SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5 PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri
Integral Trigonometri
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ � � ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �� � ⅆ� atau ∫ � � � ⅆ�
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� atau ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
��
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�?
� ⅆ�
� ⅆ�
� �� � ⅆ�
� � � � ⅆ�?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi?
Dan masih ban�ak �ang lainn�a….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 243
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ � � ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�
Untuk bentuk ∫ tan � ⅆ� dan ∫ cot � ⅆ�, maka ubah bentuk tan � dan cot � menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
tan � =
cot � =
sin �
cos �
cos �
sin �
Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:
∫
∫
sin �
ⅆ�
cos �
cos �
ⅆ�
sin �
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫ ⅆ� = ln|�| + �
�
Serta ingat juga sifat logaritma (ln � = log � = logaritma natural) berikut:
ln
�
= − ln �
Contoh Soal 1:
∫ tan � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sin �
ⅆ�
cos �
sin � ⅆ cos �
=∫
cos � − sin �
∫ tan � ⅆ� = ∫
= −∫
cos �
ⅆ cos �
= − ln|cos �| + �= − ln |
Contoh Soal 2:
sec �
| + � = ln|sec �| + �
∫ tan � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sin
cos
sin
=∫
cos
∫ tan � ⅆ� = ∫
=− ∫
�
ⅆ�
�
� ⅆ cos �
� − sin �
cos �
ⅆ cos �
= − ln|cos �| + �= − ln |
Halaman 244
sec �
| + � = ln|sec �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cot � ⅆ� = ….
Pembahasan:
cos �
ⅆ�
sin �
cos � ⅆ sin �
=∫
sin � cos �
∫ cot � ⅆ� = ∫
=∫
Contoh Soal 4:
ⅆ sin �
sin �
= ln|sin �| + �
∫ cot � ⅆ� = ….
Pembahasan:
cot
sin
cos
=∫
sin
∫ cot � ⅆ� = ∫
= ∫
�
ⅆ�
�
� ⅆ sin �
� sin �
cos �
ⅆ cos �
= ln|sin �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 245
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �� � ⅆ� atau ∫ � � � ⅆ�
Untuk bentuk ∫ sec � ⅆ� dan ∫ csc � ⅆ�, maka ubah bentuk sec � dan csc � menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
sec � =
csc � =
cos �
sin �
Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:
∫
sec � + sec � tan �
ⅆ�
sec � + tan �
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫ ⅆ� = ln|�| + �
�
Contoh Soal 1:
∫ sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sec � + tan �
) ⅆ�
∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � × (
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
=∫
ⅆ�
sec � + tan �
sec � + sec � tan � ⅆ sec � + tan �
=∫
sec � tan � + sec �
sec � + tan �
=∫
Contoh Soal 2:
ⅆ sec � + tan �
sec � + tan �
= ln|sec � + tan �| + �
∫ sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sec � + tan �
) ⅆ�
∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � × (
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
=∫
ⅆ�
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
ⅆ
=∫
sec � + tan �
sec
sec � + sec � tan �
ⅆ
=∫
sec � + tan �
sec
= ∫
sec � + tan �
sec � + tan �
� tan � + sec �
sec � + tan �
� tan � + sec �
ⅆ sec � + tan �
= ln|sec � + tan �| + �
Halaman 246
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
csc � − cot �
∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � × (
) ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ�
=∫
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
− csc � cot � + csc �
csc � − csc � cot � ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
= −∫
Contoh Soal 4:
ⅆ csc � − cot �
csc � − cot �
= ln|csc � − cot �| + �
∫ csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
csc � − cot �
∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � × (
) ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
=∫
ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
− csc � cot � + csc �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � + cot �
=∫
csc � − csc � cot �
csc � − cot �
= ∫
csc � − cot �
ⅆ csc � − cot �
= − ln|csc � − cot �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 247
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� dengan = bilangan ganjil?
� ⅆ� dengan = bilangan ganjil?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ sin � =
⇒ cos � =
− cos �
− sin �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin � cos � ⅆ�
∫ cos � sin � ⅆ�
Contoh Soal 1:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�
=∫
− cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �
Contoh Soal 2:
= − cos � + cos � + �
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�
= ∫ sin �
=∫
=∫
∙ sin � ⅆ�
− cos �
sin � ⅆ�
− cos � + cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � + cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ� + ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
ⅆ cos �
+ ∫ cos � sin �
− sin �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos � − ∫ cos � ⅆ cos �
Halaman 248
= − cos � + cos � − cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�
=∫
− sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
cos �
= sin � − ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � − sin � + �
Contoh Soal 4:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�
= ∫ cos �
=∫
=∫
∙ cos � ⅆ�
− sin �
cos � ⅆ�
− sin � + sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � + sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ� + ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
ⅆ sin �
+ ∫ sin � cos �
cos �
cos �
= sin � + ∫ sin � ⅆ sin � − ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � − sin � + sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 249
Contoh Soal 5:
∫ sin
� ⅆ� = ….
