Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013 Bagian B www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2013
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
B. SOAL URAIAN
1.

Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku ke 4 sekolah. Banyak buku yang diterima untuk setiap
sekolah tidak sama. Selisih buku yang diterima sekolah A dan B adalah 16. Selisih buku yang
diterima sekolah B dan C adalah 12. Selisih buku yang diterima sekolah C dan D adalah 8.
Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain. Jika
sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A, tentukan
banyak buku yang diterima masing-masing sekolah.
Pembahasan:
dari soal diketahui sebagai berikut;

sekolah A
sekolah B


Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku 
sekolah C
sekolah D

Selisihnya 16
Selisihnya 12
Selisihnya 8

Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain,
sehingga  B – A = 16
sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A sehingga
 D = 2A
Dari uraian diatas terdapat 4 kemungkinan yang terbentuk, yaitu;
Kemungkinan 1:
B – A = 16 ..... 1)
C – B = 12 ..... 2)
C – B = 12
Persaman 2) dan 3), diperolah
D–C=8

D – C = 8 ..... 3)
D – B = 20 ..... 4)
Persamaan 4) dan 1), diperoleh
D – B = 20
B – A = 16
D – A = 36, ....karena D = 2A, maka A = 36 sehingga D = 72, B = 52, dan C = 64
Karena A + B + C + D = 224 dan 224 > 144, maka kemungkinan ini Tidak Memenuhi

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

Kemungkinan 2:
B – A = 16 ..... 1)
B – C = 12 ..... 2)
C – D = 8 ..... 3)

Persaman 2) dan 3), diperolah

B – C = 12
C–D=8
B – D = 20 ..... 4)

Persamaan 4) dan 1), diperoleh
B – D = 20
B – A = 16
A– D = 4
karena D = 2A, maka A = – 4, hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga Tidak Memenuhi

Kemungkinan 3:
B – A = 16 ..... 1)
B – C = 12 ..... 2)
D – C = 8 ..... 3)

Persaman 2) dan 3), diperolah

B – C = 12

D–C=8
B – D = 4 ..... 4)

Persamaan 4) dan 1), diperoleh
B–D=4
B – A = 16
A – D = – 12, ....karena D = 2A, maka A = 12 sehingga D = 24, B = 28, dan C = 16
Karena A + B + C + D = 80 dan 80 < 144, maka kemungkinan ini Tidak Memenuhi

Kemungkinan 4:
B – A = 16 ..... 1)
C – B = 12 ..... 2)
C – D = 8 ..... 3)

Persaman 2) dan 3), diperolah

C – B = 12
C–D=8
D – B = 4 ..... 4)

Persamaan 4) dan 1), diperoleh
D–B=4
B – A = 16
D – A = 20, ....karena D = 2A, maka A = 20 sehingga D = 40, B = 36, dan C = 48
Karena A + B + C + D = 144, maka kemungkinan ini yang Memenuhi

Jadi, banyak buku yang diterima masing-masing sekolah adalah
Sekolah A = 20 buku,
Sekolah B = 36 buku,
Sekolah C = 48 buku, dan
Sekolah D = 40 buku

2.

Satu set kartu remi/bridge terdiri dari 52 lembar. Diambil 5 lembar kartu secara acak. Tentukan
peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang di antaranya terdapat tepat 1
kartu King.

Pembahasan:
Banyaknya Ruang sampel = 52C5 = 2598960

Menurut informasi dari soal pengambilan kartu harus terdapat tepat 1 kartu King, sehingga
terdapat 2 kemungkinan, yaitu:

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

Kemungkinan I:
Apabila yang terambil adalah kartu King berwarna merah, maka banyak cara
untuk memilih kartu King berwarna merah adalah 2C1 × 24C1 = 2 × 24 = 48.
Sedangkan banyak cara pengambilan kartu remi/bridge yang berwarna hitam
adalah sebanyak 24C3 = 2024 (banyak kartu warna hitam ada 26, akan tetapi
kartu king tidak diikutsertakan lagi, karena tepat 1 kartu king sudah terambil:
sehingga ada 24)

Sehingga banyak cara pada kemungkinan I adalah 48 × 2024 = 97152
Kemungkinan II:

Apabila yang terambil adalah kartu King berwarna hitam, maka banyak cara
untuk memilih kartu King berwarna hitam adalah 2C1 × 24C2 = 2 × 276 = 552.
Sedangkan banyak cara pengambilan kartu remi/bridge yang berwarna merah
adalah sebanyak 24C2 = 276 = 276
Sehingga banyak cara pada kemungkinan I adalah 552 × 276 = 152352
Sehingga banyak cara pengambilan kartu seluruhnya adalah 97152 + 152352 = 249504
Jadi, Peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang diantaranya
249504
48  5198
5198
=
=
terdapat tepat 1 kartu King =
2598960
48  54145 54145
3.

