METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Ajeng Retnojiwati
NIM : 013114013
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya.”
(Mat ius 21:22)
Terimakasih Tuhan Yesus
Engkau bantu aku melewati satu pergumulan lagi dalam hidup
Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria
Bapak, Ibu, Mas Purwiyadi, Mas
Sugeng, simbah dan keluargaku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Untuk menyelesaikan masalah program linear, selain dengan metode grafik
atau metode simpleks dapat juga diselesaikan dengan metode titik-dalam. Salah satu
kelas dalam metode titik-dalam adalah metode primal affine-skaling. Untuk
menentukan penyelesaian masalah program linear dengan metode primal affineskaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu x k dari suatu daerah layak di
ruang penyelesaian awal. Kemudian x k ditransformasi oleh transformasi affineskaling, yaitu Tk sedemikian sehingga hasil transformasi x k diposisikan dekat
dengan pusat di ruang penyelesaian hasil transformasi ini. Hasil transformasi x k
sebut saja y k . Langkah selanjutnya, dari y k dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu
y k +1 yang menggerakkan nilai f sampai f optimum dicapai sesuai dengan alur
iterasi
y k +1 = y k + α k d ky , dengan d ky adalah arah layak turun tercuram (steepest
descent) yang menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan α k adalah
besarnya langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik
optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di ruang
penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi invers, yaitu
Tk−1 . Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Linear programming problems not only can be solved with graphic method
or simplex method, but also it can be solved with interior-point method. One of the
classes of the interior-point method is primal affine-scaling method. To find the
solution of linear programming using primal affine-scaling method, we should start
by selecting the interior-point solution , namely x k from inside feasible region in
original solution space.
Then, x k is transformed with an affine-scaling
transformation, which is called Tk , so that the selected interior-point solution is
placed near the transformed feasible region. The image of x k called y k . Then,
from y k we move to another interior-point y k +1 , which improves the value of
objective function f , in accordance to the iteration y k +1 = y k + α k d ky . Here, d ky is
the direction of steepest descent that causes the fastest rate of decrease in the
objective function. While α k is the step-length which gives how far the direction can
move to the optimum point but it still remains in the feasible region. The solution,
which is found in the solution space, is transformed back with inverse transformation,
−1
called Tk . This process will be repeated until we obtain an optimum solution with
the desired accuracy.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan
perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini
disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh
perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik
kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing dan selaku Ketua
Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik dan dosen penguji yang
telah memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah
memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.
4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran
dan kritik dalam skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik
penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat
fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan
dan fasilitas yang telah diberikan.
7. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Very, Upik, Yuli, Dani, Tabita,
Fanya, Andre, Indah, Ariel, Agnes, Erika, Wiwit, Deta, Maria, Rita, Alam,
Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April, Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999,
2000 dan adik-adik angkatan 2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan
mendukung penulis.
8. Dhe-dhe dan keluarga yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
9. Tien, Mei, Bayu, Helbin, Sinta, Heni, Henri, Mbak uci dan keluarga, mbak Novi,
Murni, Rini ikom, teman-teman Gloria Graha dan temen-temen radio masdha,
yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak
langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat
membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menjadi referensi bagi pembaca.
Yogyakarta, 7 Februari 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL …………………………………………….…………..….
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………….…………………..
ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………..
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………….…..……
iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………….…………….….
v
ABSTRAK ……………………………………………….………………….…..
vi
ABSTRACT ………………………………………………….………………....
vii
KATA PENGANTAR …………………………………….……………….……
viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………….……….…..
x
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………..…
xiii
TABEL …………………………………………………………………………
xiii
BAB I
PENDAHULUAN ……………………………………………..…...
1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………….….
1
B. Rumusan Masalah …………………………………….…...……
3
C. Pembatasan Masalah …………………………….…………...….
4
D. Tujuan Penulisan …………………………………………….…..
4
E. Manfaat Penulisan …….................................................................
4
F. Metode Penulisan ……………………………..…………..……..
5
G. Sistematika Penulisan ……………………….…………………..
5
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR …………………………………………………………….
6
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ……………...………….
6
B. Ruang Vektor ………………………………………..……….…
10
1. Ruang Vektor ……………..…..…………………..………...
10
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas ….................................
22
3. Transformasi Linear ……………………………….………… 31
BAB III
C. Masalah Program Linear …………………………………...…. .
32
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear …………………..
32
2. Dualitas ……………………………………………………. .
37
D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear ………………..……
40
1. Optimisasi …………………………………………………..
40
2. Kelayakan ……………………………………………...…....
41
E. Metode Arah Layak ………………………………………...…...
42
F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent) ………….....
44
METODE PRIMAL AFFINE-SKALING ……………………..….
45
A. Metode Primal Affine-Skaling …………………………..…….
46
1. Transformasi Affine-Skaling ……………………………....
49
2. Menentukan Arah Layak ………………………………..…
61
a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil
Transformasi ……………………………………………….
61
b. Menentukan Arah Layak ……………………………..……
66
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram .....
70
3. Menentukan Besar Langkah α k ……………..………...……
74
B. Algoritma Primal Affine-Skaling ………………………...…..…
83
C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan
BAB IV
Masalah Program Linear Dengan Program Matlab ……….....…
87
PENUTUP ...................................................................................…..
99
A. Kesimpulan ……………....................................................……..
99
B. Saran ………………………………………………………...…
100
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………….
101
LAMPIRAN …………………………………………………………………..
102
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Metode titik-dalam vs metode simpleks …………………………..
2
Gambar 2.1 c = x + y ……………………………………………………….….
28
Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling ………………….…………...……
50
Gambar 3.2 Titik-dalam x k ditransformasikan oleh Tk ke posisi e ……….....
54
Gambar 3.3 Sifat-sifat dari transformasi affine-skaling ……………………….
59
Gambar 3.4 Daerah layak soal A ………………………………………………
65
Gambar 3.5 Daerah layak soal B …………………………………………...….
66
Gambar 3.6 Proyeksi − c k ke ruang nol A k …………………………………..
71
Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine skaling ……...
94
Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi
oleh transformasi affine skaling …………………………………..
95
TABEL
Halaman
Tabel 1 Hasil iterasi contoh 3.4
Tabel 2 Hasil iter5asi contoh 3.5
…………………………………..………….
103
……………………………………………. 104
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Masalah program linear adalah suatu masalah penyelesaian sistem persamaan linear. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan cara metode
grafik atau metode simpleks. Pada metode grafik penyelesaiannya khusus dikerjakan hanya untuk dua variabel saja, sehingga apabila memuat lebih dari dua variabel akan sulit menyelesaikannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program
linear jarang yang hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik mempermudahkan orang dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam masalah program linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat
dua atau lebih variabel dapat digunakan metode simpleks.
Ada metode lain yaitu metode titik-dalam yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah program linear yang memuat dua atau lebih variabel.
Perbedaan proses penyelesaian antara metode simpleks dan metode titikdalam, yaitu pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau
setiap titik-titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum.
Sedangkan pada metode titik-dalam dengan meninjau titik-titik yang berada dalam
daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sehingga apabila program linear memuat masalah yang kompleks maka proses penyelesaian yang dilakukan dengan
metode titik-dalam dapat lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan metode
simpleks. Karena pada metode simpleks apabila program linear memuat masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yang kompleks maka program linear tersebut juga akan memiliki banyak titik batas. Sehingga dibutuhkan proses lebih panjang dibandingkan dengan metode titikdalam untuk mencapai titik optimum.
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 1.1 berikut:
Langkah-langkah
Metode Simpleks
x k +1
xk
Langkah-langkah
metode titik-dalam
Gambar 1.1
Metode Titik-dalam vs Metode Simpleks
Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-dalam, yaitu
a. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik yang
ditentukan dari tiap iterasi.
b. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak
yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Metode titik-dalam dibagi menjadi empat kelas utama, yaitu metode affine-skaling (affine-scaling method), metode proyektif (projective method) atau
lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following (path-following
method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction method).
Dalam tulisan ini hanya akan dibahas metode affine-skaling. Metode affine-skaling adalah salah satu metode titik-dalam yang paling sederhana diantara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
semua metode titik-dalam. Disebut metode affine-skaling karena transformasi
yang digunakan adalah transformasi affine-skaling. Metode affine-skaling yang
akan digunakan dibatasi hanya untuk masalah primal program linear yang
meminimumkan fungsi sasaran.
Sehingga metode ini disebut juga sebagai me-
tode primal affine-skaling.
Ide dasar metode primal affine-skaling yaitu dimulai dengan memilih
suatu titik-dalam awal didalam daerah layak. Kemudian titik dalam yang dipilih
ditransformasi oleh transformasi affine-skaling sedemikian sehingga hasil
transformasi titik-dalam yang dipilih diposisikan dekat dengan pusat di ruang
penyelesaian hasil transformasi.
Hasil transformasi
titik-dalam yang dipilih
dijalankan ke suatu titik-dalam lain dengan arah layak dan besar langkah yang
sesuai. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasi
kembali dengan transformasi invers yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga
penyelesaian optimum dicapai.
Selain dibahas metode primal affine-skaling
juga akan dibahas
aplikasinya dengan menggunakan program matlab untuk menyelesaikan masalah
program linear.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dibuat rumusan sebagai berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan
metode primal affine-skaling?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana aplikasi dari metode primal affine-skaling dengan menggunakan program matlab?
C. PEMBATASAN MASALAH
1. Penulis hanya akan membahas masalah dalam bentuk meminimumkan, sehingga masalah memaksimumkan harus diubah dalam bentuk meminimumkan, yaitu negatif dari maksimum fungsinya.
2. Metode yang digunakan adalah metode primal affine-skaling.
3. Transformasi yang digunakan adalah transformasi affine-skaling.
4. Daerah layak dari soal program linear adalah terbatas dan tidak kosong.
5. Hanya memuat variabel kurang dari atau sama dengan 10 ( n ≤ 10 ).
D. TUJUAN PENULISAN
Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan untuk menunjukkan langkah-langkah metode primal affine-skaling untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat n ≤ 10 dan dapat dipertanggungjawabkan langkah demi langkah.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah memberikan tambahan referensi
dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine skaling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah penelitian kepustakaan,
yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
Penulisan skripsi ini menggunakan sistematika sebagai berikut:
Bab I
PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan metode penulisan.
Bab II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR
Bab ini berisi tentang dasar teori yang berkaitan dan digunakan dalam
metode primal affine-skaling, yaitu mengenai sistem persamaan linear
dan matriks, ruang vektor, masalah program linear, optimisasi fungsi
untuk persoalan linear, metode arah layak dan metode arah turun
tercuram.
Bab III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
Bab ini membahas tentang langkah-langkah metode primal affine-skaling
dan aplikasinya menggunakan program matlab.
Bab IV PENUTUP
Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil
pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang melandasi bab berikutnya. Definisi, teorema serta konsep-konsep mengacu pada daftar pustaka.
