SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.2 APLIKASI TURUNAN FUNGSI)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
5. 2.
Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Simbol
′
Definisi
′
+ℎ −
ℎ
= l�m
ℎ→
���at:
→
→
′
=
=
=
→
± →
∙ →
′
=
→
′
=
�
→
′
′
′
′
=
= .
=
=
=
=
=
′
′
′
�
′
−
∙
=
(
)
Turunan Fungsi Trigonometri
�−
± ′
′
+
=
dengan catatan limit ini ada
Turunan Fungsi Aljabar
=
=
′
=
′
= tan
= c�t
= ��c
= c�c
′
′
→
→
→
→
�
− �
−�
′
′
′
′
= ��c
= − c�c
= ��c tan
= − c�c c�t
Aplikasi Turunan Fungsi
Gradien Garis Singgung
Kurva =
di titik =
=
Persamaan Garis Singgung
di titik
,
−
′
=
−
Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.
Grafik Fungsi
Naik
′
>
Grafik Fungsi
Tidak Naik dan Tidak Turun
′
Grafik Fungsi
Turun
′
=
<
Titik dimana grafik fungsi tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.
Titik Maksimum
Titik Belok
Titik Minimum
na�k – stasioner – tu�un
na�k – stasioner – na�k
atau
tu�un – stasioner – tu�un
tu�un – stasioner – na�k
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 201
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar.
Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
=
∙
′
→
Proses mencari turunan fungsi
�
=
:
1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi!
2. Kurangi satu pangkatnya!
3. Selesai!
Halaman 202
∙
∙
−
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.
Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
�
Cara membacanya:
= ��n
→
�
= c��
− �
−�
= −��n
= −c��
→
→
→
′
′
′
′
= c��
= −��n
= −c��
= ��n
Jadi turunannya sinus adalah kosinus.
Turunannya kosinus adalah negatif sinus.
KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:
′
− ′
′
=
→
=
Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan ?
= tan =
′
Jadi,
=
′
−
��n
c��
′
= tan →
→
=
′
= ��n
= c��
c�� c�� − ��n
c��
= ��c
.
′
′
= c��
= − ��n
− ��n
=
c��
+ ��n
c��
=
c��
= ��c
Silahkan temukan sendiri turunan fungsi c�t , ��c , dan c�c menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!
LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
= �
=�
= ��
=� �
}
tu�unan da�� �ung�� yang b��awalan hu�u� c ��lalu n�gat��
�ung�� b��awalan hu�u� c hanya kum�ul d�ngan yang b��awalan c �uga
�
dan �
tu�unannya k�mba�
tan
c�t
��c
c�c
□
□
Cara membacanya:
= tan →
= c�t →
= ��c →
= c�c →
′
′
′
′
= ��c
= − c�c
= ��c tan
= − c�c c�t
Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:
□
Turunannya tan adalah ��c .
Turunannya c�t adalah – c�c .
Turunannya ��c adalah ��c tan
Turunannya c�c adalah − c�c c�t
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 203
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
′
Persamaan Garis Lurus
melewati titik
,
dengan gradien
adalah:
Gradien Garis Singgung Kurva
di = adalah
=
′
−
=
−
Gradien Garis Singgung Kurva
di titik
,
dengan gradien adalah:
−
=
−
+
−
Contoh Soal:
Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva
�umbu � adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
−
−
−
−
,
,
,
=
− pada titik
, − . Titik potong garis ℎ dengan
,
− ,
Pembahasan:
Diketahui kurva
=
−
yaitu:
+
−
′
=
Gradien garis singgung kurva di = adalah:
= ′
= ′
=
−
+
= − +
=−
−
+
Persamaan garis singgung kurva di titik , − dengan gradien
− =
−
− − =−
−
+ =− +
=− + −
=− −
Jadi garis ℎ adalah
=−
− .
Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat
=
=− −
=−
=−
= , sehingga:
Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah − ,
Halaman 204
= − adalah:
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.
Hubungan antara Jarak � , Kecepatan � , dan Percepatan
. *)
Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep
berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:
�
�
Turun artinya turunan fungsi.
turun
Sehingga cara membacanya seperti ini:
turun
Fungsi
adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan
Fungsi
adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak
�
=� =
=
��
�
=
′
′
(http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)
Contoh Soal 1:
Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah detik dirumuskan dengan ℎ
maka t�ngg� mak��mum yang d�ca�a� ��lu�u t����but adalah …. meter.
a.
b.
c.
d.
e.
