SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.1 LIMIT ALJABAR DAN LIMIT TRIGONOMETRI)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu
menerapkannya dalam pemecahan masalah.
5. 1.
Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Limit Aljabar
Bentuk Umum
lim
�
�→
Jika �
lim
�→
Limit � →
t�rd��inisi
Jika �
Pemfaktoran
lim
�−
�
= lim
�→ � −
�
�
�
�−
⇒
�→
∞
�
�
lim
lim
�→
√ �−
�−
Bentuk limit tersebut memuat
bentuk akar yaitu √ � − , yang
bentuk sekawannya √ � + .
⇒ lim
�→
⇒ lim
�→
√ �−
�−
�−
×
√ �+
lim
�→∞
lim
∞
�
�
− +
�
�
�
⇒ lim
�→∞ �
�
+ −
�
�
�
√ �+
�−
(√ � + )
⇒ lim
⇒
Aturan L’Hôpital
�→
� − �+
� + �−
Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu ,
∞
bagilah semua suku pembilang dan penyebut
dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu � ,
�−
�
′ �
= lim
�→
�
′ �
=
�
Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi
Sehingga hilanglah pembuat
�−
nilai , yaitu
Diturunkan
itu m�nd�kati nol
�→∞
Dikali Sekawan Akar
Sehingga hilanglah pembuat
�−
nilai , yaitu
⇒ lim
=
� diubah sehingga
pembuat nilai hilang.
� =
�→
Limit � → ∞
�→
−
+
+
−
Dikali Sekawan Akar
lim √ � + � − − √ � − � +
�→∞
Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞,
kalikan dengan bentuk sekawan akar.
lim √ � + � − − √ � − � + ×
�→∞
√ � + �− +√ � −�+
√ � + �− +√ � −�+
Setelah itu lanjutkan dengan membagi
variabel pangkat tertinggi.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 187
Limit Trigonometri
Kosinus Jahat
Sinus dan Tangen
Cor�t Sinta
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
Hapus Kosinus
sin �
�
= lim
=
�→ sin �
�
lim cos � = lim
�→
�
tan �
= lim
=
�→ tan �
�
lim cos � = lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
sin �
tan �
= lim
=
sin � �→ tan �
�→
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
�→
=
cos �
=
Ingat lagi identitas trigonometri
tan �
sin �
= lim
=
lim
�→ sin �
�→ tan �
lim
�→
cos �
Kosinus Baik adalah Kosinus yang
menyebabkan nilai limit menjadi 0.
�
sin �
= lim
=
lim
�→ sin �
�→
�
lim
�→
�
− cos � = sin
− cos � = sin �
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
Kosinus Baik
Ubah Kosinus
sin
− ��� �
= lim
�→
�
�
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
− sin
�
sin
− ��� �
= lim
�→
�
�
�
��� � −
�
lim
�→
��� � −
�
= lim
�→
= lim
�→
�
− sin
�
�
sin
��� � − ��� �
= lim
�→
�
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
��� � −
�
���
���
= lim ∙
�→
sin � sin �
∙
�
�
= lim − ∙
�→
= lim ∙
�→
sin � sin �
∙
�
�
sin
= lim − ∙
�→
� sin
∙
�
sin
� − sin
�
�
�
�
�
� sin
∙
�
�
= dst dst …
sin �
sin � sin �
− ��� �
= lim
= lim
∙
�→
�→
�
�
�
�
lim
�→
Halaman 188
�
− ���
�
�
�−
� − ���
�
= lim
�
�→
sin � sin �
− sin �
= lim −
∙
�→
�
�
�
= lim
�→
= lim
�→
�
sin �
sin � sin �
= lim
∙
�→
�
�
�
− sin
�
= lim
�→
sin
�
dst … dst …
= lim −
�→
� − sin
�
sin � sin �
∙
�
�
�
= dst dst …
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit.
Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:
lim
�→
�
Substitusi � =
ke
�
Periksa
Hasilnya?
Bentuk tertentu
�
( , = , = ∞)
�
Ubah
Bentuk tak tentu
∞
( , , ∞ − ∞, … )
∞
Selesai
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 189
T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Aturan L’Hopital Turunan .
