti p, q, r, s, dan dengan memperkenalkan
beberapa operator logika.

Operator Logika
• Negasi (NOT) : Tidak p
Notasi: p
• Konjungsi - Conjunction (AND) : p dan q
Notasi p  q
• Disjungsi - Disjunction (OR)
Notasi p  q
p dan q disebut proposisi atomik
Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk
(compound proposition)

Tabel Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Negasi
p

q

pq

p

q

pq

p

T
T
F
F

T
F
T
F

T
F
F
F

T
T
F
F

T
F
T
F

T
T
T
F

T
F

q
F
T

12

Contoh. Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan.
q : Hari ini dingin.
p  q : Hari ini hujan dan dingin
p  q : Hari ini hujan atau hari ini dingin
p
: Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan)



13

Contoh
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
• Pemuda itu tinggi dan tampan
• Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
• Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
• Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

•
•
•
•
•
•

•

Penyelesaian:
pq
p  q
p  q
(p  q)
p  (p  q)
(p  q)

Contoh
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Kampus Del itu indah
q : Kampus Del itu sejuk
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
1. Kampus Del itu indah dan sejuk
2. Kampus Del itu indah tetapi tidak sejuk
3. Kampus Del itu tidak indah maupun sejuk
4. Tidak benar bahwa kampus Del itu tidak sejuk tetapi indah
5. Kampus Del tidak indah tetapi tidak sejuk

6. Tidak benar bahwa kampus Del itu jelek dan tidak sejuk.

Contoh
Misalkan
• p : 2 adalah bilangan prima (benar).
• q : bilangan prima selalu ganjil (salah).
• p  q : 3 adalah bilangan prima dan bilangan
prima selalu ganjil (salah).
• p  q : 2 adalah bilangan prima atau bilangan
prima selalu ganjil (benar).
Latihan : Buatlah tabel kebenaran (p  q)  (~q  r).

Tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p  q)  (~q  r).
p

q

r

pq

T
T
T
T
F
F
F
F

T
T
F
F
T
T
F
F

T
F
T
F
T
F
T
F

T
T
F
F
F
F
F
F

~q ~q  r (p  q)  (~q  r)
F
F
T
T
F
F
T
T

F
F
T
F
F
F
T
F

T
T
T
F
F
F
T
F

18

• Eksklusif Or (XOR)
•
Notasi p  q
• Implikasi (JIKA – MAKA)
• Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Disjungsi Eksklusif

Kata atau (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah
satu dari dua cara:
1. Inclusive or
atau berarti p atau q atau keduan a
Contoh: Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai
Bahasa C++ atau Java .
2. Exclusive or
atau berarti p atau q tetapi bukan keduan a .
Contoh: Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta .

20

Operator logika disjungsi eksklusif: xor
Notasi: 
Tabel kebenaran:
p

q

pq

T
T
F
F

T
F
T
F

F
T
T
F

21

Implikasi
• Bentuk proposisi: jika p, maka q
• Notasi: p  q
• Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau
kondisi
• Proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).
• Contoh :
• Jika saya melanggar peraturan, maka saya akan
dikenakan sanksi.
• Jika kamu tertawa, maka dunia akan ikut tertawa
bersamamu. :D
22

Tabel kebenaran implikasi
p
T
T
F
F

q
T
F
T
F

pq
T
F
T
T

Cara-cara mengekspresikan implikasi p  q:
• Jika p, maka q
• Jika p, q
• p mengakibatkan q
(p implies q)
• q jika p
• p hanya jika q
• p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan
syarat cukup (sufficient condition) )
• q syarat perlu untuk p
(konklusi menyatakan
syarat perlu (necessary condition) )
• q bilamana p
(q whenever p)
24

Contoh Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi
dalam berbagai bentuk:
1. Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
2. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
3. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air
laut naik.
4. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
5. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal
hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
6. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan
api dari rokok.
7. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah
dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
8. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

25

Biimplikasi
 Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
 Notasi: p  q
Tabel Kebenaran :

p

q

pq

T
T
F
F

T
F
T
F

T
F
F
T

Buktikan Biimplikasi berikut
 p  q  (p  q)  (q  p).

26

p

q

T
T
F
F

T
F
T
F

pq
T
F
F
T

pq

qp

(p  q)  (q  p)

T
F
T
T

T
T
F
T

T
F
F
T

 Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q”
dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.

27

Contoh Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:
(a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya.
(c) Medan terletak di Sumatera Utara iff Sumatera
Utara adalah sebuah propinsi di Indonesia.

28

Konversi, Kontrapositif, & Invers
Konvers (kebalikan):
qp
Invers
:
~p~q
Kontraposisi
:
~q~p
Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, kontraposisi.
p

q

~p

T
T
F
F

T
F
T
F

F
F
T
T

Implikasi
~q pq
F
T
F
T

T
F
T
T

Konvers Invers
Kontraposisi
qp ~p~q ~q~p
T
T
F
T

T
T
F
T

T
F
T
T

29

Contoh .
p: Andi mahasiswa IT-Del
q : Andi tinggal di asrama IT-Del
• Implikasi : Jika Andi mahasiswa IT-Del, maka ia tinggal di
asrama mahasiswa IT-Del.
• Konvers : Jika Andi tinggal di asrama mahasiswa IT-Del,
maka ia mahasiswa IT-Del.
• Invers : Jika Andi bukan mahasiswa IT-Del, maka ia tidak
tinggal di asrama mahasiswa IT-Del.
• Kontraposisi : Jika Andi tidak tinggal di asrama mahaiswa
IT-Del, maka ia bukan mahasiswa IT-Del.

30

Tautologi Dan Kontradiksi

• Tautologi adalah pernyataan yang selalu
benar.

• Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu
salah.

