RUMUS CEPAT MENYELESAIKAN SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA PERSAMAAN KUADRAT Persamaan Kuadrat
2. 2.
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarakar-akar persamaan kuadrat.
Persamaan Kuadrat
Kuadrat (PK)
012 3 41 3 5 6 7
Akar-Akar PK
89 6
:; :?@A
atau 8B
B@
6
:;:=;> :?@A
B@
Jumlah Akar-Akar PK
Hasil Kali Akar-Akar PK
;
A
89 3 8B 6 C
@
89 8B 6 @
Selisih Akar-Akar PK
D89 C 8B D 6
=;> :?@A
@
6
=E
@
Bentuk Simetri Akar-Akar PK
89 B F 8B B 6 (89 F 8B )B G 289 8B
89 B C 8B B 6 (89 3 8B )(89 C 8B )
89 H F 8B H 6 (89 F 8B )H G 3(89 8B )(89 F 8B )
89 ? F 8B ?
1
1
F
89 8B
1
1
3 B
B
89
8B
89 8B
F
8B 89
6 (89 B F 8B B )B G 2(89 8B )B
89 F 8B
6
89 8B
89 B 3 8B B
6
(89 8B )B
89 B F 8B B
6
89 8B
Menyusun bentuk simetri akarakar-akar PK
Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus
jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).
Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:
Jumlah Kuadrat AkarAkar-Akar PK:
B
B
89 3 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 3 8B )B 6 89 B 3 289 8B 3 8B B, maka diperoleh:
89 B 3 8B B 6 (1L 3 12 )B C 21L 12
Selisih Kuadrat AkarAkar-Akar PK
B
B
89 C 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 C 8B )B 6 89 B C 289 8B 3 8B B, maka diperoleh:
89 B C 8B B 6 (1L C 12 )B 3 21L 12
Atau ingat bentuk (89 3 8B )(89 C 8B ) 6 89 B C 89 B , maka diperoleh:
89 B C 8B B 6 (1L 3 12 )(1L C 12 )
Jumlah Pangkat Tiga AkarAkar-Akar PK
89 H 3 8B H 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 3 8B )H 6 89 H 3 389 B 8B 3 389 8B B 3 8B H
6 89 H 3 3(89 8B )(89 3 8B ) 3 8B H
maka diperoleh:
89 H 3 8B H 6 (1L 3 12 )H C 3(1L 12 )(1L 3 12 )
Jumlah Pangkat Empat AkarAkar-Akar PK:
?
?
89 3 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (8 B 3 8B B )B 6 89 ? 3 28 B 8 B 3 8B ? , maka diperoleh:
B
89 ? 3 8B ? 6 M1L 2 3 12 2 N C 2(1L 12 )B
6 O(1L 3 12 )B C 21L 12 PB C 2(1L 12 )B
Dan lainlain-lain K.
Contoh:
Persamaan kuadrat C28 B 3 38 C 2 6 0 memiliki akar-akar 89 dan 8B , maka nilai 89B 3 8BB 6 ....
Penyelesaian:
Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:
R
3
3
1L 3 12 6 C 6 C
6
S
C2 2
T C2
1L 12 6 6
61
S C2
Kedua, cari bentuk identik dari 89B 3 8BB yang memuat bentuk 89 3 8B dan 89B 3 8BB .
89B 3 8BB 6 (1L 3 12 )B C 21L 12
H B
6 UBV C 2(1)
W
6?C2
9
6?
Menyusun PK Baru
Baru
Diketahui:
012 3 41 3 5 6 7 adalah PK Lama
1L dan 12 adalah akar-akar PK Lama
X dan Y adalah akar-akar PK Baru
Cek dan perhatikan!
Apakah X dan Y identik atau tidak?
Jika \ dan ] identik
Jika \ dan ] tidak identik
Cari invers akar PK Baru,
Y:L
Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama
1L 3 12 dan 1L 12
:L
cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru
X 3 Y dan XY
menggunakan nilai 1L 3 12 dan 1L 12
Substitusi Y
ke PK Lama
Rumus PK Baru adalah
SMY
:L B
:L
N 3 RMY
N3T 60
Rumus PK Baru adalah
8 B C (X 3 Y)8 3 (XY) 6 0
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ditambah artinya substitusi pengurangan.
Dikurangi artinya substitusi penjumlahan.
Dikalikan
Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun.
Dibalik
Dibalik artinya juga dibalik.
Dinegatifkan artinya koefisien R juga dinegatifkan.
