STK 203 TEORI STATISTIKA I

  

STK 203

TEORI STATISTIKA I

  

II. PEUBAH ACAK DISKRET

  

II. Peubah Acak Diskret

¹ PEUBAH ACAK DISKRET Definisi 2.1. (Peubah Acak) : Peubah Acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh

anggota ruang contoh S ke himpunan bilangan nyata R; Y : S Æ R.

  Ilustrasi 2.1. : Perhatikan pelemparan dua buah koin, maka ruang contohnya adalah S = {(M M ), (M B ), (B M ), (B B )}. Jika Y adalah _{1 2 1 2 1}

₂

_{1 2}

banyaknya sisi M yang muncul dari pelemparan dua koin, maka

nilai peubah acak Y yang mungkin diperoleh dapat digambarkan

sebagai berikut:

  M M ●

  1

  2

  2 M B ●

  1

  2

  1 B M ●

  1

  2 B B

  ●

  1 _{S Y R}

  2

  Peubah Acak

  Ilustrasi 2.2. : Perhatikan pelemparan 3 buah koin yang setimbang.

  A = kejadian ke-i, i=1, 2, …, 8. Y = banyaknya sisi muka

  i

  yang muncul

  P(A ) A Y = y P(Y=y) _{i i} 1/8 M M M _{1 2 3} ● 1/8 M M B _{1 2 3 ●}

  3 1/8 1/8 M B M _{1 2 3} ●

  2 3/8 1/8 B M M _{1 2 3} ● 1/8 M B B _{1 2 3} ●

  1 3/8 1/8 B M B _{1 2 3} ● 1/8

  1/8 B B M _{1 2 3} ● 1/8 B B B _{1 2 3} ●

  S Y R _{II. Peubah Acak Diskret 3} Fungsi Peluang Kumulatif Definisi 2.2. (Fungsi Peluang Kumulatif) : Fungsi peluang kumulatif dari peubah acak Y adalah F (y) = P(Y ≤ y), untuk -∞ < y < ∞.

  Y

  Ilustrasi 2.3. : Jika peubah acak Y = banyaknya sisi M yang muncul dari dua koin yang setimbang, maka F (y) = P(Y ≤ y) = ???

  Y

  Peubah Acak Diskret

  Definisi 2.3. (Peubah Acak Diskret) : Peubah acak Y disebut diskret, jika ruang contoh S dari peubah acak itu tercacah (berkorespondensi 1-ke-1 dengan himpunan bilangan bulat positif).

  Dengan demikian, jika peubah acak Y diskret, maka banyaknya nilai y dari peubah acak Y yang bersifat P(Y = y) > 0 dapat dicacah (1 atau lebih).

II. Peubah Acak Diskret

  ⁵ Ilustrasi 2.4. :

  Perhatikan pelemparan sebuah dadu sisi enam berkali- kali. Kemudian kita perhatikan dua peubah acak sbb. (i) X = mata dadu yang muncul pada lemparan pertama (ii) Y = banyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul mata dadu enam Maka ruang contoh untuk masing-masing peubah acak X dan Y adalah : (i) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan

  X

  (ii) S = {1, 2, 3, …}

  Y Ilustrasi 2.5. : Pada ilustrasi pelemparan 3 koin (ilustrasi 2.2.), maka P(Y = y) = f (y) dan F (y) dapat ditulis :

  Y Y 0, y <

    1/8, y = 0, 3 1/8, ≤ y <

  1    P(Y = y ) = 3/8, y = 1,

  

2 F (y) = 4/8,

1 ≤ y <

  2 Y     0, y lainnya 7/8,

  2 ≤ y <

  3    1, y ≥

  3 

  Definisi 2.4. (Fungsi Massa Peluang) : Fungsi massa peluang (fmp) peubah acak Y adalah f (y) =

  Y

  P(Y = y), untuk - ∞ < y < ∞ _{II. Peubah Acak Diskret 7} Jika F (y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah

  Y

  acak diskret, maka berlaku : 1. 0 ≤ F (y) ≤ 1, untuk -∞ < y < ∞

  Y

  2. F (y) merupakan fungsi tak-turun (tidak pernah turun)

  Y

  3. lim F (y) = 0, dan lim F (y) = 1

  y Æ- Y y Æ Y ∞ ∞

  4. F (y) merupakan fungsi tangga (step function) dan

  Y ≤

  loncatan (jump) pada setiap step y adalah nilai peluang Y pada titik tersebut, f (y) = P(Y = y)