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan
m�nggunakan aturan L’Hopital, yaitu m�ncari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya
adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.
Contoh:
lim
�→
� − �+
�−
Sehingga,
=
diturunkan
lim
�→
� − �+
�−
Halaman 190
= lim
�→
�−
=
−
=
disubstitusikan
−
=
diturunkan
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Asal Muasal T�IK SUPE�KILAT Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .
Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
= ….
Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu .
Jadi kesimpulannya adalah:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
=
⇒ untuk � →
�
�
√ � −√
ℎ � =
{
� =
�
�
⇒√ � = √
�
Maka, p�ny�l�saiannya bisa m�nggunakan aturan L’Hopital, m�skipun cukup panjang karena fungsi yang
dilimitkan masih memuat bentuk akar.
Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
�
�→
ingat
�
[√ � − √
= lim �
�
s�hingga
�
�
�
[ℎ � ]
√ �
�
′
�→
ingat untuk � →
�
�→
Pangkat Akar
Nilai Akar
�
(√ � )
= lim
=
′
�
(√ � )
�
√ �
(√ � )
= lim
=
�
�
� ]
−
−
( � )
=
−
ℎ′ �
−
( � )
�
(√
′
�
�
� )
−
′
∙
−
�
b�rlaku √ � = √
−
ℎ′ �
�
′
�
(√ � )
× lim
�→
Pangkat Akar −
′
� =
−
� −
ℎ′ �
′
�
∙( � )
−
=
�
′
�
(√ � )
−
�
k�luarkan
�
′
�
(√ � )
−
dari k�dua ruas
Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar
Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI.
M�ngapa? Kar�na prinsipnya sama d�ngan pros�s m�ncari nilai limit d�ngan m�nggunakan aturan L’Hopital,
yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda
akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan d�ngan s�suatu .
Sesuatu itu adalah, pangkat× nilai akar
pangkat-
yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 191
T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu
adalah d�ngan m�nggunakan modi�ikasi aturan L’Hopital, yaitu m�modi�ikasi cara m�ncari turunan dari
pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi.
Selesai.
Soal Limit � →
bentuk yang memuat bentuk akar
Perhatikan tiga hal
Pangkat Akar
Nilai Akar
Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung
Turunkan Pembilang P�ny�but Aturan L’Hopital
Letak Akar
Kalikan d�ngan S�suatu
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Selesai!
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkat× nilai akar pangkatyang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim
�→
√ �+ −√ �−
� −
=
Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:
lim
�→
Periksa akar pangkat berapa?
√ �+ −√ �−
� −
=
√ �+ −√ �−
� −
=
√ �+ −√ �−
� −
=
⇒√
lim
�→
Periksa nilai dari akar pada soal.
⇒√ �+
Lihat letak akar!
Kalau di atas tulis di bawah.
Kalau di bawah tulis di atas.
Apa yang ditulis?
pangkat × nilai akar
Halaman 192
pangkat−
lim
�→
⇒ akar pangkat " "
=√
+
= √� = " "
⇒ akar b�rada di atas ⇒ tulis di bawah
⇒
pangkat × nilai akar
pangkat−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya:
Tentukan nilai dari:
lim
�→
√ �+ −√ �−
� −
= ….
lim
Perhatikan soal!
�→
Buang tanda akar!
Ganti akar dengan tanda kurung
√ �+ −√ �−
� −
�+
lim
�→
lim �
�→
Gunakan aturan L’Hopital!
Mencari turunan dari
pembilang dan penyebut
�→
−
⇒
S�l�sai…!!!!
×
−
�
−
×
−
∙
]
�−
[� − ]
pangkat× nilai akar
∴ lim
�→
[ �+
−
−
−
= �
=
�→
�
�
⇒ �
Masih ingat apa yang ditulis?