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Definisi 2.1 Persamaan Linear
Persamaan linear dalam n variabel x1 , x 2 ,L , x n adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
a1 x1 + a 2 x 2 + L + a n x n = b
(2.1)
dengan a1 , a 2 , K, a n dan b adalah konstanta real dan a1 , a 2 , K, a n tidak semua
sama dengan nol.
Definisi 2.2 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear m × n adalah himpunan m persamaan linear
dengan n variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
⎪a x + a x + L + a x = b
⎪ 21 1
2n n
2
22 2
⎨
O
M
⎪ M
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
(2.2)
dengan ai1 , ai 2 , K, ain dan bi adalah konstanta real dan ai1 , ai 2 , K, ain tidak semua
sama dengan nol, untuk i = 1,2,K, m .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Dalam
sistem
persamaan
linear
m×n ,
dapat
terjadi
m = n, m > n atau m < n . Apabila x1 = t1 , x 2 = t 2 , L, x n = t n dimana t1 , t 2 ,K , t n
adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua persamaan linear dalam
sistem (2.2), maka pasangan terurut (t1 , t 2 ,K , t n ) disebut penyelesaian atau
jawab dari sistem persamaan linear (2.2).
Definisi 2.3 Konsisten dan Tidak Konsisten
1. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut
mempunyai penyelesaian.
2. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Sistem yang konsisten dapat mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai
banyak penyelesaian.
Sistem persamaan linear (2.2) di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut:
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
L a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎢ b2 ⎥⎥
=
O M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
L a mn ⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣bm ⎦
(2.3)
Atau lebih singkat ditulis Ax = b , dimana A = (aij ) yaitu matriks koefisien,
x = (x j ) dan b = (b i ) , untuk i = 1,K, m dan j = 1,L, n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika
konstanta bi = 0 , untuk setiap i = 1,2,..., m . Sistem persamaan linear homogen
mempunyai bentuk umum:
⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0
⎪a x + a x + L + a x = 0
⎪ 21 1
22 2
2n n
⎨
O
M
⎪ M
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0
Sistem
persamaan
linear
homogen
(2.4)
selalu
konsisten
karena
x1 = 0, x 2 = 0, ..., x n = 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini disebut
penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut
penyelesian nontrivial.
Definisi 2.5 Matriks Lengkap
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear (2.2) adalah
⎡a11 a12 L a1n
⎢a a L a
2n
⎢ 21 22
⎢ M
O M
⎢
⎣a m1 a m 2 L a mn
b1 ⎤
b2 ⎥⎥
M ⎥
⎥
bm ⎦
Definisi 2.6 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke- i dan
ke- j , dengan notasi Ri ↔ R j .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke- i
dengan bilangan c, c ≠ 0 , dengan notasi cRi .
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain, yakni mengganti baris ke- i ditambah c kali baris ke- j , dengan notasi Ri + cR j .
Definisi 2.7 Matriks Ekivalen Baris
Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat matriks elementer E1 , E 2 ,..., E k sehingga B = E k E k −1 ...E1 A atau A = E1−1E 2−1 ...E −k 1B .
Dengan operasi baris elementer, matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear harus diubah menjadi suatu matriks dari sistem persamaan linear
yang mudah dicari jawabnya, yakni dengan matriks eselon.
Definisi 2.8 Matriks Eselon
Matriks E disebut matriks eselon jika memenuhi dua sifat berikut:
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang
memuat elemen tak nol.
2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak
nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari
baris sebelumnya.
Matriks eselon ini disebut juga matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama
dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks
eselon mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
B. Ruang Vektor
1. Ruang Vektor
Definisi 2.9 Ruang Vektor
Ruang Vektor atas lapangan F adalah himpunan tidak kosong V yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar sedemikian
sehingga ∀ x, y , z ∈ V dan ∀ α , β ∈ F memenuhi syarat - syarat berikut:
a. x + y ∈ V
b. x + y = y + x
(sifat komutatif)
c. x + (y + z ) = (x + y ) + z
(sifat asosiatif)
d. Terdapat elemen 0 ∈ V , ∀ x ∈ V , x + 0 = x
(unsur identitas)
e. ∀ x ∈ V ∃ (−x) ∈ V sehingga x + (−x) = 0
(elemen invers)
f. αx ∈ V
g. α (x + y ) = α x + α y
(sifat distributif)
h. (α + β )x = α x + β x
i. 1x = x
j. (α β ) x = α ( β x)
Elemen – elemen di V disebut vektor dan biasanya dinyatakan dengan huruf –
huruf a, b,K, x, y, K . Elemen – elemen di F disebut skalar .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.1
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎢x ⎥
⎢y ⎥
2⎥
⎢
Misalkan x =
dan y = ⎢ 2 ⎥ adalah vektor – vektor di R n . Penjumlahan
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
⎣ yn ⎦
pada R n didefinisikan sebagai berikut:
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x + y ⎥
2⎥
, ∀ x, y ∈ R n
x+ y = ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = ⎢ 2
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn + y n ⎦
(2.5)
dan operasi perkalian dengan skalar α di R didefinisikan sebagai berikut:
⎡ x1 ⎤ ⎡α x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢α x ⎥
α x = α ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ , ∀ x ∈ R n , ∀α ∈ R
⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ x n ⎦ ⎣α x n ⎦
(2.6)
Tunjukkan bahwa R n merupakan ruang vektor.
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ ,
, y=
Misalkan x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
∀ x, y , z ∈ R n , ∀α , β ∈ R
a. Akan ditunjukkan x + y ∈ R n . Sudah jelas (dari persamaan (2.5))
b. Akan ditunjukkan x + y = y + x
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ y1 + x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x + y ⎥ ⎢ y + x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x ⎥
2⎥
2⎥
=⎢ 2
= ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = y + x
x+ y = ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = ⎢ 2
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn + y n ⎦ ⎣ y n + xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
c. Akan ditunjukkan x + (y + z ) = (x + y ) + z
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 + z1 ⎤ ⎡ x1 + ( y1 + z1 ) ⎤ ⎡ ( x1 + y1 ) + z1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢ y + z ⎥ ⎢ x + ( y + z ) ⎥ ⎢( x + y ) + z ⎥
2⎥
2
2 ⎥
2
2⎥
x + (y + z ) = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 2
=⎢ 2
=⎢ 2
⎥
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢
⎢
⎥
M
M
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ x n ⎦ ⎣ y n + z n ⎦ ⎣ x n + ( y n + z n ) ⎦ ⎣( x n + y n ) + z n ⎦
⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ z1 ⎤
⎢x + y ⎥ ⎢z ⎥
2⎥
=⎢ 2
+ ⎢ 2 ⎥ = (x + y ) + z
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ xn + yn ⎦ ⎣ z n ⎦
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
Elemen identitasnya 0 = ⎢ ⎥ sehingga
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 + 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ x + 0 ⎥ ⎢ x ⎥
⎥ = ⎢ 2⎥ = x
x+0 = ⎢ 2⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ 2
⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎣ x n ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ x n + 0 ⎦ ⎣ x n ⎦
e. Akan ditunjukkan mempunyai invers.
⎡ − x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢− x ⎥
⎢x ⎥
Invers dari x = ⎢ 2 ⎥ adalah − x = ⎢ 2 ⎥ sehingga
⎢ M ⎥
⎢M⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣− x n ⎦
⎣ xn ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡ − x1 ⎤ ⎡ x1 + (− x1 ) ⎤ ⎡0⎤
⎢ x ⎥ ⎢ − x ⎥ ⎢ x + ( − x ) ⎥ ⎢0 ⎥
2 ⎥
x + ( − x) = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2
=⎢ ⎥=0
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢
⎥ ⎢M⎥
M
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣ − x n ⎦ ⎣ x n + ( − x n ) ⎦ ⎣0 ⎦
f. Akan ditunjukkan α x ∈ R n . Sudah jelas (dari persamaan (2.6))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
g. Akan ditunjukkan α (x + y ) = α x + α y
⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ α x1 + α y1 ⎤ ⎡α x1 ⎤ ⎡α y1 ⎤
⎢ x + y ⎥ ⎢α x + α y ⎥ ⎢α x ⎥ ⎢α y ⎥
2⎥
2⎥
=⎢ 2
= ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ =α x +α y
α (x + y ) = α ⎢ 2
⎢ M ⎥ ⎢
⎥
⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ x n + y n ⎦ ⎣α x n + α y n ⎦ ⎣α x n ⎦ ⎣α y n ⎦
h. Akan ditunjukkan (α + β ) x = α x + β x
⎡ x1 ⎤ ⎡ (α + β ) x1 ⎤ ⎡ α x1
⎢ x ⎥ ⎢(α + β ) x ⎥ ⎢α x
2⎥
=⎢ 2
(α + β ) x = (α + β ) ⎢ 2 ⎥ = ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎥ ⎢
M
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣ x n ⎦ ⎣(α + β ) x n ⎦ ⎣α x n
+ β x1 ⎤ ⎡α x1 ⎤ ⎡ β x1 ⎤
+ β x 2 ⎥⎥ ⎢⎢α x 2 ⎥⎥ ⎢⎢ β x 2 ⎥⎥
=
+
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
+ β x n ⎦ ⎣α x n ⎦ ⎣ β x n ⎦
=αx+β x
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
⎡ x1 ⎤ ⎡1 x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢1 x ⎥ ⎢ x ⎥
1x = 1 ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = x
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣1 x n ⎦ ⎣ x n ⎦
j. Akan ditunjukkan (α β ) x = α ( β x)
⎡ x1 ⎤ ⎡ (α β ) x1 ⎤ ⎡ α ( β x1 ) ⎤
⎡ β x1 ⎤
⎢β x ⎥
⎢ x ⎥ ⎢(α β ) x ⎥ ⎢ α ( β x ) ⎥
2⎥
2⎥
2 ⎥
⎢
⎢
⎢
x
=
=
=
(α β ) = αβ
α ⎢ 2 ⎥ = α ( β x) . ~
⎥ ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎥
⎢ M ⎥
M
M
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣β xn ⎦
⎣ x n ⎦ ⎣(α β ) x n ⎦ ⎣α ( β x n _)⎦
Definisi 2.10 Subruang (Subspaces)
Jika W adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V dan W memenuhi syarat-syat berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
a. untuk x ∈ W dan sebarang skalar α ∈ F maka α x ∈ W
b. untuk x ∈ W dan y ∈ W maka vektor x + y ∈ W
maka W disebut subruang vektor dari V .
Definisi 2.11 Ruang Nol (Null Spaces)
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n . Misalkan N ( A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen A x = 0 . Jadi
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 }
(2.7)
N ( A) disebut sebagai ruang nol.
Contoh 2.2
Tunjukkan bahwa N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } merupakan ruang vektor.
