01 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN

KUADRAT

A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan merupakan bentuk relasi dalam matematika yang menghubungkan dua ruas (kiri dan kanan) yang nilainya sama, dan dilambangkan dengan notasi ”=”. Atau ditulis

Ruas kiri = Ruas kanan

Suatu persamaan biasanya memuat satu atau lebih variabel-variabel, sehingga menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari nilai variabel-variabel itu supaya persamaan tersebut bernilai benar.

Persamaan linier adalah persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi satu. Sedangkan persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang

mengandung variabel dengan pangkat tertinggi dua. Demikian juga untuk persamaan pangkat tiga dan seterusnya.

Dalam uraian selanjutnya, pembahasan akan lebih dititik beratkan pada persamaan kuadrat.

Misalkan a, b, c  Real dan a 0, maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel x.

Dimana a merupakan koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suatu tetapan (konstanta)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Ubahlah setiap persamaan berikut ini kedalam bentuk baku persamaan kuadrat : (a) (2x – 2)(x + 4) – (x + 3)(x + 1) = 0

(b) 2x – 5 =

x

3

(c)

1 4



x + 2

1



x = 3

Jawab

(a) (2x – 2)(x + 4) – (x + 3)(x + 1) = 0 (2x2 + 8x – 2x – 8) – (x2 + x + 3x + 3) = 0 (2x2 + 6x – 8) – (x2 + 4x + 3) = 0

2x2 + 6x – 8 – x2– 4x – 3 = 0 x2 + 2x – 11 = 0

(b) 2x – 5 =

x

3

x(2x – 5) = 3 2x2– 5x – 3 = 0 (c)

1 4



x + 2

1



x = 3

) 2 )( 1 (

) 1 ( 1 ) 2 ( 4

    

x x

x x

= 3

4(x – 2) + (x – 1) = 3(x – 1)(x – 2) 4x – 8 + x – 1 = 3(x2– 2x – x + 2) 5x – 9 = 3(x2– 3x + 2)

5x – 9 = 3x2– 9x + 6 3x2– 9x + 6 – 5x + 9 = 0 3x2– 14x + 15 = 0

Misalkan x = x₁ adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat itu memenuhi nilai x = x₁dan x₁dikatakan akar dari persamaan kuadrat tersebut. Pada umumnya persamaan kuadrat memiliki dua buah akar yang dinamakan x₁dan x₂. Terdapat tiga cara untuk mendapatkan akar-akar dari suatu pasamaan kuadrat, yakni :

a. Dengan memfaktorkan

Metoda pemfaktoran untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dapat dipahami dengan uraian berikut ini

(1) x2 – 7x + 10 = 0 (x  …) (x  …) = 0 faktor dari 10 adalah :

1 x 10 sehingga (x + 1) (x + 10) = 0 tidak memenuhi (–1) x (–10) sehingga (x – 1) (x – 10) = 0 tidak memenuhi 5 x 2 sehingga (x + 5) (x + 2) = 0 tidak memenuhi

(–5) x (–2) sehingga (x – 5) (x – 2) = 0 memenuhi Jadi x2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) = 0

Sehingga x – 5 = 0 x₁ = 5 x – 2 = 0 x₂ = 2

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

02. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan memfaktorkan:

(a) x2 – x – 12 = 0 (b) x2 – 6x + 8 = 0 (c) x2 + 5x – 24 = 0 (d) x2 – 8x + 16 = 0 Jawab

(a) x2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0

1

x = 4 dan x₂ = –3 (b) x2 – 6x + 8 = 0

(x – 4)(x – 2) = 0

1

x = 4 dan x₂ = 2 (c) x2 + 5x – 24 = 0

(x + 8)(x – 3) = 0

1

x = –8 dan x₂ = 3 (c) x2 – 8x + 16 = 0

(x – 4)(x – 4) = 0

1

x = 4 dan x₂ = 4

03. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan memfaktorkan:

(a) 2x2 + 7x + 6 = 0 (b) 2x2 – 7x + 3 = 0 (c) 3x2 – x – 4 = 0 (d) 5x2 – 18x – 8 = 0 Jawab