Pangkat = 2
Nilai Akar = 3
Letak Akar = di atas
− �−
� −
=
−
−
pangkat-
×
√ �+ −√ �−
� −
=
=−
=−
Contoh P�ng�rjaan T�IK SUPE�KILAT Modi�ikasi Aturan L’Hopital V�rsi L�bih Singkat:
Tentukan nilai dari:
lim
√ �+ −√ �−
�−
= ….
lim
√ �+ −√ �−
�−
= lim
�→
Sehingga,
�→
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Dikalikan s�suatu
Diturunkan tanpa tanda akar
�→
−
Diturunkan tanpa tanda akar
×
√
=
−
×
√
=−
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkat× nilai akar pangkatyang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
√
=−
√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 193
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi
adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.
∞
Soal Limit � → ∞ bentuk ∞
Bentuk umum
lim
�→∞
� +
� +
�
�
−
−
+
+
�
�
−
−
+ …+
+ …+
Bandingkan pangkat terbesar
dari pembilang dan penyebut
<
=
Nilai limit = 0
Nilai limit =
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:
>
1
1
Nilai limit = ∞
Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞
Kalau pangkat terbesar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL….
Kalau pangkat t�rtinggi di atas b�rarti tak hingga. Atas itu BEESAAAA���….
Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja.
Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim
�→∞
� + �−
� − � +
= ….
Kalau pangkat t�rb�sar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL….
Jadi nilai limitnya sama dengan nol.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah…..
Berarti KEEECIIIIILLLLL…. S�hingga nilai limitnya adalah nol .
Perbandingan koefisien
bertanda positif
lim
� + � +
� + �+
= ….
lim
� + �−
� + � −
= ….
�→∞
Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR….
Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..
Maka satu yang harus s�g�ra dip�rhatikan pada soal adalah pangkat t�rb�sar ada di atas…..
B�rarti BEEESAAAA������…. S�hingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).
�→∞
Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil
pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu .
Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien
variabel pangkat tertinggi tersebut.
Halaman 194
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar
adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.
Soal Limit � → ∞ bentuk ∞ − ∞
Bentuk umum
lim √ � + � + − √ � + � +
�→∞
Bandingkan koefisien suku
derajat dua di dalam tanda akar
<
=
Nilai limit = −∞
Nilai limit =
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:
>
−�
√
Nilai limit = +∞
Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞
Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA….
Kalau ko��isi�n t�rb�sar di akar b�rtanda n�gati�. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA….
Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya.
Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim √ � + � − − √� − � −
�→∞
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….
= ….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).
lim √� + � − − √ � − � −
�→∞
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif.
Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….
= ….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga).
lim √ � + � − − √ � − � −
�→∞
−
Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
= ….
Maka nilai limit adalah
−�
√
….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
− −7
−�
=
=
= = √
Sehingga nilai limitnya adalah
√
√
√
√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 195
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu
langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit memuat bentuk sin atau tan,
maka coret sin atau tan.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
sin �
�
= lim
=
�→
�
sin �
lim
�→
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
lim
�→
sin �
�
= lim
=
�→
�
sin �
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
Contoh Soal
lim
�→
� sin �
=
� tan �
∙
∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� sin � sin �
� sin �
= lim
=
�→
� � tan �
� tan �
∙
∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� tan �
� � tan �
= lim
=
�→ sin � sin � sin �
sin �
∙ ∙
∙ ∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
sin � + tan �
�+ �
�
= lim
= lim
=
�→
�→
�
�
�
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
�
�
= lim
= lim
=
�→ � � − �
�→
�
� tan � − sin �
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Halaman 196
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus jahat dan menghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah
mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit m�muat b�ntuk cos jahat ,
maka hapus cos.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim cos � = lim
�→
�→
lim cos � = lim
�→
�→
cos �
=
cos �
=
Contoh Soal
lim
�→
cos �
= lim =
�→ �
�
=∞
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
= lim � =
cos � �→
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
� cos �
= lim
= lim
�→
sin � �→
sin �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
sin � + � cos �
�+�
�
= lim
lim
= lim
�→
tan � cos �
� �→ � �→
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� cos �
��
= lim
= lim
�→ � �
�→
� sin �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
� cos �
= lim
= lim
�→
�→
�
� cos �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 197
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus.