270
320
670
720
770
=
−
,
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ
Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah
.
.
Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
=
(ℎ
)
∴
=
=
−
−
Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.
=
−
=
−
=−
−
=
−
∴ =
�
Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat =
ℎ
=
−
ℎ
=
−
=
−
=
m
�, yaitu
Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 205
Contoh Soal 2:
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu diberikan oleh fungsi
Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat = …. detik
a.
b.
c.
d.
e.
−
=
−
+
.
6
4
3
2
1
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah
Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah
.
.
Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
=
(
)
∴
=
(
=
−
=
(
−
−
−
+
+
)
Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (
Sehingga,
=
=
(
)
∴
=
− −
− −
+
−
��mbuat n�l
+ = atau −
= − atau
�M
−
−
=
=
=
−
−
�
+ )
=
.
�
=
=
Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk = − adalah TM (tidak memenuhi).
Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat =
Halaman 206
detik.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
′
Periksa nilai ′
pada interval [ , ]
′
>
Fung��
′
na�k
Fung�� Na�k
+
<
Fung��
Fung�� �u�un
−
′
tu�un
′
Contoh Soal:
−
=
Grafik dari
−
a.
<
d.
< atau > −
e.
< − atau > −
+
na�k untuk �nt��val ….
Pembahasan:
Naik atau turunnya grafik fungsi
Fungsi
=
−
−
naik apabila
′
+
=
′
=
> .
Sehingga,
′
dapat dilihat dari nilai ′
−
−
− −
−
+
��mbuat n�l
+ = atau −
= − atau
>
>
>
−
�
.
−
�
=
=
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
Jadi grafik fungsi
−
−
+
akan naik dalam interval
< − atau
> .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 207
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
Periksa nilai
pada =
′
≠
Fung��
′
′
′
na�k atau tu�un
=
Fung��
�ta���n��
Menentukan
jenis titik stasioner
grafik fungsi
Metode grafis
(Uji turunan pertama)
titik
maksimum
+
Metode analitis
(Uji turunan kedua)
titik
minimum
−
+
′′
<
Titik Maksimum
′
′′
=
Titik Belok
′′
>
Titik Minimum
stasioner
naik
turun
naik
stasioner
TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:
titik belok
−
−
+
+
turun
naik
stasioner
stasioner
turun
naik
stasioner
Halaman 208
′
Perhatikan Grafik Fungsi
= ��n , ° ≤ ≤
°
TIPS Mengingat Titik Belok:
Perhatikan Grafik Fungsi
= c�� , ° ≤ ≤
°
��n
c��
�
°
°
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum).
Nilai maksimum atau minimum fungsi
pada interval ≤ ≤
Tentukan nilai
pada ujung interval
dan
Tentukan nilai stasioner
(Jika ada)
Pilih nilai terbesar nilai maksimum
Pilih nilai terkecil nilai minimum
Contoh Soal:
=
Nilai maksimum dari fungsi
a.
−
+
+ pada interval −≤
≤
adalah ….
b.
c.
d.
e.
Pembahasan:
Nilai
≤
pada ujung interval
=
Fungsi
=
=
′
−
=
stasioner saat
=
=
−
+
+
−
−
′
+
=
=
=
=
Jadi nilai maksimum
+
= .
−
−
+
=
′
′
−
adalah
+
=
=
=
=
=
=
=
−
+
pada interval ≤ ≤ terlihat bahwa:
atau mungkin maksimum di = dan
maksimum di
−
+
+
+
−
−
= atau −
=
atau
Sehingga, dari sketsa kurva
maksimum di titik
Periksa dulu apakah
titik tersebut.
≤ .
+
.
+
=
atau di
+
+
=
=
minimum di
dengan membandingkan nilai
= .
pada kedua
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 209
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).
Y
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
(
,
Koordinat titik
)
Luas maksimum
X
=
=
,
Y
(
,
+
)
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
=
Koordinat titik
Luas maksimum
X
ℓ
�
=
=
,
Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.
�=
} =�×ℓ= × =
=
Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut:
Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan
Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi
Periksa keadaan stasioner fungsi
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
�ada bab A�l�ka�� �u�unan Fung�� �n�….
