Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2016 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2016
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
5 Maret 2016

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1.

 1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n 

Nilai dari 
 1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n 

Pembahasan:

2

3

adalah ....

4
9

 1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n 


 1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n 

2

3







1 2  4  1  8  16  ....  n3 
= 
3 
 1 3 9  1  8  16  ....  n 
 1 2  4 

= 
 1 3 9 
 23 
=  3 
3 

2 
=

3 
3

3

2

2

2

2

2

3

3

3

3
3

22
= 2
3
4
=
9
 1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n 

Jadi, nilai dari 
 1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n 
2.

2

3

adalah

4
9

Bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6n adalah ....
Pembahasan: 26

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198
= (2×1) · (2×3) · (2×5) · (2×7) · (2×9) · ... · (2×99)
100
bilangan 2 sebanyak =
= 50

2
= 250 · (1 · 3 · 5 · 7 · 9 · ... · 99)
= 250 · (3 · 9 · 15 · 21 · 27 · 33 · 39 · 45 · 51 · 57 · 63 · 69 · 75 · 81 · 87 · 93 · 99) × (1 · 5 · 7 ·
11 · ... · 97)
= 250 · (3×1) · (32) · (3×5) · (3×7) · (33) · (3×11) · (3×13) · (32×5) · (3×17) · (3×19) · (32×7) ·
(3×23) · (3×25) · (34) · (3×29) · (3×31) · (32×11) × (1 · 5 · 7 · 11 · ... · 97)
bilangan 3 sebanyak = 26
= 250 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)
= 224 · 226 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)
= 226 · 326 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)
= (2 · 3)26 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)
= 626 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)
Jadi, bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6n adalah 26
3.

Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut
dengan volume 392π cm3. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan
volume 1344π cm3. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah .... cm.
Pembahasan: 25 cm
Perhatikan iludtrasi gambar berikut

c

b
a

a

(i)
Vi =

1
π a2 b
3

dan

c

b

(ii)
Vii =

1
π b2 a
3

Kemudian mencari pola penyelesaian dari hubungan kedua volune kerucut tersebut, yakni
sebagai berikut.

Vi

Vii

 a2 b
1  b2 a
3

1

3



392
=
1344



 a (ab)
1  b( ab)
3

1

3

a
7

=
24
b

Artinya bahwa nilai a = 7n dan b = 24n dengan n bilangan bulat
Kemudian mencari nilai n dengan cara mensubstutusikan kesalah satu volume gambar (i) atau
(ii), yakni sebagai berikut.
1
1
Vi = π a2 b  392π = π (7n)2 (24n)
3
3
http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

 392 = (7n)2 (8n)

 392 = 392n3


n =1

Dengan demikian, panjang a = 7(1) = 7 cm dan b = 24(1) = 24 cm. Dengan pytagoras dicapat
panjang c = 25 cm
Jadi, panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 25 cm

4.

Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di
samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan
bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok
terpancung adalah .... satuan luas.

Pembahasan: 216 satuan luas
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

(a)

(b)

(c)

Dengan pytahgoras didapat panjang bangun datar yang dicetak tebal (persegipanjang) = 5 dan
lebarnya = 3. Sehingga luasnya = 5 × 3 = 15 satuan luas.
Balok terpancung terdapat pada gambar (c), sehingga luas permukaannnya sebagai berikut.
Luas gambar (c) = Luas gambar (a) – Luas gambar (b) tanpa luas persegi panjang + Luas
persegipanjang
1
= 2(11×3 + 11×6 + 3×6) – (2× ×3×4 + 3×3 + 3×4) + (3×5)
2
= 2(33 + 66 + 18) – (12 + 9 + 12) + (15)
= 234 – 33 + 15
= 216
Jadi, Luas permukaan balok terpancung adalah 216 satuan luas

5.

f1 x , f 2 x , f 3 x , .... sedemikian
barisan fungsi
1
f n1 x  
untuk bilangan n ≥ 1. Nilai dari f 20162016  ....
1  f n x 

Diketahui

Pembahasan:

sehingga

f1 x   x dan

2015
2016

Diketahui f1 x   x dan f n1 x  

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1
untuk bilangan n ≥ 1
1  f n x 
3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Kemudian mencari pola dari deret fungsi f, sebagai berikut.
f1 x   x
1
1
f 2 x  

1  f1 x  1  x
1
1
x 1

f 3 x  

1  f 2 x  1  1
x
1 x
1
1
f 4 x  
x

1  f 3 x  1  x  1
x
...
...
..
dan seterusnya akan berulang setiap 3 suku..
Sehingga untuk f 20162016 , cukup 2016 : 3 = 672 (habis dibagi 3)
Dengan demikian, f 20162016 terdapat pada suku ke-3 yaitu f 20162016 =
Jadi, nilai dari f 20162016 
6.