  Y

II. Peubah Acak Diskret

  Y (y) =

  4 f(y) 4/10 1/10 3/10 2/10

Maka E(Y) = 1(4/10) + 2(1/10) + 3(3/10) + 4(2/10) = 23/10 = 2.3

Nilai Harapan Peubah Acak Diskret

  3

  2

  1

  Misal Y adalah suatu peubah acak diskret yang memiliki fmp : y

  Y (y) Ilustrasi 2.7. :

  ∑ y y P

  ∑ y y P(Y = y) =

  ⁹ Ilustrasi 2.6. :

  Pada ilustrasi pelemparan 3 koin (ilustrasi 2.2.), maka F

  

1

7/8

4/8

1/8

  0 1 2 3

  0, y (y) F Y

  2 7/8, 2 y 1 4/8, 1/8, 1 y

  < = 1, 3 y 3 y

  ≥ < ≤ < ≤ < ≤

         

  (y) adalah

  Y

  Nilai harapan suatu peubah acak Y adalah : E(Y) = ∑ y y f

  Definisi 2.5. (Nilai Harapan) Nilai harapan untuk peubah acak diskret Y adalah

  ∑ E(Y) = y. f (y)

  {y|f(y)>0} Y

  Dengan demikian nilai harapan dari g(Y), suatu fungsi peubah acak dari Y, adalah E([g(Y)]) = ∑ g(y). f (y)

  {y|f(y)>0} Y

  Nilai harapan dari peubah acak Y atau E(Y) disebut juga nilai tengah dari Y dengan simbol µ atau µ , sehingga

  Y

  E(Y) = µ = µ

  Y _{II. Peubah Acak Diskret 11} Ilustrasi 2.8. : Diberikan suatu fmp peubah acak diskret sbb y lainnya

  Nilai harapan dari Y adalah

2 E[g(Y)] untuk g(Y) = Y – 2Y + 2 ?

  Ilustrasi 2.8. : Diberikan suatu fmp peubah acak diskret sbb _{2 Y} y lainnya Jika u (Y) = Y dan u (Y) = e , maka : _{1 2} II. Peubah Acak Diskret ¹³ Ilustrasi 2.8. :

  Diberikan suatu fmp peubah acak diskret sbb _{2 Y} y lainnya Jika g (Y) = Y dan g (Y) = e , maka : _{1 2}

  Perhatikan Y suatu peubah acak diskret dengan fmp f (Y)

  Y

  dan g (Y), i = 1, 2, 3, …, k adalah fungsi dari peubah acak

  j

  Y serta c , c , …, c adalah suatu konstanta, maka:

  1 2 k E[ c g (Y)] = E[c g (Y)] = c E[g (Y)] i i i i i i ∀i ∀i ∀i

  a. Jika k = 1, c = c dan g (Y) = 1,

  i i

  maka E[ Σ c g (Y)] = E(c) = c

  i i ∀i

  b. Jika k = 1, c = c dan g (Y) = g(Y),

  i i

  maka E[ Σ c g (Y)] = E[c g(Y)] = c E[g(Y)]

  i i ∀i

II. Peubah Acak Diskret

  ¹⁵ Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f (y) dan Y

  {y|f (y) > 0} = {a , a , a , …} maka akan berlaku

  Y

  1

  2

3 E(Y) = a f(a ) + a f(a ) + a f(a ) + …

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  yang tidak lain adalah rataan aritmetik atau nilai tengah peubah acak Y.

  Dengan demikian nilai tengah µ dari suatu peubah acak Y,

  Y jika ada, adalah µ = E(Y). Y Ragam suatu peubah acak

₂

Perhatikan untuk X = g(Y) = (Y - µ ) _Y

  2

  2

  σ Y = E[(Y - µ ) ]

  Y E(X) = E[g(Y)]

  2

  2

  µ µ

• = E[Y – 2Y ]

  Y Y = ∑ g(y) f(y) _y

  2

  2

  µ µ = E(Y ) - 2 E(Y) +

  Y Y = (y - ) f(y) ∑ µ

  2

  2

  2

  µ µ ^y = E(Y ) - 2 + _{2 2} Y Y

  = (y ) f(y)+ (y ) f(y)+ … - -

  2

  2 ₁ µ µ ₂

  µ = E(Y ) - ₂ Y adalah ragam Y, .