Halaman 210
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila
koordinat M adalah ….
Y
a.
b.
c.
d.
e.
,
,
,
,
,
X
Pembahasan:
,
Persamaan garis lurus yang melewati titik
+
=
dan
,
adalah:
Misal koordinat adalah , . Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang dan lebar .
Pan�ang =
L�ba� = , dari persamaan
+
=
=
−
=
=
Jadi luas persegi panjang adalah:
=�×ℓ
= ( −
=
′
−
=
−
Luas persegi panjang akan maksimum jika
′
=
−
)
−
=
8− �
8
−
=
′
=
=−
−
=
−
−
= − × (− )
Substitusikan
=
−
=
ke
=
=
=
−
−
diperoleh:
=
Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
=
,
Y
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
(
Karena
=
dan
,
)
Koordinat titik
Luas maksimum
X
=
=
,
= , dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
.
Halaman 211
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4 x 2 8 x 24 ) dalam ribu rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
Karena mewakili jumlah barang,
−
−
+
=−
+
+
A. Rp16.000,00 � =
tidak mungkin negatif sehingga
� akan maksimum untuk yang memenuhi � ′
=
B. Rp32.000,00
�′
=
yang memenuhi hanya =
C. Rp48.000,00
−
+
+
= d�bag� −
Substitusikan = ke � ,
D. Rp52.000,00
−
− =
diperoleh:
+
− =
E. Rp64.000,00
+
+
�
=−
=−
atau
=
=−
=
+
+
=−
atau
=
=− +
= R�
+
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 x 2 10 x 30 dalam ribuan rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
Karena mewakili jumlah barang,
−
−
+
=−
+
+
A. Rp10.000,00 � =
tidak mungkin negatif sehingga
� akan maksimum untuk yang memenuhi � ′
=
B. Rp20.000,00
�′
=
yang memenuhi hanya =
C. Rp30.000,00
−
+
+
= d�bag� −
Substitusikan = ke � ,
D. Rp40.000,00
−
− =
diperoleh:
+
− =
E. Rp50.000,00
+
+
�
=−
Jika adik-ad�k butuh ’b�c��an’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 212
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
5. 2.
Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Simbol
′
Definisi
′
+ℎ −
ℎ
= l�m
ℎ→
���at:
→
→
′
=
=
=
→
± →
∙ →
′
=
→
′
=
�
→
′
′
′
′
=
= .
=
=
=
=
=
′
′
′
�
′
−
∙
=
(
)
Turunan Fungsi Trigonometri
�−
± ′
′
+
=
dengan catatan limit ini ada
Turunan Fungsi Aljabar
=
=
′
=
′
= tan
= c�t
= ��c
= c�c
′
′
→
→
→
→
�
− �
−�
′
′
′
′
= ��c
= − c�c
= ��c tan
= − c�c c�t
Aplikasi Turunan Fungsi
Gradien Garis Singgung
Kurva =
di titik =
=
Persamaan Garis Singgung
di titik
,
−
′
=
−
Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.
Grafik Fungsi
Naik
′
>
Grafik Fungsi
Tidak Naik dan Tidak Turun
′
Grafik Fungsi
Turun
′
=
<
Titik dimana grafik fungsi tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.
Titik Maksimum
Titik Belok
Titik Minimum
na�k – stasioner – tu�un
na�k – stasioner – na�k
atau
tu�un – stasioner – tu�un
tu�un – stasioner – na�k
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 201
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar.
Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
=
∙
′
→
Proses mencari turunan fungsi
�
=
:
1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi!
2. Kurangi satu pangkatnya!
3. Selesai!
Halaman 202
∙
∙
−
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.
Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
�
Cara membacanya:
= ��n
→
�
= c��
− �
−�
= −��n
= −c��
→
→
→
′
′
′
′
= c��
= −��n
= −c��
= ��n
Jadi turunannya sinus adalah kosinus.
Turunannya kosinus adalah negatif sinus.
KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:
′
− ′
′
=
→
=
Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan ?
= tan =
′
Jadi,
=
′
−
��n
c��
′
= tan →
→
=
′
= ��n
= c��
c�� c�� − ��n
c��
= ��c
.
′
′
= c��
= − ��n
− ��n
=
c��
+ ��n
c��
=
c��
= ��c
Silahkan temukan sendiri turunan fungsi c�t , ��c , dan c�c menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!
LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
= �
=�
= ��
=� �
}
tu�unan da�� �ung�� yang b��awalan hu�u� c ��lalu n�gat��
�ung�� b��awalan hu�u� c hanya kum�ul d�ngan yang b��awalan c �uga
�
dan �
tu�unannya k�mba�
tan
c�t
��c
c�c
□
□
Cara membacanya:
= tan →
= c�t →
= ��c →
= c�c →
′
′
′
′
= ��c
= − c�c
= ��c tan
= − c�c c�t
Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:
□
Turunannya tan adalah ��c .
Turunannya c�t adalah – c�c .
Turunannya ��c adalah ��c tan
Turunannya c�c adalah − c�c c�t
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 203
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
′
Persamaan Garis Lurus
melewati titik
,
dengan gradien
adalah:
Gradien Garis Singgung Kurva
di = adalah
=
′
−
=
−
Gradien Garis Singgung Kurva
di titik
,
dengan gradien adalah:
−
=
−
+
−
Contoh Soal:
Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva
�umbu � adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
−
−
−
−
,
,
,
=
− pada titik
, − . Titik potong garis ℎ dengan
,
− ,
Pembahasan:
Diketahui kurva
=
−
yaitu:
+
−
′
=
Gradien garis singgung kurva di = adalah:
= ′
= ′
=
−
+
= − +
=−
−
+
Persamaan garis singgung kurva di titik , − dengan gradien
− =
−
− − =−
−
+ =− +
=− + −
=− −
Jadi garis ℎ adalah
=−
− .
Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat
=
=− −
=−
=−
= , sehingga:
Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah − ,
Halaman 204
= − adalah:
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.
Hubungan antara Jarak � , Kecepatan � , dan Percepatan
. *)
Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep
berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:
�
�
Turun artinya turunan fungsi.
turun
Sehingga cara membacanya seperti ini:
turun
Fungsi
adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan
Fungsi
adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak
�
=� =
=
��
�
=
′
′
(http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)
Contoh Soal 1:
Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah detik dirumuskan dengan ℎ
maka t�ngg� mak��mum yang d�ca�a� ��lu�u t����but adalah …. meter.
a.
b.
c.
d.
e.
270
320
670
720
770
=
−
,
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ
Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah
.
.
Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
=
(ℎ
)
∴
=
=
−
−
Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.
=
−
=
−
=−
−
=
−
∴ =
�
Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat =
ℎ
=
−
ℎ
=
−
=
−
=
m
�, yaitu
Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 205
Contoh Soal 2:
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu diberikan oleh fungsi
Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat = …. detik
a.
b.
c.
d.
e.
−
=
−
+
.
6
4
3
2
1
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah
Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah
.
.
Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
=
(
)
∴
=
(
=
−
=
(
−
−
−
+
+
)
Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (
Sehingga,
=
=
(
)
∴
=
− −
− −
+
−
��mbuat n�l
+ = atau −
= − atau
�M
−
−
=
=
=
−
−
�
+ )
=
.
�
=
=
Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk = − adalah TM (tidak memenuhi).
Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat =
Halaman 206
detik.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
′
Periksa nilai ′
pada interval [ , ]
′
>
Fung��
′
na�k
Fung�� Na�k
+
<
Fung��
Fung�� �u�un
−
′
tu�un
′
Contoh Soal:
−
=
Grafik dari
−
a.
<
d.
< atau > −
e.
< − atau > −
+
na�k untuk �nt��val ….
Pembahasan:
Naik atau turunnya grafik fungsi
Fungsi
=
−
−
naik apabila
′
+
=
′
=
> .
Sehingga,
′
dapat dilihat dari nilai ′
−
−
− −
−
+
��mbuat n�l
+ = atau −
= − atau
>
>
>
−
�
.
−
�
=
=
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
Jadi grafik fungsi
−
−
+
akan naik dalam interval
< − atau
> .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 207
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).
