SKALA,PERBANDINGAN SENILAI, PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
SKALA, PERBANDINGAN SENILAI, DAN PERBANDINGAN BERBALIK
NILAI
Disusun untuk Memenuhi Tugas dalam
Pembelajaran Matematika Sekolah I
Semester 3 Tahun 2011
Oleh Kelompok 1 :
1. Afarit Romadhan
(083174237)
2. Muhammad Parikas M.(083174228)
3. Siska Dyah P.
(103174211)
4. Nindya Vega P.
(103174218)
5. Wijhatuz Zaahirah
(103174229)
6. Eviana Budiarti
(103174232)
Pendidikan Matematika 2010(E)
Universitas Negeri Surabaya
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Matematika
2011
Skala, Perbandingan Senilai, dan Perbandingan Berbalik Nilai
A. PERBANDINGAN
1. Pengertian Perbandingan
Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak hal yang berkaitan dengan
perbandingan, misalnya:
a. Berat badan Qilmi lebih dari berat badan Ganang
b. Uang Vina jumlahnya dua kali uang Ayu
c. Umur Puput kurang dari umur Mayang
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut!
Pak Satria mempunyai dua orang anak, yaitu Hani dan Angga. Umur Hani 14
tahun dan umur Angga 10 tahun.
Kedua besaran di atas dapat dibandingkan dengan dua cara berikut.
1) Umur Hani lebih tua 4 tahun dari umur Angga, atau
Umur Angga lebih muda 4 tahun dari umur Hani
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara
menghitung selisihnya, yaitu 14 – 10 = 4.
2) Umur Hani : umur Angga = 14 : 10 = 7 : 5
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara
menghitung hasil bagi.
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:
Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran, yaitu:
Dengan menghitung selisih
Dengan menghitung hasil bagi
2. Hubungan Perbandingan dengan Pecahan
Perhatikan uraian berikut!
Seorang anak mendapat
bagian kue. Ini berarti kue dibagi menjadi 4 bagian
yang sama besar dan anak itu mendapat satu bagian. Jadi, anak menerima
bagian
dari keseluruhan kue. Hal seperti ini disebut sebagai perbandingan.
Pada perbandingan, tidak selalu membandingkan suatu bagian dengan bagian
keseluruhan, tapi juga membandingkan suatu bagian dengan bagian yang lain.
Perhatikan gambar berikut!
Persegi di samping dibagi menjadi 8 bagian yang sama
besar, dan luas daerah yang diarsir adalah
atau
dari
luas seluruhnya.
Jika A : B = C : D, maka bentuk tersebut dapat ditulis menjadi
Misalnya A : B = 2 : 3 maka
.
atau
Maka, dapat disimpulkan bahwa:
Bentuk A : B = C : D dapat dinyatakan sebagai
3. Perbandingan Dua Besaran Sejenis
Dalam membandingkan dua besaran, besaran-besaran tersebut harus
merupakan besaran yang sejenis, artinya harus mempunyai satuan yang sama. Jika
satuannya belum sama, maka satuan itu harus diubah terlebih dahulu supaya menjadi
sama.
Perhatikan contoh berikut!
1) Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan
lebar meja tersebut dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menghitung
selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm, atau dapat juga dengan menghitung hasil
baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2.
2) Tinggi Amir 170 cm, sedangkan berat badannya 49 kg. Kedua besaran tersebut
tidak bisa diperbandingkan, karena satuan ukuran yang dipakai tidak sama dan
tidak bisa disamakan.
Hasil bagi kedua besaran merupakan suatu bilangan dalam bentuk paling
sederhana, yaitu bentuk
atau
(dibaca
), dengan
merupakan bilangan bulat positif.
Dapat ditulis sebagai berikut.
Perbandingan antara dan dengan adalah
atau
dan dibaca
Untuk menyederhanakan suatu perbandingan, digunakan cara yang sama
untuk menyederhanakan pecahan. Suatu perbandingan dikatakan dalam bentuk yang
sederhana jika masing-masing besaran atau bilangan yang dibandingkan tidak
mempunyai faktor persekutuan.
4. Sifat-sifat Perbandingan
Perhatikan perbandingan berikut!
36 : 4 = 72 : 8
Bentuk perbandingan tersebut dapat ditulis sebagai
Dengan
disebut suku perbandingan pertama
disebut suku perbandingan kedua
Sifat utama I dari perbandingan
adalah perkalian suku tepi sama
dengan perkalian suku tengah.
Jika
maka
Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas perbandingan dikali dengan
masing-masing ruas dikalikan
Sifat utama II adalah kebalikan dari sifat utama I. Jika ad = cb maka a:b = c:d.
Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas dibagi dengan
masing-masing ruas dibagi
Dari bentuk
dapat dilihat bahwa
dan
adalah perkalian dari
pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan itu dan sering disebut sebagai
perkalian silang.
