Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Provinsi 2016 (Bagian A) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

PEMBAHASAN SOAL BAGIAN A
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2016
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
9 April 2016

BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT
1.

Misalkan x1, x2, x3, .... , x2016 adalah 2016 bilangan asli ganjil berurutan yang jumlahnya
merupakan bilangan kuadrat. Nilai x2016 terkecil yang mungkin adalah ....

Pembahasan: 4031
Diketahui x1 + x2 + x3 + .... + x2016 = k2, dimana x bialangan asli ganjil dan k bilangan asli
Karena hasil jumlah n bilangan ganjil adalah bilangan k2, maka nilai x2016 terkecil = 2n – 1
= 2(2016) – 1
= 4032 – 1

= 4031
Jadi, nilai x2016 terkecil yang mungkin adalah 4031
2.

Jika ab + ab + ab = cbb dan setiap huruf yang berbeda menyatakan angka yang berdeda juga,
maka nilai a , b, dan c adalah ....

Pembahasan: a = 8, b = 5, dan c = 2
Diketahui ab + ab + ab = cbb

 ab + ab + ab

3×ab

30a + 3b

30a + 3b

30a

= cbb
= cbb
= c100 + 10b + b
= c100 + 11b
= c100 + 8b

Dengan demikian, nilai b yang memenuhi adalah 5.
Sehingga didapat a = 8 dan c = 2
Jadi, nilai a, b, dan c adalah a = 8, b = 5, dan c = 2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

3.

Pada gambar berikut diketahui DP : PB = DN : NC = AM : MB = 1 : 2 serta NQ = QM.

D
P

N
Q

A

E

M

B

C

Jika diketahui panjang AC = 6 cm, maka panjang AE adalah .... cm.

Pembahasan: 2 cm
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

1

D
a
x

N
Q

y

P

S

R

2y

A

E xM

1

6 cm

2
a

2x
3x

C

a

B

2

Diketahui DP : PB = DN : NC = AM : MB = 1 : 2 serta NQ = QM,
maka didapat panjang DP = PR = RB = a
dan didapat panjang NP = x , SR = 2x, dan BC = 3x
serta didapat juga panjang QS = y dan MC = 2y
NQ = QM, maka panjang NP = EM = x
Dengan demikian,
AM
1
1
AM
=

=
3x  2 y 2
MB
2


1

(3x + 2y)
2
Kemudian diketahui AC = 6 cm  AC = AM + MC
1
 6 = (3x + 2y) + 2y
2
1
1
 6 = (3x + 2y) + (4y)
2
2
 12 = 3x + 6y
 4 = x + 2y
(EC = x + 2y = 4)
Dengan demikian, AE = AC – EC  AE = 6 – EC
 AE = 6 – 4
 AE = 2
Jadi, panjang AE adalah 2 cm
AM =

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

4.

Pada gambar berikut terdapat lima persegi sepusat (semua diagonal persegi berpotongan di satu
titik): P 1, P 2, P 3, P 4, dan P 5. Titik-titik sudut P 2 terletak pada sisi-sisi P 1 dan membaginya dengan
perbandingan 1 : 4. Dengan cara yang serupa titik-titik sudut P k terletak pada sisi-sisi P k–1 untuk

k  {3, 4, 5}. Perbandingan luas P 1 dan P 5 adalah ....
P1
P2
P3
P4

P5

Pembahasan: 254 : 174
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
4a
a

a

4b

P1

4c

d

b

c

P2

4d
P3
x
P4
P5

5a

4a

Dimisalkan panjang sisi P 1 = = 5a , P 2 = 5b, P 3 = 5c, P 4 = 5d, dan P 5 = x
Luas P 1 = (5a )2 = 25a 2

a 
Panjang sisi P 2: (5b)2 = (4a )2 + (a )2  b2 = 17  
5
2

2

2

2

2

2

Panjang sisi P 3: (5c) = (4b) + (b)
Panjang sisi P 4: (5d) = (4c) + (c)
2

2

2

Panjang sisi P 5: (x) = (4d) + (d)

b
 c = 17  
5

2

atau b =

 17a 
c = 

 25 

2

 17a 
 d = 17 

 125 

2

2

2

 x = 17d
2

2

2

2

c
 d = 17  
5

a
17
5

atau c =

17 a
25

2

atau d =

17a
17
125


 17a
 x = 17 
17  atau x2 =

 125
2

2

2

 17 2 a 


 125 

 17 2 a 
  Luas P 1 : Luas P 5 = 254 : 174
Dengan demikian, Luas P 1 : Luas P 5 = 25a : 
 125 
2

2

Jadi, perbandingan luas P1 dan P5 adalah 254 : 174

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

5.

