SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.3 INTEGRAL TAK TENTU DAN INTEGRAL TERTENTU FUNGSI ALJABAR DAN FUNGSI TRIGONOMETRI) 1
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
5. 3.
Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Integral Tak Tentu
Definisi
Kebalikan Proses �urunan
�
Integral
�′
=
⇒∫
Turunan
ⅆ =�
Integral Fungsi Aljabar
∫
∫
∫ ⅆ[
∫[
∫�∙
±
ⅆ =
ⅆ =
+
+
�ifat:
]=
ⅆ = �∫
]ⅆ = ∫
+
+
+
+
Integral Fungsi Trigonometri
�� �
� ��
− �� �
−� ��
+
+
ⅆ
ⅆ ±∫
∫ sec
∫ csc
∫ sec tan
∫ csc cot
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
= − tan
= −cot
= −sec
= −csc
+
+
+
+
Integral Tertentu
Definisi
∫
ⅆ =�
| =�
−�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 213
Teknik Integral Aljabar
Integral Langsung
Jika sesuai dengan Rumus Dasar
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
+
harus sama
∫[
□
+
+
] ⅆ = ….
±
boleh dalam bentuk
penjumlahan atau pengurangan
tidak boleh perkalian pembagian!!!!!
∫[
×
∫[
] ⅆ = ….
] ⅆ = ….
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,
maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah
∫√ ⅆ
∫
Bentuk pangkat
belum terlihat!!!
∫
∫
+
ⅆ
+
ⅆ
ⅆ
∫
ⅆ
Bentuk pangkat
belum terlihat!!!
∫
Nggak boleh dalam
bentuk perkalian!!!
∫
Substitusi
∫
−
+
ⅆ
ⅆ
Nggak boleh dalam
bentuk perkalian!!!
∫
+
+
ⅆ
∫
Parsial
ⅆ�
� +
∫
ⅆ�
� +
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
harus sama
harus sama
� +
ⅆ
� +
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
turunan
∫
Perbedaan mendasar antara
teknik integral substitusi dengan
teknik integral parsial.
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Tetapi masih muncul
variabel �
dan lain-lain …
∫ ⅆ =
Halaman 214
−∫ ⅆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar.
Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
� � = ��� → � � =
���
Proses mencari integral fungsi
1.
2.
3.
4.
���+
�
�+
��+ + �
�
�+
terhadap :
��+
Tambah satu pangkatnya!
Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama!
Tambahkan dengan konstanta .
Selesai!
TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.
Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut:
Lho ini kan saling berkebalikan?
� � = �� → � � =
�+
��+ + �
Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan
bentuk pangkat pecahan.
Misalnya,
∫
ⅆ = ∫
=
=
∙
5
ⅆ
5
+
+
Ingat konsep ∫ �
ⅆ = �∫
ⅆ
(
)
alias buang semua konstanta keluar integral
Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!
Pangkat ditambah 1 menjadi berapa? , kan?
Mudah saja, balik angka menjadi .
Jadi,
5
∫
ⅆ =
+
Lho ini kan saling berkebalikan?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 215
Teknik Integral Trigonometri
Integral Langsung
Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri
∫ sin □
ⅆ□ = − cos □ +
∫ cos □
ⅆ□ = − sin □ +
∫ sec □ ⅆ□ = − tan □ +
∫ csc □ ⅆ□ = −cot □ +
∫ sec □ tan □ ⅆ□ = −sec □ +
∫ csc □ cot □ ⅆ□ = −csc □ +
∫[
]ⅆ
±
boleh dalam bentuk
penjumlahan atau pengurangan
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,
maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah
∫ tan
ⅆ
Adanya konsep
integral ��� � !!!
∫ sec
∫ sin
∫ cos
∫ sin
−
cos
cos
sin
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
Substitusi
∫ cot
Adanya konsep
integral ��� � !!!
∫ csc
−
∫ sin ⅆ
∫ cos ⅆ
dst …
Sin Cos berpangkat
genap harus diubah!
Ingat Rumus Perkalian
ke penjumlahan
Ingat Rumus Sin Cos
setengah sudut
sin
cos
sin
∫
∫
� +
ⅆ�
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
harus sama
harus sama
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
∫
sin
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Tetapi masih muncul
variabel �
cos ⅆ�
∫ ��
= + cos
sin
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
sin
= − cos
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
Jadi, ∫ sin
ⅆ
juga diubah menjadi
∫ sin sin
ⅆ
dan lain-lain …
ⅆ�
� +
ⅆ
Diubah menjadi
bentuk perjumlahan
�+�
�
�−�
�
+
−
− ��
∫
ⅆ
Parsial
∫ ⅆ =
harus sama
∫ ��
cos
ⅆ �� �
cos
−∫ ⅆ
turunan
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
Halaman 216
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.
Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
Cara membacanya:
∫ −sin ⅆ = − cos
�� �
� ��
− �� �
−� ��
+
∫ −cos ⅆ = − sin
+
∫ −cos ⅆ = − sin
+
∫ −sin
ⅆ = − cos
+
Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus.
Integralnya kosinus adalah sinus.
KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari
fungsi trigonometri. *)
Perhatikan konsep berikut:
tan
cot
sec
csc
□
□
Cara membacanya:
= tan →
= cot →
= sec →
= csc →
′
′
′
′
= sec
= − csc
= sec tan
= − csc cot
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203
(http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)
Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:
∫ sec
∫ csc
∫ sec tan
∫ csc cot
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
= − tan
= −cot
= −sec
= −csc
+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 217
Tips dan Trik Integral Trigonometri
Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat
turunan dari fungsi trigonometri. OK!
Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada
Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html
Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:
Rumus identitas trigonometri
sin + cos =
tan + = sec
+ cot = csc
sin
=
sin
= sin cos
cos
=
− cos
+ cos
Rumus perkalian trigonometri
sin cos
= [sin
+
+ sin
= [cos
+
+ cos
cos sin
= [sin
sin sin
= − [cos
cos cos
+
− sin
+
]
−
]
−
−
− cos
−
]
]
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa
dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
∫ sin
cos
∫ tan
sec
∫ cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
ⅆ =
∫ cot
csc
∫ csc
csc cot
∫ sec
Halaman 218
+
ⅆ =−
sec tan
+
+
ⅆ =
+
sin
+
ⅆ =−
cos
tan
+
+
cot
+
+
+
+
sec
+
+
+
csc
+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral.
Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral �ang bentuk integraln�a sedikit berbeda
dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat
aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar.
Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi
integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau
pengurangan. TITIK!
Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk
yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu
yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri.
TITIK!
Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:
Contoh Soal 1:
Hasil dari
5
∫ √
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar.
Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!
5
∫ √
5
ⅆ = ∫√
5
= ∫
=
∙
=
7
5
ⅆ
7
5
ⅆ
+
(Ingat √
(Ingat ∫
=
ⅆ =
)
+
+
+
atau �RIK �UPERKILA� di halaman
)
+
Contoh Soal 2:
Hasil dari
∫
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut.
Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!
∫
ⅆ = (Ingat
−
=∫
= ∫
−
=−
−
=
=−
∙
−
ⅆ
ⅆ
−
+
=
−
)
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 219
Contoh Soal 3:
Hasil dari
∫ ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.
Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!
∫ ⅆ = (Ingat
=∫
=
−
−
ⅆ
=
−
)
+
= tidak terdefinisi
Lho kok tidak terdefinisi????????
Ya! Khusus ∫
Jadi,
∫
−
∫
−
ⅆ apabila
ⅆ ≠
− +
− +
tetapi menggunakan rumus:
Halaman 220
= − maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral.
+
ⅆ = ∫ ⅆ = ln| | +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Hasil dari
−
∫
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian.
Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!
−
∫
ⅆ =∫
−
=∫
−
=
ⅆ −∫
ⅆ
(Ingat ∫(
+
ⅆ
+
)ⅆ = ∫
ⅆ +∫
ⅆ )
Contoh Soal 6:
Hasil dari
∫
−
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
�
�
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak faktor!
∫
−
ⅆ =∫
=∫
=
−
−
−
−
+
+
Ingat
ⅆ
+
ⅆ
+
=
+
+
Contoh Soal 7:
Hasil dari
−
∫
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan men�ederhanakann�a dulu, tentun�a…..
∫
−
ⅆ =∫
−
= ∫(
−
=∫
=
=
)ⅆ
ⅆ −∫
− ∙
−
(Ingat
ⅆ
+
ⅆ
+
+
=
+ )
Men�elesaikan bentuk ∫
(
∫
ⅆ �ang paling mudah adalah
ⅆ = ∫ ⅆ =
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
∙
+
)
Halaman 221
Contoh Soal 8:
Hasil dari
∫
+ tan
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.
Bentuk tan bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.
Jadi ∫ tan ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.
Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec
Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!
ⅆ = tan + .
Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
tan + = sec ⇒ tan = sec −
∫
+ tan
ⅆ = Ingat tan
= sec
= ∫( + sec
=∫
−
+ sec
ⅆ
= ∫ ⅆ + ∫ sec
=
Contoh Soal 9:
+ tan +
)ⅆ
−
ⅆ
Hasil dari
∫
cot
−
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.
Bentuk cot bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.
Jadi ∫ cot ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.
Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc
Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!
ⅆ = −cot + .
Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
+ cot
= csc ⇒ cot = csc −
∫
cot
−
ⅆ = Ingat cot
=∫
=∫
csc
csc
= ∫ csc
= ∫ csc
−
= csc
−
−
ⅆ
ⅆ
ⅆ −∫ ⅆ
ⅆ −
= − cot −
+
= − cot −
+
Halaman 222
−
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
cos ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri.
Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong!
Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus perkalian trigonometri
sin cos
+
+ sin
= [cos
+
+ cos
cos sin
= [sin
sin sin
= − [cos
cos cos
Jadi,
= [sin
∫ sin
+
− sin
+
cos ⅆ = ∫ [sin
=∫
sin
= ∫ ( sin
= ∫ sin
= ∫ sin
⏟
− cos
+
]
−
−
−
+ sin
−
]
]
]
+ sin
+ sin
ⅆ
)ⅆ
ⅆ + ∫ sin
ⅆ + ∫ sin
⏟
−
]ⅆ
ⅆ
ⅆ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.
�udut sinus
dan , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 223
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!
�
�
Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus identitas trigonometri
Jadi,
sin
=
∫ sin
ⅆ = ∫ ( − cos
cos
− cos
=
+ cos
)ⅆ
= ∫ ⅆ − ∫ cos
=
− ∫ cos
⏟
ⅆ
ⅆ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.
�udut kosinus , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!
�
�
Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus identitas trigonometri
sin = − cos
cos = − sin
Jadi,
∫ sin
ⅆ = ∫ sin
=∫
sin ⅆ
− cos
= ∫ sin − cos
sin ⅆ
sin
= ∫ sin ⅆ − ∫ cos
⏟
ⅆ
sin ⅆ
Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama.
Fungsi integran cos sin , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Halaman 224
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi.
Ingat Lagi Ya!!!!!!
Konsep Dasar Integral
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
harus sama
+
□
+
+
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Substitusi
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ∆
belum sama
Gantilah operator integral
dengan fungsi yang disubstitusi.
Tentukan turunan operator integral tersebut
dan letakkan menjadi penyebut.
Periksa!
Apakah hasil bagi fungsi yang lain
dengan turunan operator integral
masih memuat variabel ?
Tidak!
Nggak ada variabel lagi!
Ya!
Masih menyisakan variabel !
Integral Substitusi
Integral Parsial
Teknik Tabulasi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 225
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi.
Perhatikan konsepnya:
ⅆ
+
− =
ⅆ
+
⇒
ⅆ
+
ⅆ
⇔
+
⇔
Jadi ⅆ pada soal bisa diganti dengan
(
+
−
−
+
=ⅆ
ⅆ =
)
′
=
ⅆ
ⅆ
+
+
−
turunannya
Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut:
Jadi, ⅆ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut!
Contoh:
∫
−
∫ sin
∫
cos
ⅆ� = ∫
ⅆ� = ∫ sin
ⅆ� = ∫
dan lain-lain …..
ⅆ
�
ⅆ
−
�−
turunannya
turunannya
ⅆ( � ) turunannya
�
cos
Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa
membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi.
Contohnya:
∫
cos
ⅆ =∫
cos
ⅆ
Pokoknya variabel
harus hilang!!!
=∫
cos
ⅆ
= ∫ cos
ⅆ
Hore!!!!!
Variabel udah hilang!!!!
= ∫ cos □ ⅆ□
Hore!!!!!!
Sudah sama!!!!
Kalau hilang berarti integral substitusi.
Kalau enggak hilang berarti integral parsial.
Halaman 226
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1:
Hasil dari
∫
−
a. −
−
−
−
−
b. −
c.
−
d. −
+
+
−
+
−
e. −
+
+
+
−
−
+
−
+
−
ⅆ = ….
+
−
+
−
+
Pembahasan:
Perhatikan soal,
∫
−
−
(� − � + )
ⅆ�
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah
teknik integral parsial.
Ganti operator integral
∫
−
−
(� − � + )
−
Periksa, apakah hasil
−
−
ⅆ� ⇒ ∫
ⅆ(� − � + )
�−
−
−
(� − � + )
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih
menyisakan variabel �?
tidak menyisakan variabel ?
= , dan kita sudah tidak menemukan variabel yang tersisa.
−
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi.
Ternyata hasil dari
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
−
+
−
1
ⅆ =∫
=
∫
=
∙
=
=−
∙
−
( −
−
−
−
−
+
+ )
−
+
−
+
−
ⅆ
ⅆ
−
� − �+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
+
+
2
(Ingat ∫ □ ⅆ = ∫ □ ⅆ )
(Ingat ∫ □ ⅆ =
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
+
□
+
+ )
Halaman 227
Contoh Soal 2:
Hasil dari
∫
a.
√
+ ⅆ = ….
+
+
b.
+
c.
+
d.
+
e.
√
√
√
√
√
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
√
+ ⅆ = �anda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!