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
Pembahasan:
= ∫ sin
= ∫ sin
= ∫
�
ⅆ �
�ⅆ �
� ∙ sin � ⅆ �
− cos
� sin � ⅆ �
= ∫ sin � − cos
� sin � ⅆ �
= [∫ sin � ⅆ � − ∫ cos
= [ − cos � − ∫ cos
= [− cos � + ∫ cos
= − cos � + ∫ cos
= − cos � + ∙ cos
Contoh Soal 6:
= − cos � + cos
∫ cos
� ⅆ� = ….
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
Pembahasan:
= ∫ cos
= ∫ cos
= ∫
�
� sin �
� ⅆ cos � ]
� ⅆ cos �
�+�
�+�
ⅆ �
� ∙ cos � ⅆ �
� cos � ⅆ �
= ∫ cos � − sin
� cos � ⅆ �
= [∫ cos � ⅆ � − ∫ sin
= [ sin � − ∫ sin
= [sin � − ∫ sin
= sin � − ∫ sin
= sin � − ∙ sin
Halaman 250
ⅆ cos �
]
− sin �
�ⅆ �
− sin
= sin � −
� sin � ⅆ � ]
sin
� cos � ⅆ � ]
� cos �
ⅆ sin �
]
cos �
� ⅆ sin � ]
� ⅆ sin �
�+�
�+�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ �
� ⅆ� dengan
∫ sin � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +
�+
= ∫ sin
�
= ∫ sin
� sin � ⅆ� (Ingat sifat pangkat sin
�
= ∫ sin �
=∫
= −∫
− cos �
�
�
− cos �
sin � ⅆ�
= ∑ �� ∙
− cos �
�
�=
�
�
�=
�=
�
−�
∙
�−�
�
�−�
∙ − cos �
�
ⅆ cos �
�
= − ∑ � �� ∫ − cos �
ⅆ cos �
�=
�=
�
= − ∑ � �� ∫( −
�=
�
= − ∑ � �� ∫ −
�=
�
= − ∑ � �� ∙ −
�
�=
cos �
∫ cos
�
=∑ −
∙ � �� ∙ −
=∑ −
�+
∙ � �� ∫ cos
=∑ −
�+
∙ � �� ∙
�=
�
�=
�
�=
�
=∑
�=
−
�+
�+
∙ � ��
Ingat − cos �
�
�+
ⅆ cos �
� ⅆ cos �
∫ cos
�+
cos
�
�
�
�
�+
�
�
Ingat ( −
=
jadi co�et saja)
=( −
�
∙ cos �)
�
�
∙ cos �) = −
cos �
(Kelua�kan konstanta dan cos �
�
�
= cos
�
�)
Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma
� ⅆ cos �
� ⅆ cos �
cos
�−�
Kelua�kan konstanta da�i integ�al
ⅆ cos �
�
(Ingat
∙ cos �) ⅆ cos �
�
�
�
�
∙ − cos �
= − ∫ ∑ � �� ∙ − cos �
�
− cos �
�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a
= ∑ � �� ∙
= − ∫ ∑ � �� ∙
� = sin � � )
ⅆ cos �
Ingat Binomial Ne�ton:
+
�
� sin �)
ⅆ cos �
− sin �
sin �
�
�
= sin
Ingat identitas t�igonomet�i sin � =
sin � ⅆ�
− cos �
=∫
�+
� ⅆ� (Ingat sifat pangkat sin
= bilangan ganjil?
(Ingat −
(Ingat ∫ cos
∙ � �� ∙ −
�
�
� ⅆ cos � =
Rapikan bentukn�a
= −
�+
�+
cos
)
�+
�)
Ho�e! �elesai
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal da�i negatif, lalu be�gantian negatif positif negatif positif dst….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 251
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+�
Bilangan ganjil
∫ sin � ⅆ� = −
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin � ⅆ� = − cos � +
Halaman 252
cos � −
�
�
+
�
�
−
�
�
�
�
+�
cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+
+�
Bilangan ganjil
∫ sin � ⅆ� = −
�
�
+
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin � ⅆ� = − cos � + cos � −
�
�
−
�
�
�
�
+
�
�
�
�
+�
cos � + cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 253
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin
� ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin
� ⅆ� = �
�
+ �
�
+�
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
�
Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi
.