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ ,
, y=
Misalkan x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
a. Akan ditunjukkan Ax + Ay ∈ N ( A)
⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + Ay = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
Jadi Ax + Ay ∈ N ( A)
b. Akan ditunjukkan Ax + Ay = Ay + Ax
∀ x, y, z ∈ R n , ∀α , β ∈ R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + Ay = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 0 + 0 = Ay + Ax
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
c. Akan ditunjukkan Ax + ( Ay + Az ) = ( Ax + Ay ) + Az
⎡ 0 ⎤ ⎛ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎞ ⎛ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎞ ⎡0 ⎤
⎢ 0 ⎥ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎟ ⎜ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎢0 ⎥
⎜
⎟ ⎜
⎟
Ax + ( Ay + Az ) = 0 + (0 + 0) = ⎢ ⎥ + ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ = ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ + ⎢ ⎥
⎢M⎥ ⎢M ⎥
⎢M⎥
⎢M ⎥ ⎢M ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎝ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎠ ⎝ ⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎠ ⎣0 ⎦
= (0 + 0) + 0 = ( Ax + Ay ) + Az
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
Elemen identitasnya 0 = ⎢ ⎥ sehingga
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + 0 = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 = Ax
⎢M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
e. Akan ditunjukkan ada elemen invers
⎡ − 0⎤
⎡0 ⎤
⎢ − 0⎥
⎢0 ⎥
⎥
⎢
adalah − ( Ax) = −0 = ⎢ ⎥ sehingga
Invers dari Ax = 0 =
⎢ M ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ − 0⎦
⎣0 ⎦
⎡0 ⎤ ⎡ − 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢ − 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + (−( Ax)) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣ − 0 ⎦ ⎣0 ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
f. Akan ditunjukkan αAx ∈ N ( A)
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
α Ax = α 0 = α ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 ∈ N ( A)
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
g. Akan ditunjukkan α ( Ax + Ay ) = αAx + αAy
⎛ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎞ ⎡α 0⎤ ⎡α 0⎤
⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎟ α0
α0
⎜ 0
α ( Ax + Ay ) = α (0 + 0) = α ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = αAx + αAy
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎜ 0
⎟
⎝ ⎣ ⎦ ⎣0⎦ ⎠ ⎣α 0⎦ ⎣α 0⎦
h. Akan ditunjukkan (α + β ) Ax = = αAx + βAx
⎡ 0 ⎤ ⎡(α
⎢ 0⎥ ⎢(α
Ax
Ax
α
β
α
β
α
β
( + )
=( + )
= ( + )⎢ ⎥ = ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ 0 ⎦ ⎣(α
+ β ) 0⎤ ⎡α 0⎤ ⎡ β 0⎤
+ β ) 0⎥⎥ ⎢⎢α 0⎥⎥ ⎢⎢ β 0⎥⎥
+
=
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ β ) 0⎦ ⎣α 0⎦ ⎣ β 0⎦
= αAx + βAx
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
1Ax = 1 0 = 1⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 = Ax
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
j. Akan ditunjukkan (αβ ) Ax = α ( βAx)
⎡ β 0⎤
⎡ 0 ⎤ ⎡(αβ ) 0⎤
⎢ ⎥
⎢ 0⎥ ⎢(αβ ) 0⎥
⎥ = α ⎢ β 0⎥ = α ( βAx) . ~
(αβ ) Ax = (αβ ) Ax = (αβ ) ⎢ ⎥ = ⎢
⎢ M ⎥
⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎣ β 0⎦
⎣ 0 ⎦ ⎣(αβ ) 0⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Teorema 2.1
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } merupakan subruang dari R n .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa N ( A) adalah subruang dari R n , yakni
a. Misalkan x ∈ N (A) dan α suatu skalar, maka A(α x) = α ( Ax) = α 0 = 0 .
Jadi α x ∈ N (A) .
b. Misalkan x dan y adalah elemen – elemen dari N ( A) , maka
A(x + y ) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
Jadi x + y ∈ N ( A) .
Dari (a) dan (b) terbukti bahwa N ( A) adalah subruang dari R n . ▄
Definisi 2.12 Kombinasi Linear
Misalkan x1 , x 2 ,K, x n adalah vektor – vektor dalam suatu ruang vektor V atas
lapangan F . Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n
(2.8)
disebut suatu kombinasi linear dari x1 , x 2 , K, x n , dengan skalar α 1 ,K , α n ∈ F .
Definisi 2.13 Merentang (span)
Jika x1 , x 2 , K, x n adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masingmasing vektor pada V
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
x1 , x 2 , K, x n maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor x1 , x 2 , K, x n merentang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
V dan dilambangkan S (x1 , x 2 , K, x n ) .
Teorema 2.2
x1 , x 2 , K , x n
Jika
adalah vektor-vektor dalam ruang vektor
V
maka
S (x1 , x 2 ,K, x n ) adalah subruang dari V .
Bukti:
Misalkan β suatu skalar dan misalkan b = α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n adalah
sebarang elemen dari S (x1 , x 2 , K, x n ) .
Maka β b = ( βα 1 )x1 + ( βα 2 )x 2 + L + ( βα n )x n
Jadi β b ∈ S (x1 , x 2 ,K, x n )
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sebarang jumlah elemen-elemen dari
S (x1 , x 2 ,K, x n ) juga berada dalam S (x1 , x 2 ,K, x n )
Misalkan b = α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n dan c = β 1 x1 + β 2 x 2 + L + β n x n
Maka b + c = (α 1 + β 1 )x1 + (α 2 + β 2 )x 2 + L + (α n + β n )x n
Jadi b + c ∈ S (x1 , x 2 ,K , x n )
Jadi S (x1 , x 2 ,K , x n ) adalah subruang dari V . ▄
Definisi 2.14 Himpunan Perentang
Himpunan {x1 , x 2 , K, x n } disebut himpunan perentang untuk ruang vektor V
jika hanya jika V = S (x1 , x 2 , K , x n ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.3
Misalkan e i adalah vektor dalam R n yang komponen ke- i adalah 1 dan komponen yang lainnya semua sama dengan nol, untuk i = 1,2,K , n . Jadi
⎡0⎤
⎡0 ⎤
⎡1⎤
⎢0⎥
⎢1 ⎥
⎢0 ⎥
e1 = ⎢ ⎥, e 2 = ⎢ ⎥ , L , e n = ⎢ ⎥ .
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
⎣0 ⎦
⎣0 ⎦
Setiap vektor v ∈ R n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vek⎡ v1 ⎤
⎢v ⎥
tor e1 , e 2 ,L, e n tersebut, yaitu jika v = ⎢ 2 ⎥ adalah sebarang vektor dalam R n ,
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣v n ⎦
maka v = v1e1 + v 2 e 2 + L + v n e n . Oleh karena itu {e1 , e 2 ,L, e n } adalah himpunan
perentang untuk R n . ~
Definisi 2.15 Bebas linear (linearly independent)
Vektor – vektor x1 , x 2 , K, x n dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n = 0
(2.9)
mengakibatkan semua skalar – skalar α 1 , K , α n harus sama dengan nol.
Definisi 2.16 Bergantung Linear (linearly dependent)
Vektor – vektor x1 , x 2 , K, x n dalam ruang vektor V disebut bergantung linear
jika terdapat skalar – skalar α 1 , K , α n yang tidak semuanya nol sehingga
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n = 0
(2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.17 Basis
Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F . Himpunan vektor - vektor
{ x1 , x 2 ,.K, x n } membentuk basis untuk ruang vektor V
a.
{ x1 , x 2 ,.K, x n } bebas linear
b.
{ x1 , x 2 ,.K, x n } merentang
jika dan hanya jika
V
Contoh 2.4
Tunjukkan bahwa
{ e1 , e 2 ,K, e n } adalah basis.
Bukti:
Dalam contoh 2.3 telah ditunjukkan bahwa e1 , e 2 , K, e n merentang R n . Bila
⎡ v1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ v ⎥ ⎢0 ⎥
v1e1 + v 2 e 2 + L + v n e n = 0 maka ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ , sehingga v1 = v 2 = L = v n = 0 .
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣v n ⎦ ⎣0 ⎦
Jadi e1 , e 2 ,K, e n bebas linear.
Maka {e1 , e 2 ,K, e n } merupakan basis untuk R n . ~
Basis tersebut disebut basis baku untuk R n
Definisi 2.18 Vektor-Vektor Baris dan Vektor-Vektor Kolom
⎡ a11
⎢a
Misalkan matriks A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
r1 = [a11
a12
a 22
M
am2
a12 L a1n ] , r2 = [a 21
L a1n ⎤
L a 2 n ⎥⎥
. Vektor-vektor dalam R 1×n yaitu
O M ⎥
⎥
L a mn ⎦
a 22 L a 2 n ] , L , rm = [a m1
a m 2 L a mn ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A
dan vektor-vektor dalam R m , yaitu
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎡ a1n ⎤
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
21 ⎥
22 ⎥
⎢
⎢
, k2 =
, L, k n = ⎢ 2n ⎥
k1 =
⎢ M ⎥
⎢ M ⎥
⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣a m1 ⎦
⎣a m 2 ⎦
⎣a mn ⎦
yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A , dinamakan vektor-vektor kolom
dari A .
Definisi 2.19 Ruang Baris dan Ruang kolom
a. Subruang yang direntang oleh m vektor baris matriks A merupakan subruang
dari R 1×n dan disebut ruang baris A .
b. Subruang yang direntang oleh n vektor kolom matriks A merupakan
subruang dari R m dan disebut ruang kolom
A . Ruang kolom A dapat
dinotasikan
{
R ( A) = b ∈ R m b = Ax untuk x ∈ R n
}
Definisi 2.20 Rank Dari Matriks
Rank dari matriks A berukuran m × n ditunjukkan dengan r ( A) . Rank matriks
A penuh jika r ( A) = min {m, n} .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas
Definisi 2.21 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang
menunjuk setiap pasang vektor - vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan
real
x, y yang memenuhi syarat berikut:
a.
x, x ≥ 0, ∀ x ≠ 0 dan x, x = 0 jika hanya jika x = 0 .
b.
x, y = y , x
∀ x, y ∈ V
c. α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ V dan ∀ α , β ∈ R
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali
dalam .
Contoh 2.5
Ruang vektor R n . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
x, y = x T y = [x1
x2
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n . (2.11)
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
adalah hasil kali dalam untuk R n (yang disebut hasil kali dalam baku).
Persamaan (2.11) dapat juga ditulis
n
x, y = x T y = ∑ xi y i
i =1
dengan x T menyatakan transpose matriks x .