(Ingat ∫ √□ ⅆ = ∫ □ ⅆ )
=∫
+
=∫
=∫
=
=
=
=
=
=
Halaman 228
+
+
+
�amakan dulu operator integraln�a
ⅆ
ⅆ
ⅆ
( � + )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(Ingat ∫ □ ⅆ =
+
□
+
+ )
+
+
+
√
+
+
Ingat sifat pangkat
+
+
=
∙
+ +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Hasil dari
∫
−
ⅆ = ….
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
ⅆ = ∫
−
−
ⅆ = ∫
−
−
= ∫
−
−
= ∫
ⅆ
ⅆ
−
−
ⅆ
− |+
= ln|
�amakan dulu operator integraln�a
−
−
Buang semua konstanta keluar integral
Contoh Soal 4:
Hasil dari
−
ⅆ = ….
∫
−
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
ⅆ =∫
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒∫
⇔∫
ⅆ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
ⅆ =∫ +
−
−
ⅆ =∫ +
−
=
+
=
=
=
=
−
=∫ ⅆ +∫
= ln| | + ∫
= ln| | + ∫
−
−
−
−
ℎ
+
+
−
− +
−
+
−
−
+
−
=
−
Ingat
ⅆ
−
−
+
+
ℎ
=
=
}
=
dan
ⅆ
ⅆ
ⅆ
−
= ln| | + ln| − | +
−
−
=
}
Ingat, dari perhitungan di atas tern�ata
ⅆ
−
=
=
dan
=
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 229
Contoh Soal 5:
Hasil dari
∫ sin
− � ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan
operator integralnya.
Maksudnya?
Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu
− � . Padahal operator integralnya adalah ⅆ . Artinya fungsi sinus
tersebut diintegralkan terhadap variabel . Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator
integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya.
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
− � ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a
= ∫ sin
−�
ⅆ
−�
�ern�ata tidak ada variabel tersisa.
Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.
= ∫ sin
−� ⅆ
= − cos
−� +
=
Halaman 230
∙ − cos
−�
+
−�
(Ingat ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + )
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Hasil dari
∫ sin
cos ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya.
Maksudnya?
Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?
′
= cos
= sin →
′
= cos →
= − sin
′
= tan →
= sec
′
= cot →
= − csc
′
= sec tan
= sec →
′
= csc →
= − csc cot
Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas.
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa
dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
∫ sin
cos
∫ tan
sec
∫ cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
ⅆ =
∫ cot
csc
∫ csc
csc cot
∫ sec
+
ⅆ =−
sec tan
+
+
ⅆ =
+
sin
cos
+
ⅆ =−
tan
+
+
cot
+
+
+
+
sec
+
+
+
csc
+
+
+
+
Jadi ∫ sin cos ⅆ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator
integral dari yang semula ⅆ menjadi ⅆ sin .
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
cos ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a
= ∫ sin
cos
= sin
+
= ∫ sin
ⅆ sin
cos
ⅆ sin
(Ingat ∫ sin □ ⅆ sin □ =
+
sin
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
□+ )
Halaman 231
Contoh Soal 6:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:
∫ sin
∫ cos
cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
+
+
sin
+
+
+
cos
+
Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1.
Misalnya ∫ sin
ⅆ , maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos
sin .
Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:
sin
+ cos
=
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
ⅆ = Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat
Jadi ubah dulu sin
= ∫ sin
=∫
= sin
sin ⅆ
− cos
= ∫ sin − cos
sin ⅆ
sin
= ∫ sin ⅆ − ∫ cos
sin
= − cos + cos
+
sin
Ingat sin
sin ⅆ
= − cos − ∫ cos
= − cos + ∫ cos
ⅆ
−
(Ingat ∫
ⅆ cos
− sin
ⅆ cos
+ cos
+
=
⇒ sin
ⅆ =∫
(Pen�elesaian ∫ cos
=
− cos
ⅆ +∫
ⅆ )
sin ⅆ lihat Contoh �oal )
(Ingat ∫ cos □ ⅆ cos □ =
+
cos
+
□+ )
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul
SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI
pada laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Halaman 232
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial.
Ingat Lagi Ya!!!!!!
Konsep Dasar Integral
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
harus sama
+
□
+
+
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Parsial
atau
Metode Tabulasi
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ∆
belum sama
Gantilah operator integral
dengan fungsi yang disubstitusi.
Tentukan turunan operator integral tersebut
dan letakkan menjadi penyebut.
Periksa!
Apakah hasil bagi fungsi yang lain
dengan turunan operator integral
masih memuat variabel ?
Tidak!
Nggak ada variabel lagi!
Ya!
Masih menyisakan variabel !
Integral Substitusi
Integral Parsial
Teknik Tabulasi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 233
Contoh Soal 1:
Hasil dari ∫ √ + ⅆ = ….
+
a.
b.
√ + −
+
−
√ + +
−
−
√ + +
+
c.
d.
+
e.
+
√ + +
+
−
√ + +
√ + +
Pembahasan:
Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,
∫ √ + ⅆ =∫
�+
ⅆ�
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik
integral parsial.
Ganti operator integral
�+
∫
ⅆ� ⇒ ∫
Periksa, apakah hasil
Ternyata hasil dari
ⅆ �+
�+
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih
menyisakan variabel �?
tidak menyisakan variabel ?
=
, dan kita masih menemukan variabel yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.
∫
+
ⅆ = (Ingat integral parsial ∫ ⅆ =
Misal
=
Maka ⅆ =
⇒∫
+
ⅆ =
=�∙
�+
+
=
+
=
+
=
=
=
Halaman 234
+
=
=
+
−∫ ⅆ
=
=
ⅆ
=
ⅆ
⇔ⅆ =ⅆ
⇒
+
+
ⅆ
−∫
− ∫
− ∙
[
−
−
+
−
+
+ −
+
−
(
+
⇒ ∫ⅆ = ∫
⇔
=
�+
ⅆ�
+
+
+
5
5
+
−
−
+
ⅆ
+
√ + +
+
+
]+
−∫ ⅆ )
+
+
ⅆ
+
(keluarkan FPB-n�a
+
)
)+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2a:
Hasil dari
∫
a.
b.
c.
d.
e.
+
cos ⅆ = ….
sin +
−
+
cos +
sin +
sin −
cos +
sin −
cos +
cos +
sin +
−
cos +
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫⏟ +
⇒∫
+
cos ⅆ = (Ingat integral parsial ∫ ⅆ =
⏟
−∫ ⅆ )
ⅆ
ⅆ
Misal =
⇒
=
ⅆ
⇔ⅆ = ⅆ
Maka ⅆ = cos ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ cos ⅆ
⇔
= sin
cos ⅆ =
−∫ ⅆ
= (� + ) ∙ �� � − ∫ �� � ∙ � ⅆ�
=
+
(Bentuk ∫
sin − ∫
sin ⅆ
sin ⅆ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)
⇒∫
+
cos ⅆ =
+
sin − ∫ ⏟ ⏟
sin ⅆ
ⅆ
ⅆ
Misal =
⇒
=
ⅆ
⇔ⅆ = ⅆ
Maka ⅆ = sin ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ sin ⅆ
⇔
= − cos
⇒∫
+
cos ⅆ =
+
sin − [
=
+
sin − [ −
=
=
=
=
=
=
+
+
+
sin − [
−∫ ⅆ ]+
∙ − cos
cos
− ∫ −cos
∙ ⅆ +
+ ∫ cos ⅆ +
sin − [ − cos + sin + ] +
sin +
cos − sin + ⏟ +
+ sin − sin +
cos +
+ − sin +
cos +
− sin +
cos +
]+
]+
� +� =�
Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi.
Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah
diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit.
Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 235
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi.
Contoh Soal 2b:
Hasil dari
∫
+
cos d = ….
sin +
a.
−
b.
+
c.
cos +
sin +
sin −
cos +
d.
sin −
e.
cos +
cos +
sin +
−
cos +
Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:
Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi :
Buat tabel dengan dua kolom.
Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah
secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol.
Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit
secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri.
Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong
serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian.
Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!!
Selesai!
⏟ ⅆ = Pisahkan bagian �ang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian �ang rumit
∫ ⏟ + cos
mudah rumit
Kolom Kiri
(Turunkan)
Kolom Kanan
(Integralkan)
+
cos
2
− cos
0
sin
+
cos
− sin
∫
sin
+
cos d =
=
=
=
− sin
+
sin +
cos − sin +
+ sin − sin +
cos +
+ − sin +
cos +
− sin +
cos +
Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya.
Coba bandingkan hasilnya!
Halaman 236
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:
bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri;
ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa
diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.
Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5
tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.
Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan
dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √ − , √ + , dan
√ − .
Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat
nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN
INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 237
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.
Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu
∫
ⅆ =�
| =�
Contoh Soal 1:
−�
Hasil dari
∫
−
a.
+
ⅆ = ….
b.
c.
d.
e.
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
+
ⅆ =[
−
=
=( ∙
=
=
=
+
−
− ∙
]
+
−
+
− +
−
−
)−( ∙ − ∙ + )
−
+
− +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana
menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.
Misal �
Maka, �
=
−�
−
=(
=
−
+
−
+
−
=
=
∫
+
−
⏟ −
selisihn�a
ⅆ =[
=
=
=
=
=
)−(
+
−
−
+
− ⏟ −
selisihn�a
−
−
−
−
− +
+
−
−
]
+
+
−
−
+
+
−
⏟−
selisihn�a
+
+
−
+
)
−
−
Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.
Halaman 238
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
pada bab Integral ini….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 239
1.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
3x 1
Hasil dari
dx ....
7
2
3x 2 x 7
A.
B.
C.
D.
E.
2.
B.
C.
D.
E.
Hasil dari
A.
B.
C.
D.
E.
4.
1
3 3x 2 2 x 7
1
4 3x 2 2 x 7
1
6 3x 2 x 7
1
2
C
6
12 3x 2 2 x 7
−
−
ⅆ =∫
+
6
7
∫
=
=
C
6
12 3x 2 2 x 7
1
C
6
∫
∙ (− )
−
−
−
−
=
C
−
+
−
−
ⅆ
+
+C
+
ⅆ
−
+
−
−
+C
+
−
+
−
C
Hasil dari 3x 3x 2 1 dx ....
A.
3.
Hasil dari
A.
B.
C.
D.
E.
Halaman 240
2
(3x 2 1) 3x 2 1 C
∫
3
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
2
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
3
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
2
2
(3x 2 1) 3x 2 1 C
3
4 x 34 x
2
37
7
66
3
67
7
77
6
72
6
∫
=
=
∙
=
2 x
2 x
3
5
5
5 C
2 x
3
5
3
5
2 x
3
5
3
5
2 x
2 x
3
6
C
C
2
C
7
C
∙
+
ⅆ
+
√
+
ⅆ
+
+C
+
+
+C
9
∫
+
+
−
ⅆ =∫
+
=
∙(
= ∫(
=
∙
(
+
+
+
+
−
− ) ⅆ(
ⅆ
+
− ) +C
+
−
+
− )
− ) +C
dx ....
3
7
+
2x2
7
ⅆ =∫
+
6 x 9 dx ....
10
1
4x2 6x 9 C
10
1
2 x 320 C
15
1
2 x 320 C
20
10
1
4x2 6x 9 C
20
10
1
4x2 6x 9 C
30
√
∫7
√
−
ⅆ =∫7
√
= ∫
=
=
∙
7
√
−
−
−
−
ⅆ
−
ⅆ
+C
−
−
+C
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4 x
2
5.
Nilai dari
2
x 5 dx ....
1
A.
B.
C.
D.
E.
33
6
44
6
55
6
65
6
77
6
x
∫
Nilai dari
Nilai dari
2
Nilai dari
12 ∫
14
16
18
20
3x
2
6 ∫
10
13
16
22
2 x
1
A.
B.
C.
D.
E.
1
3
1
27
2
1
37
3
1
37
2
1
51
2
27
−
−
+
−
]
+
−
−
)−( − + )
+
−
=
3
8.
=
+
2 x 2 dx ....
−
2
+
ⅆ =[
−
+
+
ⅆ =[
4 x 3 dx ....
=(
=
−
] =
=
3x 7 dx ....
0
A.
B.
C.
D.
E.
−
=
2
7.
ⅆ =[
=
1
A.
B.
C.
D.
E.
+
=(
4
6.
−
∫
−
+
−
−
+
] =
=
−
−
ⅆ =[
+
=
=
=(
=(
+
+
−
−
=
+
=
]
+
+
+ )−( +
− +
+
−
+
)−( + )
−
−
+ )
+
−
+ )
−
+
+
−
+ )−( −
−
=
=
+
+
−
+
+
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 241
2 sin 2 x 3 cos x dx ....
1
π
2
9.
Nilai dari
0
A.
B.
C.
D.
E.
−5
−1
0
1
2
∫
�
sin
− cos
ⅆ = [− cos
3 sin 2 x cos x dx ....
0
A.
B.
C.
D.
E.
−2
−1
0
1
2
∫
�
sin
A.
B.
C.
D.
E.
−2
−1
0
2
4
B.
C.
D.
E.
TRIK SUPERKILAT:
�
∫ sin
= (− ) − ( )
(sin 2 x 3 cos x) dx ....
∫
3
2 3
4
3
3 3
4
1
1 2 3
4
2
1 2 3
4
3
1 2 3
4
�
sin
+ cos
ⅆ = [− cos
= (− cos
�
− � ⅆ = ∫ − sin
= [ cos
=
=
0
A.
−� ]
�
= (− cos ) − (− cos −� )
1
π
3
12. Nilai dari
�
=
− � ⅆ = [− cos
∫ sin
− sin ]
= (− − ) − (− − )
11. Nilai dari sin(2 x ) dx ....
�
− − −
= (− cos � − sin �) − (− cos − sin )
π
2
0
= −
=− +
=−
ⅆ = [− cos
− cos
�
= (− cos � − sin �) − − cos − sin
1
π
2
10. Nilai dari
− sin ]
+ sin ]
° + sin
�
]
ⅆ
�
°) − (− cos ° + sin °)
= (− (− ) + √ ) − (− + )
=
=
+ √ +
+ √
= ( + √ )
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 242
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
5. 3.
Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Integral Tak Tentu
Definisi
Kebalikan Proses �urunan
�
Integral
�′
=
⇒∫
Turunan
ⅆ =�
Integral Fungsi Aljabar
∫
∫
∫ ⅆ[
∫[
∫�∙
±
ⅆ =
ⅆ =
+
+
�ifat:
]=
ⅆ = �∫
]ⅆ = ∫
+
+
+
+
Integral Fungsi Trigonometri
�� �
� ��
− �� �
−� ��
+
+
ⅆ
ⅆ ±∫
∫ sec
∫ csc
∫ sec tan
∫ csc cot
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
= − tan
= −cot
= −sec
= −csc
+
+
+
+
Integral Tertentu
Definisi
∫
ⅆ =�
| =�
−�
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 213
Teknik Integral Aljabar
Integral Langsung
Jika sesuai dengan Rumus Dasar
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
+
harus sama
∫[
□
+
+
] ⅆ = ….
±
boleh dalam bentuk
penjumlahan atau pengurangan
tidak boleh perkalian pembagian!!!!!
∫[
×
∫[
] ⅆ = ….
] ⅆ = ….
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,
maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah
∫√ ⅆ
∫
Bentuk pangkat
belum terlihat!!!
∫
∫
+
ⅆ
+
ⅆ
ⅆ
∫
ⅆ
Bentuk pangkat
belum terlihat!!!
∫
Nggak boleh dalam
bentuk perkalian!!!
∫
Substitusi
∫
−
+
ⅆ
ⅆ
Nggak boleh dalam
bentuk perkalian!!!
∫
+
+
ⅆ
∫
Parsial
ⅆ�
� +
∫
ⅆ�
� +
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
harus sama
harus sama
� +
ⅆ
� +
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
turunan
∫
Perbedaan mendasar antara
teknik integral substitusi dengan
teknik integral parsial.
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Tetapi masih muncul
variabel �
dan lain-lain …
∫ ⅆ =
Halaman 214
−∫ ⅆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar.
Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
� � = ��� → � � =
���
Proses mencari integral fungsi
1.
2.
3.
4.
���+
�
�+
��+ + �
�
�+
terhadap :
��+
Tambah satu pangkatnya!
Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama!
Tambahkan dengan konstanta .
Selesai!
TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.
Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut:
Lho ini kan saling berkebalikan?
� � = �� → � � =
�+
��+ + �
Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan
bentuk pangkat pecahan.
Misalnya,
∫
ⅆ = ∫
=
=
∙
5
ⅆ
5
+
+
Ingat konsep ∫ �
ⅆ = �∫
ⅆ
(
)
alias buang semua konstanta keluar integral
Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!
Pangkat ditambah 1 menjadi berapa? , kan?
Mudah saja, balik angka menjadi .
Jadi,
5
∫
ⅆ =
+
Lho ini kan saling berkebalikan?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 215
Teknik Integral Trigonometri
Integral Langsung
Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri
∫ sin □
ⅆ□ = − cos □ +
∫ cos □
ⅆ□ = − sin □ +
∫ sec □ ⅆ□ = − tan □ +
∫ csc □ ⅆ□ = −cot □ +
∫ sec □ tan □ ⅆ□ = −sec □ +
∫ csc □ cot □ ⅆ□ = −csc □ +
∫[
]ⅆ
±
boleh dalam bentuk
penjumlahan atau pengurangan
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung,
maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah
∫ tan
ⅆ
Adanya konsep
integral ��� � !!!
∫ sec
∫ sin
∫ cos
∫ sin
−
cos
cos
sin
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
Substitusi
∫ cot
Adanya konsep
integral ��� � !!!
∫ csc
−
∫ sin ⅆ
∫ cos ⅆ
dst …
Sin Cos berpangkat
genap harus diubah!
Ingat Rumus Perkalian
ke penjumlahan
Ingat Rumus Sin Cos
setengah sudut
sin
cos
sin
∫
∫
� +
ⅆ�
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
harus sama
harus sama
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
∫
sin
� +
ⅆ
� +
turunan
Sederhanakan!
Tetapi masih muncul
variabel �
cos ⅆ�
∫ ��
= + cos
sin
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
sin
= − cos
Fungsi integran dan operator
masih belum sama
Jadi, ∫ sin
ⅆ
juga diubah menjadi
∫ sin sin
ⅆ
dan lain-lain …
ⅆ�
� +
ⅆ
Diubah menjadi
bentuk perjumlahan
�+�
�
�−�
�
+
−
− ��
∫
ⅆ
Parsial
∫ ⅆ =
harus sama
∫ ��
cos
ⅆ �� �
cos
−∫ ⅆ
turunan
Sederhanakan!
Nggak boleh muncul
variabel �
Halaman 216
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.
Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
Cara membacanya:
∫ −sin ⅆ = − cos
�� �
� ��
− �� �
−� ��
+
∫ −cos ⅆ = − sin
+
∫ −cos ⅆ = − sin
+
∫ −sin
ⅆ = − cos
+
Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus.
Integralnya kosinus adalah sinus.
KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari
fungsi trigonometri. *)
Perhatikan konsep berikut:
tan
cot
sec
csc
□
□
Cara membacanya:
= tan →
= cot →
= sec →
= csc →
′
′
′
′
= sec
= − csc
= sec tan
= − csc cot
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203
(http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)
Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:
∫ sec
∫ csc
∫ sec tan
∫ csc cot
ⅆ
ⅆ
ⅆ
ⅆ
= − tan
= −cot
= −sec
= −csc
+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 217
Tips dan Trik Integral Trigonometri
Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat
turunan dari fungsi trigonometri. OK!
Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada
Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html
Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:
Rumus identitas trigonometri
sin + cos =
tan + = sec
+ cot = csc
sin
=
sin
= sin cos
cos
=
− cos
+ cos
Rumus perkalian trigonometri
sin cos
= [sin
+
+ sin
= [cos
+
+ cos
cos sin
= [sin
sin sin
= − [cos
cos cos
+
− sin
+
]
−
]
−
−
− cos
−
]
]
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa
dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
∫ sin
cos
∫ tan
sec
∫ cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
ⅆ =
∫ cot
csc
∫ csc
csc cot
∫ sec
Halaman 218
+
ⅆ =−
sec tan
+
+
ⅆ =
+
sin
+
ⅆ =−
cos
tan
+
+
cot
+
+
+
+
sec
+
+
+
csc
+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral.
Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral �ang bentuk integraln�a sedikit berbeda
dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat
aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar.
Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi
integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau
pengurangan. TITIK!
Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk
yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu
yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri.
TITIK!
Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:
Contoh Soal 1:
Hasil dari
5
∫ √
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar.
Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!
5
∫ √
5
ⅆ = ∫√
5
= ∫
=
∙
=
7
5
ⅆ
7
5
ⅆ
+
(Ingat √
(Ingat ∫
=
ⅆ =
)
+
+
+
atau �RIK �UPERKILA� di halaman
)
+
Contoh Soal 2:
Hasil dari
∫
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut.
Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!
∫
ⅆ = (Ingat
−
=∫
= ∫
−
=−
−
=
=−
∙
−
ⅆ
ⅆ
−
+
=
−
)
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 219
Contoh Soal 3:
Hasil dari
∫ ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.
Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!
∫ ⅆ = (Ingat
=∫
=
−
−
ⅆ
=
−
)
+
= tidak terdefinisi
Lho kok tidak terdefinisi????????