Banyak cara mendapatkan empat bilangan asli ganjil (dengan urutan tidak diperhatikan) yang
berjumlah 22 adalah ....
Pembahasan: sebanyak 18 cara
Misalkan empat bilangan asli ganjil tersebut adalah a , b, c, dan d
Sehingga didapat a + b + c + d = 22
Kemudian kita mencari pola untuk mengetahui nilai-nilai dari a , b, c, dan d
1) Apabila nilai dari a , b, c, dan d semuanya berbeda:
1 + 3 + 5 + 13 = 22
1 + 3 + 7 + 11 = 22
ada sebanyak 3
1 + 5 + 7 + 9 = 22
2) Apabila nilai dari a = b. Sedangkan nilai c dan d berbeda:
Apabila a = b = 1  1 + 1 + 3 + 17 = 22
1 + 1 + 5 + 15 = 22
1 + 1 + 7 + 13 = 22
ada sebanyak 4
1 + 1 + 9 + 11 = 22
ada sebanyak 11
Apabila a = b = 3  dengan cara yang sama, didapat sebanyak 3
Apabila a = b = 5  dengan cara yang sama, didapat sebanyak 2
Apabila a = b = 7  dengan cara yang sama, didapat sebanyak 1
Apabila a = b = 9  dengan cara yang sama, didapat sebanyak 1
3) Apabila nilai dari a = b = c. Sedangkan nilai d berbeda:
Apabila a = b = c = 1  1 + 1 + 1 + 19 = 22
ada sebanyak 1
Apabila a = b = c = 3  3 + 3 + 3 + 13 = 22
ada sebanyak 1
Apabila a = b = c = 5  5 + 5 + 5 + 7 = 22
ada sebanyak 1
ada sebanyak 4
Apabila a = b = c = 7  7 + 7 + 7 + 1 = 22
ada sebanyak 1
Dengan demikian, semuanya ada sebanyak 3 + 11 + 4 = 18
Jadi, banyak cara mendapatkan empat bilangan asli ganjil (dengan urutan tidak
diperhatikan) yang berjumlah 22 adalah sebanyak 18 cara

6.

Garis y = mx + 1 dengan m > 0 memotong parabola y = x2 – 2x + 1 di titik A dan B. Jika C adalah
titik puncak parabola tersebut sehingga luas segitiga ABC sama dengan 6 satuan luas, maka nilai
m adalah ....

Pembahasan: m = 2
Diketahui persamaan garis y = mx + 1 dan persamaan parabola y = x2 – 2x + 1
Karena kedua persamaan tersebut saling berpotongan, sehingga didapat
mx + 1 = x2 – 2x + 1
2
x – (m + 2)x = 0
x1.2 =

m  2  m  22
2

 x1.2 =

 x1 =

m  2  m  2

m  2  m  2
2

2

m  2  m  2

x1 = 0

 x2 =

2
x2 = m + 2
diketahui m > 0, maka yang memenuhi adalah x2 = m + 2 ..........(1)
http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Kemudian, berdasarkan kedua persamaan tersebut didapat ilustrasi gambar sebagai berikut.
y

R(0, mx2 + 1)

B(x2, mx2 + 1)

(mx2 + 1) – 1 = mx2

A(x1, mx1 + 1) atau

(mx2 + 1) – 0 = mx2 + 1
A(0,1)
P (0,0)

C(1,0) Q(x2,0)

x

x2 – 1

Perhatikan segiempat PQBR, ABC, APC, CQB, dan ARB
Luas segirmpat PQBR = Luas ABC + luas APC + luas CQB + luas ARB
1
1
1
PQ × QB = 6 + × AP × PC + × CQ × QB + × AR × RB
2
2
2
1
1
1
1
x2 × (mx2 + 1) = × 12 + × 1 × 1 + × (x2 – 1) × (mx2 + 1) + × mx2 × x2
2
2
2
2
2x2 × (mx2 + 1) = 12 + 1 + (x2 – 1)(mx2 + 1) + mx22
2mx22 + 2x2 = 13 + mx22 + x2 – mx2 – 1 mx22
2mx22 + 2x2 = 12 + 2mx22 + x2 – mx2
mx2 +x2 = 12
(m + 1)x2 = 12
..........(2)
Berdasarkan persamaan (2) dan (1), didapat sebagai berikut
(m + 1)x2 = 12 dan x2 = m + 2
 (m + 1)(m + 2) = 12
 m2 + 3m + 3 = 12
 m2 + 3m – 10 = 0
 (m + 5)(m – 2) = 0
m = –5 atau m = 2
diketahui m > 0, maka yang memenuhi adalah m = 2
Jadi, nilai m adalah 2
7.

Diberikan persamaan (x – 3y)2 + 203(x – 3)(y – 1) – 191xy = 9. Jika x dan y adalah bilangan Asli,
maka jumlah dari semua nilai x yang mungkin adalah ....