(a) 2x2 + 7x + 6 = 0 (2x + 3)(x + 2) = 0

1

x = –3/2 dan x₂ = –2 (b) 2x2 – 7x + 3 = 0

(2x – 1)(x – 3) = 0

1

x = 1/2 dan x₂ = 3 (c) 3x2 – x – 4 = 0

(3x – 4)(x + 1) = 0

1

x = 4/3 dan x₂ = –1 (c) 5x2 – 18x – 8 = 0

(5x + 2)(x – 4) = 0

1

x = –2/5 dan x₂ = 4

b. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Kuadrat sempurna yang dimaksud adalah bentuk (x  b)2 = 0

Metoda melengkapkan kuadrat sempurna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dapat dipahami dengan uraian berikut ini

x2 – 6x + 8 = 0

x2 – 6x = –8 (Kedua ruas ditambah 9) x2 – 6x + 9 = –8 + 9

x – 3 =  1 x = 1 + 3

Jadi x₁ = 1 + 3 = 4 dan x₂ = –1 + 3 = 2 Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

04. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat sempurna

(a) x2 + 6x + 5 = 0 (b) x2 – 8x + 12 = 0 (c) x2– 10x = 0

(d) x2 + 5x – 6 = 0 Jawab

(a) x2 + 6x + 5 = 0 Jawab

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x = –5 (Kedua ruas ditambah 9) x2 – 6x + 9 = –5 + 9

(x – 3)2 = 4 x – 3 =  4

x = 2 + 3

Jadi x₁ = 2 + 3 = 5 dan x₂ = –2 + 3 = 1 (b) x2 – 8x + 12 = 0

Jawab

x2 – 8x + 12 = 0

x2 – 8x = –12 (Kedua ruas ditambah 16) x2 – 8x + 16 = –12 + 16

(x – 4)2 = 4 x – 4 =  4

x = 2 + 4

Jadi x₁ = 2 + 4 = 6 dan x₂ = –2 + 4 = 2 (c) x2– 10x = 0

Jawab

x2– 10x = 0 (Kedua ruas ditambah 25) x2 – 10x + 25 = 25

(x – 5)2 = 25 x – 5 =  25

x = 5 + 5

(d) x2 + 5x – 6 = 0 Jawab

x2 + 5x – 6 = 0

x2 + 5x = 6 (Kedua ruas ditambah

4 25

)

x2 + 5x +

4 25

= 6 +

4 25

)2 2 5 (x =

4 24

+

4 25

2

) 2 5

(x =

4 49

2 5



x =

4 49



2 5



x =

2 7



Jadi x₁ =

2 7

–

2 5

= 1 dan x₂ =

2 7

 –

2 5

= –6

05. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat sempurna

(a) x2 – 8x + 11 = 0 (b) x2 – 10x + 13 = 0 (c) 2x2 + 8x + 5 = 0 (d) 4x2 – 8x + 1 = 0 Jawab

(a) x2 – 8x + 11 = 0 Jawab

x2 – 8x + 11 = 0

x2 – 8x = –11 (Kedua ruas ditambah 16) x2 – 8x + 16 = –11 + 16

(x – 4)2 = 5 x – 4 =  5

x =  5 + 4

Jadi x₁ = 5 + 4 dan x₂ = – 5 + 4 (b) x2 – 10x + 13 = 0

Jawab

x2 – 10x + 13 = 0

x2 – 10x = –13 (Kedua ruas ditambah 25) x2 – 10x + 25 = –13 + 25

(x – 5)2 = 12 x – 5 =  12

x = 2 3 + 5

(c) 2x2 + 8x + 5 = 0 Jawab

2x2 + 8x + 5 = 0 x2 + 4x +

2 5

= 0

x2 + 4x = –

2 5

(Kedua ruas ditambah 4)

x2 + 4x + 4 = –

2 5

+ 4

(x + 2)2 =

2 3

x + 2 =

2 3



x = –2

2 6



x =

2 6 2

4

 