B. SKALA
1. Pengertian Skala
Seandainya kita hendak menggambar sebuah benda, misalkan rumah, tentu
kita tidak dapat melakukannya dengan menggunakan ukuran rumah yang sebenarnya.
Seperti yang kita ketahui bahwa media gambar yaitu kertas gambar yang akan kita
gunakan mempunyai ukuran lebih kecil dari ukuran rumah sebenarnya. Untuk
mengatasi hal tersebut, maka kita memerlukan cara untuk memperkecil ukuran rumah
itu, tetapi tetap mewakili ukuran rumah sebenarnya.
Agar ukuran rumah yang digambar sesuai dan sebangun dengan ukuran rumah
sebenarnya, maka gambar itu dibuat dengan perbandingan tertentu. Perbandingan
antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya disebut skala.
ukuran pada gambar
Skala
ukuran sebenarnya
Perhatikan peta berikut!
Pada peta di atas tertera skala 1 ; 1.350.000, artinya tiap 1 cm pada peta (gambar)
mewakili 1.350.000 cm jarak sebenarnya.
Skala 1 : n artinya setiap 1 cm jarak pada peta
mewakili n cm jarak sebenarnya.
Menentukan jarak pada peta atau jarak sebenarnya dengan menggunakan
skala
Contoh:
a. Dua buah kota x dan y berjarak 120 km. Jika kedua kota itu digambar pada
peta dengan skala 1 : 600.000, maka pada gabar jarak ke dua kota tersebut
digambar dengan ukuran berapa?
Jawab:
Skala = 1 : 600.000
Jarak kota x dan y yang sebenarnya = 120 km = 12.000.000 cm
Maka jarak kota x dan y pada peta =
1
x 12.000.000
600.000
= 20 cm
b. Skala suatu model pesawat udara adalah 1 : 300. Panjang badan pesawat udara
pada model adalah 16 cm dan lebar sayapnya 10 cm. Tentukan panjang badan
dan lebar sayap pesawat pada ukuran sebenarnya.
Jawab:
Skala = 1 : 300
Panjang badan pesawat udara pada model = 16 cm
Lebar sayap pesawat udara pada model = 10 cm
Panjang badan pesawat udara sebenarnya = 16 x 300
= 4800 cm = 48 m
Lebar sayap pesawat udara sebenarnya = 10 x 300
= 3000 cm = 30 m
2. Menghitung Faktor pada Gambar Berskala
Jika kita memperhatikan foto sebuah lukisan, maka kita akan melihat ada
kesamaan bentuk antara foto dan lukisan asli. Namun, ukuran lukisan diperkecil
menjadi ukuran foto dengan perbandingan panjang atau lebar yang sama.
Panjang pada mod el lebar pada mod el
panjang sebenarnya lebar sebenarnya
Contoh:
1. Sebuah gedung tampak pada layar televisi dengan lebar 18 cm dan tinggi 32 cm.
Jika tinggi gedung yang sebenarnya adalah 75 kali tinggi gedung yang tampak di
layar televisi, maka berapakah lebar gedung yang sebenarnya?
Jawab:
Lebar gedung di TV = 18 cm
Tinggi gedung di TV = 32 cm
Tinggi gedung yang sebenarnya = 75 x 32 = 2.400
Lebar gedung sebenarnya = l
Tinggi gedung di TV
Lebar gedung di TV
Tinggi gedung sebenarnya
Lebar gedung sebenarnya
32
2.400
18
l
18
l
x 2.400
32
l 1.350
Jadi lebar gedung sebenarnya adalah 1.350 cm
Foto dan Model Berskala
lebar foto
tinggi foto
lebar bingkai
tinggi bingkai
Foto ukuran 2 x 3 mempunyai bentuk yang sama dengan foto ukuran 4 x 6 dengan
semua bagian diperbesar/diperkecil dengan perbandingan yang sama.
Jadi bagian-bagian yang bersesuaian dari kedua foto mempunyai perbandingan yang
sama.
Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut:
a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.
b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil
Panjang model dengan panjang sebenarnya, lebar model dengan lebar
sebenarnya, tinggi model dan tinggi sebenarnya mempunyai
perbandingan yang sama.
Panjang pada model
Lebar pada model
Tinggi pada model
Panjang sebenarnya
Lebar sebenarnya
Tinggi sebenarnya
Contoh:
Sebuah foto berukuran lebar 8 cm dan tinggi 12 cm akan dibuat bingkai dengan lebar
16 cm. Tentukan tinggi bingkai foto tersebut!
Ukuran-ukuran pada foto bersesuaian dengan ukuran pada bingkainya,
8
12
16
x
8 x 12 x 16
12 x 16
x
8
x 24
Jadi tinggi bingkai foto adalah 24 cm.