Cara c�pat untuk m�ny�l�saikan limit trigonom�tri yang m�muat b�ntuk kosinus baik dan m�nghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan
menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada
pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit m�muat b�ntuk cos baik ,
maka ubah cos.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
�→
��� � −
�
lim
�→
lim
�→
= lim
�→
��� � − ��� �
= lim
�→
�
lim
�→
lim
�→
���
lim
�→
� �
− ��� �
= lim
�→
�
lim
���
− ���
�
�
� − ���
�
�
�−
�
−
�
= lim
�→
�→
= lim
� �
� �−
= lim
�→
�
�
=
=−
� �
� �
=
�
− � �
=−
�
� �−
�
� �
=
=
−
−
Contoh Soal
lim
�→
− ��� �
= lim
�→
�
� �
��
= lim
�→
=
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
− ���
�
�
= lim
�→
� �
∙
= lim
�→
��
= lim
�→
=
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini….
Halaman 198
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Nilai lim
x 0
A.
B.
C.
D.
E.
....
3 9 x
�
�
+√ +�
−30 lim
= lim
×
�→
�→
+√ +�
−√ +�
−√ +�
−27
� ∙ ( + √ + �)
15
= lim
�→
− +�
30
� ∙ ( + √ + �)
36
= lim
5x
TRIK SUPERKILAT:
�
=
∙
lim
�→
−
−√ +�
∙
TRIK SUPERKILAT:
−
−�
=
∙
lim
�→
−
− √� +
∙
=−
�→
−�
= lim − ∙ ( + √ + �)
�→
2.
Nilai lim
x 1
A.
B.
C.
D.
E.
3.
1 x
....
2 x3
−�
8
lim
�→
− √� +
4
0
−4
−8
2 x 1
....
lim
�→
x 3
x3
1
A.
4
1
B.
2
C. 1
D. 2
E. 4
Nilai lim
=− ∙( +√ )
=− ∙
=−
−�
= lim
×
+ √� +
− √� +
+ √� +
− � ∙ ( + √� + )
= lim
�→
− �+
− � ∙ ( + √� + )
= lim
�→
−�
= lim( + √� + )
�→
=
=
=
=
− √� +
�−
=
�→
+√ +
+√
+
= lim
�→
= lim
�→
= lim
�→
= lim
=
�−
�−
−
∙ ( + √� + )
−�
∙ ( + √� + )
TRIK SUPERKILAT:
− √� +
−
lim
=
∙
�→
�−
∙
=−
( + √� + )
−
�→
=−
+ √� +
− √� +
×
�−
+ √� +
− �+
+√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 199
4.
− cos �
− − sin �
1 cos 2 x
lim
= lim
....�→
�→
� tan �
� tan �
x 0 x tan 2 x
sin �
A. −2
= lim
�→ � tan �
B. −1
sin � sin � � �
= lim
∙ ∙
C. 0
�→
� tan � � �
D. 1
sin � sin �
�
�
= lim ∙
∙
∙
∙
E. 2
�→
�
� tan � �
Nilai lim
=
5.
cos � −
cos 4 x 1
lim
....�→
� tan �
x 0 x tan 2 x
A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
Nilai lim
∙
∙ ∙
∙
TRIK SUPERKILAT:
lim
�→
− cos �
=
� tan �
∙
∙
∙
=
=
− sin � −
TRIK SUPERKILAT:
� tan �
− ∙ ∙
cos � −
− sin �
=
lim
= lim
�→
∙
� tan �
�→
� tan �
=−
− sin � sin � � �
= lim
∙
∙
�→
� tan �
� �
sin � sin �
�
�
= lim − ∙
∙
∙
∙
�→
�
� tan � �
=− ∙ ∙ ∙ ∙ =−
= lim
�→
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 200
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu
menerapkannya dalam pemecahan masalah.
5. 1.
Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Limit Aljabar
Bentuk Umum
lim
�
�→
Jika �
lim
�→
Limit � →
t�rd��inisi
Jika �
Pemfaktoran
lim
�−
�
= lim
�→ � −
�
�
�
�−
⇒
�→
∞
�
�
lim
lim
�→
√ �−
�−
Bentuk limit tersebut memuat
bentuk akar yaitu √ � − , yang
bentuk sekawannya √ � + .
⇒ lim
�→
⇒ lim
�→
√ �−
�−
�−
×
√ �+
lim
�→∞
lim
∞
�
�
− +
�
�
�
⇒ lim
�→∞ �
�
+ −
�
�
�
√ �+
�−
(√ � + )
⇒ lim
⇒
Aturan L’Hôpital
�→
� − �+
� + �−
Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu ,
∞
bagilah semua suku pembilang dan penyebut
dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu � ,
�−
�
′ �
= lim
�→
�
′ �
=
�
Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi
Sehingga hilanglah pembuat
�−
nilai , yaitu
Diturunkan
itu m�nd�kati nol
�→∞
Dikali Sekawan Akar
Sehingga hilanglah pembuat
�−
nilai , yaitu
⇒ lim
=
� diubah sehingga
pembuat nilai hilang.
� =
�→
Limit � → ∞
�→
−
+
+
−
Dikali Sekawan Akar
lim √ � + � − − √ � − � +
�→∞
Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞,
kalikan dengan bentuk sekawan akar.
lim √ � + � − − √ � − � + ×
�→∞
√ � + �− +√ � −�+
√ � + �− +√ � −�+
Setelah itu lanjutkan dengan membagi
variabel pangkat tertinggi.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 187
Limit Trigonometri
Kosinus Jahat
Sinus dan Tangen
Cor�t Sinta
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
Hapus Kosinus
sin �
�
= lim
=
�→ sin �
�
lim cos � = lim
�→
�
tan �
= lim
=
�→ tan �
�
lim cos � = lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
sin �
tan �
= lim
=
sin � �→ tan �
�→
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
�→
=
cos �
=
Ingat lagi identitas trigonometri
tan �
sin �
= lim
=
lim
�→ sin �
�→ tan �
lim
�→
cos �
Kosinus Baik adalah Kosinus yang
menyebabkan nilai limit menjadi 0.
�
sin �
= lim
=
lim
�→ sin �
�→
�
lim
�→
�
− cos � = sin
− cos � = sin �
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
Kosinus Baik
Ubah Kosinus
sin
− ��� �
= lim
�→
�
�
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
− sin
�
sin
− ��� �
= lim
�→
�
�
�
��� � −
�
lim
�→
��� � −
�
= lim
�→
= lim
�→
�
− sin
�
�
sin
��� � − ��� �
= lim
�→
�
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
��� � −
�
���
���
= lim ∙
�→
sin � sin �
∙
�
�
= lim − ∙
�→
= lim ∙
�→
sin � sin �
∙
�
�
sin
= lim − ∙
�→
� sin
∙
�
sin
� − sin
�
�
�
�
�
� sin
∙
�
�
= dst dst …
sin �
sin � sin �
− ��� �
= lim
= lim
∙
�→
�→
�
�
�
�
lim
�→
Halaman 188
�
− ���
�
�
�−
� − ���
�
= lim
�
�→
sin � sin �
− sin �
= lim −
∙
�→
�
�
�
= lim
�→
= lim
�→
�
sin �
sin � sin �
= lim
∙
�→
�
�
�
− sin
�
= lim
�→
sin
�
dst … dst …
= lim −
�→
� − sin
�
sin � sin �
∙
�
�
�
= dst dst …
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit.
Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:
lim
�→
�
Substitusi � =
ke
�
Periksa
Hasilnya?
Bentuk tertentu
�
( , = , = ∞)
�
Ubah
Bentuk tak tentu
∞
( , , ∞ − ∞, … )
∞
Selesai
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 189
T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Aturan L’Hopital Turunan .
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan
m�nggunakan aturan L’Hopital, yaitu m�ncari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya
adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.