(2.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ dalam ruang
, y=
Ambil sebarang vektor x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
vektor R n dan sebarang skalar α , β ∈ R
a. Dibuktikan x, x = x T x ≥ 0
Diketahui
x, x = x T x
x, x = x T x = [x1
x2
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
2
2
2
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 + x 2 + K + x n ≥ 0
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Jadi x, x ≥ 0
(⇒) Diketahui x, x = 0
Untuk x12 + x22 + ... + xn2 = 0 diperoleh x1 = x2 = ....... = xn = 0
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥
jadi x = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣0 ⎦
(⇐) Diketahui x = 0
Dibuktikan x, x = x T x = 0
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
x, x = x T x = 0 T 0 = [0 0 L 0] ⎢ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jadi x T x = 0.0 + 0.0 +K + 0.0 = 0
b. Dibuktikan
x, y = y , x
yaitu dibuktikan
∀ x, y ∈ R n
x, y = x T y = y T x = y , x
x, y = x T y
= [x1
x2
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
= y1 x1 + y 2 x 2 + K + y n x n
= [ y1
y2
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
L y n ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
= y T x = y, x
Jadi x T y = y T x
Jadi terbukti x, y = y , x
(2.13)
∀ x, y ∈ R n
c. Dibuktikan α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ R n , ∀ α , β ∈ R
α x + β y , z = [α x1 + β y1 α x 2 + β y 2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L α xn + β yn ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
= α x1 z1 + α x 2 z 2 + K + α x n z n + β y1 z1 + β y 2 z 2 + K + β y n z n
= α ( x1 z1 + x 2 z 2 + K + x n z n ) + β ( y1 z1 + y 2 z 2 + K + y n z n )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
= α [x1
x2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ + β [ y1
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
y2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L yn ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
= α xT z + β y T z
(2.14)
= α x, z + β y , z
Jadi terbukti α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ R n
Dari (a), (b), (c) terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor R n adalah
hasil kali skalar x, y = x T y . ~
Definisi 2.22 Panjang atau norma
Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam R n , panjang atau norma dari x didefinisikan
x = (x T x) = x12 + x 22 + K + x n2
(2.15)
Definisi 2.23 Ortogonal
Dua vektor dalam R n , yaitu x dan y , dikatakan orthogonal, dilambangkan
x ⊥ y , jika
xT y = 0
(2.16)
Definisi 2.24 Subruang Yang Ortogonal
Dua subruang vektor dalam R n , yaitu X dan Y , dikatakan orthogonal jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
x T y = 0, ∀ x ∈ X dan y ∈ Y
(2.17)
Jika X dan Y saling orthogonal, dapat ditulis sebagai X ⊥ Y .
Teorema 2.3
Ax = b adalah konsisten jika hanya jika b ∈ R(A)
Bukti:
(⇒)
Akan dibuktikan b ∈ R(A) , artinya b berada di ruang kolom dari R (A)
Misalkan A adalah matriks m × n dan x ∈ R n
Karena Ax = b adalah konsisten maka Ax = b mempunyai penyelesaian
Misalkan x adalah penyelesaian
⎡ a11
⎢a
Maka Ax = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤
L a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥
O M ⎥⎢ M ⎥
⎥⎢ ⎥
L a mn ⎦ ⎣ x n ⎦
⎡ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ⎤
⎢ a x + a x +L+ a x ⎥
22 2
2n n ⎥
= ⎢ 21 1
⎢
⎥
M
⎢
⎥
⎣a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n ⎦
⎡ b1 ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2⎥=b
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣bm ⎦
Atau dapat ditulis
bi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Perhatikan bahwa b merupakan vektor yang direntang oleh vektor-vektor
kolom matriks A . Ini berarti b berada di ruang kolom A . Jadi b ∈ R(A)
(⇐)
Akan dibuktikan Ax = b adalah konsisten
Karena b ∈ R(A) maka b dapat direntangkan oleh oleh vektor-vektor
kolom matriks A , yang dapat ditulis
bi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
Berarti x = ⎢ 2 ⎥ memenuhi sistem Ax = b
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Jadi x adalah penyelesaian
Jadi Ax = b adalah konsisten. ▄
Teorema 2.4
Misalkan A matriks berukuran m × n . Andaikan matriks A mempunyai rank
penuh m . Misalkan N (A) menyatakan ruang nol A dan R( A T ) menyatakan
ruang kolom dari A T maka N (A) dan R( A T ) merupakan subruang yang saling
orthogonal.
Bukti:
Misalkan x ∈ N (A) dan y ∈ R( A T )
Akan dibuktikan N (A) ⊥ R ( A T )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Berarti cukup dibuktikan x ⊥ y , artinya x T y = 0 , ∀ x ∈ N ( A) , y ∈ R ( A T )
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } dan
{
R ( A T ) = y ∈ R n y = A T z untunk z ∈ R m
}
Maka x T y = x T ( A T z ) = ( Ax) T z
Karena Ax = 0
Maka x T y = 0 T z
Maka x T y = 0
Jadi x ⊥ y
Jadi N (A) ⊥ R ( A T ) . ▄
R ( A T ) disebut juga sebagai ruang jawab dari y = A T z .
Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan bahwa N ( A) ∈ R n dan R( A T ) ∈ R n
adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan x ∈ N (A) dan y ∈ R( A T ) dan
c = x + y , c ∈ Rn .
y
c
Ax = 0
x
Gambar 2.1. c = x + y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
x dapat juga ditulis
x =c−y
(2.18)
Karena y = A T z , maka didapatkan
x = c − AT z
(2.19)
Kalikan kedua ruas dengan A , maka didapatkan
Ax = Ac − AA T z
Diketahui bahwa Ax = 0 , maka didapatkan
0 = Ac − AA T z
Ac = AA T z
z = ( AA T ) −1 Ac
(2.20)
Subsitusikan persamaan (2.20) ke persamaan (2.19), maka didapatkan
x = c − A T ( AA T ) −1 Ac
= [ I − A T ( AA T ) −1 A ] c
= Pc
(2.21)
dengan P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
(2.22)
Definisi 2.25 Matriks Proyeksi Orthogonal
Matriks P berukuran n × n , dengan
P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] disebut matriks
proyeksi ruang nol A atau matriks proyeksi orthogonal.
Perhatikan bahwa y ∈ R ( A T ) , maka berdasarkan persamaan (2.20)
y = A T z = A T ( AA T ) −1 Ac = Rc
(2.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dengan R = A T ( AA T ) −1 A
(2.24)
Sifat 2.1
Misalkan P adalah matriks proyeksi orthogonal berukuran n × n , dengan
P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] maka
a. P 2 = P
b. P T = P
Bukti:
a. Diketahui P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
Maka P 2 = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
= I 2 − 2 I ( A T ( AA T ) −1 A ) + A T ( AA T ) −1 A A T ( AA T ) −1 A
= I − 2 ( A T ( AA T ) −1 A ) + A T ( AA T ) −1 A
= I − A T ( AA T ) −1 A = P
b. P T = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] T
= I − A T (( AA T ) −1 ) T A
= I − A T (( AA T ) T ) −1 A
= I − A T ( AA T ) −1 ) A = P . ▄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
3. Transformasi Linear
Definisi 2.26 Transformasi
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau
fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x
di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi
ini ditulis
T :V → W
Ruang vektor V disebut daerah asal T . Nilai transformasi T untuk elemen
x ∈ V ditulis T (x) yang merupakan elemen di W . Elemen T (x) disebut peta
dari x .
Definisi 2.27 Transformasi Linear
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi T : V → W disebut transformasi linear jika
a. Untuk sebarang vektor x1 dan x 2 di V berlaku
T ( x1 + x 2 ) = T (x1 ) + T ( x 2 )
(2.25)
b. Untuk sebarang bilangan real s dan vektor x di V berlaku
T ( sx) = sT (x)
(2.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
C. Masalah Program Linear
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear
Perumusan masalah program linear dibagi menjadi dua, yakni fungsi sasaran dan kendala-kendala.
Definisi 2.28 Fungsi sasaran
Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai
p
f = ∑cjxj
(2.27)
j =1
dengan p merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, x j
merupakan variabel ke- j , dan c j ∈ R merupakan koefisien ongkos dari variabel
ke- j , dengan j = 1,K, p
Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif.
Definisi 2.29 Kendala utama
Kendala utama masalah program linear berbentuk
p
∑ a x (≤, =, ≥)b
j =1
ij
j
i
, i = 1,2,..., m ; j = 1,K , p
(2.28)
dengan m merupakan banyaknya persamaan, aij ∈ R merupakan koefisien
variabel ke- j pada persamaan ke- i dan bi menyatakan konstanta di ruas kanan
untuk persamaan ke- i .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 2.30 Kendala Tak Negatif
Kendala tak negatif berbentuk
x j ≥ 0; j = 1,2,..., p.
(2.29)
Untuk mencari penyelesaian dari sistem (2.28), kendala utama yang berbentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaan, dengan cara sebagai berikut:
p
a. Kendala yang berbentuk
∑a x
ij
j =1
j
≤ bi , pada ruas kiri disisipkan variabel
pengetat (slack variable) si sedemikian sehingga dipenuhi:
p
∑a x
ij
j =1
j
+ si = bi dengan si ≥ 0, i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
Dalam hal ini,
p
jika
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka si = 0
p
dan jika
∑a x
j =1
ij
j
< bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka si > 0
p
b. Kendala yang berbentuk
∑a x
j =1
ij
j
≥ bi , pada ruas kanan disisipkan variabel
surplus (surplus variable) t i sedemikian sehingga dipenuhi:
p
∑a x
j =1
ij
j
= ti + bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
yang ekivalen dengan
p
∑a x
j =1
ij
j
− ti = bi dengan t i ≥ 0, i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dalam hal ini,
p
jika
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka t i = 0
j
> bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka t i > 0
p
jika
∑a x
j =1
ij
Dengan demikian kendala utama akan berubah menjadi sistem persamaan linear:
n
∑a x
ij
j =1
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n
(2.30)
yakni dengan memberi lambang variabel pengetat atau variabel surplus x j dimulai dari j = p + 1 sampai j = n, dengan n adalah banyaknya variabel x j . Dan supaya penyelesaian sistem (2.30) menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tak
negatif
x j ≥ 0; j = 1,2,..., n.
(2.31)
Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala yang baru, fungsi sasaran
yang semula berbentuk
p
f = ∑ c j x j = c1 x1 + c2 x2 + ... + c p x p
(2.32)
j =1
dilengkapi menjadi
n
f = ∑ c j x j = c1 x1 + c2 x2 + ... + c p x p + c p +1 x p +1 + ... + cn xn
j =1
dengan c p +1 = c p + 2 = .... = c n = 0
(2.33)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Dengan demikian, suatu masalah program linear dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
Maksimumkan (atau minimumkan)
n
f = ∑cjxj
(2.34)
j =1
dengan kendala
n
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n.
x j ≥ 0; j = 1,2,..., n.
(2.35)
(2.36)
Bentuk di atas (dengan semua kendala utama berbentuk persamaan) disebut bentuk standar dari masalah program linear.
Bentuk di atas bila ditulis dalam notasi matriks adalah sebagai berikut
Maksimumkan (atau Minimumkan) f = cT x
dengan kendala
Ax{≤, ≥, =}b
(2.38)
x≥0
(2.39)
dengan x = (x j )
A = (aij ) adalah koefisien matriks kendala
b = (bi ) adalah vektor suku tetap
c = (c j ) adalah vektor ongkos
Dimana i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n.
(2.37)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Definisi 2.31 Penyelesaian Layak
Nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala utama (2.38) dan kendala tak negatif
(2.39) disebut
METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Ajeng Retnojiwati
NIM : 013114013
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya.”