Sehingga,
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
Artinya,
�
ⅆ
�
= ∫ sin
�ⅆ �
�ⅆ �
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin
�ⅆ � = −
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin
�ⅆ � = −
+
+�
Bilangan ganjil
∫ sin
�ⅆ � = −
�
��
+
�
��
+�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin
Halaman 254
� ⅆ� = ∫ sin
� ⅆ � = ( – cos � +
= − cos � +
cos
cos
� + �)
� +�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ �
∫ cos � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +
= ∫ cos
= ∫ cos
�+
�
� ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos
� cos � ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos
�
= ∫ cos �
− sin �
�
=∫
− sin �
�
− sin �
cos � ⅆ�
�
cos �
�
− sin �
�
−�
�
�=
�
�=
�−�
∙ − sin �
∙ − sin �
�
ⅆ sin �
�
= ∑ � �� ∫ − sin �
ⅆ sin �
�=
�=
�
= ∑ � �� ∫( −
�=
�
= ∑ � �� ∫ −
�=
�
= ∑ � �� ∙ −
�=
�
�
�
�
�
� ⅆ sin �
(Ingat ∫ sin
∙ � �� ∙
�=
�+
∙ � ��
sin
�+
�+
sin
�
�+
=
jadi co�et saja)
�
=( −
�
∙ sin �)
�
∙ sin �) = −
�
sin �
(Kelua�kan konstanta dan cos �
(Ingat −
�
�
Ingat ( −
� ⅆ sin �
=∑ −
−
ⅆ sin �
�
�
∙ � �� ∫ sin
=∑
�−�
∫ sin
�
�=
�
�
(Ingat
Ingat − sin �
�
sin �
�
Kelua�kan konstanta da�i integ�al
ⅆ sin �
∙ sin �) ⅆ sin �
=∑ −
�=
�
− sin �
�
∙
= ∫ ∑ � �� ∙ − sin �
�
� = cos � � )
�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a
�−�
= ∑ � �� ∙
= ∫ ∑ � �� ∙
� cos �)
ⅆ sin �
= ∑ �� ∙
�=
�
�
= bilangan ganjil?
ⅆ sin �
cos �
Ingat Binomial Ne�ton:
+
= cos
Ingat identitas t�igonomet�i cos � =
cos � ⅆ�
=∫
=∫
�+
� ⅆ� dengan
∙ � �� ∙ −
�
�
= −
� ⅆ sin � =
Rapikan bentukn�a
�+
�
�+
�
= cos
�
�)
)
sin
�+
�)
Ho�e! �elesai
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 255
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
+�
Bilangan ganjil
∫ cos � ⅆ� = +
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos � ⅆ� = sin � +
Halaman 256
sin � −
�
�
−
�
�
+
�
�
�
�
+�
sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
−
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
−
+�
Bilangan ganjil
∫ cos � ⅆ� = +
�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos � ⅆ� = sin � − sin � +
sin � −
�
−
�
�
+
�
�
�
�
−
�
�
�
�
+�
sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 257
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos
� ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos
� ⅆ� = �
�
+ �
�
+�
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
�
Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi
.
Sehingga,
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
Artinya,
�
ⅆ �
= ∫ cos
�ⅆ �
�ⅆ �
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos
�ⅆ � = +
−
Bilangan segitiga pascal
∫ cos
�ⅆ � = +
−
Bilangan ganjil
∫ cos
�ⅆ � = +
�
��
−
+�
+�
�
��
+�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos
Halaman 258
� ⅆ� = ∫ cos
� ⅆ � = ( sin � −
=
sin � −
sin
sin
� + �)
� +�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� dengan = bilangan genap?
� ⅆ� dengan = bilangan genap?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.
cos � = cos � −
cos � =
⇒ cos � = cos � −
− sin � ⇒ sin � =
− cos �
Contoh Soal 1:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ ( − cos �) ⅆ�
= � − ∫ cos � ⅆ�
= � − ∫ cos �
ⅆ �
= � − ∙ ∫ cos � ⅆ �
Contoh Soal 2:
= � − sin � + �
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin �
ⅆ�
= ∫ ( − cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + cos
=∫
�) ⅆ�
− cos � + ( + cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + + cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + cos �) ⅆ�
= ∫ ⅆ� − ∫ cos � ⅆ� + ∫ cos � ⅆ�
= � − sin � +
sin �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 259
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
��
� ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ sin � cos � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ sin � =
⇒ cos � =
− cos �
− sin �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin � cos � ⅆ�
∫ cos � sin � ⅆ�
Contoh Soal 1:
∫ sin � cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ cos � sin � ∙ sin � ⅆ�
= ∫ cos �
=∫
− cos � sin � ⅆ�
− cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �
Contoh Soal 2:
= − cos � + cos � + �
∫ sin � cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ sin � cos � ∙ cos � ⅆ�
= ∫ sin �
=∫
− sin � cos � ⅆ�
− sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
cos �
= sin � + ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � + sin � + �
Halaman 260
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� �� � ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ tan � sec � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ tan � + = sec �
⇒ + cot � = csc �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ tan � sec � ⅆ�, jika pangkat sec � genap.