x =

2 6 4



Jadi x₁ =

2 6 4

 _dan

2

x =

2 6 4



(d) 4x2 – 8x + 1 = 0 Jawab

4x2 – 8x + 1 = 0 x2 – 2x +

4 1

= 0

x2 – 2x = –

4 1

(Kedua ruas ditambah 1)

x2 – 2x + 1 = –

4 1

+ 1

(x – 1)2 =

4 3

x – 1 =

4 3



x = 1

2 3

 x =

2 3 2

Jadi x₁ =

2 3 2

dan x₂ =

2 3 2

c. Dengan menggunakan rumus Persamaan kuadrat

Rumus menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat diturunkan dengan metoda melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu : ax2 + bx + c = 0 (Kedua ruas dibagi a)

x2 + a b x + a c = 0

x2 + a b

x = a c

 x2 +

a b

x + 2 a 2 b     ₌ a c  + 2 a 2 b     2 a 2 b x      = a c  + 2 2 a 4 b 2 a 2 b x      = 2 a 4 ac 4  + 2 2 a 4 b 2 a 2 b x      = 2 2 a 4 b – 2 a 4 ac 4 2 a 2 b x      = 2 2 a 4 ac 4 b  a 2 b x =

2 2 a 4 ac 4 b   a 2 ac 4 b a 2 b x 2

12   sehingga

a 2 ac 4 b b x 2 12  

Jadi akar akar suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat ditentukan dengan rumus :

Dimana √ a

a dan

√ a a Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

06. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat

(a) x2 – 6x + 8 = 0 (b) x2 – 4x – 8 = 0 Jawab

(a) x2 – 6x + 8 = 0 Maka a 2 ac 4 b b x 2 12     ) 1 ( 2 ) 8 )( 1 ( 4 (-6) ) 6 ( x 2 12      2 32 36 6

x₁₂   

2 4 6 x₁₂  

2 2 6 x₁₂   Jadi

2 2 6

x₁   = 4 dan

2 2 6

x₂   = 2 (b) x2 – 4x – 8 = 0

Maka a 2 ac 4 b b x 2 12     ) 1 ( 2 ) 8 )( 1 ( 4 4) ( ) 4 ( x 2 12        2 32 16 4

x₁₂   

2 48 4 x₁₂  

2 3 4 4 x₁₂   Jadi 2 3 4 4 x1 

 = 22 3 dan

2 3 4 4 x1 

 = 22 3

07. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat

(a) x2 – 9 = 0 (b) 2x2 – 8x + 5 = 0 Jawab

(a) x2 – 9 = 0 Maka a 2 ac 4 b b x 2 12     ) 1 ( 2 ) 9 )( 1 ( 4 0 0 x 2 12    

2 36 x₁₂ 

2 6 x₁₂  Jadi

2 6

x₁ = 3 dan

2 6

x₂  = –3 (b) 2x2 – 8x + 5 = 0

Maka

a 2

ac 4 b b x

2

12

 

 

) 2 ( 2

) 5 )( 2 ( 4 8) ( ) 8 ( x

2

12

     

4 40 64 8

x₁₂   

4 24 8 x₁₂  

4 6 2 8 x₁₂  

2 6 4 x₁₂  

Jadi

2 6 4

x₁   dan

2 6 4 x₂  

08. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan metoda bebas

(a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (b) x – 4 – 2 x

7

 = 0

Jawab

(a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (x2 + x – 6x – 6) + 2(x2– 3x – 2x + 6) = –6 x2 + x – 6x – 6 + 2x2– 6x – 4x + 12 = –6 3x2– 15x + 6 + 6 = 0

3x2– 15x + 12 = 0 x2– 5x + 4 = 0 (x – 4)(x – 1) = 0

4

x₁  dan x₂ 1 (b) x – 4 –

2 x

7

 = 0

(x – 4) 

    

 