(Mat ius 21:22)
Terimakasih Tuhan Yesus
Engkau bantu aku melewati satu pergumulan lagi dalam hidup
Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria
Bapak, Ibu, Mas Purwiyadi, Mas
Sugeng, simbah dan keluargaku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Untuk menyelesaikan masalah program linear, selain dengan metode grafik
atau metode simpleks dapat juga diselesaikan dengan metode titik-dalam. Salah satu
kelas dalam metode titik-dalam adalah metode primal affine-skaling. Untuk
menentukan penyelesaian masalah program linear dengan metode primal affineskaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu x k dari suatu daerah layak di
ruang penyelesaian awal. Kemudian x k ditransformasi oleh transformasi affineskaling, yaitu Tk sedemikian sehingga hasil transformasi x k diposisikan dekat
dengan pusat di ruang penyelesaian hasil transformasi ini. Hasil transformasi x k
sebut saja y k . Langkah selanjutnya, dari y k dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu
y k +1 yang menggerakkan nilai f sampai f optimum dicapai sesuai dengan alur
iterasi
y k +1 = y k + α k d ky , dengan d ky adalah arah layak turun tercuram (steepest
descent) yang menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan α k adalah
besarnya langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik
optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di ruang
penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi invers, yaitu
Tk−1 . Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Linear programming problems not only can be solved with graphic method
or simplex method, but also it can be solved with interior-point method. One of the
classes of the interior-point method is primal affine-scaling method. To find the
solution of linear programming using primal affine-scaling method, we should start
by selecting the interior-point solution , namely x k from inside feasible region in
original solution space.
Then, x k is transformed with an affine-scaling
transformation, which is called Tk , so that the selected interior-point solution is
placed near the transformed feasible region. The image of x k called y k . Then,
from y k we move to another interior-point y k +1 , which improves the value of
objective function f , in accordance to the iteration y k +1 = y k + α k d ky . Here, d ky is
the direction of steepest descent that causes the fastest rate of decrease in the
objective function. While α k is the step-length which gives how far the direction can
move to the optimum point but it still remains in the feasible region. The solution,
which is found in the solution space, is transformed back with inverse transformation,
−1
called Tk . This process will be repeated until we obtain an optimum solution with
the desired accuracy.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan
perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini
disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh
perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik
kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing dan selaku Ketua
Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik dan dosen penguji yang
telah memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah
memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.
4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran
dan kritik dalam skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik
penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat
fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan
dan fasilitas yang telah diberikan.
7. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Very, Upik, Yuli, Dani, Tabita,
Fanya, Andre, Indah, Ariel, Agnes, Erika, Wiwit, Deta, Maria, Rita, Alam,
Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April, Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999,
2000 dan adik-adik angkatan 2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan
mendukung penulis.
8. Dhe-dhe dan keluarga yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
9. Tien, Mei, Bayu, Helbin, Sinta, Heni, Henri, Mbak uci dan keluarga, mbak Novi,
Murni, Rini ikom, teman-teman Gloria Graha dan temen-temen radio masdha,
yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak
langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat
membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menjadi referensi bagi pembaca.
Yogyakarta, 7 Februari 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL …………………………………………….…………..….
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………….…………………..
ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………..
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………….…..……
iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………….…………….….
v
ABSTRAK ……………………………………………….………………….…..
vi
ABSTRACT ………………………………………………….………………....
vii
KATA PENGANTAR …………………………………….……………….……
viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………….……….…..
x
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………..…
xiii
TABEL …………………………………………………………………………
xiii
BAB I
PENDAHULUAN ……………………………………………..…...
1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………….….
1
B. Rumusan Masalah …………………………………….…...……
3
C. Pembatasan Masalah …………………………….…………...….
4
D. Tujuan Penulisan …………………………………………….…..
4
E. Manfaat Penulisan …….................................................................
4
F. Metode Penulisan ……………………………..…………..……..
5
G. Sistematika Penulisan ……………………….…………………..
5
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR …………………………………………………………….
6
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ……………...………….
6
B. Ruang Vektor ………………………………………..……….…
10
1. Ruang Vektor ……………..…..…………………..………...
10
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas ….................................
22
3. Transformasi Linear ……………………………….………… 31
BAB III
C. Masalah Program Linear …………………………………...…. .
32
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear …………………..
32
2. Dualitas ……………………………………………………. .
37
D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear ………………..……
40
1. Optimisasi …………………………………………………..
40
2. Kelayakan ……………………………………………...…....
41
E. Metode Arah Layak ………………………………………...…...
42
F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent) ………….....
44
METODE PRIMAL AFFINE-SKALING ……………………..….
45
A. Metode Primal Affine-Skaling …………………………..…….
46
1. Transformasi Affine-Skaling ……………………………....
49
2. Menentukan Arah Layak ………………………………..…
61
a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil
Transformasi ……………………………………………….
61
b. Menentukan Arah Layak ……………………………..……
66
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram .....
70
3. Menentukan Besar Langkah α k ……………..………...……
74
B. Algoritma Primal Affine-Skaling ………………………...…..…
83
C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan
BAB IV
Masalah Program Linear Dengan Program Matlab ……….....…
87
PENUTUP ...................................................................................…..
99
A. Kesimpulan ……………....................................................……..
99
B. Saran ………………………………………………………...…
100
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………….
101
LAMPIRAN …………………………………………………………………..
102
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Metode titik-dalam vs metode simpleks …………………………..
2
Gambar 2.1 c = x + y ……………………………………………………….….
28
Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling ………………….…………...……
50
Gambar 3.2 Titik-dalam x k ditransformasikan oleh Tk ke posisi e ……….....
54
Gambar 3.3 Sifat-sifat dari transformasi affine-skaling ……………………….
59
Gambar 3.4 Daerah layak soal A ………………………………………………
65
Gambar 3.5 Daerah layak soal B …………………………………………...….
66
Gambar 3.6 Proyeksi − c k ke ruang nol A k …………………………………..
71
Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine skaling ……...
94
Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi
oleh transformasi affine skaling …………………………………..
95
TABEL
Halaman
Tabel 1 Hasil iterasi contoh 3.4
Tabel 2 Hasil iter5asi contoh 3.5
…………………………………..………….
103
……………………………………………. 104
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Masalah program linear adalah suatu masalah penyelesaian sistem persamaan linear. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan cara metode
grafik atau metode simpleks. Pada metode grafik penyelesaiannya khusus dikerjakan hanya untuk dua variabel saja, sehingga apabila memuat lebih dari dua variabel akan sulit menyelesaikannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program
linear jarang yang hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik mempermudahkan orang dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam masalah program linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat
dua atau lebih variabel dapat digunakan metode simpleks.
Ada metode lain yaitu metode titik-dalam yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah program linear yang memuat dua atau lebih variabel.
Perbedaan proses penyelesaian antara metode simpleks dan metode titikdalam, yaitu pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau
setiap titik-titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum.
Sedangkan pada metode titik-dalam dengan meninjau titik-titik yang berada dalam
daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sehingga apabila program linear memuat masalah yang kompleks maka proses penyelesaian yang dilakukan dengan
metode titik-dalam dapat lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan metode
simpleks. Karena pada metode simpleks apabila program linear memuat masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yang kompleks maka program linear tersebut juga akan memiliki banyak titik batas. Sehingga dibutuhkan proses lebih panjang dibandingkan dengan metode titikdalam untuk mencapai titik optimum.
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 1.1 berikut:
Langkah-langkah
Metode Simpleks
x k +1
xk
Langkah-langkah
metode titik-dalam
Gambar 1.1
Metode Titik-dalam vs Metode Simpleks
Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-dalam, yaitu
a. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik yang
ditentukan dari tiap iterasi.
b. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak
yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Metode titik-dalam dibagi menjadi empat kelas utama, yaitu metode affine-skaling (affine-scaling method), metode proyektif (projective method) atau
lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following (path-following
method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction method).
Dalam tulisan ini hanya akan dibahas metode affine-skaling. Metode affine-skaling adalah salah satu metode titik-dalam yang paling sederhana diantara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
semua metode titik-dalam. Disebut metode affine-skaling karena transformasi
yang digunakan adalah transformasi affine-skaling. Metode affine-skaling yang
akan digunakan dibatasi hanya untuk masalah primal program linear yang
meminimumkan fungsi sasaran.
Sehingga metode ini disebut juga sebagai me-
tode primal affine-skaling.
Ide dasar metode primal affine-skaling yaitu dimulai dengan memilih
suatu titik-dalam awal didalam daerah layak. Kemudian titik dalam yang dipilih
ditransformasi oleh transformasi affine-skaling sedemikian sehingga hasil
transformasi titik-dalam yang dipilih diposisikan dekat dengan pusat di ruang
penyelesaian hasil transformasi.
Hasil transformasi
titik-dalam yang dipilih
dijalankan ke suatu titik-dalam lain dengan arah layak dan besar langkah yang
sesuai. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasi
kembali dengan transformasi invers yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga
penyelesaian optimum dicapai.
Selain dibahas metode primal affine-skaling
juga akan dibahas
aplikasinya dengan menggunakan program matlab untuk menyelesaikan masalah
program linear.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dibuat rumusan sebagai berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan
metode primal affine-skaling?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana aplikasi dari metode primal affine-skaling dengan menggunakan program matlab?
C. PEMBATASAN MASALAH
1. Penulis hanya akan membahas masalah dalam bentuk meminimumkan, sehingga masalah memaksimumkan harus diubah dalam bentuk meminimumkan, yaitu negatif dari maksimum fungsinya.
2. Metode yang digunakan adalah metode primal affine-skaling.
3. Transformasi yang digunakan adalah transformasi affine-skaling.
4. Daerah layak dari soal program linear adalah terbatas dan tidak kosong.
5. Hanya memuat variabel kurang dari atau sama dengan 10 ( n ≤ 10 ).
D. TUJUAN PENULISAN
Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan untuk menunjukkan langkah-langkah metode primal affine-skaling untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat n ≤ 10 dan dapat dipertanggungjawabkan langkah demi langkah.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah memberikan tambahan referensi
dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine skaling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah penelitian kepustakaan,
yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
Penulisan skripsi ini menggunakan sistematika sebagai berikut:
Bab I
PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan metode penulisan.
Bab II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR
Bab ini berisi tentang dasar teori yang berkaitan dan digunakan dalam
metode primal affine-skaling, yaitu mengenai sistem persamaan linear
dan matriks, ruang vektor, masalah program linear, optimisasi fungsi
untuk persoalan linear, metode arah layak dan metode arah turun
tercuram.
Bab III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
Bab ini membahas tentang langkah-langkah metode primal affine-skaling
dan aplikasinya menggunakan program matlab.
Bab IV PENUTUP
Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil
pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang melandasi bab berikutnya. Definisi, teorema serta konsep-konsep mengacu pada daftar pustaka.
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Definisi 2.1 Persamaan Linear
Persamaan linear dalam n variabel x1 , x 2 ,L , x n adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
a1 x1 + a 2 x 2 + L + a n x n = b
(2.1)
dengan a1 , a 2 , K, a n dan b adalah konstanta real dan a1 , a 2 , K, a n tidak semua
sama dengan nol.