C. PERBANDINGAN SENILAI
1. Pengertian Perbandingan Senilai.
Ilustrasi pertama:
Ketika kita membeli premium di suatu pompa bensin, coba kita amati meteran
pada pompa tersebut. Pada meteran itu terdapat angka-angka yang menunjukkan
banyak premium yang dikeluarkan dan angka-angka yang menunjukkan harga
premium yang harus dibayar untuk sebanyak premium yang dikeluarkan. Untuk 1 liter
premium harganya adalah Rp. 4.000,00 dan untuk 2 liter premium harganya adalah
Rp. 8.000,00. Berapa yang harus kita bayarkan untuk membeli premium sebanyak:
a. 15 Liter,
b.
50 Liter?
Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan tabel berikut.
Banyak premium (liter)
Harga Premium (rupiah)
Baris ke-1
1
4.000
Baris ke-2
2
8.000
Baris ke-3
3
12.000
Baris ke-4
4
16.000
Baris ke-5
10
40.000
Baris ke-6
12
48.000
Baris ke-7
15
60.000
Baris ke-8
50
200.000
Baris ke-9
A
B
Jadi, untuk membeli 15 liter dan 50 liter premium kita harus
membayar masing-masing sebesar Rp. 60.000,00 dan Rp. 200.000,00.
kemudian dengan menggunakan data pada tabel diatas kita dapat
membuat perbandingan antara banyak premium dan perbandingan harga
premium pada dua baris tertentu, seperti dalam tabel berikut:
Baris yang dibandingkan
Perbandingan
banyak premium
harga premium
Baris ke-1 : baris ke-2
Baris ke-3 : baris ke-5
1:2
3 : 10
4000 : 8.000 = 1 : 2
12.000 : 40.000 = 3 : 10
Baris ke-5 : baris ke-8
10 : 50 = 1 : 5
40.000 : 200.000 = 1 : 5
Dari Tabel di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa perbandingan
banyak premium dengan perbandingan harga premium pada dua baris tertentu adalah
sama.
Ilustrasi kedua:
Pernahkah kalian membeli buku di toko buku?
Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka berapa harga 5 buah buku ??
Harga 5 buku = 5 × Rp2.500,00 = Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar.
Perbandingan dari ilustrasi 1 dan 2 disebut perbandingan senilai, yaitu dua
perbandingan yang bernilai sama. Pada perbandingan senilai jika besar ukuran
bertambah, maka nilai satuannya juga bertambah. Sebaliknya, jika besar ukuran
berkurang, maka nilai satuannya juga berkurang.
2. Menghitung perbandingan senilai
Berdasarkan nilai satuan
Jika harga a barang adalah b rupiah, maka kita dapat menghitung harga p barang
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Carilah harga setiap satu satuan barang.
Harga satu satuan barang =
b
a
rupiah.
2. Carilah p satuan barang.
Harga p satuan barang =
b
a
x p rupiah.
Contoh :
1.
Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga:
a. 1 kue
b. 8 kue
Jawab:
Harga 3 kue = Rp. 7.500,00
a.
Harga 1 kue
=
7.500
3
= 2.500
Harga 1 kue Rp 2.500,00
b.
Harga 8 kue
= 8 x 2.500
= 20.000
Harga 8 kue Rp. 20.000,00
2.
Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00.
Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Jawab:
Biaya sewa selama 3 hari = 270.000
Biaya sewa selama 1 hari =
270.000
3
= 90.000
Biaya sewa selama 10 hari = 10 x 90.000
= 900.000
Jadi, biaya sewa 10 hari adalah Rp. 900.000,00
3.
Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24
km. Berapa jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin?
Jawab:
3 liter bensin menempuh jarak 24 km, sehingga 1 liter bensin menempuh jarak:
24
8
3
Jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin = 45 × 8 = 360 km.
Berdasarkan perbandingan
Contoh 1, 2, dan 3 diatas juga bisa diselesaikan dengan menggunakan
perbandingan.
1. Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga:
a. 1 kue
b. 8 kue
Jawab:
Banyak kue (buah)
Harga kue (rupiah)
3
7.500
8
8
x 7.500 = 20.000
3
Banyak kue
Harga kue
3
7500
8
p
8 x 7500 = 3 x p
60000
=3p
p
=
p
= 20000
Jadi, harga 8 kue adalah Rp 20.000,00.
2. Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00.
Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Lama sewa (hari)
Biaya sewa (rupiah)
3
270.000
10
10
x 270.000 =
3
900.000
Lama sewa
Biaya sewa
3
270.000
10
x
10 x 270.000 = 3 x
2.700.000
=3p
x
=
x
= 900.000
Jadi, biaya sewa selama 10 hari adalah Rp. 900.000,00.
3. Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24 km. Berapa
jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin?