Misal PK Lama adalah S8 B 3 R8 3 T 6 0, maka:
1. PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 b) dan (] 3 b)
S(8 C b)B 3 R(8 C b) 3 T 6 0
2. PK Baru yang akar-akarnya (\ C b) dan (] C b)
S(8 3 b)B 3 R(8 3 b) 3 T 6 0
3. PK Baru yang akar-akarnya (b\) dan (b])
S8 B 3 bR8 3 b2 T 6 0
L
L
4. PK Baru yang akar-akarnya U V dan U V
X
Y
58 B 3 R8 3 0 6 0
5. PK Baru yang akar-akarnya (C\) dan (C])
S8 B C R8 3 T 6 0
Contoh 1:
Akar-akar persamaan kuadrat 38 B C 128 3 2 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah K.
Penyelesaian:
Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
Akar-akar PK Baru (\ 3 2) dan (] 3 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (8 3 2).
Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (8 3 2).
Invers dari (8 3 2) adalah (1 C 2).
Ketiga, Substitusikan (1 C 2) menggantikan variabel 8 pada PK Lama:
3(1 C 2)B C 12(1 C 2) 3 2 6 0
e 3(8 B C 48 3 4) C 128 3 24 3 2 6 0
e 38 B C 128 3 12 C 128 3 24 3 2 6 0
e
38 B C 248 3 3f 6 0
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah 38 B C 248 3 3f 6 0.
Contoh 2:
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 48 3 f 6 0 adalah \ dan ].
g
h
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya h dan g adalah K.
Penyelesaian:
Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
g
h
Akar-akar PK Baru h dan g, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.
Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.
C4
X3Y6C
62
2
f
XY 6 6 4
2
Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akarakar-akar PK Baru menggunakan nilai X 3 Y dan XY .
\ ] \ B 3 ]B
3 6
] \
\]
(X 3 Y)B C 2XY
6
XY
2B C 2 i j
6
j
4Cf
6
4
4
6C
4
6 C1
\]
61
]\
Keempat, rumus PK Baru adalah:
8 B C (jumlah
jumlah akarakar-akar PK baru)8
baru 3 hasil kali akarakar-akar PK baru 6 0
8 B C (C1)8 3 1 6 0
8B 3 8 3 1 6 0
g
h
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya h dan g adalah 8 B 3 8 3 1 6 0.
Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 3) dan (] 3 3) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 C 3).
Jadi, PK Baru adalah:
2(8 C 3)B C 5(8 C 3) 3 3 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat 38 B 3 128 C 1 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ C 2) dan (] C 2) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah pengurangan
pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 3 2).
Jadi, PK Baru adalah:
3(8 3 2)B 3 12(8 3 2) C 1 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 5
Akar-akar persamaan kuadrat C48 B 3 28 C k 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2\ dan 2] adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah perkalian
perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik,
mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?
Jadi, PK Baru adalah:
C48 B (2l ) 3 28(29 ) C k(2B ) 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 6
Akar-akar persamaan kuadrat k8 B C 58 3 13 6 0 adalah \ dan ].
g
h
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah K.
n
n
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat
turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?
Jadi, PK Baru adalah:
k8 B (5n ) C 58(59 ) 3 13(5l ) 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 6
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 8 3 5 6 0 adalah \ dan ].
9
9
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya g dan h adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 8 B dengan
konstanta.
Jadi, PK Baru adalah:
58 B C 8 3 2 6 0
Contoh k
Akar-akar persamaan kuadrat C8 B 3 28 3 4 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya C\ dan C] adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 8 dikalikan (C1).
Jadi, PK Baru adalah:
C8 B 3 28(C1) 3 4 6 0
C8 B C 28 3 4 6 0
Contoh k
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2\ C 3) dan (2] C 3) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK
Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,
dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3).
Jadi, PK Baru adalah:
28 B (2l ) C 58(29 ) 3 3(2B ) 6 0
28 B C 108 3 12 6 0
Dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3).
2(8 3 3)B C 10(8 3 3) 3 12 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Berlawanan
Berkebalikan
R60
S6T
SifatSifat-Sifat
AkarAkar-Akar PK
Perbandingan
Selisih
pR B 6 (p 3 1)B ST
q 6 (pS)B
Keterangan:
Menggunakan
Menggunakan sifatsifat-sifat akarakar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.
Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan
menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.
TRIK SUPERKILAT
Sifat akar-akar persamaan kuadrat S8 B 3 R8 3 T 6 0 yang mungkin keluar di soal:
1.
2.
3.
4.