Contoh:
lim
�→
� − �+
�−
Sehingga,
=
diturunkan
lim
�→
� − �+
�−
Halaman 190
= lim
�→
�−
=
−
=
disubstitusikan
−
=
diturunkan
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Asal Muasal T�IK SUPE�KILAT Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .
Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
= ….
Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu .
Jadi kesimpulannya adalah:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
=
⇒ untuk � →
�
�
√ � −√
ℎ � =
{
� =
�
�
⇒√ � = √
�
Maka, p�ny�l�saiannya bisa m�nggunakan aturan L’Hopital, m�skipun cukup panjang karena fungsi yang
dilimitkan masih memuat bentuk akar.
Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital:
�
�
√ � −√
lim
�→
ℎ �
�
�
�→
ingat
�
[√ � − √
= lim �
�
s�hingga
�
�
�
[ℎ � ]
√ �
�
′
�→
ingat untuk � →
�
�→
Pangkat Akar
Nilai Akar
�
(√ � )
= lim
=
′
�
(√ � )
�
√ �
(√ � )
= lim
=
�
�
� ]
−
−
( � )
=
−
ℎ′ �
−
( � )
�
(√
′
�
�
� )
−
′
∙
−
�
b�rlaku √ � = √
−
ℎ′ �
�
′
�
(√ � )
× lim
�→
Pangkat Akar −
′
� =
−
� −
ℎ′ �
′
�
∙( � )
−
=
�
′
�
(√ � )
−
�
k�luarkan
�
′
�
(√ � )
−
dari k�dua ruas
Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar
Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI.
M�ngapa? Kar�na prinsipnya sama d�ngan pros�s m�ncari nilai limit d�ngan m�nggunakan aturan L’Hopital,
yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda
akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan d�ngan s�suatu .
Sesuatu itu adalah, pangkat× nilai akar
pangkat-
yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 191
T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu
adalah d�ngan m�nggunakan modi�ikasi aturan L’Hopital, yaitu m�modi�ikasi cara m�ncari turunan dari
pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi.
Selesai.
Soal Limit � →
bentuk yang memuat bentuk akar
Perhatikan tiga hal
Pangkat Akar
Nilai Akar
Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung
Turunkan Pembilang P�ny�but Aturan L’Hopital
Letak Akar
Kalikan d�ngan S�suatu
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Selesai!
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkat× nilai akar pangkatyang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim
�→
√ �+ −√ �−
� −
=
Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:
lim
�→
Periksa akar pangkat berapa?
√ �+ −√ �−
� −
=
√ �+ −√ �−
� −
=
√ �+ −√ �−
� −
=
⇒√
lim
�→
Periksa nilai dari akar pada soal.
⇒√ �+
Lihat letak akar!
Kalau di atas tulis di bawah.
Kalau di bawah tulis di atas.
Apa yang ditulis?
pangkat × nilai akar
Halaman 192
pangkat−
lim
�→
⇒ akar pangkat " "
=√
+
= √� = " "
⇒ akar b�rada di atas ⇒ tulis di bawah
⇒
pangkat × nilai akar
pangkat−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya:
Tentukan nilai dari:
lim
�→
√ �+ −√ �−
� −
= ….
lim
Perhatikan soal!
�→
Buang tanda akar!
Ganti akar dengan tanda kurung
√ �+ −√ �−
� −
�+
lim
�→
lim �
�→
Gunakan aturan L’Hopital!
Mencari turunan dari
pembilang dan penyebut
�→
−
⇒
S�l�sai…!!!!
×
−
�
−
×
−
∙
]
�−
[� − ]
pangkat× nilai akar
∴ lim
�→
[ �+
−
−
−
= �
=
�→
�
�
⇒ �
Masih ingat apa yang ditulis?
Pangkat = 2
Nilai Akar = 3
Letak Akar = di atas
− �−
� −
=
−
−
pangkat-
×
√ �+ −√ �−
� −
=
=−
=−
Contoh P�ng�rjaan T�IK SUPE�KILAT Modi�ikasi Aturan L’Hopital V�rsi L�bih Singkat:
Tentukan nilai dari:
lim
√ �+ −√ �−
�−
= ….
lim
√ �+ −√ �−
�−
= lim
�→
Sehingga,
�→
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Dikalikan s�suatu
Diturunkan tanpa tanda akar
�→
−
Diturunkan tanpa tanda akar
×
√
=
−
×
√
=−
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:
pangkat× nilai akar pangkatyang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
√
=−
√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 193
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi
adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.