Jawab:
Banyak Bensin
Jarak yang Ditempuh
3 liter
24 km
45 liter
x
3 : 45 = 24 : x
3x = 45 x 24
x = 360
Jadi, jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin adalah 360 km.
D. Perbandingan Berbalik Nilai
1. Pengertian Berbalik Nilai
Tabel berikut ini memuat hubungan antara banyak ternak dan
banyak hari yang diperlukan untuk menghabiskan persediaan makanan
yang banyaknya tertentu.
Banyak ternak
6
Banyak hari
20
Keterangan
Baris ke-1
8
15
Baris ke-2
10
12
Baris ke-3
12
10
Baris ke-4
15
8
Baris ke-5
A
b
Baris ke-6
Tabel diatas menunjukkan korespondensi satu-satu antara banyak ternak
dengan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan dalam jumlah yang
sama. Hasil kali antara banyak ternak dengan banyak hari selalu sama dalam setiap
baris, yaitu:
Selanjutnya akan ditentukan perbandingan antara banyak ternak dan
perbandingan antara banyak hari pada dua baris tertentu.
Perhatikan baris ke-1 dan ke-2
merupakan kebalikan dari
Perhatikan baris ke-2 dan ke-4
merupakan kebalikan dari
Dari contoh-contoh diatas, ternyata perbandingan banyak ternak dan
perbandingan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan yang sama
banyak saling berkebalikan nilainya.
Periksalah bahwa untuk perbandingan pada baris-baris yang lain, akan di dapat
perbandingan yang saling berkebalikan nilainya juga.
Jika banyak ternak dikalikan , maka banyak hari yang diperlukan untuk
Pada perbandingan berbalik nilai (berbalik
menghabiskan persediaan makanan dikalikan
harga): . Dalam hal ini dikatakan bahwa
Jika banyak hewan bertambah, maka
banyak hari untuk menghabiskan
makanan berkurang.
Jika banyak hewan berkurang, maka
banyak hari untuk menghabiskan
makanan bertambah.
Perbandingan banyak ternak dan perbandingan banyak hari merupakan
perbandingan berbalik nilai atau berbalik harga.
2. Perhitungan dalam Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)
Untuk menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan perbandingan
berbalik nilai dapat dilakukan dengan 2 cara berikut:
a. Perhitungan berdasarkan hasil kali
Contoh:
1) Untuk menempuh jarak dari kota A ke kota B dengan mengendarai mobil
diperlukan waktu 4 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Berapakah
waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak itu, jika kecepatan rata-ratanya
80km/jam?
Jawab:
Jika kecepatan bertambah, maka waktu harus berkurang.
Soal diatas merupakan persoalan perbandingan berbalik nilai.
Waktu
yang
Kecepatan rata-
diperlukan
4 jam
rata
60km/jam
t jam
80km/jam
Jadi, waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak kedua kota tersebut
dengan kecepatan rata-rata 80km/jam adalah 3 jam.
2) Sekaleng kelereng dibagikan kepada 45 anak, masing-masing mendapatkan 8
kelereng. Jika kelereng dibagikan kepada 30 anak, berapa banyak kelereng
yang didapat masing-masing anak?
Jawab:
Banyak Anak
45
Banyak Kelereng
8
30
k
Jadi, masing-masing anak mendapatkan 12 buah kelereng.
b. Perhitunganberdasarkan perbandingan
Contoh:
1) Seorang petani mempunyai makanan yang cukup untuk 75 ekor sapi selama 20
hari. Kapankah persediaan makanan itu akan habis, jika banyak sapi 60 ekor?
Jawab:
Banyak Sapi
75
Banyak Hari
20
60
s
Jadi, untuk 60 ekor sapi, persediaan makanan akan habis selama 25 hari.
2) Ketua asrama memperkirakan bahwa persediaan makanan cukup untuk 30
anak selama 10 hari. Jika penghuni asrama bertambah 30 anak lagi, berapa
harikah persediaan makanan itu akan habis?
Jawab:
Banyak Anak
30
Banyak Hari
10
(30+30)
x
Jadi, makanan akan habis dalam waktu 5 hari.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, Cholik, Susijono. 2005. Matematika Untuk SMP /MTs Kelas VII. Jakarta:
Erlangga
Adinawan, Cholik, Susijono. 2006. Matematika Untuk SMP /MTs Kelas VII KTSP. Jakarta:
Erlangga
Kusrini, dkk. 2004. Buku Siswa Matematika Kelas VII Sekolah Menengah Pertama.