Jika akar yang satu kelipatan p dari akar yang lain (89 6 p8B ), maka pR B 6 (p 3 1)B ST
Jika selisih akar-akarnya adalah p (D89 C 8B D 6 p), maka q 6 (pS)B
Jika akar-akarnya berlawanan (89 6 C8B atau 89 3 8B 6 0), maka R 6 0
9
Jika akar-akarnya berkebalikan U89 6 r atau 89 8B 6 1V, maka S 6 T
>
Contoh:
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B 3 s8 3 16 6 0 adalah \ dan ].
Jika \ 6 2] dan \, ] positif maka nilai s 6 K.
Penyelesaian:
Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.
Karena \ 6 2], maka jelas nilai p 6 2.
Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK.
pR B 6 (p 3 1)B ST
e 2sB 6 (2 3 1)B i 2 i 16
e s B 6 3B i 4 B
e s 6 F12
Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:
R
89 3 8B t 0 u C t 0
S
s
eC t0
2
e sv0
Sehingga pilih nilai s yang negatif.
Jadi, s 6 C12.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + ax − 4 = 0 adalah p dan q. Jika p 2 − 2 pq + q 2 = 8a, maka nilai a =
y 3 z 6 CS
....
y. z 6 C4
A. −8
yB C 2yz 3 z B 6 fS
B. −4
u (y 3 z)B C 4yz 6 fS
C. 4
e
SB 3 16 6 fS
D. 6
B
e S C fS 3 16 6 0
E. 8
e (S C 4)(S C 4) 6 0
2.
Persamaan
2
x1 + x 2
A.
B.
C.
D.
E.
2
u
kuadrat
S64
x 2 + (m − 1) x − 5 = 0
mempunyai
akar-akar
− 2 x1 x 2 = 8m, maka nilai m = ....
89B 3 8BB C 289 8B 6 fs
−3 atau −7 89 3 8B 6 Cs 3 1 u (89 3 8B )B C 489 8B 6 fs
(Cs 3 1)B 3 20 6 fs
89 . 8B 6 C5
e
3 atau 7
e
sB C 10s 3 21 6 0
3 atau −7
(S C 3)(S C k) 6 0
e
6 atau 14
e S C 3 6 0 atau S C k 6 0
−6 atau −14
xS 6 k
u
S63
x1
dan
x2 .
Jika
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarakar-akar persamaan kuadrat.
Persamaan Kuadrat
Kuadrat (PK)
012 3 41 3 5 6 7
Akar-Akar PK
89 6
:; :?@A
atau 8B
B@
6
:;:=;> :?@A
B@
Jumlah Akar-Akar PK
Hasil Kali Akar-Akar PK
;
A
89 3 8B 6 C
@
89 8B 6 @
Selisih Akar-Akar PK
D89 C 8B D 6
=;> :?@A
@
6
=E
@
Bentuk Simetri Akar-Akar PK
89 B F 8B B 6 (89 F 8B )B G 289 8B
89 B C 8B B 6 (89 3 8B )(89 C 8B )
89 H F 8B H 6 (89 F 8B )H G 3(89 8B )(89 F 8B )
89 ? F 8B ?
1
1
F
89 8B
1
1
3 B
B
89
8B
89 8B
F
8B 89
6 (89 B F 8B B )B G 2(89 8B )B
89 F 8B
6
89 8B
89 B 3 8B B
6
(89 8B )B
89 B F 8B B
6
89 8B
Menyusun bentuk simetri akarakar-akar PK
Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus
jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).
Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:
Jumlah Kuadrat AkarAkar-Akar PK:
B
B
89 3 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 3 8B )B 6 89 B 3 289 8B 3 8B B, maka diperoleh:
89 B 3 8B B 6 (1L 3 12 )B C 21L 12
Selisih Kuadrat AkarAkar-Akar PK
B
B
89 C 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 C 8B )B 6 89 B C 289 8B 3 8B B, maka diperoleh:
89 B C 8B B 6 (1L C 12 )B 3 21L 12
Atau ingat bentuk (89 3 8B )(89 C 8B ) 6 89 B C 89 B , maka diperoleh:
89 B C 8B B 6 (1L 3 12 )(1L C 12 )
Jumlah Pangkat Tiga AkarAkar-Akar PK
89 H 3 8B H 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (89 3 8B )H 6 89 H 3 389 B 8B 3 389 8B B 3 8B H
6 89 H 3 3(89 8B )(89 3 8B ) 3 8B H
maka diperoleh:
89 H 3 8B H 6 (1L 3 12 )H C 3(1L 12 )(1L 3 12 )
Jumlah Pangkat Empat AkarAkar-Akar PK:
?
?