∫ sec � sec � tan � ⅆ�, jika pangkat sec � ganjil, atau pangkat tan � ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan � sec � ⅆ�.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan �
Contoh Soal 2:
= tan � + �
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan � sec � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � ⅆ�
= ∫ tan � tan � +
sec � ⅆ�
= ∫ tan � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � ⅆ� + ∫ tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
ⅆ tan �
+ ∫ tan � sec �
sec �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �
= tan � + tan � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 261
Contoh Soal 3:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan � sec � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � ⅆ�
= ∫ tan � tan � +
sec � ⅆ�
= ∫ tan � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � ⅆ� + ∫ tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
ⅆ tan �
+ ∫ tan � sec �
sec �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �
= tan � + tan � + �
Cara 2:
Karena pangkat tan � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec � sec � tan � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � −
sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � − sec �
sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � − sec � sec � tan �
ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � ⅆ� − ∫ sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � tan � sec �
ⅆ sec �
ⅆ sec �
− ∫ sec � tan � sec �
sec � tan �
sec � tan �
= ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �
= sec � − sec � + �
Halaman 262
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec � sec � tan � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � −
sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � − sec �
sec � tan � ⅆ�
= ∫(sec � sec � tan � − sec � sec � tan � ) ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � ⅆ� − ∫ sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � tan � sec �
ⅆ sec �
ⅆ sec �
− ∫ sec � tan � sec �
sec � tan �
sec � tan �
= ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �
= sec � − sec � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 263
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� � � � ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ cot � csc � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ tan � + = sec �
⇒ + cot � = csc �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ cot � csc � ⅆ�, jika pangkat csc � genap.
∫ csc � csc � cot � ⅆ�, jika pangkat csc � ganjil, atau pangkat cot � ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot � csc � ⅆ�.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot �
Contoh Soal 2:
= − cot � + �
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot � + = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot � csc � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � ⅆ�
= ∫ cot �
+ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � ⅆ� + ∫ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
ⅆ cot �
+ ∫ cot � csc �
− csc �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �
= − cot � − tan � + �
Halaman 264
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot � csc � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � ⅆ�
= ∫ cot �
+ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � ⅆ� + ∫ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
ⅆ cot �
+ ∫ cot � csc �
− csc �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �
= − cot � − cot � + �
Cara 2:
Karena pangkat cot � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot � + = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc � csc � cot � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � −
csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � − csc �
csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � − csc � csc � cot �
ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � ⅆ� − ∫ csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � cot � csc �
ⅆ csc �
ⅆ csc �
− ∫ csc � cot � csc �
− csc � cot �
− csc � cot �
= − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �
= − csc � + csc � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 265
Contoh Soal 4:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc � csc � cot � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � −
csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � − csc �
csc � cot � ⅆ�
= ∫(csc � csc � cot � − csc � csc � cot � ) ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � ⅆ� − ∫ csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � cot � csc �
ⅆ csc �
ⅆ csc �
− ∫ csc � cot � csc �
− csc � cot �
− csc � cot �
= − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �
= − csc � + csc � + �
Halaman 266
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bentuk
√
√
−�
+�
√� −
Substitusi
�=
�=
�=
sin �
tan �
sec �
Turunan
ⅆ� =
ⅆ� =
ⅆ� =
cos � ⅆ�
sec � ⅆ�
sec � tan � ⅆ�
Hasil
√
√
−� =
+� =
√� −
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
cos �
sec �
tan �
Halaman 267
Dan masih ban�ak �ang lainn�a….
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika
�MA
pada bab Penga�aan Integ�al ��igonomet�i ini….
Halaman 268
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.
Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART
SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri
memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan.
Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga
adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok
bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti
bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan
SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri…
Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang
dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :)
Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral ��igonomet�i ini… :
Jika adik-adik butuh ’boco�an’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 269
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri
Integral Trigonometri
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ � � ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �� � ⅆ� atau ∫ � � � ⅆ�
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� atau ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
��
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�?
� ⅆ�
� ⅆ�
� �� � ⅆ�
� � � � ⅆ�?
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi?
Dan masih ban�ak �ang lainn�a….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 243
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ � � ⅆ� atau ∫ �
� ⅆ�
Untuk bentuk ∫ tan � ⅆ� dan ∫ cot � ⅆ�, maka ubah bentuk tan � dan cot � menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
tan � =
cot � =
sin �
cos �
cos �
sin �
Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:
∫
∫
sin �
ⅆ�
cos �
cos �
ⅆ�
sin �
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫ ⅆ� = ln|�| + �
�
Serta ingat juga sifat logaritma (ln � = log � = logaritma natural) berikut:
ln
�
= − ln �
Contoh Soal 1:
∫ tan � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sin �
ⅆ�
cos �
sin � ⅆ cos �
=∫
cos � − sin �
∫ tan � ⅆ� = ∫
= −∫
cos �
ⅆ cos �
= − ln|cos �| + �= − ln |
Contoh Soal 2:
sec �
| + � = ln|sec �| + �
∫ tan � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sin
cos
sin
=∫
cos
∫ tan � ⅆ� = ∫
=− ∫
�
ⅆ�
�
� ⅆ cos �
� − sin �
cos �
ⅆ cos �
= − ln|cos �| + �= − ln |
Halaman 244
sec �
| + � = ln|sec �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cot � ⅆ� = ….
