Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014 Bagian B www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2014
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
B. SOAL URAIAN
1.

Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan

2 x  2

Pembahasan:

Diketahui 2  x  2
2 x  2
 2 – x > 22
2–x>4
 –x>4 –2

 –x>2

x 1
5929
2.
 hal ini tidak mungkin, karena angka satuannya tidak habis membagi 2
2
5929
 hal ini tidak mungkin, karena 5 + 9 + 2 + 9 tidak habis dibagi 3
3.
3
5929
4.
 hal ini mungkin, 592 – 9(2) = 574 dan 57 – 4(2) = 49 serta 49 : 7 = 7
7
5929
habis dibagi 7, yaitu 847
Sehingga
7
http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Dengan demikian nilai n = 7, yaitu hasil dari jumlah 3 angka < 847 dan 3 angka > 847 dengan 847
itu sendiri, yakni:
841 + 843 + 845 + 847 + 849 + 851 + 853 = 5929
Jadi, n terkecil yang mungkin adalah 7

3.

Diberikan kerangka limas ABCD dengan alasnya adalah daerah segitiga siku-siku ABC. Diketahui
sisi siku-sikunya adalah AB dan AC dengan panjang AB = a 3 dan panjang AC = 4a , rusuk BD
tegak lurus dengan bidang ABC, dan panjang BD = 6a . Jika pada rusuk CD terdapat titik P
sehingga sebuah bola dengan DP sebagai diameternya menyinggung bidang alas ABC, hitung jarijari bola tersebut.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
D
O

r

D

6a

r

P

B

r

C

Q

O

a 3

B

4a

r

P

r
Q

C

A

Dibuat garis bantu OQ, titik pusat O dan r adalah jari-jari bola

4a 2  a



Perhatikan segitiga ABC! Adalah segitiga siku-siku di titik A, diperoleh
BC =

6a 2  a

3 = 16a 2  3a 2 = a 19
2



Kemudian perhatikan segitiga BCD! Juga merupakan segitiga siku-siku di titik A, diperoleh
CD =

36a 2  19a 2 = a 55

2

19 =

Selanjutnya segitiga BCD (gambar sebelah kanan)! Didapat perbandingan dua segitiga yang
kongruen, yaitu segitiga QCD dan segitiga ACD, sehingga diperoleh
QO CO

BD CD

r
PC  r

(PC = CD – 2r  PC = a 55 – 2r )
6a
a 55
r
a 55  2r  r


6a

a 55
r
a 55  r


6a
a 55
 r a 55 = 6a a 55  r
 ar 55 = 6a 2 55  6ar
 r 55 = 6a 55  6r
(dibagi dengan a )





http://olimattohir.blogspot.co.id/







2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember







 r 55  6r = 6a 55
 r 55  6 = 6a 55
 r 6  55 = 6a 55
r =



6a 55
6  55



Jadi, jari-jari bola yang dimaksud adalah
4.



6a 55
6  55



Sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu bilangan antara 100 dan 600. Aturan yang
harus dipenuhi adalah sebagai berikut.
(i) Semua angka dan huruf harus saling berbeda,

(ii) Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah vokal,
(iii) Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah konsonan.
Tentukan banyak kode rahasia yang mungkin dibuat.
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa terdapat: sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu
bilangan antara 100 dan 600.
Misalkan: huruf pertama: x
huruf kedua: y
satu bilangannya: abc
Menurut informasi soal Semua angka dan huruf harus saling berbeda, sehingga terdapat dua
kemungkinan untuk kode xyabc atau abcxy, yaitu:
Kemungkinan I:
Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah vokal, dimana
huruf fokal sebanyak 5 huruf: a, i, u, e, o. Diperoleh sebagai berikut.
Banyak huruf yang mungkin pada huruf x adalah sebanyak 5 dan banyak huruf yang mungkin
pada huruf y adalah sebanyak 4 (karena x dan y harus berbeda)
Sedangkan banyak angka genap untuk c yang mungkin adalah sebanyak 5 (0, 2, 4, 6, 8)
dan bilangan untuk a sebanyak 5 (1, 2, 3, 4, 5) serta banyak bilangan b sebanyak 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9: bilangan-bilangan ini sebanyak 10 akan tetapi nilai salah satu dari 1, 2, 3, 4, 5 sudah
digunakan oleh a, sehingga banyak nilai b ada 9).