Ya! Khusus ∫
Jadi,
∫
−
∫
−
ⅆ apabila
ⅆ ≠
− +
− +
tetapi menggunakan rumus:
Halaman 220
= − maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral.
+
ⅆ = ∫ ⅆ = ln| | +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Hasil dari
−
∫
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian.
Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!
−
∫
ⅆ =∫
−
=∫
−
=
ⅆ −∫
ⅆ
(Ingat ∫(
+
ⅆ
+
)ⅆ = ∫
ⅆ +∫
ⅆ )
Contoh Soal 6:
Hasil dari
∫
−
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
�
�
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak faktor!
∫
−
ⅆ =∫
=∫
=
−
−
−
−
+
+
Ingat
ⅆ
+
ⅆ
+
=
+
+
Contoh Soal 7:
Hasil dari
−
∫
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan men�ederhanakann�a dulu, tentun�a…..
∫
−
ⅆ =∫
−
= ∫(
−
=∫
=
=
)ⅆ
ⅆ −∫
− ∙
−
(Ingat
ⅆ
+
ⅆ
+
+
=
+ )
Men�elesaikan bentuk ∫
(
∫
ⅆ �ang paling mudah adalah
ⅆ = ∫ ⅆ =
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
∙
+
)
Halaman 221
Contoh Soal 8:
Hasil dari
∫
+ tan
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.
Bentuk tan bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.
Jadi ∫ tan ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.
Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec
Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!
ⅆ = tan + .
Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
tan + = sec ⇒ tan = sec −
∫
+ tan
ⅆ = Ingat tan
= sec
= ∫( + sec
=∫
−
+ sec
ⅆ
= ∫ ⅆ + ∫ sec
=
Contoh Soal 9:
+ tan +
)ⅆ
−
ⅆ
Hasil dari
∫
cot
−
Pembahasan:
ⅆ = ….
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.
Bentuk cot bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar.
Jadi ∫ cot ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.
Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc
Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!
ⅆ = −cot + .
Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
+ cot
= csc ⇒ cot = csc −
∫
cot
−
ⅆ = Ingat cot
=∫
=∫
csc
csc
= ∫ csc
= ∫ csc
−
= csc
−
−
ⅆ
ⅆ
ⅆ −∫ ⅆ
ⅆ −
= − cot −
+
= − cot −
+
Halaman 222
−
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
cos ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri.
Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong!
Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus perkalian trigonometri
sin cos
+
+ sin
= [cos
+
+ cos
cos sin
= [sin
sin sin
= − [cos
cos cos
Jadi,
= [sin
∫ sin
+
− sin
+
cos ⅆ = ∫ [sin
=∫
sin
= ∫ ( sin
= ∫ sin
= ∫ sin
⏟
− cos
+
]
−
−
−
+ sin
−
]
]
]
+ sin
+ sin
ⅆ
)ⅆ
ⅆ + ∫ sin
ⅆ + ∫ sin
⏟
−
]ⅆ
ⅆ
ⅆ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.
�udut sinus
dan , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 223
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!
�
�
Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus identitas trigonometri
Jadi,
sin
=
∫ sin
ⅆ = ∫ ( − cos
cos
− cos
=
+ cos
)ⅆ
= ∫ ⅆ − ∫ cos
=
− ∫ cos
⏟
ⅆ
ⅆ
Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.
�udut kosinus , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Contoh Soal 10:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian
sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu
= ⏟× × × … × .
Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!
�
�
Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut:
Rumus identitas trigonometri
sin = − cos
cos = − sin
Jadi,
∫ sin
ⅆ = ∫ sin
=∫
sin ⅆ
− cos
= ∫ sin − cos
sin ⅆ
sin
= ∫ sin ⅆ − ∫ cos
⏟
ⅆ
sin ⅆ
Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama.
Fungsi integran cos sin , sementara operator integraln�a ⅆ .
Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!
Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!
Halaman 224
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi.
Ingat Lagi Ya!!!!!!
Konsep Dasar Integral
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
harus sama
+
□
+
+
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Substitusi
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ∆
belum sama
Gantilah operator integral
dengan fungsi yang disubstitusi.
Tentukan turunan operator integral tersebut
dan letakkan menjadi penyebut.
Periksa!
Apakah hasil bagi fungsi yang lain
dengan turunan operator integral
masih memuat variabel ?
Tidak!
Nggak ada variabel lagi!
Ya!
Masih menyisakan variabel !
Integral Substitusi
Integral Parsial
Teknik Tabulasi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 225
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi.
Perhatikan konsepnya:
ⅆ
+
− =
ⅆ
+
⇒
ⅆ
+
ⅆ
⇔
+
⇔
Jadi ⅆ pada soal bisa diganti dengan
(
+
−
−
+
=ⅆ
ⅆ =
)
′
=
ⅆ
ⅆ
+
+
−
turunannya
Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut:
Jadi, ⅆ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut!
Contoh:
∫
−
∫ sin
∫
cos
ⅆ� = ∫
ⅆ� = ∫ sin
ⅆ� = ∫
dan lain-lain …..
ⅆ
�
ⅆ
−
�−
turunannya
turunannya
ⅆ( � ) turunannya
�
cos
Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa
membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi.
Contohnya:
∫
cos
ⅆ =∫
cos
ⅆ
Pokoknya variabel
harus hilang!!!
=∫
cos
ⅆ
= ∫ cos
ⅆ
Hore!!!!!
Variabel udah hilang!!!!
= ∫ cos □ ⅆ□
Hore!!!!!!
Sudah sama!!!!
Kalau hilang berarti integral substitusi.
Kalau enggak hilang berarti integral parsial.
Halaman 226
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1:
Hasil dari
∫
−
a. −
−
−
−
−
b. −
c.
−
d. −
+
+
−
+
−
e. −
+
+
+
−
−
+
−
+
−
ⅆ = ….
+
−
+
−
+
Pembahasan:
Perhatikan soal,
∫
−
−
(� − � + )
ⅆ�
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah
teknik integral parsial.
Ganti operator integral
∫
−
−
(� − � + )
−
Periksa, apakah hasil
−
−
ⅆ� ⇒ ∫
ⅆ(� − � + )
�−
−
−
(� − � + )
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih
menyisakan variabel �?
tidak menyisakan variabel ?
= , dan kita sudah tidak menemukan variabel yang tersisa.
−
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi.
Ternyata hasil dari
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
−
+
−
1
ⅆ =∫
=
∫
=
∙
=
=−
∙
−
( −
−
−
−
−
+
+ )
−
+
−
+
−
ⅆ
ⅆ
−
� − �+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
+
+
2
(Ingat ∫ □ ⅆ = ∫ □ ⅆ )
(Ingat ∫ □ ⅆ =
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
+
□
+
+ )
Halaman 227
Contoh Soal 2:
Hasil dari
∫
a.
√
+ ⅆ = ….
+
+
b.
+
c.
+
d.
+
e.
√
√
√
√
√
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
√
+ ⅆ = �anda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!
(Ingat ∫ √□ ⅆ = ∫ □ ⅆ )
=∫
+
=∫
=∫
=
=
=
=
=
=
Halaman 228
+
+
+
�amakan dulu operator integraln�a
ⅆ
ⅆ
ⅆ
( � + )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(Ingat ∫ □ ⅆ =
+
□
+
+ )
+
+
+
√
+
+
Ingat sifat pangkat
+
+
=
∙
+ +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Hasil dari
∫
−
ⅆ = ….