Definisi 2.2 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear m × n adalah himpunan m persamaan linear
dengan n variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
⎪a x + a x + L + a x = b
⎪ 21 1
2n n
2
22 2
⎨
O
M
⎪ M
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
(2.2)
dengan ai1 , ai 2 , K, ain dan bi adalah konstanta real dan ai1 , ai 2 , K, ain tidak semua
sama dengan nol, untuk i = 1,2,K, m .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Dalam
sistem
persamaan
linear
m×n ,
dapat
terjadi
m = n, m > n atau m < n . Apabila x1 = t1 , x 2 = t 2 , L, x n = t n dimana t1 , t 2 ,K , t n
adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua persamaan linear dalam
sistem (2.2), maka pasangan terurut (t1 , t 2 ,K , t n ) disebut penyelesaian atau
jawab dari sistem persamaan linear (2.2).
Definisi 2.3 Konsisten dan Tidak Konsisten
1. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut
mempunyai penyelesaian.
2. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Sistem yang konsisten dapat mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai
banyak penyelesaian.
Sistem persamaan linear (2.2) di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut:
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
L a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎢ b2 ⎥⎥
=
O M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
L a mn ⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣bm ⎦
(2.3)
Atau lebih singkat ditulis Ax = b , dimana A = (aij ) yaitu matriks koefisien,
x = (x j ) dan b = (b i ) , untuk i = 1,K, m dan j = 1,L, n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika
konstanta bi = 0 , untuk setiap i = 1,2,..., m . Sistem persamaan linear homogen
mempunyai bentuk umum:
⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0
⎪a x + a x + L + a x = 0
⎪ 21 1
22 2
2n n
⎨
O
M
⎪ M
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0
Sistem
persamaan
linear
homogen
(2.4)
selalu
konsisten
karena
x1 = 0, x 2 = 0, ..., x n = 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini disebut
penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut
penyelesian nontrivial.
Definisi 2.5 Matriks Lengkap
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear (2.2) adalah
⎡a11 a12 L a1n
⎢a a L a
2n
⎢ 21 22
⎢ M
O M
⎢
⎣a m1 a m 2 L a mn
b1 ⎤
b2 ⎥⎥
M ⎥
⎥
bm ⎦
Definisi 2.6 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke- i dan
ke- j , dengan notasi Ri ↔ R j .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke- i
dengan bilangan c, c ≠ 0 , dengan notasi cRi .
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain, yakni mengganti baris ke- i ditambah c kali baris ke- j , dengan notasi Ri + cR j .
Definisi 2.7 Matriks Ekivalen Baris
Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat matriks elementer E1 , E 2 ,..., E k sehingga B = E k E k −1 ...E1 A atau A = E1−1E 2−1 ...E −k 1B .
Dengan operasi baris elementer, matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear harus diubah menjadi suatu matriks dari sistem persamaan linear
yang mudah dicari jawabnya, yakni dengan matriks eselon.
Definisi 2.8 Matriks Eselon
Matriks E disebut matriks eselon jika memenuhi dua sifat berikut:
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang
memuat elemen tak nol.
2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak
nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari
baris sebelumnya.
Matriks eselon ini disebut juga matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama
dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks
eselon mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
B. Ruang Vektor
1. Ruang Vektor
Definisi 2.9 Ruang Vektor
Ruang Vektor atas lapangan F adalah himpunan tidak kosong V yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar sedemikian
sehingga ∀ x, y , z ∈ V dan ∀ α , β ∈ F memenuhi syarat - syarat berikut:
a. x + y ∈ V
b. x + y = y + x
(sifat komutatif)
c. x + (y + z ) = (x + y ) + z
(sifat asosiatif)
d. Terdapat elemen 0 ∈ V , ∀ x ∈ V , x + 0 = x
(unsur identitas)
e. ∀ x ∈ V ∃ (−x) ∈ V sehingga x + (−x) = 0
(elemen invers)
f. αx ∈ V
g. α (x + y ) = α x + α y
(sifat distributif)
h. (α + β )x = α x + β x
i. 1x = x
j. (α β ) x = α ( β x)
Elemen – elemen di V disebut vektor dan biasanya dinyatakan dengan huruf –
huruf a, b,K, x, y, K . Elemen – elemen di F disebut skalar .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.1
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎢x ⎥
⎢y ⎥
2⎥
⎢
Misalkan x =
dan y = ⎢ 2 ⎥ adalah vektor – vektor di R n . Penjumlahan
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
⎣ yn ⎦
pada R n didefinisikan sebagai berikut:
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x + y ⎥
2⎥
, ∀ x, y ∈ R n
x+ y = ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = ⎢ 2
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn + y n ⎦
(2.5)
dan operasi perkalian dengan skalar α di R didefinisikan sebagai berikut:
⎡ x1 ⎤ ⎡α x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢α x ⎥
α x = α ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ , ∀ x ∈ R n , ∀α ∈ R
⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ x n ⎦ ⎣α x n ⎦
(2.6)
Tunjukkan bahwa R n merupakan ruang vektor.
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ ,
, y=
Misalkan x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
∀ x, y , z ∈ R n , ∀α , β ∈ R
a. Akan ditunjukkan x + y ∈ R n . Sudah jelas (dari persamaan (2.5))
b. Akan ditunjukkan x + y = y + x
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ y1 + x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x + y ⎥ ⎢ y + x ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢x ⎥
2⎥
2⎥
=⎢ 2
= ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = y + x
x+ y = ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ = ⎢ 2
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn + y n ⎦ ⎣ y n + xn ⎦ ⎣ y n ⎦ ⎣ xn ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
c. Akan ditunjukkan x + (y + z ) = (x + y ) + z
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 + z1 ⎤ ⎡ x1 + ( y1 + z1 ) ⎤ ⎡ ( x1 + y1 ) + z1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢ y + z ⎥ ⎢ x + ( y + z ) ⎥ ⎢( x + y ) + z ⎥
2⎥
2
2 ⎥
2
2⎥
x + (y + z ) = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 2
=⎢ 2
=⎢ 2
⎥
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢
⎢
⎥
M
M
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ x n ⎦ ⎣ y n + z n ⎦ ⎣ x n + ( y n + z n ) ⎦ ⎣( x n + y n ) + z n ⎦
⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ z1 ⎤
⎢x + y ⎥ ⎢z ⎥
2⎥
=⎢ 2
+ ⎢ 2 ⎥ = (x + y ) + z
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ xn + yn ⎦ ⎣ z n ⎦
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
Elemen identitasnya 0 = ⎢ ⎥ sehingga
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 + 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ x + 0 ⎥ ⎢ x ⎥
⎥ = ⎢ 2⎥ = x
x+0 = ⎢ 2⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ 2
⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎣ x n ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ x n + 0 ⎦ ⎣ x n ⎦
e. Akan ditunjukkan mempunyai invers.
⎡ − x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢− x ⎥
⎢x ⎥
Invers dari x = ⎢ 2 ⎥ adalah − x = ⎢ 2 ⎥ sehingga
⎢ M ⎥
⎢M⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣− x n ⎦
⎣ xn ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡ − x1 ⎤ ⎡ x1 + (− x1 ) ⎤ ⎡0⎤
⎢ x ⎥ ⎢ − x ⎥ ⎢ x + ( − x ) ⎥ ⎢0 ⎥
2 ⎥
x + ( − x) = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2
=⎢ ⎥=0
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢
⎥ ⎢M⎥
M
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣ − x n ⎦ ⎣ x n + ( − x n ) ⎦ ⎣0 ⎦
f. Akan ditunjukkan α x ∈ R n . Sudah jelas (dari persamaan (2.6))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
g. Akan ditunjukkan α (x + y ) = α x + α y
⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ α x1 + α y1 ⎤ ⎡α x1 ⎤ ⎡α y1 ⎤
⎢ x + y ⎥ ⎢α x + α y ⎥ ⎢α x ⎥ ⎢α y ⎥
2⎥
2⎥
=⎢ 2
= ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥ =α x +α y
α (x + y ) = α ⎢ 2
⎢ M ⎥ ⎢
⎥
⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ x n + y n ⎦ ⎣α x n + α y n ⎦ ⎣α x n ⎦ ⎣α y n ⎦
h. Akan ditunjukkan (α + β ) x = α x + β x
⎡ x1 ⎤ ⎡ (α + β ) x1 ⎤ ⎡ α x1
⎢ x ⎥ ⎢(α + β ) x ⎥ ⎢α x
2⎥
=⎢ 2
(α + β ) x = (α + β ) ⎢ 2 ⎥ = ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎥ ⎢
M
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣ x n ⎦ ⎣(α + β ) x n ⎦ ⎣α x n
+ β x1 ⎤ ⎡α x1 ⎤ ⎡ β x1 ⎤
+ β x 2 ⎥⎥ ⎢⎢α x 2 ⎥⎥ ⎢⎢ β x 2 ⎥⎥
=
+
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
+ β x n ⎦ ⎣α x n ⎦ ⎣ β x n ⎦
=αx+β x
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
⎡ x1 ⎤ ⎡1 x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ⎢1 x ⎥ ⎢ x ⎥
1x = 1 ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = x
⎢M⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣1 x n ⎦ ⎣ x n ⎦
j. Akan ditunjukkan (α β ) x = α ( β x)
⎡ x1 ⎤ ⎡ (α β ) x1 ⎤ ⎡ α ( β x1 ) ⎤
⎡ β x1 ⎤
⎢β x ⎥
⎢ x ⎥ ⎢(α β ) x ⎥ ⎢ α ( β x ) ⎥
2⎥
2⎥
2 ⎥
⎢
⎢
⎢
x
=
=
=
(α β ) = αβ
α ⎢ 2 ⎥ = α ( β x) . ~
⎥ ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎥
⎢ M ⎥
M
M
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣β xn ⎦
⎣ x n ⎦ ⎣(α β ) x n ⎦ ⎣α ( β x n _)⎦
Definisi 2.10 Subruang (Subspaces)
Jika W adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V dan W memenuhi syarat-syat berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
a. untuk x ∈ W dan sebarang skalar α ∈ F maka α x ∈ W
b. untuk x ∈ W dan y ∈ W maka vektor x + y ∈ W
maka W disebut subruang vektor dari V .
Definisi 2.11 Ruang Nol (Null Spaces)
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n . Misalkan N ( A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen A x = 0 . Jadi
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 }
(2.7)
N ( A) disebut sebagai ruang nol.
Contoh 2.2
Tunjukkan bahwa N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } merupakan ruang vektor.