Pembahasan:
cos �
ⅆ�
sin �
cos � ⅆ sin �
=∫
sin � cos �
∫ cot � ⅆ� = ∫
=∫
Contoh Soal 4:
ⅆ sin �
sin �
= ln|sin �| + �
∫ cot � ⅆ� = ….
Pembahasan:
cot
sin
cos
=∫
sin
∫ cot � ⅆ� = ∫
= ∫
�
ⅆ�
�
� ⅆ sin �
� sin �
cos �
ⅆ cos �
= ln|sin �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 245
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �� � ⅆ� atau ∫ � � � ⅆ�
Untuk bentuk ∫ sec � ⅆ� dan ∫ csc � ⅆ�, maka ubah bentuk sec � dan csc � menggunakan identitas trigonometri
perbandingan.
sec � =
csc � =
cos �
sin �
Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:
∫
sec � + sec � tan �
ⅆ�
sec � + tan �
Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:
∫ ⅆ� = ln|�| + �
�
Contoh Soal 1:
∫ sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sec � + tan �
) ⅆ�
∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � × (
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
=∫
ⅆ�
sec � + tan �
sec � + sec � tan � ⅆ sec � + tan �
=∫
sec � tan � + sec �
sec � + tan �
=∫
Contoh Soal 2:
ⅆ sec � + tan �
sec � + tan �
= ln|sec � + tan �| + �
∫ sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
sec � + tan �
) ⅆ�
∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � × (
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
=∫
ⅆ�
sec � + tan �
sec � + sec � tan �
ⅆ
=∫
sec � + tan �
sec
sec � + sec � tan �
ⅆ
=∫
sec � + tan �
sec
= ∫
sec � + tan �
sec � + tan �
� tan � + sec �
sec � + tan �
� tan � + sec �
ⅆ sec � + tan �
= ln|sec � + tan �| + �
Halaman 246
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
csc � − cot �
∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � × (
) ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ�
=∫
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
− csc � cot � + csc �
csc � − csc � cot � ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
= −∫
Contoh Soal 4:
ⅆ csc � − cot �
csc � − cot �
= ln|csc � − cot �| + �
∫ csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
csc � − cot �
∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � × (
) ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
=∫
ⅆ�
csc � − cot �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � − cot �
=∫
csc � − cot �
− csc � cot � + csc �
csc � − csc � cot �
ⅆ csc � + cot �
=∫
csc � − csc � cot �
csc � − cot �
= ∫
csc � − cot �
ⅆ csc � − cot �
= − ln|csc � − cot �| + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 247
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� dengan = bilangan ganjil?
� ⅆ� dengan = bilangan ganjil?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ sin � =
⇒ cos � =
− cos �
− sin �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin � cos � ⅆ�
∫ cos � sin � ⅆ�
Contoh Soal 1:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�
=∫
− cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �
Contoh Soal 2:
= − cos � + cos � + �
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�
= ∫ sin �
=∫
=∫
∙ sin � ⅆ�
− cos �
sin � ⅆ�
− cos � + cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � + cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ� + ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
ⅆ cos �
+ ∫ cos � sin �
− sin �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos � − ∫ cos � ⅆ cos �
Halaman 248
= − cos � + cos � − cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�
=∫
− sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
cos �
= sin � − ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � − sin � + �
Contoh Soal 4:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�
= ∫ cos �
=∫
=∫
∙ cos � ⅆ�
− sin �
cos � ⅆ�
− sin � + sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � + sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ� + ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
ⅆ sin �
+ ∫ sin � cos �
cos �
cos �
= sin � + ∫ sin � ⅆ sin � − ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � − sin � + sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 249
Contoh Soal 5:
∫ sin
� ⅆ� = ….
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
Pembahasan:
= ∫ sin
= ∫ sin
= ∫
�
ⅆ �
�ⅆ �
� ∙ sin � ⅆ �
− cos
� sin � ⅆ �
= ∫ sin � − cos
� sin � ⅆ �
= [∫ sin � ⅆ � − ∫ cos
= [ − cos � − ∫ cos
= [− cos � + ∫ cos
= − cos � + ∫ cos
= − cos � + ∙ cos
Contoh Soal 6:
= − cos � + cos
∫ cos
� ⅆ� = ….