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
ⅆ = ∫
−
−
ⅆ = ∫
−
−
= ∫
−
−
= ∫
ⅆ
ⅆ
−
−
ⅆ
− |+
= ln|
�amakan dulu operator integraln�a
−
−
Buang semua konstanta keluar integral
Contoh Soal 4:
Hasil dari
−
ⅆ = ….
∫
−
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
ⅆ =∫
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒∫
⇔∫
ⅆ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
ⅆ =∫ +
−
−
ⅆ =∫ +
−
=
+
=
=
=
=
−
=∫ ⅆ +∫
= ln| | + ∫
= ln| | + ∫
−
−
−
−
ℎ
+
+
−
− +
−
+
−
−
+
−
=
−
Ingat
ⅆ
−
−
+
+
ℎ
=
=
}
=
dan
ⅆ
ⅆ
ⅆ
−
= ln| | + ln| − | +
−
−
=
}
Ingat, dari perhitungan di atas tern�ata
ⅆ
−
=
=
dan
=
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 229
Contoh Soal 5:
Hasil dari
∫ sin
− � ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan
operator integralnya.
Maksudnya?
Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu
− � . Padahal operator integralnya adalah ⅆ . Artinya fungsi sinus
tersebut diintegralkan terhadap variabel . Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator
integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya.
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
− � ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a
= ∫ sin
−�
ⅆ
−�
�ern�ata tidak ada variabel tersisa.
Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.
= ∫ sin
−� ⅆ
= − cos
−� +
=
Halaman 230
∙ − cos
−�
+
−�
(Ingat ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + )
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5:
Hasil dari
∫ sin
cos ⅆ = ….
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya.
Maksudnya?
Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?
′
= cos
= sin →
′
= cos →
= − sin
′
= tan →
= sec
′
= cot →
= − csc
′
= sec tan
= sec →
′
= csc →
= − csc cot
Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas.
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa
dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
∫ sin
cos
∫ tan
sec
∫ cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
ⅆ =
∫ cot
csc
∫ csc
csc cot
∫ sec
+
ⅆ =−
sec tan
+
+
ⅆ =
+
sin
cos
+
ⅆ =−
tan
+
+
cot
+
+
+
+
sec
+
+
+
csc
+
+
+
+
Jadi ∫ sin cos ⅆ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator
integral dari yang semula ⅆ menjadi ⅆ sin .
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
cos ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a
= ∫ sin
cos
= sin
+
= ∫ sin
ⅆ sin
cos
ⅆ sin
(Ingat ∫ sin □ ⅆ sin □ =
+
sin
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
□+ )
Halaman 231
Contoh Soal 6:
Hasil dari
∫ sin
ⅆ = ….
Pembahasan:
Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:
∫ sin
∫ cos
cos
sin
ⅆ =
ⅆ =−
+
+
sin
+
+
+
cos
+
Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1.
Misalnya ∫ sin
ⅆ , maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos
sin .
Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:
sin
+ cos
=
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫ sin
ⅆ = Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat
Jadi ubah dulu sin
= ∫ sin
=∫
= sin
sin ⅆ
− cos
= ∫ sin − cos
sin ⅆ
sin
= ∫ sin ⅆ − ∫ cos
sin
= − cos + cos
+
sin
Ingat sin
sin ⅆ
= − cos − ∫ cos
= − cos + ∫ cos
ⅆ
−
(Ingat ∫
ⅆ cos
− sin
ⅆ cos
+ cos
+
=
⇒ sin
ⅆ =∫
(Pen�elesaian ∫ cos
=
− cos
ⅆ +∫
ⅆ )
sin ⅆ lihat Contoh �oal )
(Ingat ∫ cos □ ⅆ cos □ =
+
cos
+
□+ )
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul
SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI
pada laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Halaman 232
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial.
Ingat Lagi Ya!!!!!!
Konsep Dasar Integral
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ□ =
harus sama
+
□
+
+
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Parsial
atau
Metode Tabulasi
harus dalam
bentuk pangkat
∫ □ ⅆ∆
belum sama
Gantilah operator integral
dengan fungsi yang disubstitusi.
Tentukan turunan operator integral tersebut
dan letakkan menjadi penyebut.
Periksa!
Apakah hasil bagi fungsi yang lain
dengan turunan operator integral
masih memuat variabel ?
Tidak!
Nggak ada variabel lagi!
Ya!
Masih menyisakan variabel !
Integral Substitusi
Integral Parsial
Teknik Tabulasi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 233
Contoh Soal 1:
Hasil dari ∫ √ + ⅆ = ….
+
a.
b.
√ + −
+
−
√ + +
−
−
√ + +
+
c.
d.
+
e.
+
√ + +
+
−
√ + +
√ + +
Pembahasan:
Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,
∫ √ + ⅆ =∫
�+
ⅆ�
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik
integral parsial.
Ganti operator integral
�+
∫
ⅆ� ⇒ ∫
Periksa, apakah hasil
Ternyata hasil dari
ⅆ �+
�+
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih
menyisakan variabel �?
tidak menyisakan variabel ?
=
, dan kita masih menemukan variabel yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.
∫
+
ⅆ = (Ingat integral parsial ∫ ⅆ =
Misal
=
Maka ⅆ =
⇒∫
+
ⅆ =
=�∙
�+
+
=
+
=
+
=
=
=
Halaman 234
+
=
=
+
−∫ ⅆ
=
=
ⅆ
=
ⅆ
⇔ⅆ =ⅆ
⇒
+
+
ⅆ
−∫
− ∫
− ∙
[
−
−
+
−
+
+ −
+
−
(
+
⇒ ∫ⅆ = ∫
⇔
=
�+
ⅆ�
+
+
+
5
5
+
−
−
+
ⅆ
+
√ + +
+
+
]+
−∫ ⅆ )
+
+
ⅆ
+
(keluarkan FPB-n�a
+
)
)+
+
+
+
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2a:
Hasil dari
∫
a.
b.
c.
d.
e.
+
cos ⅆ = ….
sin +
−
+
cos +
sin +
sin −
cos +
sin −
cos +
cos +
sin +
−
cos +
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫⏟ +
⇒∫
+
cos ⅆ = (Ingat integral parsial ∫ ⅆ =
⏟
−∫ ⅆ )
ⅆ
ⅆ
Misal =
⇒
=
ⅆ
⇔ⅆ = ⅆ
Maka ⅆ = cos ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ cos ⅆ
⇔
= sin
cos ⅆ =
−∫ ⅆ
= (� + ) ∙ �� � − ∫ �� � ∙ � ⅆ�
=
+
(Bentuk ∫
sin − ∫
sin ⅆ
sin ⅆ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)
⇒∫
+
cos ⅆ =
+
sin − ∫ ⏟ ⏟
sin ⅆ
ⅆ
ⅆ
Misal =
⇒
=
ⅆ
⇔ⅆ = ⅆ
Maka ⅆ = sin ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ sin ⅆ
⇔
= − cos
⇒∫
+
cos ⅆ =
+
sin − [
=
+
sin − [ −
=
=
=
=
=
=
+
+
+
sin − [
−∫ ⅆ ]+
∙ − cos
cos
− ∫ −cos
∙ ⅆ +
+ ∫ cos ⅆ +
sin − [ − cos + sin + ] +
sin +
cos − sin + ⏟ +
+ sin − sin +
cos +
+ − sin +
cos +
− sin +
cos +
]+
]+
� +� =�
Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi.
Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah
diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit.
Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 235
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi.
Contoh Soal 2b:
Hasil dari
∫
+
cos d = ….
sin +
a.
−
b.
+
c.
cos +
sin +
sin −
cos +
d.
sin −
e.
cos +
cos +
sin +
−
cos +
Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:
Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi :
Buat tabel dengan dua kolom.
Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah
secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol.
Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit
secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri.
Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong
serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian.
Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!!
Selesai!
⏟ ⅆ = Pisahkan bagian �ang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian �ang rumit
∫ ⏟ + cos
mudah rumit
Kolom Kiri
(Turunkan)
Kolom Kanan
(Integralkan)
+
cos
2
− cos
0
sin
+
cos
− sin
∫
sin
+
cos d =
=
=
=
− sin
+
sin +
cos − sin +
+ sin − sin +
cos +
+ − sin +
cos +
− sin +
cos +
Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya.
Coba bandingkan hasilnya!
Halaman 236
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:
bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri;
ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa
diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.
Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5
tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.
Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan
dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √ − , √ + , dan
√ − .
Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat
nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN
INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !!
Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 237
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.
Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu
∫
ⅆ =�
| =�
Contoh Soal 1:
−�
Hasil dari
∫
−
a.
+
ⅆ = ….
b.
c.
d.
e.
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
∫
−
+
ⅆ =[
−
=
=( ∙
=
=
=
+
−
− ∙
]
+
−
+
− +
−
−
)−( ∙ − ∙ + )
−
+
− +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana
menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.
Misal �
Maka, �
=
−�
−
=(
=
−
+
−
+
−
=
=
∫
+
−
⏟ −
selisihn�a
ⅆ =[
=
=
=
=
=
)−(
+
−
−
+
− ⏟ −
selisihn�a
−
−
−
−
− +
+
−
−
]
+
+
−
−
+
+
−
⏟−
selisihn�a
+
+
−
+
)
−
−
Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.
Halaman 238
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
pada bab Integral ini….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 239
1.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
3x 1
Hasil dari
dx ....
7
2
3x 2 x 7
A.
B.
C.
D.
E.
2.
B.
C.
D.
E.
Hasil dari
A.
B.
C.
D.
E.
4.
1
3 3x 2 2 x 7
1
4 3x 2 2 x 7
1
6 3x 2 x 7
1
2
C
6
12 3x 2 2 x 7
−
−
ⅆ =∫
+
6
7
∫
=
=
C
6
12 3x 2 2 x 7
1
C
6
∫
∙ (− )
−
−
−
−
=
C
−
+
−
−
ⅆ
+
+C
+
ⅆ
−
+
−
−
+C
+
−
+
−
C
Hasil dari 3x 3x 2 1 dx ....
A.
3.
Hasil dari
A.
B.
C.
D.
E.
Halaman 240
2
(3x 2 1) 3x 2 1 C
∫
3
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
2
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
3
1
(3x 2 1) 3x 2 1 C
2
2
(3x 2 1) 3x 2 1 C
3
4 x 34 x
2
37
7
66
3
67
7
77
6
72
6
∫
=
=
∙
=
2 x
2 x
3
5
5
5 C
2 x
3
5
3
5
2 x
3
5
3
5
2 x
2 x
3
6
C
C
2
C
7
C
∙
+
ⅆ
+
√
+
ⅆ
+
+C
+
+
+C
9
∫
+
+
−
ⅆ =∫
+
=
∙(
= ∫(
=
∙
(
+
+
+
+
−
− ) ⅆ(
ⅆ
+
− ) +C
+
−
+
− )
− ) +C
dx ....
3
7
+
2x2
7
ⅆ =∫
+
6 x 9 dx ....
10
1
4x2 6x 9 C
10
1
2 x 320 C
15
1
2 x 320 C
20
10
1
4x2 6x 9 C
20
10
1
4x2 6x 9 C
30
√
∫7
√
−
ⅆ =∫7
√
= ∫
=
=
∙
7
√
−
−
−
−
ⅆ
−
ⅆ
+C
−
−
+C
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4 x
2
5.
Nilai dari
2
x 5 dx ....
1
A.
B.
C.
D.
E.
33
6
44
6
55
6
65
6
77
6
x
∫
Nilai dari
Nilai dari
2
Nilai dari
12 ∫
14
16
18
20
3x
2
6 ∫
10
13
16
22
2 x
1
A.
B.
C.
D.
E.
1
3
1
27
2
1
37
3
1
37
2
1
51
2
27
−
−
+
−
]
+
−
−
)−( − + )
+
−
=
3
8.
=
+
2 x 2 dx ....
−
2
+
ⅆ =[
−
+
+
ⅆ =[
4 x 3 dx ....
=(
=
−
] =
=
3x 7 dx ....
0
A.
B.
C.
D.
E.
−
=
2
7.
ⅆ =[
=
1
A.
B.
C.
D.
E.
+
=(
4
6.
−
∫
−
+
−
−
+
] =
=
−
−
ⅆ =[
+
=
=
=(
=(
+
+
−
−
=
+
=
]
+
+
+ )−( +
− +
+
−
+
)−( + )
−
−
+ )
+
−
+ )
−
+
+
−
+ )−( −
−
=
=
+
+
−
+
+
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 241
2 sin 2 x 3 cos x dx ....
1
π
2
9.
Nilai dari
0
A.
B.
C.
D.
E.
−5
−1
0
1
2
∫
�
sin
− cos
ⅆ = [− cos
3 sin 2 x cos x dx ....
0
A.
B.
C.
D.
E.
−2
−1
0
1
2
∫
�
sin
A.
B.
C.
D.
E.
−2
−1
0
2
4
B.
C.
D.
E.
TRIK SUPERKILAT:
�
∫ sin
= (− ) − ( )
(sin 2 x 3 cos x) dx ....
∫
3
2 3
4
3
3 3
4
1
1 2 3
4
2
1 2 3
4
3
1 2 3
4
�
sin
+ cos
ⅆ = [− cos
= (− cos
�
− � ⅆ = ∫ − sin
= [ cos
=
=
0
A.
−� ]
�
= (− cos ) − (− cos −� )
1
π
3
12. Nilai dari
�
=
− � ⅆ = [− cos
∫ sin
− sin ]
= (− − ) − (− − )
11. Nilai dari sin(2 x ) dx ....
�
− − −
= (− cos � − sin �) − (− cos − sin )
π
2
0
= −
=− +
=−
ⅆ = [− cos
− cos
�
= (− cos � − sin �) − − cos − sin
1
π
2
10. Nilai dari
− sin ]
+ sin ]
° + sin
�
]
ⅆ
�
°) − (− cos ° + sin °)
= (− (− ) + √ ) − (− + )
=
=
+ √ +
+ √
= ( + √ )
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 242
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)