Irisan Kerucut XI MIA
Kelas XI MIA Peminatan
Disusun :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran
2017 – 2018
SMA Santa Angela Bandung
Peta Konsep
2
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Glosarium
Istilah
Keterangan
Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.
Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.
Jari
jari Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik
lingkaran
pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.
Ellips
Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya.
Parabola
Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu
dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut
fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis
arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis
jika diketahui garis arah dan titik fokus yang
terletak pada suatu garis.
Hiperbola
Himpunan titik-titik (pada bidang datar)
yang
selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik
Fokus Hiperbola.
3
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Irisan Kerucut
Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola
A.
Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu.
Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)
Luas lingkaran = π.r2 (r = jari-jari)
Ex. 1:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2
4
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r
Ex. 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan :
a. Berjari-jari 2
b. Melalui titik A(3, 4)
5
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r
Ex. 3 :
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q(2, -1) dan melalui titik R(5, 3)
6
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
B.Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap
2 titik tertentu tetap.
Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk
elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya
terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana
0 1
Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers
(sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut
sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak
hiperbola
18
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan
memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua
titik tersebut = Latus Rectum
Ex. 2:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus
(√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x
Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0,
√6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x
19
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan
Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:
20
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama
Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya
kuadrat (x2 saja atau y2 saja)
Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (samasama positif atau sama-sama negatif)
Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda
(salah satu positif, yang lain negatif)
Ex. 3 :
3x2 + 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
3x2 + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
3x2 + y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola
Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:
1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→ Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut
tersebut
→ Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Ex. 4:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2
+ y2 + 6x + y = 5
Cara:
21
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut
Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:
1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan
kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut
(Ingat! D = b2 – 4.a.c)
→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Ex. 5 :
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan
persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y2 – 57y + 67 = 0
D = b2 – 4.a.c = (–57)2 – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut
22
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung dengan gradien m
Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:
(…)2 menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui
→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil
1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis polar
Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik
potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil
untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
23
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Ex. 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13
pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung
Ex. 7 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13
pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0
x2 + 1 – 12x + 36x2 + 4x – 13 = 0
37x2 – 8x – 12 = 0
24
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Gunakan rumus abc:
25
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi adil
26
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
SOAL LATIHAN
1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari
....
A. x2 + y2 =
3 adalah
3
B. x2 + y2 = 6
C. x2 + y2 = 3
D. x2 + y2 = 9
E. x2 + y2 =
6
2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10 – 2y = 0
berturut – turut adalah ....
A. (10, 2) dan 10
B. (-5, -1) dan 6
C. (5, -1) dan 6
D. (5, 1) dan 6
E. (-5, 1) dan 6
3. Persamaan lingkaran yang berjari – jari 3 dan menyinggung sumbu x
di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah ....
A. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 3
B. (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9
C. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 3
D. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
27
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
E. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9
4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah ....
A. x + 2y =
5
B. 2x + y = 5
C. x + 2y = - 5
D. 2x + y = - 5
E. x + 2y – 5 = 0
5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y - 33 = 0 yang
melalui titik (1, -3) adalah ....
A. 7x - 12y – 43 = 0
B. 6x - 7y + 34 = 0
C. 7x + 12y – 43 = 0
D. 12x + 7y – 24 = 0
E. -7x - 12y + 12 = 0
6. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah ....
A. (-12, 0)
B. (0, -3)
C. (-4, 0)
D. (0, -4)
E. (-3, 0)
7. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 adalah ....
28
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
A. (-1, 3)
B. (2, -3)
C. (1, -3)
D. (-2, 6)
E. (2, -6)
8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai
sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .…
A. (y + 2)2 = 8(x – 4 )
B. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )
C. (y - 2)2 = 8(x – 4 )
D. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )
E. (y + 1)2 = 8(x + 4 )
9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah ....
A. y = 32x + 64
B. y = 2x + 4
C. y = 16x + 2
D. y = x + 2
E. y = 8x + 16
10.Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak
lurus dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ....
A. 2x + y – 4 = 0
B. 2x - y – 2 = 0
29
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
C. 2x + y + 2 = 0
D. 2x - 8y – 5 = 0
E. 2x + y + 8 = 0
11.Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah .…
A. 2 5
B. 20
C. 6
D. 36
E. 12
12.Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x 2 + 25y2 + 18x – 100y =
116 adalah ....
A. (5, 2) dan (-3, 2)
B. (-1, 6) dan (5, 3)
C. (-3, -2) dan (1, 3)
D. (5, 2) dan (-3, 5)
E. (3, 2) dan (5, 2)
13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0)
serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .…
A. 10x2 + 6y2 = 60
B. 9x2 + 16y2 = 144
C. 36x2 + 16y2 = 400
D. 9x2 + 25y2 = 225
30
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
E. 16x2 + 9y2 = 400
14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1)
adalah ....