Surabaya: Departemen Pendidikan Nasional
Syamsul Junaidi, Eko Siswono. 2006. Matematika SMP Untuk Kelas VII. Surabaya: Gelora
Aksara Pratama
Winarti, Atik dkk. 2005. Mari Belajar Matematika Untuk SMP dan MTs Kelas VII. Surabaya:
SIC
Wagiyo, A dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika 1 untuk SMP/MTS Kelas VII. Jakarta:
Departemen Pendidikan Nasional
NILAI
Disusun untuk Memenuhi Tugas dalam
Pembelajaran Matematika Sekolah I
Semester 3 Tahun 2011
Oleh Kelompok 1 :
1. Afarit Romadhan
(083174237)
2. Muhammad Parikas M.(083174228)
3. Siska Dyah P.
(103174211)
4. Nindya Vega P.
(103174218)
5. Wijhatuz Zaahirah
(103174229)
6. Eviana Budiarti
(103174232)
Pendidikan Matematika 2010(E)
Universitas Negeri Surabaya
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Matematika
2011
Skala, Perbandingan Senilai, dan Perbandingan Berbalik Nilai
A. PERBANDINGAN
1. Pengertian Perbandingan
Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak hal yang berkaitan dengan
perbandingan, misalnya:
a. Berat badan Qilmi lebih dari berat badan Ganang
b. Uang Vina jumlahnya dua kali uang Ayu
c. Umur Puput kurang dari umur Mayang
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut!
Pak Satria mempunyai dua orang anak, yaitu Hani dan Angga. Umur Hani 14
tahun dan umur Angga 10 tahun.
Kedua besaran di atas dapat dibandingkan dengan dua cara berikut.
1) Umur Hani lebih tua 4 tahun dari umur Angga, atau
Umur Angga lebih muda 4 tahun dari umur Hani
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara
menghitung selisihnya, yaitu 14 – 10 = 4.
2) Umur Hani : umur Angga = 14 : 10 = 7 : 5
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara
menghitung hasil bagi.
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:
Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran, yaitu:
Dengan menghitung selisih
Dengan menghitung hasil bagi
2. Hubungan Perbandingan dengan Pecahan
Perhatikan uraian berikut!
Seorang anak mendapat
bagian kue. Ini berarti kue dibagi menjadi 4 bagian
yang sama besar dan anak itu mendapat satu bagian. Jadi, anak menerima
bagian
dari keseluruhan kue. Hal seperti ini disebut sebagai perbandingan.
Pada perbandingan, tidak selalu membandingkan suatu bagian dengan bagian
keseluruhan, tapi juga membandingkan suatu bagian dengan bagian yang lain.
Perhatikan gambar berikut!
Persegi di samping dibagi menjadi 8 bagian yang sama
besar, dan luas daerah yang diarsir adalah
atau
dari
luas seluruhnya.
Jika A : B = C : D, maka bentuk tersebut dapat ditulis menjadi
Misalnya A : B = 2 : 3 maka
.
atau
Maka, dapat disimpulkan bahwa:
Bentuk A : B = C : D dapat dinyatakan sebagai
3. Perbandingan Dua Besaran Sejenis
Dalam membandingkan dua besaran, besaran-besaran tersebut harus
merupakan besaran yang sejenis, artinya harus mempunyai satuan yang sama. Jika
satuannya belum sama, maka satuan itu harus diubah terlebih dahulu supaya menjadi
sama.
Perhatikan contoh berikut!
1) Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan
lebar meja tersebut dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menghitung
selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm, atau dapat juga dengan menghitung hasil
baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2.
2) Tinggi Amir 170 cm, sedangkan berat badannya 49 kg. Kedua besaran tersebut
tidak bisa diperbandingkan, karena satuan ukuran yang dipakai tidak sama dan
tidak bisa disamakan.
Hasil bagi kedua besaran merupakan suatu bilangan dalam bentuk paling
sederhana, yaitu bentuk
atau
(dibaca
), dengan
merupakan bilangan bulat positif.
Dapat ditulis sebagai berikut.
Perbandingan antara dan dengan adalah
atau
dan dibaca
Untuk menyederhanakan suatu perbandingan, digunakan cara yang sama
untuk menyederhanakan pecahan. Suatu perbandingan dikatakan dalam bentuk yang
sederhana jika masing-masing besaran atau bilangan yang dibandingkan tidak
mempunyai faktor persekutuan.
4. Sifat-sifat Perbandingan
Perhatikan perbandingan berikut!
36 : 4 = 72 : 8
Bentuk perbandingan tersebut dapat ditulis sebagai
Dengan
disebut suku perbandingan pertama
disebut suku perbandingan kedua
Sifat utama I dari perbandingan
adalah perkalian suku tepi sama
dengan perkalian suku tengah.
Jika
maka
Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas perbandingan dikali dengan
masing-masing ruas dikalikan
Sifat utama II adalah kebalikan dari sifat utama I. Jika ad = cb maka a:b = c:d.
Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas dibagi dengan
masing-masing ruas dibagi
Dari bentuk
dapat dilihat bahwa
dan
adalah perkalian dari
pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan itu dan sering disebut sebagai
perkalian silang.
