BAB 3 IRISAN KERUCUT

febriantoni79.blogspot.com

IRISAN KERUCUT
A
h
B

C

DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk

NAMA SISWA

: ……………………

KELAS

: ……………………

SEKOLAH

: ……………………

febriantoni79.blogspot.com

STANDAR KOMPETENSI 1
Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah
Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep lingkaran
A. Persamaan Lingkaran
1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
2) Bentuk umum persamaan lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat (– ½ A, –½B) dan jari-jari: r =

( 1 A ) 2  ( 1 B) 2  C
2

2

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

r

ax1  by1  c
a 2  b2

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran
a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2
x x1 + y y1 = r2
b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0
2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:
1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)
2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka
akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran.
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui
2
2
2
 Garis singgung lingkaran (x – a) + (y – b) = r dengan gradien m
y – b = m(x – a)  r m 2  1
latihan:
1. Persamaan garis singgung lingkaran
2. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah
x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah
…
…

febriantoni79.blogspot.com
3. Persamaan garis singgung lingkaran
(x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis
y – 2x + 5 = 0 adalah …

4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

(x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan garis
y – 7x + 5 = 0 adalah …

5. Lingkaran (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memotong 6. Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3)
garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang
pada lingkaran x2 + y2 = 13 adalah …
melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut
adalah …

7. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik
P(7, –5) adalah…

8. Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3)
adalah…

febriantoni79.blogspot.com

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep parabola

Persamaan Parabola
Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0)
Perhatikan gambar berikut ini !
d

Y

A

P(x,y)

L2

Q
B

O

F(p,0)

x = -p

L1

X

Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p,0) adalah :
y2 = 4px

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :
y2 = -4px

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah :
x2 = 4py

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :
x2 = -4py

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola
- Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola
- Garis x = -p adalah garis direktriks
- Sumbu X adalah sumbu simetri
- L1L2 adalah lactus rectum = 4p
Persamaan parabola yang berpuncak di titik (, ) adalah :
(y - )2 = 4p(x - )

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah :
(y - )2 = -4p(x - )

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke atas persamaannya adalah :
2

(x - ) = 4p(y - )

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah :
2

(x - ) = -4p(y - )

febriantoni79.blogspot.com
Keterangan :
-

titik puncak P(, )
titik fokus F( + p, )
persamaan direktriks : x =  - p
persamaan sumbu simetri : y = 

Latihan:
1. Tentukan koordinat titik fokus, persamaan 2. Tentukan koordinat titik fokus, persamaan
sumbu simetri , persamaan direktriks, dan
sumbu simetri , persamaan direktriks, dan
panjang latus rectum parabola y2 = 8x
panjang latus rectum parabola x2 = 8y

3. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak 4. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak
di O(0,0) dengan titik fokus di F(-3, 0)
di O(0,0) dengan titik fokus di F(0, 3)

5. Diketahui parabola dengan persamaan (y + 2)2 6. Suatu parabola dengan persamaan x2 - 2x + 2y
= 4(x – 1). Tentukan:
- 5 = 0.
a. koordinat titik puncak
Tentukan: a. koordinat titik puncak
b. koordinat titik fokus
b. koordinat titik fokus
c. peramaan direktriks
c. peramaan direktriks
d. persamaan sumbu simetri
d. persamaan sumbu simetri

7. Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 5x2 8. Persamaan sumbu simetri dari parabola ( y – 5
– 10x + 3 adalah ....
)2 = 12( x – 6 ) adalah....

febriantoni79.blogspot.com

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep ellips

1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)
Perhatikan gambar di bawah ini !
Y

P(x,y)

F2

O

F1

fF

d1

X
d2

Persamaan Elips dengan Pusat di O(0,0) adalah :

x2 y2
 2  1 atau b2x2 + a2y2 = a2b2
2
a
b
Keterangan :
-

Pusat O(0,0)
Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0)
Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2 = b2 + c2
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu transversal.
Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan.
Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b

a2
c
c
- Eksentrisitas : e =
a
2
2
x
y
 2  1 merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan
2
b
a
-

Direktriks : x = 

sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.
2. Persamaan Elips dengan Pusat (α,β)