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
Pembahasan:
= ∫ cos
= ∫ cos
= ∫
�
� sin �
� ⅆ cos � ]
� ⅆ cos �
�+�
�+�
ⅆ �
� ∙ cos � ⅆ �
� cos � ⅆ �
= ∫ cos � − sin
� cos � ⅆ �
= [∫ cos � ⅆ � − ∫ sin
= [ sin � − ∫ sin
= [sin � − ∫ sin
= sin � − ∫ sin
= sin � − ∙ sin
Halaman 250
ⅆ cos �
]
− sin �
�ⅆ �
− sin
= sin � −
� sin � ⅆ � ]
sin
� cos � ⅆ � ]
� cos �
ⅆ sin �
]
cos �
� ⅆ sin � ]
� ⅆ sin �
�+�
�+�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ �
� ⅆ� dengan
∫ sin � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +
�+
= ∫ sin
�
= ∫ sin
� sin � ⅆ� (Ingat sifat pangkat sin
�
= ∫ sin �
=∫
= −∫
− cos �
�
�
− cos �
sin � ⅆ�
= ∑ �� ∙
− cos �
�
�=
�
�
�=
�=
�
−�
∙
�−�
�
�−�
∙ − cos �
�
ⅆ cos �
�
= − ∑ � �� ∫ − cos �
ⅆ cos �
�=
�=
�
= − ∑ � �� ∫( −
�=
�
= − ∑ � �� ∫ −
�=
�
= − ∑ � �� ∙ −
�
�=
cos �
∫ cos
�
=∑ −
∙ � �� ∙ −
=∑ −
�+
∙ � �� ∫ cos
=∑ −
�+
∙ � �� ∙
�=
�
�=
�
�=
�
=∑
�=
−
�+
�+
∙ � ��
Ingat − cos �
�
�+
ⅆ cos �
� ⅆ cos �
∫ cos
�+
cos
�
�
�
�
�+
�
�
Ingat ( −
=
jadi co�et saja)
=( −
�
∙ cos �)
�
�
∙ cos �) = −
cos �
(Kelua�kan konstanta dan cos �
�
�
= cos
�
�)
Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma
� ⅆ cos �
� ⅆ cos �
cos
�−�
Kelua�kan konstanta da�i integ�al
ⅆ cos �
�
(Ingat
∙ cos �) ⅆ cos �
�
�
�
�
∙ − cos �
= − ∫ ∑ � �� ∙ − cos �
�
− cos �
�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a
= ∑ � �� ∙
= − ∫ ∑ � �� ∙
� = sin � � )
ⅆ cos �
Ingat Binomial Ne�ton:
+
�
� sin �)
ⅆ cos �
− sin �
sin �
�
�
= sin
Ingat identitas t�igonomet�i sin � =
sin � ⅆ�
− cos �
=∫
�+
� ⅆ� (Ingat sifat pangkat sin
= bilangan ganjil?
(Ingat −
(Ingat ∫ cos
∙ � �� ∙ −
�
�
� ⅆ cos � =
Rapikan bentukn�a
= −
�+
�+
cos
)
�+
�)
Ho�e! �elesai
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal da�i negatif, lalu be�gantian negatif positif negatif positif dst….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 251
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+�
Bilangan ganjil
∫ sin � ⅆ� = −
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin � ⅆ� = − cos � +
Halaman 252
cos � −
�
�
+
�
�
−
�
�
�
�
+�
cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin � ⅆ� = −
+
−
+
+�
Bilangan ganjil
∫ sin � ⅆ� = −
�
�
+
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin � ⅆ� = − cos � + cos � −
�
�
−
�
�
�
�
+
�
�
�
�
+�
cos � + cos � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 253
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ sin
� ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ sin
� ⅆ� = �
�
+ �
�
+�
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
�
Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi
.
Sehingga,
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
∫ sin
� ⅆ� = ∫ sin
Artinya,
�
ⅆ
�
= ∫ sin
�ⅆ �
�ⅆ �
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ sin
�ⅆ � = −
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ sin
�ⅆ � = −
+
+�
Bilangan ganjil
∫ sin
�ⅆ � = −
�
��
+
�
��
+�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ sin
Halaman 254
� ⅆ� = ∫ sin
� ⅆ � = ( – cos � +
= − cos � +
cos
cos
� + �)
� +�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ �
∫ cos � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +
= ∫ cos
= ∫ cos
�+
�
� ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos
� cos � ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos
�
= ∫ cos �
− sin �
�
=∫
− sin �
�
− sin �
cos � ⅆ�
�
cos �
�
− sin �
�
−�
�
�=
�
�=
�−�
∙ − sin �
∙ − sin �
�
ⅆ sin �
�
= ∑ � �� ∫ − sin �
ⅆ sin �
�=
�=
�
= ∑ � �� ∫( −
�=
�
= ∑ � �� ∫ −
�=
�
= ∑ � �� ∙ −
�=
�
�
�
�
�
� ⅆ sin �
(Ingat ∫ sin
∙ � �� ∙
�=
�+
∙ � ��
sin
�+
�+
sin
�
�+
=
jadi co�et saja)
�
=( −
�
∙ sin �)
�
∙ sin �) = −
�
sin �
(Kelua�kan konstanta dan cos �
(Ingat −
�
�
Ingat ( −
� ⅆ sin �
=∑ −
−
ⅆ sin �
�
�
∙ � �� ∫ sin
=∑
�−�
∫ sin
�
�=
�
�
(Ingat
Ingat − sin �
�
sin �
�
Kelua�kan konstanta da�i integ�al
ⅆ sin �
∙ sin �) ⅆ sin �
=∑ −
�=
�
− sin �
�
∙
= ∫ ∑ � �� ∙ − sin �
�
� = cos � � )
�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a
�−�
= ∑ � �� ∙
= ∫ ∑ � �� ∙
� cos �)
ⅆ sin �
= ∑ �� ∙
�=
�
�
= bilangan ganjil?