B. SKALA
1. Pengertian Skala
Seandainya kita hendak menggambar sebuah benda, misalkan rumah, tentu
kita tidak dapat melakukannya dengan menggunakan ukuran rumah yang sebenarnya.
Seperti yang kita ketahui bahwa media gambar yaitu kertas gambar yang akan kita
gunakan mempunyai ukuran lebih kecil dari ukuran rumah sebenarnya. Untuk
mengatasi hal tersebut, maka kita memerlukan cara untuk memperkecil ukuran rumah
itu, tetapi tetap mewakili ukuran rumah sebenarnya.
Agar ukuran rumah yang digambar sesuai dan sebangun dengan ukuran rumah
sebenarnya, maka gambar itu dibuat dengan perbandingan tertentu. Perbandingan
antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya disebut skala.
ukuran pada gambar
Skala
ukuran sebenarnya
Perhatikan peta berikut!
Pada peta di atas tertera skala 1 ; 1.350.000, artinya tiap 1 cm pada peta (gambar)
mewakili 1.350.000 cm jarak sebenarnya.
Skala 1 : n artinya setiap 1 cm jarak pada peta
mewakili n cm jarak sebenarnya.
Menentukan jarak pada peta atau jarak sebenarnya dengan menggunakan
skala
Contoh:
a. Dua buah kota x dan y berjarak 120 km. Jika kedua kota itu digambar pada
peta dengan skala 1 : 600.000, maka pada gabar jarak ke dua kota tersebut
digambar dengan ukuran berapa?
Jawab:
Skala = 1 : 600.000
Jarak kota x dan y yang sebenarnya = 120 km = 12.000.000 cm
Maka jarak kota x dan y pada peta =
1
x 12.000.000
600.000
= 20 cm
b. Skala suatu model pesawat udara adalah 1 : 300. Panjang badan pesawat udara
pada model adalah 16 cm dan lebar sayapnya 10 cm. Tentukan panjang badan
dan lebar sayap pesawat pada ukuran sebenarnya.
Jawab:
Skala = 1 : 300
Panjang badan pesawat udara pada model = 16 cm
Lebar sayap pesawat udara pada model = 10 cm
Panjang badan pesawat udara sebenarnya = 16 x 300
= 4800 cm = 48 m
Lebar sayap pesawat udara sebenarnya = 10 x 300
= 3000 cm = 30 m
2. Menghitung Faktor pada Gambar Berskala
Jika kita memperhatikan foto sebuah lukisan, maka kita akan melihat ada
kesamaan bentuk antara foto dan lukisan asli. Namun, ukuran lukisan diperkecil
menjadi ukuran foto dengan perbandingan panjang atau lebar yang sama.
Panjang pada mod el lebar pada mod el
panjang sebenarnya lebar sebenarnya
Contoh:
1. Sebuah gedung tampak pada layar televisi dengan lebar 18 cm dan tinggi 32 cm.
Jika tinggi gedung yang sebenarnya adalah 75 kali tinggi gedung yang tampak di
layar televisi, maka berapakah lebar gedung yang sebenarnya?
Jawab:
Lebar gedung di TV = 18 cm
Tinggi gedung di TV = 32 cm
Tinggi gedung yang sebenarnya = 75 x 32 = 2.400
Lebar gedung sebenarnya = l
Tinggi gedung di TV
Lebar gedung di TV
Tinggi gedung sebenarnya
Lebar gedung sebenarnya
32
2.400
18
l
18
l
x 2.400
32
l 1.350
Jadi lebar gedung sebenarnya adalah 1.350 cm
Foto dan Model Berskala
lebar foto
tinggi foto
lebar bingkai
tinggi bingkai
Foto ukuran 2 x 3 mempunyai bentuk yang sama dengan foto ukuran 4 x 6 dengan
semua bagian diperbesar/diperkecil dengan perbandingan yang sama.
Jadi bagian-bagian yang bersesuaian dari kedua foto mempunyai perbandingan yang
sama.
Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut:
a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.
b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil
Panjang model dengan panjang sebenarnya, lebar model dengan lebar
sebenarnya, tinggi model dan tinggi sebenarnya mempunyai
perbandingan yang sama.
Panjang pada model
Lebar pada model
Tinggi pada model
Panjang sebenarnya
Lebar sebenarnya
Tinggi sebenarnya
Contoh:
Sebuah foto berukuran lebar 8 cm dan tinggi 12 cm akan dibuat bingkai dengan lebar
16 cm. Tentukan tinggi bingkai foto tersebut!
Ukuran-ukuran pada foto bersesuaian dengan ukuran pada bingkainya,
8
12
16
x
8 x 12 x 16
12 x 16
x
8
x 24
Jadi tinggi bingkai foto adalah 24 cm.