(x  α )2 ( y  β )2

1
a2
b2

Keterangan:
- Pusat (, )
- Puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )
- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )
- Sumbu simetri x =  dan y = 
- Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b
- Direktriks : x = 

a2
α
c

- Eksentrisitas : e =

c
a

(x  α )2 ( y  β )2

 1 merupakan persamaan elips dengan pusat (, ) yang sumbu
b2
a2
panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

febriantoni79.blogspot.com
Latihan :
1. Diketahui
2

elips

dengan

persamaan 2. Diketahui

x
y

 1.
16 9
Tentukan :
a) Koordinat titik puncak
b)Persamaan direktriks
c) Koordinat titik fokus
d)Nilai eksentrisitas
e) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor

elips

dengan

( x  2)
( y  1)

 1.
25
16
2

2

persamaan

2

Tentukan :
a) Koordinat titik pusat
b)Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c) Koordinat titik puncak
d)Persamaan direktriks
e) Koordinat titik fokus
Nilai eksentrisitas

3. Koordinat titik fokus dari ellips dengan 4. Koordinat titik pusat dari ellips dengan
persamaan

x2 y2

 1 adalah ....
9 25

persamaan

( x  1) 2 ( y  5) 2

 1 adalah ....
9
16

5. Panjang sumbu mayor dari ellips dengan 6. Panjang sumbu minor dari ellips dengan
persamaan

7. Panjang

( x  1) 2 ( y  5) 2

 1 adalah ....
9
16

lactus

rectum

( x  1) 2 ( y  5) 2

 1 adalah ....
16
25

dengan 8. Persamaan ellips yang berpusat di ( 0, 0 ),
dengan panjang sumbu mayor dan minor
( x  1)
( y  5)
persamaan

 1 adalah .....
berturut – turut adalah 10 dan 6 adalah ....
2

36

dariellips

persamaan

2

27

febriantoni79.blogspot.com

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep hiperbola

Persamaan Hiperbola
1.

Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)
Perhatikan gambar berikut ini !
g2 Y g1
P

X
F2(-c, 0)

A2 O

A1 F1(c, 0)

Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0) adalah :

x2 y2

 1 atau b2x2 - a2y2 = a2b2
a2 b2
Keterangan :
i. Pusat O(0,0)
ii. Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2 = a2 + b2
iii. Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a
iv. Persamaan direktriks : x = 
v. Persamaan asymtot ; y = 

a2
c

b
x
a

y2 x2

 1 merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada
a2 b2
sumbu Y.
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat (α,β )

(x  α )2 ( y  β )2

1
a2
b2

Keterangan:
- Pusat (, )
- Titik puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )
- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )
- Sumbu utama y =  dan sumbu sekawan x = 
- Direktriks : x = 

a2
α
c

- Eksentrisitas : e =

c
a

- Asymtot : (y - ) = 

b
(x - )
a

( y  β )2 (x  α )2

 1 merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (, ) dan sumbu utama
a2
b2
sejajar sumbu Y.

febriantoni79.blogspot.com
Latihan:
1. Suatu
2

hiperbola

dengan

persamaan

2

x
y

 1.
16 9
Tentukan :
a) Koordinat puncak
b) Persamaan garis direktriks
c) Koordinat titik fokus
d) Persamaan garis asymtot
e) Nilai eksentrisitas

2. Diketahui hiperbola :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

( x  2) 2 ( y  1) 2

1
16
9

Titik pusat
Titik fokus
Titik puncak
Eksentrisitas
Persamaan sumbu utama dan sekawan
Persamaan direktriks
Persamaan asymtot

3. Salah satu persamaan asimtot dari hiperbola
4x2 – 9y2 = 56 adalah....

4. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 4x2 –
9y2 + 16x + 18y + 43 = 0 adalah ....

5. Persamaan hiperbola yang memiliki fokus di
( 5, 0 ) dan ( – 5, 0 ) dan puncak ( 4, 0 ) dan (
– 4, 0 ) adalah ....

6. Persamaan hiperbola yang memiliki fokus di
( 0, – 17 ) dan ( – 17, 0 ) dan puncak ( 8, 0 )
dan ( – 8, 0 ) adalah ....

7. Persamaan garis singgung hiperbola 9x2 –
16y2 = 144 di titik berordinat 3 adalah....

8. Persamaan garis singgung dari hiperbola

( x  2) 2 ( y  3) 2

1
20
16

dengan

garis singgung – 2 adalah ....

gradien