∞
Soal Limit � → ∞ bentuk ∞
Bentuk umum
lim
�→∞
� +
� +
�
�
−
−
+
+
�
�
−
−
+ …+
+ …+
Bandingkan pangkat terbesar
dari pembilang dan penyebut
<
=
Nilai limit = 0
Nilai limit =
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:
>
1
1
Nilai limit = ∞
Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞
Kalau pangkat terbesar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL….
Kalau pangkat t�rtinggi di atas b�rarti tak hingga. Atas itu BEESAAAA���….
Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja.
Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim
�→∞
� + �−
� − � +
= ….
Kalau pangkat t�rb�sar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL….
Jadi nilai limitnya sama dengan nol.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah…..
Berarti KEEECIIIIILLLLL…. S�hingga nilai limitnya adalah nol .
Perbandingan koefisien
bertanda positif
lim
� + � +
� + �+
= ….
lim
� + �−
� + � −
= ….
�→∞
Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR….
Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..
Maka satu yang harus s�g�ra dip�rhatikan pada soal adalah pangkat t�rb�sar ada di atas…..
B�rarti BEEESAAAA������…. S�hingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).
�→∞
Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil
pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu .
Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien
variabel pangkat tertinggi tersebut.
Halaman 194
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar
adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.
Soal Limit � → ∞ bentuk ∞ − ∞
Bentuk umum
lim √ � + � + − √ � + � +
�→∞
Bandingkan koefisien suku
derajat dua di dalam tanda akar
<
=
Nilai limit = −∞
Nilai limit =
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:
>
−�
√
Nilai limit = +∞
Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞
Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA….
Kalau ko��isi�n t�rb�sar di akar b�rtanda n�gati�. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA….
Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya.
Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut:
lim √ � + � − − √� − � −
�→∞
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….
= ….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).
lim √� + � − − √ � − � −
�→∞
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif.
Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….
= ….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif.
Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga).
lim √ � + � − − √ � − � −
�→∞
−
Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
= ….
Maka nilai limit adalah
−�
√
….
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
− −7
−�
=
=
= = √
Sehingga nilai limitnya adalah
√
√
√
√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 195
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu
langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit memuat bentuk sin atau tan,
maka coret sin atau tan.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim
�→
lim
�→
lim
�→
lim
�→
sin �
�
= lim
=
�→
�
sin �
lim
�→
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
lim
�→
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
lim
�→
sin �
�
= lim
=
�→
�
sin �
tan �
�
= lim
=
�→ tan �
�
tan �
sin �
= lim
=
tan � �→ sin �
tan �
sin �
= lim
=
sin � �→ tan �
Contoh Soal
lim
�→
� sin �
=
� tan �
∙
∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� sin � sin �
� sin �
= lim
=
�→
� � tan �
� tan �
∙
∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� tan �
� � tan �
= lim
=
�→ sin � sin � sin �
sin �
∙ ∙
∙ ∙
=
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
sin � + tan �
�+ �
�
= lim
= lim
=
�→
�→
�
�
�
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
�
�
= lim
= lim
=
�→ � � − �
�→
�
� tan � − sin �
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Halaman 196
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus.
Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus jahat dan menghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah
mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit m�muat b�ntuk cos jahat ,
maka hapus cos.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim cos � = lim
�→
�→
lim cos � = lim
�→
�→
cos �
=
cos �
=
Contoh Soal
lim
�→
cos �
= lim =
�→ �
�
=∞
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
= lim � =
cos � �→
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
� cos �
= lim
= lim
�→
sin � �→
sin �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
sin � + � cos �
�+�
�
= lim
lim
= lim
�→
tan � cos �
� �→ � �→
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
� cos �
��
= lim
= lim
�→ � �
�→
� sin �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
�
� cos �
= lim
= lim
�→
�→
�
� cos �
=
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 197
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus.