Pembahasan: 6567
Diketahui, persamaan (x – 3y)2 + 203(x – 3)(y – 1) – 191xy = 9
(x – 3y)2 + 203(x – 3)(y – 1) – 191xy = 9
x2 – 6xy + 9y2 + 203(xy – x – 3y + 3) – 191xy = 9
2
x – 6xy + 9y2 + 203xy – 191xy – 203(x + 3y – 3) = 9
x2 + 6xy + 9y2 – 203(x + 3y – 3) = 9
(x + 3y)2 – 203(x + 3y – 3) = 9
(x + 3y)2 – 9 = 203(x + 3y – 3)
(x + 3y)2 – 32 = 203(x + 3y – 3)
http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

(x + 3y + 3)(x + 3y – 3) = 203(x + 3y – 3)
(x + 3y + 3) = 203
x + 3y = 200
Dengan demikian, nilai ymaksimal = 66 yang mengakibatkan nilai xminimal = 2
dan nilai yminimal = 1 yang mengakibatkan nilai xmaksimal = 197
sehingga darisan nilai x nya adalah 2 + 5 + 8 + .... + 191 + 194 + 197 = S66
66
[2×2 + (65)3]
S66 =
2
= 33(4 + 195)
= 33(199)
S66 = 6567
Jadi, jumlah dari semua nilai x yang mungkin adalah 6567
8.

Pada gambar berikut, segitiga sama sisi terletak di dalam sebuah persegi. Perbandingan luas
segitiga dan persegi adalah ....

Pembahasan: 3 : (2 3 + 3)
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
1

D

C
a

x
F

a
a
A

x E

Perhatikan EBF dan FCD.
a 2 = 2(1 – x)2 dan a 2 = x2 + 12

Kemudian perhatikan EFD.
1
Luas EFD = a 2 3
4
3 2
=
(x + 1)
4
2
3 
2  3  1
=

4 



http://olimattohir.blogspot.co.id/

1–x

1–x
B

 2(1 – x)2 = x2 + 12
 2 – 4x + 2x2 = x2 + 1
 x2 – 4x + 1 = 0
x1,2 = 2 ± 3
yang memenuhi x = 2 –

3



6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

3
(4 – 4 3 + 3 + 1)
4
3
(8 – 4 3 )
=
4
= 3 (2 – 3 )

=

Luas EFD = 2 3 – 3
Dengan demikian,

Luas EFD
2 3 3
=
Luas persegi ABCD
1

2 3 3 2 3 3
×
1
2 3 3
43  9
=
2 3 3
3
=
2 3 3

=

Jadi, perbandingan luas segitiga dan persegi adalah 3 : (2 3 + 3)

9.

Dito mencatat bahwa semester ini dia telah mengikuti delapan ulangan harian pelajaran
Matematika. Nilai ulangan diberikan pada skala 100. Catatan Dito menunjukkan bahwa rata-rata
nilai setelah ulangan ke-7 naik 2 poin dibandingkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6.
Sedangkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-8 juga naik 2 poin dibanding rata-rata nilai sampai
ulangan ke-7. Selisih nilai ulangan ke-8 dan ke-7 adalah .... poin
Pembahasan: 4 Poin
Misalkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6 adalah a
nilai ulangan ke-7 adalah b
nilai ulangan ke-8 adalah c
Diketahui (1) catatan Dito menunjukkan bahwa rata-rata nilai setelah ulangan ke-7 naik 2 poin
dibandingkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6.
6a  b
Rata-rata nilai setelah ulangan ke-7:
= (a + 2)
7
(2) sedangkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-8 juga naik 2 poin dibanding ratarata nilai sampai ulangan ke-7
7a  2  c
= (a + 4)
Rata-rata nilai sampai ulangan ke-8:
8
Dari pernyataan (1) dan (2) didapat
6a  b
= (a + 2)

6a + b = 7(a + 2)
(1)
7

b = a + 14
7a  2  c
(2)
= (a + 4)  7a + 14 + c = 8a + 32
8

c = a + 18
Dengan demikian, c – b = (a + 18) – (a + 14) = 4
Jadi, selisih nilai ulangan ke-8 dan ke-7 adalah 4 poin

http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10.

Diketahui banyak suku suatu barisan aritmetika adalah genap. Jumlah suku-suku dengan nomor
ganjil adalah 32 dan jumlah suku-suku dengan nomor genap adalah 50. Jika selisih suku terakhir
dan suku pertamanya adalah 34, maka banyak suku pada barisan tersebut adalah ....

Pembahasan: 18 suku
Diketahui U1 + U2 + U3 + .... + Un dengan n genap
Un – a = 34
a + (n – 1)b – a = 34
(n – 1)b = 34
bn – b = 34
b = bn – 34
........ (1)
kemudian U2 + U4 + U6 + .... + Un
U1 + U3 + U5 + .... + Un-1
(U2 – U1) + .... + (Un – Un-1)
b + b + b + ....+ b
n
(b)
2
bn

= 50
= 32
= 18
= 18
= 18
= 36

........ (2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat:
b = bn – 34 dan bn = 36
 b = 36 – 34
b=2
sehingga n = 18
Jadi, banyak suku pada barisan tersebut adalah 18 suku

Dibahas oleh: Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

8