89 3 8B 6 K.
Penyelesaian:
Ingat bentuk (8 B 3 8B B )B 6 89 ? 3 28 B 8 B 3 8B ? , maka diperoleh:
B
89 ? 3 8B ? 6 M1L 2 3 12 2 N C 2(1L 12 )B
6 O(1L 3 12 )B C 21L 12 PB C 2(1L 12 )B
Dan lainlain-lain K.
Contoh:
Persamaan kuadrat C28 B 3 38 C 2 6 0 memiliki akar-akar 89 dan 8B , maka nilai 89B 3 8BB 6 ....
Penyelesaian:
Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:
R
3
3
1L 3 12 6 C 6 C
6
S
C2 2
T C2
1L 12 6 6
61
S C2
Kedua, cari bentuk identik dari 89B 3 8BB yang memuat bentuk 89 3 8B dan 89B 3 8BB .
89B 3 8BB 6 (1L 3 12 )B C 21L 12
H B
6 UBV C 2(1)
W
6?C2
9
6?
Menyusun PK Baru
Baru
Diketahui:
012 3 41 3 5 6 7 adalah PK Lama
1L dan 12 adalah akar-akar PK Lama
X dan Y adalah akar-akar PK Baru
Cek dan perhatikan!
Apakah X dan Y identik atau tidak?
Jika \ dan ] identik
Jika \ dan ] tidak identik
Cari invers akar PK Baru,
Y:L
Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama
1L 3 12 dan 1L 12
:L
cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru
X 3 Y dan XY
menggunakan nilai 1L 3 12 dan 1L 12
Substitusi Y
ke PK Lama
Rumus PK Baru adalah
SMY
:L B
:L
N 3 RMY
N3T 60
Rumus PK Baru adalah
8 B C (X 3 Y)8 3 (XY) 6 0
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ditambah artinya substitusi pengurangan.
Dikurangi artinya substitusi penjumlahan.
Dikalikan
Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun.
Dibalik
Dibalik artinya juga dibalik.
Dinegatifkan artinya koefisien R juga dinegatifkan.
Misal PK Lama adalah S8 B 3 R8 3 T 6 0, maka:
1. PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 b) dan (] 3 b)
S(8 C b)B 3 R(8 C b) 3 T 6 0
2. PK Baru yang akar-akarnya (\ C b) dan (] C b)
S(8 3 b)B 3 R(8 3 b) 3 T 6 0
3. PK Baru yang akar-akarnya (b\) dan (b])
S8 B 3 bR8 3 b2 T 6 0
L
L
4. PK Baru yang akar-akarnya U V dan U V
X
Y
58 B 3 R8 3 0 6 0
5. PK Baru yang akar-akarnya (C\) dan (C])
S8 B C R8 3 T 6 0
Contoh 1:
Akar-akar persamaan kuadrat 38 B C 128 3 2 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah K.
Penyelesaian:
Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
Akar-akar PK Baru (\ 3 2) dan (] 3 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (8 3 2).
Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (8 3 2).
Invers dari (8 3 2) adalah (1 C 2).
Ketiga, Substitusikan (1 C 2) menggantikan variabel 8 pada PK Lama:
3(1 C 2)B C 12(1 C 2) 3 2 6 0
e 3(8 B C 48 3 4) C 128 3 24 3 2 6 0
e 38 B C 128 3 12 C 128 3 24 3 2 6 0
e
38 B C 248 3 3f 6 0
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah 38 B C 248 3 3f 6 0.
Contoh 2:
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 48 3 f 6 0 adalah \ dan ].
g
h
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya h dan g adalah K.
Penyelesaian:
Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?
g
h
Akar-akar PK Baru h dan g, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.
Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.
C4
X3Y6C
62
2
f
XY 6 6 4
2
Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akarakar-akar PK Baru menggunakan nilai X 3 Y dan XY .
\ ] \ B 3 ]B
3 6
] \
\]
(X 3 Y)B C 2XY
6
XY
2B C 2 i j
6
j
4Cf
6
4
4
6C
4
6 C1
\]
61
]\
Keempat, rumus PK Baru adalah:
8 B C (jumlah
jumlah akarakar-akar PK baru)8
baru 3 hasil kali akarakar-akar PK baru 6 0
8 B C (C1)8 3 1 6 0
8B 3 8 3 1 6 0
g
h
Jadi, PK Baru yang akar-akarnya h dan g adalah 8 B 3 8 3 1 6 0.
Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 3) dan (] 3 3) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 C 3).