2 2

x x

–

2 x

7

2 ) 2 )( 4 (    x x x – 2 x 7

 = 0

2 8 2 2    x x x – 2 x 7

 = 0

2 15 2 2    x x x = 0 x2– 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0

5

x₁  dan x₂  3

09. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan

5 x 6 x   _– 6 x 7 x   ₌ 7 x 8 x   _– 8 x 9 x   Jawab 5 x 6 x   _– 6 x 7 x   ₌ 7 x 8 x

 – x 8 9 x   30 x 11 x ) 35 x 12 x ( ) 36 x 12 x ( 2 2 2        ₌ 56 x 15 x ) 63 x 16 x ( ) 64 x 16 x ( 2 2 2        30 x 11 x 1

2_{ } =

56 x 15 x

1

2_{ }

56 x 15

x2  = x211x30 4x = –26

x = –13/2

10. Tentukan nilai x bilangan real yang memenuhi (x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54 Jawab

(x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54

([x2 + 2x] + 3)(2[x2 + 2x] – 33) = –54 Misalkan p = x2 + 2x (p + 3)(p – 33) = –54

2p2– 27p – 45 = 0 (2p + 3)(p – 15) = 0

Untuk p = –3/2 maka x2 + 2x = –3/2

2x2 + 2x + 3 = 0 tidak memenuhi Untuk p = 15 maka x2 + 2x = 15

2x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 Jadi x = –5 atau x = 3

11. Jika

a 1

+

b 1

= 3 dan a.b = 1 maka tentukanlah nilai a dan b

Jawab

a 1

+

b 1

= 3 dan a.b = 1 maka

a 1

+ a = 3 1 + a2 = 3a

a2– 3a + 1 = 0 jadi a12 =

2 5 3

Untuk

2 5 3 1

a   maka

5 3

2 b

1  _ = ₂

5 3

Untuk

2 5 3 2

a   maka

5 3

2 b

2  _ = ₂

5 3

(c) 2x2 + 8x + 5 = 0 Jawab

2x2 + 8x + 5 = 0 x2 + 4x +

2 5

= 0 x2 + 4x = –

2 5

(Kedua ruas ditambah 4) x2 + 4x + 4 = –

2 5

+ 4 (x + 2)2 =

2 3

x + 2 = 2 3  x = –2

2 6  x =

2 6 2

4   x =

2 6 4  Jadi x₁ =

2 6 4

 _dan

2

x =

2 6 4  (d) 4x2 – 8x + 1 = 0

Jawab

4x2 – 8x + 1 = 0 x2 – 2x +

4 1

= 0 x2 – 2x = –

4 1

(Kedua ruas ditambah 1) x2 – 2x + 1 = –

4 1

+ 1 (x – 1)2 =

4 3

x – 1 = 4 3  x = 1

2 3



x = 2

3 2 Jadi x₁ =

2 3 2

dan x₂ =

2 3 2

c. Dengan menggunakan rumus Persamaan kuadrat

Rumus menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat diturunkan dengan metoda melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu : ax2 + bx + c = 0 (Kedua ruas dibagi a)

x2 + a b

x + a c

= 0 x2 +

a b

x = a c

 x2 +

a b

x + 2 a 2

b

  

 ₌

a c

 + 2 a 2

b

   

2 a 2

b x

  

  =

a c

 + 2 2 a 4

b

2 a 2

b x

  

  =

2 a 4

ac 4

 +

2 2 a 4

b

2 a 2

b x

  

  =

2 2 a 4

b –

2 a 4

ac 4

2 a 2

b x

  

  =

2 2

a 4

ac 4 b 

a 2

b x =

2 2

a 4

ac 4 b 



a 2

ac 4 b a 2

b x

2

12   sehingga

a 2

ac 4 b b x

2 12  

Jadi akar akar suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat ditentukan dengan rumus :

Dimana √ a

a dan

√ a a Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

06. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat

(a) x2 – 6x + 8 = 0 (b) x2 – 4x – 8 = 0 Jawab

(a) x2 – 6x + 8 = 0 Maka

a 2

ac 4 b b x

2

12

 

 

) 1 ( 2

) 8 )( 1 ( 4 (-6) )

6 ( x

2

12

 

