29. Persamaan lingkaran(irisan kerucut)

1

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
persamaan lingkaran
yang memenuhi kriteria tertentu

2

Lingkaran
tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari
dan titik tetap itu disebut
pusat lingkaran
3

Persamaan Lingkaran
Pusat O(0,0) dan jari-jari r

y
r
O

P(x,y)

x

x

x2 + y2 = r2
r = jari-jari
4

Soal 1
Persamaan lingkaran
pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:
a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25
b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼
c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21

d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3
5

Soal 2
Persamaan lingkaran
pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)
adalah….

6

Penyelesaian

Misal persamaan lingkaran yang
berpusat di O(0,0) dan jari-jari r
adalah
x 2 + y2 = r2
melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2
r2 = 9 + 1
= 10
Jadi, persamaan lingkarannya

adalah x2 + y2 = 10
7

Soal 3
Pusat dan jari-jari lingkaran:
a. x2 + y2 = 16 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 4
b. x2 + y2 = 2¼ adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½
c. x2 + y2 = 5 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = √5
8

Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat
dengan lingkaran x2 + y2 = 144
tetapi panjang jari-jarinya setengah
dari panjang jari-jari lingkaran
tersebut adalah….

9

Penyelesaian
Lingkaran x2 + y2 = 144
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = √144 = 12 → ½r = 6
Persamaan lingkaran yang
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = 6 adalah x2 + y2 = 62
x2 + y2 = 36
10

Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41 maka
nilai a adalah….

11

Penyelesaian

Titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41,
berarti (2a)2 + (-5)2 = 41
4a2 + 25 = 41
4a2 = 41 – 25 = 16
a = 4 → a = 2 atau a = -2
12

Soal 6
Persamaan lingkaran yang koordinat
ujung-ujung diameternya A(2,-1)
dan B(-2,1) adalah….

13

Penyelesaian
B(2,1)
dia
me

ter

A(2,1)

Diameter = panjang AB
( 2  2) 2  (1  ( 1)) 2
=
16  4  20 2 5
=

14

Diameter = panjang AB
= 2√5
Jari-jari = ½ x diameter
= ½ x 2√5
= √5
15

B(2,1) Pusat

A(2,1)

  2  2 1  ( 1) 
,

Koordinat pusat = 
2 
 2

= (0,0)
16

Jadi,
persamaan lingkarang yang
jari-jari = √5 dan pusat (0,0)
adalah x2 + y2 = (√5)2
x2 + y 2 = 5
17

Persamaan Lingkaran

Pusat (a,b) dan jari-jari r
y

(a, b)

b
(0,0)

a

x

(x – a)2 + (y - b)2 = r2
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
18

Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9
jawab: pusat di (3,7) dan

jari-jari r = √9 = 3
b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6
jawab: pusat di (8,-5) dan
jari- jari r = √6
19

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24
jawab: pusat di (-3,5) dan
jari-jari r = √24 = 2√6
d. x2 + (y + 6)2 = ¼
jawab: pusat di (0,-6) dan
jari- jari r = √¼ = ½
20

Soal 2
Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)
dan jari-jarinya 3 adalah ….

Penyelesaian:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5
▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9
Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9
21

Soal 3
Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0)
dan jari-jarinya 3√2 adalah ….

Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0
▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18
Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18
22

Soal 4
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (-2,-7)

dan melalui titik (10,2) adalah ….

23

A(10,2)
r

Penyelesaian
:
Pusat (-2,-7)

P(-2,-7)

→ a = -2, b = -7
2

2

7  2)
= r = AP
AP = ( 2  10)  (Jari-jari
2
144

81

225

15
→
r
= 225
r =

Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 2)2 + (y + 7)2 = 225
24

Soal 5
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (4,-3)
dan melalui titik pangkal
adalah ….

25

Penyelesaian
:

O(0,0)
r

Pusat (4,-3)

P(4,-3)

→ a = 4, b = -3
2

2

OP =

(4  0)  (Jari-jari
3  0) = r = OP

r =

16  9  25 5 → r2 = 25

Jadi, persamaan lingkarannya
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25
26

Soal 6
Persamaan lingkaran yang
berpusat di garis x – y = 1,
jari-jari √5 dan
melalui titik pangkal adalah ….

27

Penyelesaian
Misal persamaan lingkarannya
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0
dan jari-jari r = √5 → r2 = 5
disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(0 – a)2 + (0 – b)2 = 5
a2 + b2 = 5 …..(1)
28

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1
a–b=1→a=b+1
disubstitusi ke a2 + b2 = 5
(b + 1)2 + b2 = 5
b2 + 2b + 1 + b2 = 5
2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0
(b + 2)(b – 1) = 0
b = -2 atau b = 1
29

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1
diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2
diperoleh pusatnya (2,1), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5
30

Soal 7
Persamaan lingkaran yang
berpusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
melalui titik O(0,0) adalah ….

31

Penyelesaian
▪ pusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
substitusi y = x ke x + 2y = 6
x + 2x = 6
3x = 6 → x = 2
x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)
32

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)
r = (2  0) 2  (2  0) 2
= 4  4  8 → r2 = 8
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8
x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8
x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan
lingkaran dalam bentuk umum
33

Persamaan Lingkaran
dalam bentuk umum

x + y + Ax + By + C = 0
2

2

Pusat (-½A, -½B)
r=

(

1
2

2

2

A)  ( B)  C
1
2

34

Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

jawab:
A = -2, B = - 6, C = -15
pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)
2
2
1

3
 ( 15)
jari-jari r =
= 25 5
35

Soal 2
Tentukan pusat lingkaran
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0

jawab:
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
4
2
2
x + y – 3x + 2y – 4 = 0
4
Pusat (-½( – 3 ),
-½.2)
Pusat( 23 , – 1)
36

Soal 3
Jika titik (-5,k) terletak pada
lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
maka nilai k adalah…

37

Penyelesaian
(-5,k) terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
 (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0
25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0
k2 – 5k – 6 = 0
(k – 6)(k + 1) = 0
Jadi, nilai k = 6 atau k = -1
38

Soal 4
Jarak terdekat antara titik (-7,2)
ke lingkaran
x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
sama dengan….

39

Penyelesaian
Titik T(-7,2) disubstitusi ke
x2 + y2 – 10x – 14y – 151
(-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151
49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0
berarti titik T(-7,2) berada
di dalam lingkaran
40

Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5,
2
2
Q7)
PQ r  5  7  (  151 )
T(-7,2)
r  225  25
r
P(5,7) PT  (  7  5 ) 2  ( 2  7 ) 2

 168 13
QT = PQ - PT
= 15 – 13 = 2
Jadi, jarak terdekat adalah 2

41

SELAMAT BELAJAR

42