Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Provinsi 2016 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

PEMBAHASAN SOAL BAGIAN B
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2016
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
9 April 2016

BAGIAN B: SOAL URAIAN
1.

Diberikan Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada perpanjangan
HE sehingga PE = 1 cm. Tentukan jarak titik P ke bidang yang memuat segitiga AHF.
H
G

E

F

P
D

C

A

B

Pembahasan: 3 cm
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
2 cm

H
V

E
1 cm
P

T

S

G
1
2 cm
2
T

F
2 cm

D

U

C

2 cm
Q

B

R
2 cm
(i)

Karena panjang PE = 1, maka panjang VS = SF = PT =
Perhatikan AVF pada gambar (i) didapat
http://olimattohir.blogspot.co.id/

S

P
U

2 cm

6 cm

2 cm

A

2 cm

Q

R

1
2 cm
2

(ii)

1
3

2 cm. Sehingga panjang PS =
2
2
2

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

AV2 = AF2 – FV2

  –  2

 AV2 = 2 2
 AV =

2

6

2

[lihat pada gambar (ii)]

Selanjutnya perhatikan segiempat ARSV! Panjang AV = RS, sehingga panjang RS =

6 cm

Kemudian perhatikan PRS pada gambar (ii) didapat
1
Luas PRS = × RS × PU
2
1
1
× PS × TR = × RS × PU
2
2
3
2 × 2 = 6 × PU

2
2
PU = 3
6
PU = 3
Jadi, jarak titik P ke bidang yang memuat segitiga AHF adalah
2.

3 cm

Empat orang siswa makan siang di suatu kantin. Di kantin tersebut masih tersedia 3 porsi nasi
goreng, 20 porsi nasi pecel, dan 25 porsi nasi rawon, 19 gelas jus alpukat, 17 gelas jeruk panas,
dan 15 gelas jus sirsak. Mereka ingin memesan 4 porsi makanan dan 3 gelas minuman. Tentukan
banyak pilihan komposisi makanan dan minuman yang mungkin mereka pesan.
Pembahasan: 140 cara
Alternatif 1
Misalkan porsi makanan nasi goreng adalah g
porsi makanan nasi pecel adalah p
porsi makanan nasi rawon adalah r
minuman jus alpukat adalah a

minuman juruk panas adalah j
minuman jus sirsak adalah k
Mencari pola untuk mengetahui komposisi makanan dan minuman
Pertama mencari komposisi makanan, komposisi makanan ada 3 kemungkinan berikut.
(1) 4 porsi untuk satu jenis makanan: dalam kasus ini hanya p dan r, karena g hanya tersedia 3
porsi, sehingga ada 2 cara
(2) 4 porsi untuk dua jenis makanan: dalam kasus ini ketiga jenis makanan terpenuhi dengan
masing-masing dua pasanga, yakni g + p, g + r, dan p + r. Sehingga ada 3 cara
(3) 4 porsi untuk ketiga jenis makanan: dalam kasus ini ketiga jenis makanan yang ada
terpenuhi, yakni g + p + r. Sehingga ada 3 × 3 = 9 cara
Sehingga seluruhnya untuk komposisi makanan ada sebanyak 2 + 3 + 9 = 14 cara
Kedua mencari komposisi minuman, komposisi minuman juga ada 3 kemungkinan berikut.
(1) 3 gelas untuk satu jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman terpenuhi untuk a,
j, dan k, sehingga ada 3 cara
(2) 3 gelas untuk dua jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman terpenuhi dengan
masing-masing dua pasanga, yakni a + j, a + k, dan j + k. Sehingga ada 2 × 3 = 6 cara
(3) 3 gelas untuk ketiga jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman yang ada
terpenuhi, yakni a + j + k. Sehingga ada 1 cara
Sehingga seluruhnya untuk komposisi minuman ada sebanyak 3 + 6 + 1 = 10 cara
Dengan demikian, komposisi makanan dan minuman yang mungkin adalah 14 × 10 = 140 cara

Jadi, banyak pilihan komposisi makanan dan minuman yang mungkin mereka pesan ada
sebanyak 140 cara