31

Tautologi
Contoh : p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi
p

q

T
T
F
F

T
F
T
F

pq
T
F
F
F

~(p  q)
F
T
T
T

p  ~(p  q)
T
T
T
T

32

Kontradiksi
Contoh (p  q)  ~(p  q) adalah sebuah kontradiksi
p

q

pq

T
T
F
F

T
F
T
F

T
F
F
F

pq
F
T
T
F

~(p  q)
F
F
F
T

(p  q)  ~(p  q)
F
F
F
F

33

Hukum-hukum Logika
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas:
 p  F  p
 p  T  p

2. Hukum null/dominasi:
 p  F  F
 p  T  T

3. Hukum negasi:
 p  ~p  T
 p  ~p  F

4. Hukum idempoten:
 p  p  p
 p  p  p

5. Hukum involusi (negasi
ganda):
 ~(~p)  p

6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
 p  (p  q)  p
 p  (p  q)  p

34

7. Hukum komutatif:
 p q q p
 p q q p

8. Hukum asosiatif:
 p  (q  r)  (p  q)  r
 p  (q  r)  (p  q)  r

9. Hukum distributif:

10.




p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)




Hukum De Morgan:
~(p  q)  ~p  ~q
~(p  q)  ~p  ~q

35

Penerapan Hukum Logika
Contoh . p  (p  q)  p
p  (p  q)  (p  F)  (p  q)
 p  (F  q)
 pF
 p

(Hukum Identitas)
(Hukum distributif)
(Hukum Null)
(Hukum Identitas)

36

• Contoh. Dua pedagang barang kelontong
mengeluarkan moto jitu untuk menarik
pembeli. Pedagang pertama mengumbar
moto Barang bagus tidak murah sedangkan
pedagang kedua mempunyai moto Barang
murah tidak bagus . Apakah kedua moto
pedagang tersebut menyatakan hal yang
sama?

Solusi:
Misalkan :

p : Barang itu bagus
q : Barang itu murah.

Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidak
murah” atau p  ~ q
Moto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus”
atau q  ~ p.
p

q

~p

~q

p~q

T
T
F
F

T
F
T
F

F
F
T
T

F
T
F
T

F
T
T
T

q~p
F
T
T
T

 p  ~ q  q  ~ p.
 Kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama.

PREDIKAT DAN KUANTIFIKASI

Pengantar
• Pernyataan > punya 2 bagian, yakni
sebagai subjek
dan adalah lebih besar sebagai predikat P.
• Kita dpt simbolkan pernyataan > dengan P(x). Sehingga
kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1).
• Misalkan Q(x,y) menyatakan pernyataan x=y+3. Apa nilai
kebenaran dari Q(1,2) dan Q(3,0).

40

Kuantifikasi Universal
•

P(x) untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan
ditulis
x P(x).
• x P(x) dibaca untuk semua x P(x).
Contoh.
P(x) : x-3 > 5
Apa nilai kebenaran dari P(2) ?
Apa nilai kebenaran dari P(5)?
Apa nilai kebenaran dari P(10)?
Apa nilai kebenaran untuk x P(x), dengan x bilangan
bulat?
41

Kuantifikasi Universal
• Contoh.
Tentukan nilai kebenaran x (x2  x) jika:

x bilangan real
x bilangan bulat
Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan
menunjukkan / mencari satu nilai x dalam domain
sehingga P(x) salah.
Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter
example) dari pernyataan x P(x).

Contoh
Asumsikan x adalah bilanga bulat.
• Apakah nilai kebenaran dari x P(x) dimana
P(x) adalah x2 ≥ ?
• Apakah nilai kebenaran dari x P(x) dimana
P(x) adalah x+1 >x?
• Apakah nilai kebenaran xQ(x) dimana Q(x)
adalah x2>x

Kuantifikasi Eksistensi
•

Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) ditulis
x P(x).
• x P(x) dibaca terdapat x sehingga P(x)
• Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan
>
dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan
bulat positif tidak lebih dari 4.

2

44

Contoh
• Misalkan domain adalah R. Apa nilai
kebenaran dari pernyataan x P(x) dimana x >
5?
• Misalkan domain adalah [-2,4]. Apa nilai
kebenaran dari pernyataan x P(x) dimana x2 >
10?

Kuantifier
Pernyataan
x P(x)

x P(x)

Kapan Benar?
Kapan Salah?
P(x) benar untuk Ada sebuah nilai
setiap x
x dimana P(x)
bernilai salah
Ada sebuah x
P(x) bernilai salah
sehingga P(x)
untuk setiap x
bernilai benar

Negasi
Setiap mahasiswa dalam kelas ini telah mengambil Matematika
Dasar I
[x P(x)]
Apakah negasi dari pernyataan ini….?
Jawab :
Tidak semua mahasiswa dalam kelas ini telah mengambil
Matematika Dasar I.
Atau,
Ada seorang mahasiswa di dalam kelas ini yang belum
mengambil mata kuliah matematika Dasar 1.
• Jadi, ~ x P(x) adalah x ~ P(x)

47

Negasi
Negasi
~ x P(x)
~ x P(x)

Pernyataan Yg
Ekivalen
x ~ P(x)
x ~ P(x)

Contoh
Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
• x(x2>x)
• x(x2=2)
•  bilangan prima x, x adalah bilangan ganjil.
• Beberapa hacker usianya lebih dari 40 tahun.

49

Kuantifier Bersusun
(Nested Quantifier)
x y (x+y = y+x)
berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y.
x y (x+y = 0)
berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0.
x y z (x+(y+z) = (x+y)+z)
berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.

50

Daftar Pustaka
• Munir, Rinaldi.2012.Matematika Diskrit.
Informatika, Bandung
• Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and
its aplications Seven Edition. McGraw-Hill,
New York, 2012.