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ ,
, y=
Misalkan x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
a. Akan ditunjukkan Ax + Ay ∈ N ( A)
⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + Ay = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
Jadi Ax + Ay ∈ N ( A)
b. Akan ditunjukkan Ax + Ay = Ay + Ax
∀ x, y, z ∈ R n , ∀α , β ∈ R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + Ay = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 0 + 0 = Ay + Ax
⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
c. Akan ditunjukkan Ax + ( Ay + Az ) = ( Ax + Ay ) + Az
⎡ 0 ⎤ ⎛ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎞ ⎛ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎞ ⎡0 ⎤
⎢ 0 ⎥ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎟ ⎜ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎢0 ⎥
⎜
⎟ ⎜
⎟
Ax + ( Ay + Az ) = 0 + (0 + 0) = ⎢ ⎥ + ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ = ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ + ⎢ ⎥
⎢M⎥ ⎢M ⎥
⎢M⎥
⎢M ⎥ ⎢M ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎝ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎠ ⎝ ⎣0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎠ ⎣0 ⎦
= (0 + 0) + 0 = ( Ax + Ay ) + Az
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
Elemen identitasnya 0 = ⎢ ⎥ sehingga
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + 0 = 0 + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 = Ax
⎢M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
e. Akan ditunjukkan ada elemen invers
⎡ − 0⎤
⎡0 ⎤
⎢ − 0⎥
⎢0 ⎥
⎥
⎢
adalah − ( Ax) = −0 = ⎢ ⎥ sehingga
Invers dari Ax = 0 =
⎢ M ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ − 0⎦
⎣0 ⎦
⎡0 ⎤ ⎡ − 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢ − 0 ⎥ ⎢0 ⎥
Ax + (−( Ax)) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣ − 0 ⎦ ⎣0 ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
f. Akan ditunjukkan αAx ∈ N ( A)
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
α Ax = α 0 = α ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 ∈ N ( A)
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
g. Akan ditunjukkan α ( Ax + Ay ) = αAx + αAy
⎛ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎞ ⎡α 0⎤ ⎡α 0⎤
⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎟ α0
α0
⎜ 0
α ( Ax + Ay ) = α (0 + 0) = α ⎜ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎟ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = αAx + αAy
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎜ 0
⎟
⎝ ⎣ ⎦ ⎣0⎦ ⎠ ⎣α 0⎦ ⎣α 0⎦
h. Akan ditunjukkan (α + β ) Ax = = αAx + βAx
⎡ 0 ⎤ ⎡(α
⎢ 0⎥ ⎢(α
Ax
Ax
α
β
α
β
α
β
( + )
=( + )
= ( + )⎢ ⎥ = ⎢
⎢M⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ 0 ⎦ ⎣(α
+ β ) 0⎤ ⎡α 0⎤ ⎡ β 0⎤
+ β ) 0⎥⎥ ⎢⎢α 0⎥⎥ ⎢⎢ β 0⎥⎥
+
=
⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
M
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ β ) 0⎦ ⎣α 0⎦ ⎣ β 0⎦
= αAx + βAx
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
1Ax = 1 0 = 1⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 0 = Ax
⎢M⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦
j. Akan ditunjukkan (αβ ) Ax = α ( βAx)
⎡ β 0⎤
⎡ 0 ⎤ ⎡(αβ ) 0⎤
⎢ ⎥
⎢ 0⎥ ⎢(αβ ) 0⎥
⎥ = α ⎢ β 0⎥ = α ( βAx) . ~
(αβ ) Ax = (αβ ) Ax = (αβ ) ⎢ ⎥ = ⎢
⎢ M ⎥
⎢M⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎣ β 0⎦
⎣ 0 ⎦ ⎣(αβ ) 0⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Teorema 2.1
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } merupakan subruang dari R n .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa N ( A) adalah subruang dari R n , yakni
a. Misalkan x ∈ N (A) dan α suatu skalar, maka A(α x) = α ( Ax) = α 0 = 0 .
Jadi α x ∈ N (A) .
b. Misalkan x dan y adalah elemen – elemen dari N ( A) , maka
A(x + y ) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
Jadi x + y ∈ N ( A) .
Dari (a) dan (b) terbukti bahwa N ( A) adalah subruang dari R n . ▄
Definisi 2.12 Kombinasi Linear
Misalkan x1 , x 2 ,K, x n adalah vektor – vektor dalam suatu ruang vektor V atas
lapangan F . Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n
(2.8)
disebut suatu kombinasi linear dari x1 , x 2 , K, x n , dengan skalar α 1 ,K , α n ∈ F .
Definisi 2.13 Merentang (span)
Jika x1 , x 2 , K, x n adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masingmasing vektor pada V
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
x1 , x 2 , K, x n maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor x1 , x 2 , K, x n merentang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
V dan dilambangkan S (x1 , x 2 , K, x n ) .
Teorema 2.2
x1 , x 2 , K , x n
Jika
adalah vektor-vektor dalam ruang vektor
V
maka
S (x1 , x 2 ,K, x n ) adalah subruang dari V .
Bukti:
Misalkan β suatu skalar dan misalkan b = α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n adalah
sebarang elemen dari S (x1 , x 2 , K, x n ) .
Maka β b = ( βα 1 )x1 + ( βα 2 )x 2 + L + ( βα n )x n
Jadi β b ∈ S (x1 , x 2 ,K, x n )
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sebarang jumlah elemen-elemen dari
S (x1 , x 2 ,K, x n ) juga berada dalam S (x1 , x 2 ,K, x n )
Misalkan b = α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n dan c = β 1 x1 + β 2 x 2 + L + β n x n
Maka b + c = (α 1 + β 1 )x1 + (α 2 + β 2 )x 2 + L + (α n + β n )x n
Jadi b + c ∈ S (x1 , x 2 ,K , x n )
Jadi S (x1 , x 2 ,K , x n ) adalah subruang dari V . ▄
Definisi 2.14 Himpunan Perentang
Himpunan {x1 , x 2 , K, x n } disebut himpunan perentang untuk ruang vektor V
jika hanya jika V = S (x1 , x 2 , K , x n ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.3
Misalkan e i adalah vektor dalam R n yang komponen ke- i adalah 1 dan komponen yang lainnya semua sama dengan nol, untuk i = 1,2,K , n . Jadi
⎡0⎤
⎡0 ⎤
⎡1⎤
⎢0⎥
⎢1 ⎥
⎢0 ⎥
e1 = ⎢ ⎥, e 2 = ⎢ ⎥ , L , e n = ⎢ ⎥ .
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
⎣0 ⎦
⎣0 ⎦
Setiap vektor v ∈ R n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vek⎡ v1 ⎤
⎢v ⎥
tor e1 , e 2 ,L, e n tersebut, yaitu jika v = ⎢ 2 ⎥ adalah sebarang vektor dalam R n ,
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣v n ⎦
maka v = v1e1 + v 2 e 2 + L + v n e n . Oleh karena itu {e1 , e 2 ,L, e n } adalah himpunan
perentang untuk R n . ~
Definisi 2.15 Bebas linear (linearly independent)
Vektor – vektor x1 , x 2 , K, x n dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n = 0
(2.9)
mengakibatkan semua skalar – skalar α 1 , K , α n harus sama dengan nol.
Definisi 2.16 Bergantung Linear (linearly dependent)
Vektor – vektor x1 , x 2 , K, x n dalam ruang vektor V disebut bergantung linear
jika terdapat skalar – skalar α 1 , K , α n yang tidak semuanya nol sehingga
α 1 x1 + α 2 x 2 + L + α n x n = 0
(2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.17 Basis
Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F . Himpunan vektor - vektor
{ x1 , x 2 ,.K, x n } membentuk basis untuk ruang vektor V
a.
{ x1 , x 2 ,.K, x n } bebas linear
b.
{ x1 , x 2 ,.K, x n } merentang
jika dan hanya jika
V
Contoh 2.4
Tunjukkan bahwa
{ e1 , e 2 ,K, e n } adalah basis.
Bukti:
Dalam contoh 2.3 telah ditunjukkan bahwa e1 , e 2 , K, e n merentang R n . Bila
⎡ v1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ v ⎥ ⎢0 ⎥
v1e1 + v 2 e 2 + L + v n e n = 0 maka ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ , sehingga v1 = v 2 = L = v n = 0 .
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣v n ⎦ ⎣0 ⎦
Jadi e1 , e 2 ,K, e n bebas linear.
Maka {e1 , e 2 ,K, e n } merupakan basis untuk R n . ~
Basis tersebut disebut basis baku untuk R n
Definisi 2.18 Vektor-Vektor Baris dan Vektor-Vektor Kolom
⎡ a11
⎢a
Misalkan matriks A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
r1 = [a11
a12
a 22
M
am2
a12 L a1n ] , r2 = [a 21
L a1n ⎤
L a 2 n ⎥⎥
. Vektor-vektor dalam R 1×n yaitu
O M ⎥
⎥
L a mn ⎦
a 22 L a 2 n ] , L , rm = [a m1
a m 2 L a mn ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A
dan vektor-vektor dalam R m , yaitu
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎡ a1n ⎤
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
21 ⎥
22 ⎥
⎢
⎢
, k2 =
, L, k n = ⎢ 2n ⎥
k1 =
⎢ M ⎥
⎢ M ⎥
⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣a m1 ⎦
⎣a m 2 ⎦
⎣a mn ⎦
yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A , dinamakan vektor-vektor kolom
dari A .
Definisi 2.19 Ruang Baris dan Ruang kolom
a. Subruang yang direntang oleh m vektor baris matriks A merupakan subruang
dari R 1×n dan disebut ruang baris A .
b. Subruang yang direntang oleh n vektor kolom matriks A merupakan
subruang dari R m dan disebut ruang kolom
A . Ruang kolom A dapat
dinotasikan
{
R ( A) = b ∈ R m b = Ax untuk x ∈ R n
}
Definisi 2.20 Rank Dari Matriks
Rank dari matriks A berukuran m × n ditunjukkan dengan r ( A) . Rank matriks
A penuh jika r ( A) = min {m, n} .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas
Definisi 2.21 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang
menunjuk setiap pasang vektor - vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan
real
x, y yang memenuhi syarat berikut:
a.
x, x ≥ 0, ∀ x ≠ 0 dan x, x = 0 jika hanya jika x = 0 .
b.
x, y = y , x
∀ x, y ∈ V
c. α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ V dan ∀ α , β ∈ R
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali
dalam .
Contoh 2.5
Ruang vektor R n . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
x, y = x T y = [x1
x2
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n . (2.11)
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
adalah hasil kali dalam untuk R n (yang disebut hasil kali dalam baku).
Persamaan (2.11) dapat juga ditulis
n
x, y = x T y = ∑ xi y i
i =1
dengan x T menyatakan transpose matriks x .