  

2 32 36 6

x₁₂   

2 4 6 x₁₂  

2 2 6 x₁₂  

Jadi

2 2 6

x₁   = 4 dan

2 2 6

x₂   = 2

(b) x2 – 4x – 8 = 0 Maka

a 2

ac 4 b b x

2

12

 

 

) 1 ( 2

) 8 )( 1 ( 4 4) ( ) 4 ( x

2

12

      

2 32 16 4

x₁₂   

2 48 4 x₁₂  

2 3 4 4 x₁₂  

Jadi

2 3 4 4 x1



 = 22 3 dan

2 3 4 4 x1



 = 22 3

07. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat

(a) x2 – 9 = 0 (b) 2x2 – 8x + 5 = 0 Jawab

(a) x2 – 9 = 0 Maka

a 2

ac 4 b b x

2

12

 

 

) 1 ( 2

) 9 )( 1 ( 4 0 0 x

2

12

   

2 36 x₁₂ 

2 6 x₁₂ 

Jadi

2 6

x₁ = 3 dan

2 6

x₂  = –3 (b) 2x2 – 8x + 5 = 0

Maka

a 2

ac 4 b b x

2

12

 

 

) 2 ( 2

) 5 )( 2 ( 4 8) ( ) 8 ( x

2

12

     

4 40 64 8

x₁₂   

4 24 8 x₁₂  

4 6 2 8 x₁₂  

2 6 4 x₁₂  

Jadi

2 6 4

x₁   dan

2 6 4 x₂  

08. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan metoda bebas

(a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (b) x – 4 – 2 x

7

 = 0

Jawab

(a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (x2 + x – 6x – 6) + 2(x2– 3x – 2x + 6) = –6 x2 + x – 6x – 6 + 2x2– 6x – 4x + 12 = –6 3x2– 15x + 6 + 6 = 0

3x2– 15x + 12 = 0 x2– 5x + 4 = 0 (x – 4)(x – 1) = 0

4

x₁  dan x₂ 1

(b) x – 4 – 2 x

7

 = 0

(x – 4)      

 2 x

– 7

2 ) 2 )( 4 (

  

x x x

– 2 x

7

 = 0

2 8 2

2   

x x x

– 2 x

7

 = 0

2 15 2

2   

x x x

= 0 x2– 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0

5

x₁  dan x₂  3

09. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 5 x

6 x



 _–

6 x

7 x

  ₌

7 x

8 x

  _–

8 x

9 x

  Jawab

5 x

6 x



 _–

6 x

7 x

  ₌

7 x

8 x

 – x 8 9 x

 

30 x 11 x

) 35 x 12 x ( ) 36 x 12 x (

2

2 2

 

   

 ₌

56 x 15 x

) 63 x 16 x ( ) 64 x 16 x (

2

2 2

 

    

30 x 11 x

1

2_{ } =

56 x 15 x

1

2_{ }

56 x 15

x2  = x211x30

4x = –26 x = –13/2

10. Tentukan nilai x bilangan real yang memenuhi (x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54 Jawab

(x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54

([x2 + 2x] + 3)(2[x2 + 2x] – 33) = –54 Misalkan p = x2 + 2x (p + 3)(p – 33) = –54

2p2– 27p – 45 = 0 (2p + 3)(p – 15) = 0

Untuk p = –3/2 maka x2 + 2x = –3/2

2x2 + 2x + 3 = 0 tidak memenuhi Untuk p = 15 maka x2 + 2x = 15

2x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 Jadi x = –5 atau x = 3

11. Jika a 1

+ b 1

= 3 dan a.b = 1 maka tentukanlah nilai a dan b Jawab

a 1

+ b 1

= 3 dan a.b = 1 maka a 1

+ a = 3 1 + a2 = 3a

a2– 3a + 1 = 0 jadi a12 = 2

5 3

Untuk

2 5 3

1

a   maka

5 3

2 b

1  _ = ₂

5 3

Untuk

2 5 3

2

a   maka

5 3

2 b

2  _ = ₂

5 3