Jadi, PK Baru adalah:
2(8 C 3)B C 5(8 C 3) 3 3 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat 38 B 3 128 C 1 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ C 2) dan (] C 2) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah pengurangan
pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 3 2).
Jadi, PK Baru adalah:
3(8 3 2)B 3 12(8 3 2) C 1 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 5
Akar-akar persamaan kuadrat C48 B 3 28 C k 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2\ dan 2] adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah perkalian
perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik,
mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?
Jadi, PK Baru adalah:
C48 B (2l ) 3 28(29 ) C k(2B ) 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 6
Akar-akar persamaan kuadrat k8 B C 58 3 13 6 0 adalah \ dan ].
g
h
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah K.
n
n
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat
turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?
Jadi, PK Baru adalah:
k8 B (5n ) C 58(59 ) 3 13(5l ) 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Contoh 6
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 8 3 5 6 0 adalah \ dan ].
9
9
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya g dan h adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 8 B dengan
konstanta.
Jadi, PK Baru adalah:
58 B C 8 3 2 6 0
Contoh k
Akar-akar persamaan kuadrat C8 B 3 28 3 4 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya C\ dan C] adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 8 dikalikan (C1).
Jadi, PK Baru adalah:
C8 B 3 28(C1) 3 4 6 0
C8 B C 28 3 4 6 0
Contoh k
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ].
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2\ C 3) dan (2] C 3) adalah K.
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
SUPERKILAT:
Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK
Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,
dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3).
Jadi, PK Baru adalah:
28 B (2l ) C 58(29 ) 3 3(2B ) 6 0
28 B C 108 3 12 6 0
Dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3).
2(8 3 3)B C 10(8 3 3) 3 12 6 0
Jabarkan sendiri yaK!
Berlawanan
Berkebalikan
R60
S6T
SifatSifat-Sifat
AkarAkar-Akar PK
Perbandingan
Selisih
pR B 6 (p 3 1)B ST
q 6 (pS)B
Keterangan:
Menggunakan
Menggunakan sifatsifat-sifat akarakar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.
Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan
menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.
TRIK SUPERKILAT
Sifat akar-akar persamaan kuadrat S8 B 3 R8 3 T 6 0 yang mungkin keluar di soal:
1.
2.
3.
4.
Jika akar yang satu kelipatan p dari akar yang lain (89 6 p8B ), maka pR B 6 (p 3 1)B ST
Jika selisih akar-akarnya adalah p (D89 C 8B D 6 p), maka q 6 (pS)B
Jika akar-akarnya berlawanan (89 6 C8B atau 89 3 8B 6 0), maka R 6 0
9
Jika akar-akarnya berkebalikan U89 6 r atau 89 8B 6 1V, maka S 6 T
>
Contoh:
Akar-akar persamaan kuadrat 28 B 3 s8 3 16 6 0 adalah \ dan ].
Jika \ 6 2] dan \, ] positif maka nilai s 6 K.
Penyelesaian:
Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.
Karena \ 6 2], maka jelas nilai p 6 2.
Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK.
pR B 6 (p 3 1)B ST
e 2sB 6 (2 3 1)B i 2 i 16
e s B 6 3B i 4 B
e s 6 F12
Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:
R
89 3 8B t 0 u C t 0
S
s
eC t0
2
e sv0
Sehingga pilih nilai s yang negatif.
Jadi, s 6 C12.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + ax − 4 = 0 adalah p dan q. Jika p 2 − 2 pq + q 2 = 8a, maka nilai a =
y 3 z 6 CS
....
y. z 6 C4
A. −8
yB C 2yz 3 z B 6 fS
B. −4
u (y 3 z)B C 4yz 6 fS
C. 4
e
SB 3 16 6 fS
D. 6
B
e S C fS 3 16 6 0
E. 8
e (S C 4)(S C 4) 6 0
2.
Persamaan
2
x1 + x 2
A.
B.
C.
D.
E.
2
u
kuadrat
S64
x 2 + (m − 1) x − 5 = 0
mempunyai
akar-akar
− 2 x1 x 2 = 8m, maka nilai m = ....
89B 3 8BB C 289 8B 6 fs
−3 atau −7 89 3 8B 6 Cs 3 1 u (89 3 8B )B C 489 8B 6 fs
(Cs 3 1)B 3 20 6 fs
89 . 8B 6 C5
e
3 atau 7
e
sB C 10s 3 21 6 0
3 atau −7
(S C 3)(S C k) 6 0
e
6 atau 14
e S C 3 6 0 atau S C k 6 0
−6 atau −14
xS 6 k
u
S63
x1
dan
x2 .
Jika