Misalkan 10 lingkaran yang berjari-jari 1 cm dimasukkan dalam lingkaran berjari-jari R cm,
seperti gambar berikut. Tentukan R

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

D

D
Z

Z

Z
Y

X
A

B

(a )
http://olimattohir.blogspot.co.id/

Y

X
A

(b )

B

C

K

C

C

Y

X
A

L

B

(c )

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

Diketahui jari-jari lingkaran kecil: r = 1 cm
jari-jari lingkaran besar: R cm
Perhatikan gambar (a )! Dibuat garis bantu AX = BY = r = 1 cm, sehingga AB = XY
Dibuat garis bantu AC = R, sehingga panjang AY = (R – 1)
Dibuat garis bantu segitiga XYZ, sehingga terbentuk segitiga sama kaki

Perhatikan AXY! Dengan pythagoras didapat
XY2 = AY2 – AX2

 XY2 = (R – 1)2 – 12

 XY2 = R2 – 2R + 1 – 1

 XY =

R2  2R

Perhatikan gambar (b)! Dibuat garis bantu AD , sehingga AY = AZ = (R – 1)
Perhatikan gambar (c)! Dibuat garis bantu ZL dan titik K, sehingga AX = KL = BY = 1 cm
dan XK = AL =
Perhatikan XKZ! Dengan pythagoras didapat
KZ = XZ – XK
2

2

2

1

 KZ = 2 –  XY 
2

2

1
1
XY =
R2  2R
2
2

2

2


1
 KZ2 = 4 – 
R2  2R 

2
 KZ2 = 4 –



1 2
R  2R
4





2



 KZ2 =

16  R 2  2 R
4

 KZ =

1
16  2 R  R 2
2

Kemudian perhatikan ALZ! Dengan pythagoras didapat


1
LZ = AZ – AL  (LK + KZ) = (R – 1) – 
R2  2R 

2
2

2

2

2

2

2



 1
1
 1 
16  2 R  R 2  = (R – 1)2 – 
R2  2R 


 2
2
2





2



1
1


 1  16  2 R  R 2  16  2 R  R 2  = R2 – 2R + 1 – R 2  2 R
4
4



 16  2R  R2 = R2 – 2R + 1 –

http://olimattohir.blogspot.co.id/











1
1 2
R  2 R – 16  2 R  R 2 – 1
4
4

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

 16  2R  R2 = R2 – 2R –

1 2 1
1
1
R  R – 4  R  R2
4
2
2
4

 16  2R  R2 = R2 – 2R – 4

 (16 + 2R – R2) = (R2 – 2R – 4)2

 16 + 2R – R2 = (R2 – 2R)2 – 8R2 + 16R + 16

 16 + 2R – R2 = R4 – 4R3 + 4R2 – 8R2 + 16R + 16
 2R – R2 = R4 – 4R3 – 4R2 + 16R

 2 – R = R3 – 4R2 – 4R + 16

 2 – R = R3 – 4R2 – 4R + 16

 R3 – 4R2 – 3R + 14 = 0

 (R – 2)(R2 – 2R – 7) = 0
2  4  41 7 
=1+2 2
2

Sehingga R = 2 (tidak memenuhi, karena 2 cm merupakan diameter lingkaran kecil)
atau R =

(memenuhi)

Jadi, panjang jari-jari R adalah (1 + 2 2 ) cm

4.

Gunakan delapan bilangan prima yang berbeda dan kurang dari 25 untuk melengkapi persegi ajaib
di bawah, sehingga setiap kotak di dalam persegi terisi oleh satu bilangan prima serta jumlah
bilangan pada setiap baris dan setiap kolom selalu sama.
47
37
29

53

41

61

59

31

Pembahasan:
Misalkan kedelapan bilangan prima yang kuran dari 25 adalah a, b, c, d, e, f, g, dan h
a

b

47

53

c

37

41

d

29

61

f

e

59

h

g

31

a + b + 47 + 53 = a + c + 29 + 59
 b – c = –12
karena b dan c bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai b dan c adalah
b

c

11

23

b–c

–12

b + 37 + 61 + h = c + 37 + 41 + d
b – c = (d – h) – 20
–12 = (d – h) – 20 maka d – h = 8

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

karena d dan h bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai d dan h adalah
d

h

d–h

13

5

8

53 + d + e + 31 = 59 + h + g + 31
d – h = (g – e) + 6
8 = (g – e) + 6 maka g – e = 2
karena g dan e bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai g dan e adalah
g

e

g–e

19

17

2

a + b + 47 + 53 = b + 37 + 61 + h

 a – h = –2
 Karena h = 5 maka nilai a = 3
 29 + 61 + f + 17 = b + 37 + 61 + h
 Karena nilai b = 11 dan h = 5 maka nilai f = 7

Jadi, kelengkapan tabelnya adalah

5.

a=3

b = 11

47

53

c =23

37

41

d = 13

29

61

f=7

e = 17

59

h=5

g = 19

31

Didefinisikan

adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
5
= 2, karena 2 ≤ < 3, jika x dan y adalah bilangan real dengan
= 10
2

Sebagai contoh:
dan

= 8, tentukan nilai dari

Pembahasan:
Jika
=10, maka nilai x yang mungkin memenuhi: 100 ≤ x < 121
= 8, maka nilai y yang mungkin memenuhi: 1024 ≤ y < 1296
Untuk nilai kemungkinan terkecil kita ambil x = 100 dan y = 1024 maka nilai dari :

=

=

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

=
=
=5
Untuk nilai kemungkinan terbesar kita ambil x = 121 dan y = 1296 maka nilai dari :

=
=
=
=
=6
Jadi, nilai dari

=5

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

7