SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 4.2 PERSAMAAN TRIGONOMETRI)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA
(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

4. 2.

Menyelesaikan persamaan trigonometri.

Nilai Perbandingan Trigonometri
Tabel Nilai Trigonometri
�

°

� �

°
°

√

°

√

°

Kuadran
°

sin +
Kuadran II

°

�

� �
√

√
√

√

−

0

Relasi Sudut

Periodisasi

Periksa Sudut

sin � = sin □ + � ∙ �� °

Semua +

�

Kuadran I

Kuadran III

tan +

�

Kuadran IV

cos +

°

SEMUA SINdikat
TANgan KOSong

°

Pilih Acuan

°

Ganjil
°±�
°±�
Fungsi
Berubah
sin ↔ cos
tan ↔ cot

Grafik
sin �
cos �
tan �

°

°
°

cos � = cos □ + � ∙ �� °

Genap
°±α
°−α
Fungsi
Tetap

°−�

Cek Kuadran
Tanda ±

�

−�

tan � = tan □ + � ∙ � °
�

dimana � bilangan bulat

Persamaan Trigonometri
sin � = sin � ⇒ � = □ + � ∙ �� °
�

Selesai

°−�

cos � = cos � ⇒ � = □ + � ∙ �� °

Relasi Sudut Negatif
sin −� = − sin �
cos −� = cos �
tan −� = − tan �

�

−�

tan � = tan � ⇒ � = □ + � ∙ � °

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

�

dimana � bilangan bulat
Halaman 161

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Persamaan Trigonometri
Sederhana
sin � = sin � ⇒ � = □ + � ∙ �� °
�

°−�

cos � = cos � ⇒ � = □ + � ∙ �� °
�

−�

tan � = tan � ⇒ � = □ + � ∙ � °
�

dimana � bilangan bulat

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:

o Jika ada persamaan sin � = sin �, maka penyelesaiannya
adalah:
� = �+�∙
°
� =
°−� +�∙

°

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya
adalah:
x =�+�∙
°
x = −α + � ∙

°

o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya
adalah:
x =�+�∙

°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan
identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal.
Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah:
Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari:
cos � − cos � = −

Persamaan Awal pada Soal

Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana

sin � = sin �

cos � = cos �

tan � = tan �

Cari Himpunan Penyelesaian

⇒
⇔
⇔
⇔

cos � − − cos �
cos � − cos � −
cos � − cos �
cos � cos � −

⇔ cos � =

=−
=−
=
=

atau cos � =

Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = °+�∙
° ⇒� = °+�∙
� =− °+�∙
° ⇒� =− °+�∙

Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = °+�∙
° ⇒� = °+�∙
� =− °+�∙
° ⇒� =− °+�∙

°
°

°
°

Dst… dst…. �ehingga akan diperoleh
himpunan nilai � yang memenuhi
persamaan trigonometri tersebut.

Halaman 162

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:

Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah
menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai
perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk
periode tertentu.

Grafik
periode

°

Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai
sinus sama dengan 1?

periode

Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk:
°

sin � =

= sin

°⇒�=

°

Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham
tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa
ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin °.

periode

°

Daerah kuadran bernilai positif

Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai
periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama
dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut °. Namun, masih
banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya?
Perhatikan gambar di atas.
Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf � tidur terbalik.
Berulang-ulangnya setiap 360°.
Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I
adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II.
Jadi,

sin � = sin � ⇒ � = □ + � ∙ �� °
�

°−�

Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf C tidur.
Berulang-ulangnya setiap 360°.
Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I
adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV.
(karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah
kiri kuadran I juga positif, kan ya?).
Jadi,
cos � = cos � ⇒ � = □ + � ∙ �� °
�

−�

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°.
Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan
berulang-ulang setiap 180°.
Jadi,
tan � = tan � ⇒ � = □ + � ∙ � °
�

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 163

Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri.
Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari cos � − cos � = − ;
a. { °, °,
°,
°,
°,
°,
°,
°}
b. { °, °,
°,
°,
°,
°,
°,
°}
c. { °, °,
°,
°,
°,
°,
°,
°}
d. { °, °,
°,
°,
°,
°,
°}
e. { °, °,
°,
°,
°,
°,
°}

≤�≤

° adalah ….

Penyelesaian:

⇒
⇔
⇔
⇔

cos � − cos �
cos � − − cos �
cos � − cos � −
cos � − cos �
cos � cos � −

⇔ cos � =

=−
=−
=−
=
=

atau cos � =

Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = °+�∙
° ⇒� = °+�∙
untuk � = ⇒ �
untuk � = ⇒ �
� =− °+�∙
° ⇒� =− °+�∙
untuk � = ⇒ �
untuk � = ⇒ �

°
=
=

=
=

Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = °+�∙
° ⇒� = °+�∙
°
untuk � = ⇒ � =
untuk � = ⇒ � =
� =−

°+�∙

° ⇒� =− °+�∙
°
untuk � = ⇒ � =
untuk � = ⇒ � =

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {

Halaman 164

°

°,

°,

°

°

°
°
°

°,

°
°
°

°,

°,

°,

°,

°}.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  2 cos x  1; 0  x  2π adalah ....
�
cos � − cos � = −
1 3
cos � = = cos
A. {0, π, π, 2π } ⇒ cos � − − cos � + =
2 2
Penyelesaiannya:
⇔
cos � − cos � =
�
1 2
� =± +�∙ �
cos � cos � − =
B. {0, π, π, 2π } ⇔
⇔ cos � =
atau cos � − =
2 3
�
1) � = + � ∙ �
⇔
cos
�
=
  cos � =
1
3
�
C. {0, π, π, π, }
=
2
2
1 2
cos � = = cos
D. {0, π, π }
Penyelesaiannya:
2 3
� = +�∙ �
1
E. {0, π, π }
3) � = + � ∙ �
2
= , �
Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval
�
maka yang memenuhi hanya { , �}
Jika intervalnya diubah

2.

�

2) � = − + � ∙ �
= �