C. PERBANDINGAN SENILAI
1. Pengertian Perbandingan Senilai.
Ilustrasi pertama:
Ketika kita membeli premium di suatu pompa bensin, coba kita amati meteran
pada pompa tersebut. Pada meteran itu terdapat angka-angka yang menunjukkan
banyak premium yang dikeluarkan dan angka-angka yang menunjukkan harga
premium yang harus dibayar untuk sebanyak premium yang dikeluarkan. Untuk 1 liter
premium harganya adalah Rp. 4.000,00 dan untuk 2 liter premium harganya adalah
Rp. 8.000,00. Berapa yang harus kita bayarkan untuk membeli premium sebanyak:
a. 15 Liter,
b.
50 Liter?
Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan tabel berikut.
Banyak premium (liter)
Harga Premium (rupiah)
Baris ke-1
1
4.000
Baris ke-2
2
8.000
Baris ke-3
3
12.000
Baris ke-4
4
16.000
Baris ke-5
10
40.000
Baris ke-6
12
48.000
Baris ke-7
15
60.000
Baris ke-8
50
200.000
Baris ke-9
A
B
Jadi, untuk membeli 15 liter dan 50 liter premium kita harus
membayar masing-masing sebesar Rp. 60.000,00 dan Rp. 200.000,00.
kemudian dengan menggunakan data pada tabel diatas kita dapat
membuat perbandingan antara banyak premium dan perbandingan harga
premium pada dua baris tertentu, seperti dalam tabel berikut:
Baris yang dibandingkan
Perbandingan
banyak premium
harga premium
Baris ke-1 : baris ke-2
Baris ke-3 : baris ke-5
1:2
3 : 10
4000 : 8.000 = 1 : 2
12.000 : 40.000 = 3 : 10
Baris ke-5 : baris ke-8
10 : 50 = 1 : 5
40.000 : 200.000 = 1 : 5
Dari Tabel di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa perbandingan
banyak premium dengan perbandingan harga premium pada dua baris tertentu adalah
sama.
Ilustrasi kedua:
Pernahkah kalian membeli buku di toko buku?
Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka berapa harga 5 buah buku ??
Harga 5 buku = 5 × Rp2.500,00 = Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar.
Perbandingan dari ilustrasi 1 dan 2 disebut perbandingan senilai, yaitu dua
perbandingan yang bernilai sama. Pada perbandingan senilai jika besar ukuran
bertambah, maka nilai satuannya juga bertambah. Sebaliknya, jika besar ukuran
berkurang, maka nilai satuannya juga berkurang.
2. Menghitung perbandingan senilai
Berdasarkan nilai satuan
Jika harga a barang adalah b rupiah, maka kita dapat menghitung harga p barang
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Carilah harga setiap satu satuan barang.
Harga satu satuan barang =
b
a
rupiah.
2. Carilah p satuan barang.
Harga p satuan barang =
b
a
x p rupiah.
Contoh :
1.
Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga:
a. 1 kue
b. 8 kue
Jawab:
Harga 3 kue = Rp. 7.500,00
a.
Harga 1 kue
=
7.500
3
= 2.500
Harga 1 kue Rp 2.500,00
b.
Harga 8 kue
= 8 x 2.500
= 20.000
Harga 8 kue Rp. 20.000,00
2.
Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00.
Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Jawab:
Biaya sewa selama 3 hari = 270.000
Biaya sewa selama 1 hari =
270.000
3
= 90.000
Biaya sewa selama 10 hari = 10 x 90.000
= 900.000
Jadi, biaya sewa 10 hari adalah Rp. 900.000,00
3.
Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24
km. Berapa jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin?
Jawab:
3 liter bensin menempuh jarak 24 km, sehingga 1 liter bensin menempuh jarak:
24
8
3
Jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin = 45 × 8 = 360 km.
Berdasarkan perbandingan
Contoh 1, 2, dan 3 diatas juga bisa diselesaikan dengan menggunakan
perbandingan.
1. Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga:
a. 1 kue
b. 8 kue
Jawab:
Banyak kue (buah)
Harga kue (rupiah)
3
7.500
8
8
x 7.500 = 20.000
3
Banyak kue
Harga kue
3
7500
8
p
8 x 7500 = 3 x p
60000
=3p
p
=
p
= 20000
Jadi, harga 8 kue adalah Rp 20.000,00.
2. Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00.
Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Lama sewa (hari)
Biaya sewa (rupiah)
3
270.000
10
10
x 270.000 =
3
900.000
Lama sewa
Biaya sewa
3
270.000
10
x
10 x 270.000 = 3 x
2.700.000
=3p
x
=
x
= 900.000
Jadi, biaya sewa selama 10 hari adalah Rp. 900.000,00.
3. Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24 km. Berapa
jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin?
Jawab:
Banyak Bensin
Jarak yang Ditempuh
3 liter
24 km
45 liter
x
3 : 45 = 24 : x
3x = 45 x 24
x = 360
Jadi, jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin adalah 360 km.