Sehingga banyak kode yang mungkin pada kondisi ini adalah xyabc = 5 × 4 × 5 × 9 × 5 = 4500
Akan tetapi karena bilangannya antara 100 dan 600, maka harus dikurangi dengan 1 angka 100,
yaitu menjadi 4500 – 1 = 4499
Kemungkinan II:
Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah konsonan,
dimana huruf konsonan sebanyak 21 huruf. Diperoleh sebagai berikut.
Banyak huruf yang mungkin pada huruf x adalah sebanyak 21 dan banyak huruf yang mungkin
pada huruf y adalah sebanyak 20 (karena x dan y harus berbeda)
Sedangkan banyak angka ganjil untuk c yang mungkin adalah sebanyak 5 (1, 3, 5, 7, 9)
dan bilangan untuk a sebanyak 5 (1, 2, 3, 4, 5) serta banyak bilangan b sebanyak 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9: bilangan-bilangan ini sebanyak 10 akan tetapi nilai salah satu dari 1, 2, 3, 4, 5 sudah
digunakan oleh a, sehingga banyak nilai b ada 9)
Sehingga banyak kode yang mungkin pada kondisi ini: xyabc = 21 × 20 × 5 × 9 × 5 = 94500
Dengan demikian banyak total kode rahasia seluruhnya yang mungkin dibuat baik xyabc atau
abcxy adalah sebanyak (4499 + 94500) + (4499 + 94500) = 197998
Jadi, banyak kode rahasia yang mungkin dibuat adalah 197998

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
5.

Untuk x bilangan real, dirumuskan suatu fungsi
f x 

2
2  4x

Maka hitunglah hasil penjumlahan berikut.
 1 
f

 2014 

Diketahui f x 

 2 
f
  .... 
 2014 

 2013 
f

 2014 

Pembahasan:

2
,
2  4x

 1 
Mencari pola untuk menemuknan hasil dari f 

 2014 
berikut.

 2 
f
  .... 
 2014 

 2013 
f
 , yakni sebagai
 2014 

Perhatikan fungsi pertama dengan fingsi terakhir, yaitu
 1 
 2013 
f
 dan f 

 2014 
 2014 
atau
1 
 1 
 2014  1 
 2014  1 

f
 dan f 
= f
 = f 1 

 2014 
 2014 
 2014 
 2014 
1
Sehingga jika dimisalkan x =
, maka menjadi f x dan f 1  x
2014

Kemudian kita perhatikan hasil penjumlahan dari f x dan f 1  x , sebagai berikut:
2
2
+
f x  f 1  x =
x
1 x
2  4
2  4
=

=

=

=



  
 

4  24   4  24 
4  24   24   4 4 
8  24   24 
4  24   24   4   
8  24   24 
4  24   24   4 
8  24   24 
4  24   24   4
2 2  41 x  2 2  4 x
2  4 x 2  41 x
1 x

1 x

x

x

1 x

1 x

1 x

x

1 x

x

x 1 x

x

1 x

x

1

x

1 x

x

8  24  24 
=
8  24  24 
=

1 x

1 x

f x  f 1  x = 1

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1 x

x

x
x

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Olehkarena itu, hasil penjumlahan untuk fungsi ke-1 dengan fungsi-2013, fungsi ke-2 dengan
fungsi ke-2012, fungsi ke-3 dengan fungsi ke-2011dan seterus diperoleh sebagai berikut:
 2013 
 1 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 
 2012 
 2 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 
 2011 
 3 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 
..........................................
..........................................
..........................................
 1010 
 1004 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 
 1009 
 1005 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 
 1008 
 1006 
f
 =1
 f
 2014 
 2014 

Sebanyak 1006

dan
 1007 
f
 =
 2014 

2

24

1007
2014

=

2

24

1
2

=

2
2 1
2
=
= =
2 4 2  2 4 2

Dengan demikian total seluruhnya = 1(1006) +

1
1
= 1006 
2
2

1
 2013 
 2 
 1 
Jadi, hasil penjumlahan dari f 
 adalah 1006 
  ....  f 
 f
2
 2014 
 2014 
 2014 

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5