A. x - y + 5 = 0
B. x + y = -5
C. x + y + 5 = 0
D. -x - y = 5
E. x + y = 5
x2 y 2
15.Persamaan garis singgung elips
1 yang melalui titik (1, 3
9
6 ) adalah ....
A. 3x - 6 y = 9
B. 6x - 6 y = 1
C. 3x - 6 y = 3
D. x - 6 y = 1
E. 3x - 3 6 y = 11
16. PGS elips 5x2 + y2 = 5 yang melalui titik A(-2, 1) adalah .…
A. 2x + 3y + 7 = 0
B. 2x - y - 3 = 0
C. 2x - 3y + 5 = 0
D. 2x - y - 5 = 0
E. 3x + 2y + 9 = 0
31
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0
adalah ....
A. 4x - 3y - 18 = 0
B. 3x - 4y 17 = 0
C. 4x - 3y - 6 = 0
D. 3x - 4y – 1 = 0
E. 4x - 3y - 1 = 0
18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah :
A. (1, 2) dan (-1, 2)
B. (1, 0) dan (1, 4)
C. (3, 2) dan (-1, 2)
D. (1, -2) dan (1, -4)
E. (1, 3) dan (-1, 3)
19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di
titik (9, 2) adalah ....
A. 4x - y + 21 = 0
B.
9x - 2y - 34 = 0
C.
4x - y - 34 = 0
D.
9x - 2y + 21 = 0
E.
4x - y - 28 = 0
20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4)
adalah ....
A. 19x + 11y = 63 dan x – y = -3
B.
19x + 11y = -63 dan x – y = 3
32
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
C.
19x - 11y = 63 dan x + y = -3
D.
19x - 11y = -126 dan x + y = 3
E.
-19x + 11y = 126 dan -x + y = -3
dan fokusnya
21. Persamaan parabola yang berpuncak di
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
22. Koordinat
titik
fokus
parabola
dengan
persamaan
adalah . . .
A.
B.
C.
D.
E.
23. Persamaan elips dengan titik puncak di
dan panjang
latus rectum , berbentuk . . . .
A.
33
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
B.
C.
D.
E.
24. Koordinat
titik
pusat
elips
dengan
persamaan
dengan
persamaan
adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
25. Panjang
sumbu
minor
elips
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
34
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
DAFTAR PUSTAKA
Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk
SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega
Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program
Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama
Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program
Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga
Teguh, Mega. 2004.
Modul
Irisan
Kerucut. Departemen
Pendidikan Nasional
35
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
36
Marcoes
XI MIA Peminatan
Disusun :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran
2017 – 2018
SMA Santa Angela Bandung
Peta Konsep
2
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Glosarium
Istilah
Keterangan
Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.
Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.
Jari
jari Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik
lingkaran
pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.
Ellips
Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya.
Parabola
Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu
dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut
fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis
arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis
jika diketahui garis arah dan titik fokus yang
terletak pada suatu garis.
Hiperbola
Himpunan titik-titik (pada bidang datar)
yang
selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik
Fokus Hiperbola.
3
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Irisan Kerucut
Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola
A.
Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu.
Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)
Luas lingkaran = π.r2 (r = jari-jari)
Ex. 1:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2
4
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r
Ex. 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan :
a. Berjari-jari 2
b. Melalui titik A(3, 4)
5
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r
Ex. 3 :
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q(2, -1) dan melalui titik R(5, 3)
6
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
B.Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap
2 titik tertentu tetap.
Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk
elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya
terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana
0 1
Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers
(sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut
sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak
hiperbola
18
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan
memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua
titik tersebut = Latus Rectum
Ex. 2:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus
(√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x
Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0,
√6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x
19
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan
Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:
20
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama
Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya
kuadrat (x2 saja atau y2 saja)
Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (samasama positif atau sama-sama negatif)
Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda
(salah satu positif, yang lain negatif)
Ex. 3 :
3x2 + 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
3x2 + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
3x2 + y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola
Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:
1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→ Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut
tersebut
→ Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Ex. 4:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2
+ y2 + 6x + y = 5
Cara:
21
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut
Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:
1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan
kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut
(Ingat! D = b2 – 4.a.c)
→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Ex. 5 :
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan
persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y2 – 57y + 67 = 0
D = b2 – 4.a.c = (–57)2 – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut
22
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung dengan gradien m
Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:
(…)2 menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui
→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil
1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis polar
Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik
potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil
untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
23
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Ex. 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13
pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung
Ex. 7 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13
pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0
x2 + 1 – 12x + 36x2 + 4x – 13 = 0
37x2 – 8x – 12 = 0
24
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Gunakan rumus abc:
25
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi adil
26
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
SOAL LATIHAN
1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari
....
A. x2 + y2 =
3 adalah
3
B. x2 + y2 = 6
C. x2 + y2 = 3
D. x2 + y2 = 9
E. x2 + y2 =
6
2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10 – 2y = 0
berturut – turut adalah ....