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Alternatif 2
Misalkan porsi makanan nasi goreng adalah g
porsi makanan nasi pecel adalah p
porsi makanan nasi rawon adalah r
minuman jus alpukat adalah a
minuman juruk panas adalah j
minuman jus sirsak adalah k
Mencari pola untuk mengetahui komposisi makanan dan minuman
1) Mencari komposisi untuk makanan:
g+p+r=4

r
p
g
0 1

2

3

4

Banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan g + p + r = 4 sama dengan
banyaknya cara terpendek untuk mencapai ujung kanan atas grid dari ujung kiri bawah grid
yaitu sebanyak 6 langkah dari tabel 2 baris
6!
= 3 × 5 = 15
6C2 =
6  2!.2!
Akan tetapi perlu diketahui bahwa banyak porsi nasi goreng maksimal 3, sehingga harus

dikurangi pada saat g = 4, dimana banyak pasangan p + r = 0 sehingga (p, r) ada 1 cara
Oleh karena itu, banyak kombinasi untuk makanan sebanyak (q, p, r) = 15 – 1 = 14
2) Mencari komposisi untuk minuman:
a+j+k=3
k

j
a
0 1

2

3

Banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan a + j + k = 3 sama dengan
banyaknya cara terpendek untuk mencapai ujung kanan atas grid dari ujung kiri bawah grid
yaitu sebanyak 5 langkah dari tabel 2 baris
5!
= 5 × 2 = 15
5C2 =
5  2!.2!
Sehingga banyak kombinasi untuk minuman sebanyak (a, j, k) = 5C2 = 10
Dengan demikian, komposisi makanan dan minuman yang mungkin adalah 14 × 10 = 140 cara
Jadi, banyak pilihan komposisi makanan dan minuman yang mungkin mereka pesan ada
sebanyak 140 cara
3.

pada bilangan bulat yang memenuhi
f 1  2016
f 1  f 2  ....  f n  n f n untuk semua n >1. Hitunglah nilai f 2016 .

Fungsi

f

didefinisikan

dan

2

Pembahasan:

2
2017

Diketahui f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1) + f(n) = n2f(n)
Mencari pola untuk mengetahui nilai dari masin-masing fungsi, yakni sebagai berikut.
http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1) + f(n) = n2f(n)
f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1)
= (n–1)2f(n–1)
f(n) = n2f(n) – (n–1)2f(n–1)
n f(n) – f(n) = (n–1)2f(n–1)
(n2–1)f(n) = (n–1)2f(n–1)
n  12 f(n–1)
f(n) = 2
n 1
n  1n  1 f(n–1)
f(n) =
n  1n  1
n  1 f(n–1)
f(n) =
n  1
2





 f(1) =

Diketahui f(1) = 2016
Untuk n = 2

 f(2) =

Untuk n = 3

 f(2) =

Untuk n = 4

 f(4) =

2  1 f(2–1)
2  1
3  1 f(3–1)
3  1
4  1 f(4–1)
4  1

 f(2) =
 f(3) =
 f(4) =

Untuk n = 5

 f(5) =

Untuk n = 6

 f(6) =

......
......
Untuk n

 f(n) =

1
f(1)
3
2
f(2)
4
3
f(3)
5
4
f(4)
6
5
f(5)
7

n  1 f(n–1)
n  1

 f(2) =
 f(3) =
 f(4) =
 f(5) =
 f(6) =

 f(n) =

2016
1
2016
3
2016
6
2016
10
2016
15
2016
21
2016
Un

Perhatikan penyebut dati masing-masing nilai fungsi, yakni berupa barisan barisan segitiga
seperti berikut.
1, 3, 6, 10, 15, 21, .... Un
n
Sedangkan untuk rumus suku ke-n barisan segitiga tersebut adalah Un = (n + 1)
2
Sehingga untuk fungsi f didapat sebagai berikut.

 2 
2016
 f(n) = 2016 

n
 nn 1
n  1
2
Dengan demikian, untuk f(2016)
didapat sebagai berikut.

f(n) =

2016
Un

 f(n) =



2
 f(2016) = 2016 

 20162017 
2
 f(2016) =
2017
2
Jadi, nilai f(2016) adalah
2017

 2 
f(n) = 2016 

 nn 1

Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

4