Cara c�pat untuk m�ny�l�saikan limit trigonom�tri yang m�muat b�ntuk kosinus baik dan m�nghasilkan
bentuk tak tentu adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan
menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada
pembilang dan penyebut. Selesai.
Soal Limit Fungsi Trigonometri � →
bentuk
Jika limit m�muat b�ntuk cos baik ,
maka ubah cos.
Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
�→
��� � −
�
lim
�→
lim
�→
= lim
�→
��� � − ��� �
= lim
�→
�
lim
�→
lim
�→
���
lim
�→
� �
− ��� �
= lim
�→
�
lim
���
− ���
�
�
� − ���
�
�
�−
�
−
�
= lim
�→
�→
= lim
� �
� �−
= lim
�→
�
�
=
=−
� �
� �
=
�
− � �
=−
�
� �−
�
� �
=
=
−
−
Contoh Soal
lim
�→
− ��� �
= lim
�→
�
� �
��
= lim
�→
=
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
�→
− ���
�
�
= lim
�→
� �
∙
= lim
�→
��
= lim
�→
=
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini….
Halaman 198
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Nilai lim
x 0
A.
B.
C.
D.
E.
....
3 9 x
�
�
+√ +�
−30 lim
= lim
×
�→
�→
+√ +�
−√ +�
−√ +�
−27
� ∙ ( + √ + �)
15
= lim
�→
− +�
30
� ∙ ( + √ + �)
36
= lim
5x
TRIK SUPERKILAT:
�
=
∙
lim
�→
−
−√ +�
∙
TRIK SUPERKILAT:
−
−�
=
∙
lim
�→
−
− √� +
∙
=−
�→
−�
= lim − ∙ ( + √ + �)
�→
2.
Nilai lim
x 1
A.
B.
C.
D.
E.
3.
1 x
....
2 x3
−�
8
lim
�→
− √� +
4
0
−4
−8
2 x 1
....
lim
�→
x 3
x3
1
A.
4
1
B.
2
C. 1
D. 2
E. 4
Nilai lim
=− ∙( +√ )
=− ∙
=−
−�
= lim
×
+ √� +
− √� +
+ √� +
− � ∙ ( + √� + )
= lim
�→
− �+
− � ∙ ( + √� + )
= lim
�→
−�
= lim( + √� + )
�→
=
=
=
=
− √� +
�−
=
�→
+√ +
+√
+
= lim
�→
= lim
�→
= lim
�→
= lim
=
�−
�−
−
∙ ( + √� + )
−�
∙ ( + √� + )
TRIK SUPERKILAT:
− √� +
−
lim
=
∙
�→
�−
∙
=−
( + √� + )
−
�→
=−
+ √� +
− √� +
×
�−
+ √� +
− �+
+√
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 199
4.
− cos �
− − sin �
1 cos 2 x
lim
= lim
....�→
�→
� tan �
� tan �
x 0 x tan 2 x
sin �
A. −2
= lim
�→ � tan �
B. −1
sin � sin � � �
= lim
∙ ∙
C. 0
�→
� tan � � �
D. 1
sin � sin �
�
�
= lim ∙
∙
∙
∙
E. 2
�→
�
� tan � �
Nilai lim
=
5.
cos � −
cos 4 x 1
lim
....�→
� tan �
x 0 x tan 2 x
A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
Nilai lim
∙
∙ ∙
∙
TRIK SUPERKILAT:
lim
�→
− cos �
=
� tan �
∙
∙
∙
=
=
− sin � −
TRIK SUPERKILAT:
� tan �
− ∙ ∙
cos � −
− sin �
=
lim
= lim
�→
∙
� tan �
�→
� tan �
=−
− sin � sin � � �
= lim
∙
∙
�→
� tan �
� �
sin � sin �
�
�
= lim − ∙
∙
∙
∙
�→
�
� tan � �
=− ∙ ∙ ∙ ∙ =−
= lim
�→
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 200
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)