A. (10, 2) dan 10
B. (-5, -1) dan 6
C. (5, -1) dan 6
D. (5, 1) dan 6
E. (-5, 1) dan 6
3. Persamaan lingkaran yang berjari – jari 3 dan menyinggung sumbu x
di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah ....
A. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 3
B. (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9
C. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 3
D. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
27
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
E. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9
4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah ....
A. x + 2y =
5
B. 2x + y = 5
C. x + 2y = - 5
D. 2x + y = - 5
E. x + 2y – 5 = 0
5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y - 33 = 0 yang
melalui titik (1, -3) adalah ....
A. 7x - 12y – 43 = 0
B. 6x - 7y + 34 = 0
C. 7x + 12y – 43 = 0
D. 12x + 7y – 24 = 0
E. -7x - 12y + 12 = 0
6. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah ....
A. (-12, 0)
B. (0, -3)
C. (-4, 0)
D. (0, -4)
E. (-3, 0)
7. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 adalah ....
28
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
A. (-1, 3)
B. (2, -3)
C. (1, -3)
D. (-2, 6)
E. (2, -6)
8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai
sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .…
A. (y + 2)2 = 8(x – 4 )
B. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )
C. (y - 2)2 = 8(x – 4 )
D. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )
E. (y + 1)2 = 8(x + 4 )
9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah ....
A. y = 32x + 64
B. y = 2x + 4
C. y = 16x + 2
D. y = x + 2
E. y = 8x + 16
10.Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak
lurus dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ....
A. 2x + y – 4 = 0
B. 2x - y – 2 = 0
29
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
C. 2x + y + 2 = 0
D. 2x - 8y – 5 = 0
E. 2x + y + 8 = 0
11.Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah .…
A. 2 5
B. 20
C. 6
D. 36
E. 12
12.Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x 2 + 25y2 + 18x – 100y =
116 adalah ....
A. (5, 2) dan (-3, 2)
B. (-1, 6) dan (5, 3)
C. (-3, -2) dan (1, 3)
D. (5, 2) dan (-3, 5)
E. (3, 2) dan (5, 2)
13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0)
serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .…
A. 10x2 + 6y2 = 60
B. 9x2 + 16y2 = 144
C. 36x2 + 16y2 = 400
D. 9x2 + 25y2 = 225
30
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
E. 16x2 + 9y2 = 400
14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1)
adalah ....
A. x - y + 5 = 0
B. x + y = -5
C. x + y + 5 = 0
D. -x - y = 5
E. x + y = 5
x2 y 2
15.Persamaan garis singgung elips
1 yang melalui titik (1, 3
9
6 ) adalah ....
A. 3x - 6 y = 9
B. 6x - 6 y = 1
C. 3x - 6 y = 3
D. x - 6 y = 1
E. 3x - 3 6 y = 11
16. PGS elips 5x2 + y2 = 5 yang melalui titik A(-2, 1) adalah .…
A. 2x + 3y + 7 = 0
B. 2x - y - 3 = 0
C. 2x - 3y + 5 = 0
D. 2x - y - 5 = 0
E. 3x + 2y + 9 = 0
31
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0
adalah ....
A. 4x - 3y - 18 = 0
B. 3x - 4y 17 = 0
C. 4x - 3y - 6 = 0
D. 3x - 4y – 1 = 0
E. 4x - 3y - 1 = 0
18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah :
A. (1, 2) dan (-1, 2)
B. (1, 0) dan (1, 4)
C. (3, 2) dan (-1, 2)
D. (1, -2) dan (1, -4)
E. (1, 3) dan (-1, 3)
19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di
titik (9, 2) adalah ....
A. 4x - y + 21 = 0
B.
9x - 2y - 34 = 0
C.
4x - y - 34 = 0
D.
9x - 2y + 21 = 0
E.
4x - y - 28 = 0
20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4)
adalah ....
A. 19x + 11y = 63 dan x – y = -3
B.
19x + 11y = -63 dan x – y = 3
32
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
C.
19x - 11y = 63 dan x + y = -3
D.
19x - 11y = -126 dan x + y = 3
E.
-19x + 11y = 126 dan -x + y = -3
dan fokusnya
21. Persamaan parabola yang berpuncak di
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
22. Koordinat
titik
fokus
parabola
dengan
persamaan
adalah . . .
A.
B.
C.
D.
E.
23. Persamaan elips dengan titik puncak di
dan panjang
latus rectum , berbentuk . . . .
A.
33
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
B.
C.
D.
E.
24. Koordinat
titik
pusat
elips
dengan
persamaan
dengan
persamaan
adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
25. Panjang
sumbu
minor
elips
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
34
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
DAFTAR PUSTAKA
Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk
SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega
Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program
Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama
Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program
Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga
Teguh, Mega. 2004.
Modul
Irisan
Kerucut. Departemen
Pendidikan Nasional
35
Marcoes
XI MIA Peminatan
SMA Santa Angela Bandung
36
Marcoes
XI MIA Peminatan