2016  1 2015
=
2016
2016

2015
2016

Jika akar-akar persamaan 2016 x   2015  2017x  1  0 adalah m dan n dengan m > n, serta
2

akar-akar persamaan x 2  2015x  2016  0 adalah a dan b dengan a > b, maka m – b = ....
Pembahasan: 2017

2016x2  2015  2017x  1  0

 2016 x   2016  12016  1x  1 = 0
2



2016 x2  20162  1x  1 = 0







20162 x 2  20162  1 x  1 = 0

20162 x  1 x  1 = 0
1
 sehingga x = 
atau x = 1
2016 2
Diketahui m dan n merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan m > n, maka m = 1
x 2  2015x  2016  0





 x  2016x  1 = 0
 sehingga x = –2016 atau x = 1

Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan a > b, maka b = –2016
Dengan demikian, m – b = 1 – (– 2016) = 1 + 2016 = 2017
Jadi, maka m – b = 2017
7.

Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah an dengan

untuk n  2k  1
3k
an  
51  k untuk n  2k
Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah ....
Pembahasan: 5100
Untuk n = 1,
n = 2,

k=1
k=1

http://olimattohir.blogspot.co.id/

 a1 = 3
 a2 = 50
4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

n = 3,  k = 2
 a3 = 6
n = 4,  k = 2
 a4 = 49
n = 5,  k = 3
 a5 = 9
n = 6,  k = 3
 a6 = 48
...
...
...
dan seterusnya
Berdasarkan pola di atas, terdapat dua kelompok barisan dengan beda tetap, yaitu
a) 3, 6, 9, ....., 3n
b) 50, 49, 48, ...., 51 – n
Sehingga untuk mengetahui jumlah 100 suku pertama, cukup mengetahui jumlah 50 suku
pertama dari masing-masing deret tersebut.
a) 3 + 6 + 9 + ..... + 150 = 25(6 + 49×3) = 25(153) = 3825
b) 50 + 49 + 48 + .... + 1 = 25[100 + 49×(–1)] = 25(51) = 1275
Dengan demikian total jumlah 100 suku pertama = 3825 + 1275 = 5100
Jadi, jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah 5100
8.

Misalkan x dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4x + 7y = 2016. Banyak
pasangan (x, y) yang mungkin adalah ....
Pembahasan: 71
4x + 7y = 2016
4x + 7y = 2016
7y = –4x + 2016
4x = –7y + 2016
4
7
x =  y + 504
y =  x + 288
7
4
Karena x dan y merupakan bilangan asli berbeda, maka nilai x harus kelipatan 7 dan nilai y harus
kelipatan 4. Kemudian, berdasarkan kedua persamaan di atas, dapat ditentukan juga bahwa nilai
x maksimal adalah 504 – 7 = 497 dan nilai y maksimal adalah 288 – 4 = 284

497
284
= 71 atau banyak nilai y =
= 71
7
4
Akan tetapi, perlu kita selidiki apakah ada nilai x yang sama dengan nilai y, misalkan x = y maka
4x + 7x = 2016  11x = 2016  x = 183,27 (bukan bilangan asli), oleh karena itu dapat
disimpulkan bahwa x ≠ y
Dengan demikian, banyak nilai x =

Jadi, Banyak pasangan (x, y) yang mungkin adalah 71

9.

Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga
berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku
tersebut adalah ....
Pembahasan: 420 cara
Diantara 8 buku berbeda masing-masing anak A, B, dan C sudah ditentukan banyak buku yang
akan mereka dapatkan, yaitu masing-masing akan mendapatkan 4 buku, 2 buku, dan 2 buku.
Sehingga banyak cara pembagian buku yang akan mereka dapatkan dari delapan buku tersebut
sebanyak = 8C4 × 4C2 × 2C2 =

8!
4!
2!
×
×
= 70×6×1 = 420
4!4! 2!2! 0!2!

Jadi, banyak cara pembagian buku tersebut adalah 420 cara

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10.

Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit
sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada
waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti
ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai
terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah ....
Pembahasan: 60
Diketahui nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60,
40, 70, 90, dan 30.
Jika data tersebut diurutkan: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90
Diketahui juga nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai
yang diperoleh sama dengan median.
Misalkan nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan adalah a
Sehingga, median = nilai rata-rata
Total jumlah dari 10 + 20 + 30 + 40 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 490
a  490
= Median (Me)
11
a  490
= Me
11
a + 490 = 11Me
a = 11Me – 490
Dengan mempehatikan data yang ada, maka kemungkinan nilai Mediannya 49 ≤ Me ≤ 50
Selanjutnya, kita selidiki satu-persatu apakah mediannya sama dengan rata-ratanya
 a = 11Me – 490
Untuk Me = 49
 a = 11(49) – 490
 a = 539 – 490
 a = 49
Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 49, 50, 60, 70, 80, 90
Median = rata-rata = 49 dan a = 49
 a = 11Me – 490
 a = 11(50) – 490
 a = 550 – 490
 a = 60
Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 60, 70, 80, 90
Median = rata-rata = 50 dan a = 60
Karena yang diminta oleh soal merupakan nilai terbesar untuk nilai a, maka a yang digunakan
adalah a = 60
Untuk Me = 50

Jadi, nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah 60

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6