D. Perbandingan Berbalik Nilai
1. Pengertian Berbalik Nilai
Tabel berikut ini memuat hubungan antara banyak ternak dan
banyak hari yang diperlukan untuk menghabiskan persediaan makanan
yang banyaknya tertentu.
Banyak ternak
6
Banyak hari
20
Keterangan
Baris ke-1
8
15
Baris ke-2
10
12
Baris ke-3
12
10
Baris ke-4
15
8
Baris ke-5
A
b
Baris ke-6
Tabel diatas menunjukkan korespondensi satu-satu antara banyak ternak
dengan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan dalam jumlah yang
sama. Hasil kali antara banyak ternak dengan banyak hari selalu sama dalam setiap
baris, yaitu:
Selanjutnya akan ditentukan perbandingan antara banyak ternak dan
perbandingan antara banyak hari pada dua baris tertentu.
Perhatikan baris ke-1 dan ke-2
merupakan kebalikan dari
Perhatikan baris ke-2 dan ke-4
merupakan kebalikan dari
Dari contoh-contoh diatas, ternyata perbandingan banyak ternak dan
perbandingan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan yang sama
banyak saling berkebalikan nilainya.
Periksalah bahwa untuk perbandingan pada baris-baris yang lain, akan di dapat
perbandingan yang saling berkebalikan nilainya juga.
Jika banyak ternak dikalikan , maka banyak hari yang diperlukan untuk
Pada perbandingan berbalik nilai (berbalik
menghabiskan persediaan makanan dikalikan
harga): . Dalam hal ini dikatakan bahwa
Jika banyak hewan bertambah, maka
banyak hari untuk menghabiskan
makanan berkurang.
Jika banyak hewan berkurang, maka
banyak hari untuk menghabiskan
makanan bertambah.
Perbandingan banyak ternak dan perbandingan banyak hari merupakan
perbandingan berbalik nilai atau berbalik harga.
2. Perhitungan dalam Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)
Untuk menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan perbandingan
berbalik nilai dapat dilakukan dengan 2 cara berikut:
a. Perhitungan berdasarkan hasil kali
Contoh:
1) Untuk menempuh jarak dari kota A ke kota B dengan mengendarai mobil
diperlukan waktu 4 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Berapakah
waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak itu, jika kecepatan rata-ratanya
80km/jam?
Jawab:
Jika kecepatan bertambah, maka waktu harus berkurang.
Soal diatas merupakan persoalan perbandingan berbalik nilai.
Waktu
yang
Kecepatan rata-
diperlukan
4 jam
rata
60km/jam
t jam
80km/jam
Jadi, waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak kedua kota tersebut
dengan kecepatan rata-rata 80km/jam adalah 3 jam.
2) Sekaleng kelereng dibagikan kepada 45 anak, masing-masing mendapatkan 8
kelereng. Jika kelereng dibagikan kepada 30 anak, berapa banyak kelereng
yang didapat masing-masing anak?
Jawab:
Banyak Anak
45
Banyak Kelereng
8
30
k
Jadi, masing-masing anak mendapatkan 12 buah kelereng.
b. Perhitunganberdasarkan perbandingan
Contoh:
1) Seorang petani mempunyai makanan yang cukup untuk 75 ekor sapi selama 20
hari. Kapankah persediaan makanan itu akan habis, jika banyak sapi 60 ekor?
Jawab:
Banyak Sapi
75
Banyak Hari
20
60
s
Jadi, untuk 60 ekor sapi, persediaan makanan akan habis selama 25 hari.
2) Ketua asrama memperkirakan bahwa persediaan makanan cukup untuk 30
anak selama 10 hari. Jika penghuni asrama bertambah 30 anak lagi, berapa
harikah persediaan makanan itu akan habis?
Jawab:
Banyak Anak
30
Banyak Hari
10
(30+30)
x
Jadi, makanan akan habis dalam waktu 5 hari.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, Cholik, Susijono. 2005. Matematika Untuk SMP /MTs Kelas VII. Jakarta:
Erlangga
Adinawan, Cholik, Susijono. 2006. Matematika Untuk SMP /MTs Kelas VII KTSP. Jakarta:
Erlangga
Kusrini, dkk. 2004. Buku Siswa Matematika Kelas VII Sekolah Menengah Pertama.
Surabaya: Departemen Pendidikan Nasional
Syamsul Junaidi, Eko Siswono. 2006. Matematika SMP Untuk Kelas VII. Surabaya: Gelora
Aksara Pratama
Winarti, Atik dkk. 2005. Mari Belajar Matematika Untuk SMP dan MTs Kelas VII. Surabaya:
SIC
Wagiyo, A dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika 1 untuk SMP/MTS Kelas VII. Jakarta:
Departemen Pendidikan Nasional