ⅆ sin �
cos �
Ingat Binomial Ne�ton:
+
= cos
Ingat identitas t�igonomet�i cos � =
cos � ⅆ�
=∫
=∫
�+
� ⅆ� dengan
∙ � �� ∙ −
�
�
= −
� ⅆ sin � =
Rapikan bentukn�a
�+
�
�+
�
= cos
�
�)
)
sin
�+
�)
Ho�e! �elesai
Bilangan segitiga pascal
Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola
bilangan ganjil berawal dari angka 1.
Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 255
Contoh Soal 1:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
+�
Bilangan ganjil
∫ cos � ⅆ� = +
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos � ⅆ� = sin � +
Halaman 256
sin � −
�
�
−
�
�
+
�
�
�
�
+�
sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos � ⅆ� = �
�
+ �
�
+ �
�
+ �
�
+�
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
−
+�
Bilangan segitiga pascal
∫ cos � ⅆ� = +
−
+
−
+�
Bilangan ganjil
∫ cos � ⅆ� = +
�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos � ⅆ� = sin � − sin � +
sin � −
�
−
�
�
+
�
�
�
�
−
�
�
�
�
+�
sin � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 257
Contoh Soal 3:
Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:
∫ cos
� ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkatnya ganjil berarti:
�= �− ⇒
= �−
⇔ + = �
⇔
= �
⇔
�=
Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!!
∫ cos
� ⅆ� = �
�
+ �
�
+�
Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan
menggunakan teknik integral substitusi dulu.
�
Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi
.
Sehingga,
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
∫ cos
� ⅆ� = ∫ cos
Artinya,
�
ⅆ �
= ∫ cos
�ⅆ �
�ⅆ �
Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.
1.
2.
3.
Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu.
Bilangan segitiga pascal.
Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).
Tanda positif negatif
∫ cos
�ⅆ � = +
−
Bilangan segitiga pascal
∫ cos
�ⅆ � = +
−
Bilangan ganjil
∫ cos
�ⅆ � = +
�
��
−
+�
+�
�
��
+�
Jadi penyelesaiannya adalah:
∫ cos
Halaman 258
� ⅆ� = ∫ cos
� ⅆ � = ( sin � −
=
sin � −
sin
sin
� + �)
� +�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� ⅆ� dengan = bilangan genap?
� ⅆ� dengan = bilangan genap?
Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas
trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.
cos � = cos � −
cos � =
⇒ cos � = cos � −
− sin � ⇒ sin � =
− cos �
Contoh Soal 1:
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ ( − cos �) ⅆ�
= � − ∫ cos � ⅆ�
= � − ∫ cos �
ⅆ �
= � − ∙ ∫ cos � ⅆ �
Contoh Soal 2:
= � − sin � + �
∫ sin � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � ⅆ� = ∫ sin �
ⅆ�
= ∫ ( − cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + cos
=∫
�) ⅆ�
− cos � + ( + cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + + cos �) ⅆ�
= ∫ ( − cos � + cos �) ⅆ�
= ∫ ⅆ� − ∫ cos � ⅆ� + ∫ cos � ⅆ�
= � − sin � +
sin �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 259
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
��
� ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ sin � cos � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ sin � =
⇒ cos � =
− cos �
− sin �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ sin � cos � ⅆ�
∫ cos � sin � ⅆ�
Contoh Soal 1:
∫ sin � cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ cos � sin � ∙ sin � ⅆ�
= ∫ cos �
=∫
− cos � sin � ⅆ�
− cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�
= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ�
= − cos � − ∫ cos � sin �
ⅆ cos �
− sin �
= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �
Contoh Soal 2:
= − cos � + cos � + �
∫ sin � cos � ⅆ� = ….
Pembahasan:
∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ sin � cos � ∙ cos � ⅆ�
= ∫ sin �
=∫
− sin � cos � ⅆ�
− sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�
= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ�
= sin � − ∫ sin � cos �
ⅆ sin �
cos �
= sin � + ∫ sin � ⅆ sin �
= sin � + sin � + �
Halaman 260
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� �� � ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ tan � sec � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ tan � + = sec �
⇒ + cot � = csc �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ tan � sec � ⅆ�, jika pangkat sec � genap.