(2.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Bukti:
⎡ z1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢z ⎥
⎢y ⎥
⎢x ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
, dan z = ⎢ 2 ⎥ dalam ruang
, y=
Ambil sebarang vektor x =
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣ xn ⎦
vektor R n dan sebarang skalar α , β ∈ R
a. Dibuktikan x, x = x T x ≥ 0
Diketahui
x, x = x T x
x, x = x T x = [x1
x2
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
2
2
2
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 + x 2 + K + x n ≥ 0
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Jadi x, x ≥ 0
(⇒) Diketahui x, x = 0
Untuk x12 + x22 + ... + xn2 = 0 diperoleh x1 = x2 = ....... = xn = 0
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥
jadi x = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ = 0
⎢ M ⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x n ⎦ ⎣0 ⎦
(⇐) Diketahui x = 0
Dibuktikan x, x = x T x = 0
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
x, x = x T x = 0 T 0 = [0 0 L 0] ⎢ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jadi x T x = 0.0 + 0.0 +K + 0.0 = 0
b. Dibuktikan
x, y = y , x
yaitu dibuktikan
∀ x, y ∈ R n
x, y = x T y = y T x = y , x
x, y = x T y
= [x1
x2
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
= y1 x1 + y 2 x 2 + K + y n x n
= [ y1
y2
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
L y n ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
= y T x = y, x
Jadi x T y = y T x
Jadi terbukti x, y = y , x
(2.13)
∀ x, y ∈ R n
c. Dibuktikan α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ R n , ∀ α , β ∈ R
α x + β y , z = [α x1 + β y1 α x 2 + β y 2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L α xn + β yn ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
= α x1 z1 + α x 2 z 2 + K + α x n z n + β y1 z1 + β y 2 z 2 + K + β y n z n
= α ( x1 z1 + x 2 z 2 + K + x n z n ) + β ( y1 z1 + y 2 z 2 + K + y n z n )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
= α [x1
x2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L x n ] ⎢ 2 ⎥ + β [ y1
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
y2
⎡ z1 ⎤
⎢z ⎥
L yn ]⎢ 2 ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣zn ⎦
= α xT z + β y T z
(2.14)
= α x, z + β y , z
Jadi terbukti α x + β y , z = α x, z + β y , z , ∀ x, y , z ∈ R n
Dari (a), (b), (c) terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor R n adalah
hasil kali skalar x, y = x T y . ~
Definisi 2.22 Panjang atau norma
Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam R n , panjang atau norma dari x didefinisikan
x = (x T x) = x12 + x 22 + K + x n2
(2.15)
Definisi 2.23 Ortogonal
Dua vektor dalam R n , yaitu x dan y , dikatakan orthogonal, dilambangkan
x ⊥ y , jika
xT y = 0
(2.16)
Definisi 2.24 Subruang Yang Ortogonal
Dua subruang vektor dalam R n , yaitu X dan Y , dikatakan orthogonal jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
x T y = 0, ∀ x ∈ X dan y ∈ Y
(2.17)
Jika X dan Y saling orthogonal, dapat ditulis sebagai X ⊥ Y .
Teorema 2.3
Ax = b adalah konsisten jika hanya jika b ∈ R(A)
Bukti:
(⇒)
Akan dibuktikan b ∈ R(A) , artinya b berada di ruang kolom dari R (A)
Misalkan A adalah matriks m × n dan x ∈ R n
Karena Ax = b adalah konsisten maka Ax = b mempunyai penyelesaian
Misalkan x adalah penyelesaian
⎡ a11
⎢a
Maka Ax = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤
L a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥
O M ⎥⎢ M ⎥
⎥⎢ ⎥
L a mn ⎦ ⎣ x n ⎦
⎡ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ⎤
⎢ a x + a x +L+ a x ⎥
22 2
2n n ⎥
= ⎢ 21 1
⎢
⎥
M
⎢
⎥
⎣a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n ⎦
⎡ b1 ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2⎥=b
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣bm ⎦
Atau dapat ditulis
bi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Perhatikan bahwa b merupakan vektor yang direntang oleh vektor-vektor
kolom matriks A . Ini berarti b berada di ruang kolom A . Jadi b ∈ R(A)
(⇐)
Akan dibuktikan Ax = b adalah konsisten
Karena b ∈ R(A) maka b dapat direntangkan oleh oleh vektor-vektor
kolom matriks A , yang dapat ditulis
bi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
Berarti x = ⎢ 2 ⎥ memenuhi sistem Ax = b
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Jadi x adalah penyelesaian
Jadi Ax = b adalah konsisten. ▄
Teorema 2.4
Misalkan A matriks berukuran m × n . Andaikan matriks A mempunyai rank
penuh m . Misalkan N (A) menyatakan ruang nol A dan R( A T ) menyatakan
ruang kolom dari A T maka N (A) dan R( A T ) merupakan subruang yang saling
orthogonal.
Bukti:
Misalkan x ∈ N (A) dan y ∈ R( A T )
Akan dibuktikan N (A) ⊥ R ( A T )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Berarti cukup dibuktikan x ⊥ y , artinya x T y = 0 , ∀ x ∈ N ( A) , y ∈ R ( A T )
N ( A) = { x ∈ R n
Ax = 0 } dan
{
R ( A T ) = y ∈ R n y = A T z untunk z ∈ R m
}
Maka x T y = x T ( A T z ) = ( Ax) T z
Karena Ax = 0
Maka x T y = 0 T z
Maka x T y = 0
Jadi x ⊥ y
Jadi N (A) ⊥ R ( A T ) . ▄
R ( A T ) disebut juga sebagai ruang jawab dari y = A T z .
Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan bahwa N ( A) ∈ R n dan R( A T ) ∈ R n
adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan x ∈ N (A) dan y ∈ R( A T ) dan
c = x + y , c ∈ Rn .
y
c
Ax = 0
x
Gambar 2.1. c = x + y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
x dapat juga ditulis
x =c−y
(2.18)
Karena y = A T z , maka didapatkan
x = c − AT z
(2.19)
Kalikan kedua ruas dengan A , maka didapatkan
Ax = Ac − AA T z
Diketahui bahwa Ax = 0 , maka didapatkan
0 = Ac − AA T z
Ac = AA T z
z = ( AA T ) −1 Ac
(2.20)
Subsitusikan persamaan (2.20) ke persamaan (2.19), maka didapatkan
x = c − A T ( AA T ) −1 Ac
= [ I − A T ( AA T ) −1 A ] c
= Pc
(2.21)
dengan P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
(2.22)
Definisi 2.25 Matriks Proyeksi Orthogonal
Matriks P berukuran n × n , dengan
P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] disebut matriks
proyeksi ruang nol A atau matriks proyeksi orthogonal.
Perhatikan bahwa y ∈ R ( A T ) , maka berdasarkan persamaan (2.20)
y = A T z = A T ( AA T ) −1 Ac = Rc
(2.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dengan R = A T ( AA T ) −1 A
(2.24)
Sifat 2.1
Misalkan P adalah matriks proyeksi orthogonal berukuran n × n , dengan
P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] maka
a. P 2 = P
b. P T = P
Bukti:
a. Diketahui P = [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
Maka P 2 = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] [ I − A T ( AA T ) −1 A ]
= I 2 − 2 I ( A T ( AA T ) −1 A ) + A T ( AA T ) −1 A A T ( AA T ) −1 A
= I − 2 ( A T ( AA T ) −1 A ) + A T ( AA T ) −1 A
= I − A T ( AA T ) −1 A = P
b. P T = [ I − A T ( AA T ) −1 A ] T
= I − A T (( AA T ) −1 ) T A
= I − A T (( AA T ) T ) −1 A
= I − A T ( AA T ) −1 ) A = P . ▄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
3. Transformasi Linear
Definisi 2.26 Transformasi
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau
fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x
di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi
ini ditulis
T :V → W
Ruang vektor V disebut daerah asal T . Nilai transformasi T untuk elemen
x ∈ V ditulis T (x) yang merupakan elemen di W . Elemen T (x) disebut peta
dari x .
Definisi 2.27 Transformasi Linear
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi T : V → W disebut transformasi linear jika
a. Untuk sebarang vektor x1 dan x 2 di V berlaku
T ( x1 + x 2 ) = T (x1 ) + T ( x 2 )
(2.25)
b. Untuk sebarang bilangan real s dan vektor x di V berlaku
T ( sx) = sT (x)
(2.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
C. Masalah Program Linear
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear
Perumusan masalah program linear dibagi menjadi dua, yakni fungsi sasaran dan kendala-kendala.
Definisi 2.28 Fungsi sasaran
Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai
p
f = ∑cjxj
(2.27)
j =1
dengan p merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, x j
merupakan variabel ke- j , dan c j ∈ R merupakan koefisien ongkos dari variabel
ke- j , dengan j = 1,K, p
Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif.
Definisi 2.29 Kendala utama
Kendala utama masalah program linear berbentuk
p
∑ a x (≤, =, ≥)b
j =1
ij
j
i
, i = 1,2,..., m ; j = 1,K , p
(2.28)
dengan m merupakan banyaknya persamaan, aij ∈ R merupakan koefisien
variabel ke- j pada persamaan ke- i dan bi menyatakan konstanta di ruas kanan
untuk persamaan ke- i .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 2.30 Kendala Tak Negatif
Kendala tak negatif berbentuk
x j ≥ 0; j = 1,2,..., p.
(2.29)
Untuk mencari penyelesaian dari sistem (2.28), kendala utama yang berbentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaan, dengan cara sebagai berikut:
p
a. Kendala yang berbentuk
∑a x
ij
j =1
j
≤ bi , pada ruas kiri disisipkan variabel
pengetat (slack variable) si sedemikian sehingga dipenuhi:
p
∑a x
ij
j =1
j
+ si = bi dengan si ≥ 0, i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
Dalam hal ini,
p
jika
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka si = 0
p
dan jika
∑a x
j =1
ij
j
< bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka si > 0
p
b. Kendala yang berbentuk
∑a x
j =1
ij
j
≥ bi , pada ruas kanan disisipkan variabel
surplus (surplus variable) t i sedemikian sehingga dipenuhi:
p
∑a x
j =1
ij
j
= ti + bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
yang ekivalen dengan
p
∑a x
j =1
ij
j
− ti = bi dengan t i ≥ 0, i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dalam hal ini,
p
jika
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka t i = 0
j
> bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., p maka t i > 0
p
jika
∑a x
j =1
ij
Dengan demikian kendala utama akan berubah menjadi sistem persamaan linear:
n
∑a x
ij
j =1
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n
(2.30)
yakni dengan memberi lambang variabel pengetat atau variabel surplus x j dimulai dari j = p + 1 sampai j = n, dengan n adalah banyaknya variabel x j . Dan supaya penyelesaian sistem (2.30) menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tak
negatif
x j ≥ 0; j = 1,2,..., n.
(2.31)
Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala yang baru, fungsi sasaran
yang semula berbentuk
p
f = ∑ c j x j = c1 x1 + c2 x2 + ... + c p x p
(2.32)
j =1
dilengkapi menjadi
n
f = ∑ c j x j = c1 x1 + c2 x2 + ... + c p x p + c p +1 x p +1 + ... + cn xn
j =1
dengan c p +1 = c p + 2 = .... = c n = 0
(2.33)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Dengan demikian, suatu masalah program linear dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
Maksimumkan (atau minimumkan)
n
f = ∑cjxj
(2.34)
j =1
dengan kendala
n
∑a x
j =1
ij
j
= bi ; i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n.
x j ≥ 0; j = 1,2,..., n.
(2.35)
(2.36)
Bentuk di atas (dengan semua kendala utama berbentuk persamaan) disebut bentuk standar dari masalah program linear.
Bentuk di atas bila ditulis dalam notasi matriks adalah sebagai berikut
Maksimumkan (atau Minimumkan) f = cT x
dengan kendala
Ax{≤, ≥, =}b
(2.38)
x≥0
(2.39)
dengan x = (x j )
A = (aij ) adalah koefisien matriks kendala
b = (bi ) adalah vektor suku tetap
c = (c j ) adalah vektor ongkos
Dimana i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n.
(2.37)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Definisi 2.31 Penyelesaian Layak
Nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala utama (2.38) dan kendala tak negatif
(2.39) disebut