Kurva
Tentukan turunan
yaitu
Periksa nilai
pada =
′
≠
Fung��
′
′
′
na�k atau tu�un
=
Fung��
�ta���n��
Menentukan
jenis titik stasioner
grafik fungsi
Metode grafis
(Uji turunan pertama)
titik
maksimum
+
Metode analitis
(Uji turunan kedua)
titik
minimum
−
+
′′
<
Titik Maksimum
′
′′
=
Titik Belok
′′
>
Titik Minimum
stasioner
naik
turun
naik
stasioner
TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:
titik belok
−
−
+
+
turun
naik
stasioner
stasioner
turun
naik
stasioner
Halaman 208
′
Perhatikan Grafik Fungsi
= ��n , ° ≤ ≤
°
TIPS Mengingat Titik Belok:
Perhatikan Grafik Fungsi
= c�� , ° ≤ ≤
°
��n
c��
�
°
°
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum).
Nilai maksimum atau minimum fungsi
pada interval ≤ ≤
Tentukan nilai
pada ujung interval
dan
Tentukan nilai stasioner
(Jika ada)
Pilih nilai terbesar nilai maksimum
Pilih nilai terkecil nilai minimum
Contoh Soal:
=
Nilai maksimum dari fungsi
a.
−
+
+ pada interval −≤
≤
adalah ….
b.
c.
d.
e.
Pembahasan:
Nilai
≤
pada ujung interval
=
Fungsi
=
=
′
−
=
stasioner saat
=
=
−
+
+
−
−
′
+
=
=
=
=
Jadi nilai maksimum
+
= .
−
−
+
=
′
′
−
adalah
+
=
=
=
=
=
=
=
−
+
pada interval ≤ ≤ terlihat bahwa:
atau mungkin maksimum di = dan
maksimum di
−
+
+
+
−
−
= atau −
=
atau
Sehingga, dari sketsa kurva
maksimum di titik
Periksa dulu apakah
titik tersebut.
≤ .
+
.
+
=
atau di
+
+
=
=
minimum di
dengan membandingkan nilai
= .
pada kedua
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 209
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).
Y
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
(
,
Koordinat titik
)
Luas maksimum
X
=
=
,
Y
(
,
+
)
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
=
Koordinat titik
Luas maksimum
X
ℓ
�
=
=
,
Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.
�=
} =�×ℓ= × =
=
Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut:
Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan
Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi
Periksa keadaan stasioner fungsi
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
�ada bab A�l�ka�� �u�unan Fung�� �n�….
Halaman 210
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila
koordinat M adalah ….
Y
a.
b.
c.
d.
e.
,
,
,
,
,
X
Pembahasan:
,
Persamaan garis lurus yang melewati titik
+
=
dan
,
adalah:
Misal koordinat adalah , . Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang dan lebar .
Pan�ang =
L�ba� = , dari persamaan
+
=
=
−
=
=
Jadi luas persegi panjang adalah:
=�×ℓ
= ( −
=
′
−
=
−
Luas persegi panjang akan maksimum jika
′
=
−
)
−
=
8− �
8
−
=
′
=
=−
−
=
−
−
= − × (− )
Substitusikan
=
−
=
ke
=
=
=
−
−
diperoleh:
=
Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
=
,
Y
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
(
Karena
=
dan
,
)
Koordinat titik
Luas maksimum
X
=
=
,
= , dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
.
Halaman 211
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4 x 2 8 x 24 ) dalam ribu rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
Karena mewakili jumlah barang,
−
−
+
=−
+
+
A. Rp16.000,00 � =
tidak mungkin negatif sehingga
� akan maksimum untuk yang memenuhi � ′
=
B. Rp32.000,00
�′
=
yang memenuhi hanya =
C. Rp48.000,00
−
+
+
= d�bag� −
Substitusikan = ke � ,
D. Rp52.000,00
−
− =
diperoleh:
+
− =
E. Rp64.000,00
+
+
�
=−
=−
atau
=
=−
=
+
+
=−
atau
=
=− +
= R�
+
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 x 2 10 x 30 dalam ribuan rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
Karena mewakili jumlah barang,
−
−
+
=−
+
+
A. Rp10.000,00 � =
tidak mungkin negatif sehingga
� akan maksimum untuk yang memenuhi � ′
=
B. Rp20.000,00
�′
=
yang memenuhi hanya =
C. Rp30.000,00
−
+
+
= d�bag� −
Substitusikan = ke � ,
D. Rp40.000,00
−
− =
diperoleh:
+
− =
E. Rp50.000,00
+
+
�
=−
Jika adik-ad�k butuh ’b�c��an’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 212
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)