∫ sec � sec � tan � ⅆ�, jika pangkat sec � ganjil, atau pangkat tan � ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan � sec � ⅆ�.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan �
Contoh Soal 2:
= tan � + �
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan � sec � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � ⅆ�
= ∫ tan � tan � +
sec � ⅆ�
= ∫ tan � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � ⅆ� + ∫ tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
ⅆ tan �
+ ∫ tan � sec �
sec �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �
= tan � + tan � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 261
Contoh Soal 3:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan � sec � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � ⅆ�
= ∫ tan � tan � +
sec � ⅆ�
= ∫ tan � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � + tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec � ⅆ� + ∫ tan � sec � ⅆ�
= ∫ tan � sec �
ⅆ tan �
ⅆ tan �
+ ∫ tan � sec �
sec �
sec �
= ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �
= tan � + tan � + �
Cara 2:
Karena pangkat tan � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec � sec � tan � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � −
sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � − sec �
sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � − sec � sec � tan �
ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � ⅆ� − ∫ sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � tan � sec �
ⅆ sec �
ⅆ sec �
− ∫ sec � tan � sec �
sec � tan �
sec � tan �
= ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �
= sec � − sec � + �
Halaman 262
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
∫ tan � sec � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat sec � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri tan � + = sec �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec � sec � tan � ⅆ�.
∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � −
sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � − sec �
sec � tan � ⅆ�
= ∫(sec � sec � tan � − sec � sec � tan � ) ⅆ�
= ∫ sec � sec � tan � ⅆ� − ∫ sec � sec � tan � ⅆ�
= ∫ sec � tan � sec �
ⅆ sec �
ⅆ sec �
− ∫ sec � tan � sec �
sec � tan �
sec � tan �
= ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �
= sec � − sec � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 263
Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ �
� � � � ⅆ�?
Nah, untuk bentuk integral ∫ cot � csc � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri
Pythagoras, yaitu.
sin � + cos � =
⇒ tan � + = sec �
⇒ + cot � = csc �
Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:
∫ cot � csc � ⅆ�, jika pangkat csc � genap.
∫ csc � csc � cot � ⅆ�, jika pangkat csc � ganjil, atau pangkat cot � ganjil.
Contoh Soal 1:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot � csc � ⅆ�.
Okelah kalau begitu. Langsung saja!
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot �
Contoh Soal 2:
= − cot � + �
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot � + = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot � csc � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � ⅆ�
= ∫ cot �
+ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � ⅆ� + ∫ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
ⅆ cot �
+ ∫ cot � csc �
− csc �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �
= − cot � − tan � + �
Halaman 264
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Cara 1:
Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot � csc � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � ⅆ�
= ∫ cot �
+ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � + cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc � ⅆ� + ∫ cot � csc � ⅆ�
= ∫ cot � csc �
ⅆ cot �
ⅆ cot �
+ ∫ cot � csc �
− csc �
− csc �
= − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �
= − cot � − cot � + �
Cara 2:
Karena pangkat cot � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri cot � + = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc � csc � cot � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � −
csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � − csc �
csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � − csc � csc � cot �
ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � ⅆ� − ∫ csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � cot � csc �
ⅆ csc �
ⅆ csc �
− ∫ csc � cot � csc �
− csc � cot �
− csc � cot �
= − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �
= − csc � + csc � + �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 265
Contoh Soal 4:
∫ cot � csc � ⅆ� = ….
Pembahasan:
Karena pangkat csc � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �.
Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �
Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc � csc � cot � ⅆ�.
∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � −
csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � − csc �
csc � cot � ⅆ�
= ∫(csc � csc � cot � − csc � csc � cot � ) ⅆ�
= ∫ csc � csc � cot � ⅆ� − ∫ csc � csc � cot � ⅆ�
= ∫ csc � cot � csc �
ⅆ csc �
ⅆ csc �
− ∫ csc � cot � csc �
− csc � cot �
− csc � cot �
= − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �
= − csc � + csc � + �
Halaman 266
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?
Bentuk
√
√
−�
+�
√� −
Substitusi
�=
�=
�=
sin �
tan �
sec �
Turunan
ⅆ� =
ⅆ� =
ⅆ� =
cos � ⅆ�
sec � ⅆ�
sec � tan � ⅆ�
Hasil
√
√
−� =
+� =
√� −
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
cos �
sec �
tan �
Halaman 267
Dan masih ban�ak �ang lainn�a….
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika
�MA
pada bab Penga�aan Integ�al ��igonomet�i ini….
Halaman 268
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.
Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART
SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri
memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan.
Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga
adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok
bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti
bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan
SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri…
Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang
dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :)
Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html
untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral ��igonomet�i ini… :
Jika adik-adik butuh ’boco�an’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 269