  σ _Y Definisi 2.9. (Ragam)

  2 Jika E(Y) = µ dan g(Y) = (Y - µ ) , Y Y

  maka ragam dari peubah acak Y adalah Var(Y) = E[g(Y)]

  2

  = E[(Y - µ ) ]

  Y

  2

  = σ

  Y

_{II. Peubah Acak Diskret}

₁₇ Momen suatu peubah acak

  Definisi 2.10. Momen

  k

  Momen ke-k dari suatu peubah acak Y adalah µ = E(Y )

  k

  untuk k = 1, 2, 3, … Ilustrasi 2.9.

  µ = E(Y)

  1

  2

  µ = E(Y )

  2

  2

  2

  2

  µ µ Var(Y) = E(Y ) – E(Y) = – ( )

  2

  

1

  (FPM) Fungsi pembangkit momen

tY

  Perhatikan untuk X = g(Y) = e E(X) = E[g(Y)] = ∑ g(y) f(y)

  y tY

  = ∑ e f(y)

  y

  adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan m (t).

  Y

  Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak. _{II. Peubah Acak Diskret 19} Dengan demikian suatu peubah acak Y dapat dicirikan dalam tiga bentuk :

  1. Fungsi sebaran, F (y)

  Y

  2. Fungsi kepekatan atau fungsi massa peluang, f (y)

  Y

  3. Fungsi pembangkit momen, m (t)

  Y

II. Peubah Acak Diskret

  ²¹ Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm Ilustrasi 2.10.

  2 Secara sederhana kita bisa memperoleh E(Y) = 2/3, E(Y ) = 1 dan Var(Y) = 5/9.

  Sekarang kita akan menentukan E(Y) dan Var(Y) melalui fpm.

II. Peubah Acak Diskret

  ²³ Pertidaksamaan Chebysev

  Ide : ingin menentukan batas bawah atau batas atas nilai peluang.

  Teorema: Misal g(Y) adalah fungsi non-negatif dari suatu peubah acak Y. Jika E(g(Y)) ada, maka untuk setiap konstanta positif c berlaku P[g(Y) ≥ c] ≤ E[g(Y)]/c.

  Teorema (pertidaksamaan Chebysev): Misal Y adalah peubah acak yang mempunyai sebaran

  2

  σ µ, maka untuk peluang dengan ragam dan nilai tengah setiap k > 0 akan berlaku

  2

  µ|≥ kσ) ≤ 1/k P(|Y -

  ²⁵ Ilustrasi Pertidaksamaan Chebysev

  Ide : ingin menentukan batas bawah atau batas atas suatu peluang.

  P(|Y - µ | ≥ k

  σ )

  ≤ 1/k

  2 Y ~ Binomial (n, p) Apakah P _Y (y) suatu fungsi peluang ?

Untuk hal ini dapat diperlihatkan melalui “binomial expansion” sebagai

berikut: untuk a > 0, b > 0.

II. Peubah Acak Diskret

• y n y y n n

  Ambil a = p, b = 1 – p dan 0 < p < 1, maka y lainnya

  ( )

  ∑ n = y

  C b a = b + a Y ~ Binomial (n, p) Fmp, nilai harapan, dan ragam Fmp :

  ; sedangkan q = 1 - p Turunan pertama dari fmp : Sehingga nilai harapannya adalah :

II. Peubah Acak Diskret

  ²⁷ Y ~ Binomial (n, p) Fmp, nilai harapan, dan ragam Turunan kedua dari fmp :

2 Dengan demikian E(Y ) adalah :

  dan ragamnya adalah : Y ~ Geometrik (p) y lainnya ; sedangkan 0 < p < 1 Apakah P (y) suatu fungsi peluang ? Hal ini dapat diperlihatkan sbb. _Y

  Fungsi pembangkit momen Y (bukti sebagai latihan)

II. Peubah Acak Diskret

  ²⁹ Y ~ Geometrik (p) nilai harapan dan ragam Turunan pertama dari fmp :

  Sehingga nilai harapannya adalah : Dengan cara yang sama kita akan peroleh : Y ~ Poisson ( λ) y lainnya Apakah P (y) suatu fungsi peluang ? Hal ini dapat diperlihatkan sbb. _Y

  Fungsi pembangkit momen :

II. Peubah Acak Diskret

  ³¹ Y ~ Poisson ( λ) nilai harapan dan ragam Turunan pertama dari fmp :

  Sehingga nilai harapannya adalah : Dengan cara yang sama kita akan peroleh : Tentukan fungsi pembangkit momen, nilai harapan dan ragamnya dengan menggunakan fmp.

  Y ~ Hipergeometri Y ~ Binomial Negatif

II. Peubah Acak Diskret

  ³³