Buku Ajar Matematika Dasar=

BUKU AJAR M ATEM ATIKA DASAR

M ohammad Faizal Amir, M .Pd.

Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

UM SIDA PRESS

Jl. M ojopahit 666 B Sidoarjo ISBN: 978-979-3401-38-6

ii

BUKU AJAR M ATEM ATIKA DASAR

M ohammad Faizal Amir, M .Pd. Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

Sidoarjo, 2016

Dit erbit kan at as Program Bant uan Penulisan dan Penerbit an Buku Ajar dan M odul Prakt ikum Universit as M uhammadiyah Sidoarjo Tahun 2015/ 2016

iii

BUKU AJAR M ATEM ATIKA DASAR PENULIS

M ohammad Faizal Amir, M .Pd. Bayu Hari Prasojo, S.Si., M .Pd.

Dit erbit kan Oleh:

UM SIDA PRESS

Jl. M ojopahit 666 B Sidoarjo

ISBN: 978-979-3401-38-6

Copyright© 2016. M ohammad Faizal Amir & Bayu Hari Prasojo.

All rights reserved.

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT at as segala anugerah dan rahm at -Nya, sehingga Buku Ajar M at em at ika Dasar unt uk Tingkat Perguruan Tinggi ini dapat t erselesaikan dengan baik.

Buku ajar M at em at ika Dasar ini t erdiri dari 8 Bab M at eri Perkuliahan, yang t erdiri dari (1) Sist em Bilangan Real; (2) Him punan; (3) Persam aan dan Pert idaksam aan Linear; (4) Fungsi; (5) M at riks; (6) Lim it dan Kekont inuan; (7) Turunan; (8) Int egral. M at eri ini m erupakan sat u kesat uan m at eri yang dipelajari oleh m ahasisw a secara m enyeluruh dan t ak t erpisahkan selam a sat u sem est er karena merupakan sat u kesat uan yang ut uh dalam Capaian Kom pet ensi di Rencana Pem belajaran Sem est er .

Tujuan dit erbit kan buku ini unt uk m em bant u m ahasisw a agar dapat m enguasai konsep m at em at ika dasar secara m udah, dan ut uh. Di sam ping it u pula, buku ini dapat digunakan sebagai acuan bagi dosen yang mengam pu m at a kuliah M at em at ika Dasar at aupun m at a kuliah m at em at ika yang lain. Isi buku ini m em uat 5 kom ponen ut am a yait u; pendahuluan, penyajian m at eri, rangkum an, lat ihan dan daft ar pust aka. Buku Ajar M at em at ika Dasar unt uk Tingkat Perguruan Tinggi ini dit erbit kan oleh UM SIDA Press. Buku Ajar ini m erupakan buku t erbit an edisi pert am a yang t ent unya masih but uh disem purnakan. Oleh karena it u, saran dan m asukan oleh para pengguna sangat kam i harapkan unt uk kesem purnaan isi buku ajar ini di m asa yang akan dat ang.

Semoga Buku Ajar ini dapat berm anfaat bagi mahasiswa, dosen dan siapa saja yang menggunakannya unt uk kem ajuan pendidikan di Universit as M uhamm adiyah Sidoarjo (UM SIDA) khususnya dan kem ajuan pendidikan di Indonesia pada um um nya.

Sidoarjo, Juni 2016

Tim Penyusun

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

A. Pendahuluan

Dalam M at em at ika Dasar t er dapat konsep dari him punan obyek-obyek, khususnya t ent ang konsep him punan dari bilangan-bilangan yang banyak sekali dit erapkan unt uk m at em at ika lebih lanjut m aupun penerapan di bidang-bidang yang lain. Him punan bilangan yang pent ing unt uk diket ahui adalah him punan bilangan Asli, him punan bilangan Cacah, him punan bilangan Bulat , himpunan bilangan Rasional, him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur), dan him punan bilangan Real. Sifat -sifat dari bilangan ini akan digunakan dalam Bent uk Pangkat , Penarikan Akar, dan Logarit m a.

Diharapkan mahasisw a dapat m em ahami konsep him punan bilangan yang pent ing unt uk diket ahui dan m am pu menggunakan sifat-sifat dar i him punan bilangan diant aranya yait u Bent uk Pangkat , Penarikan Akar, dan Logarit m a.

B. Himpunan Bilangan

Konsep dari him punan obyek-obyek yang paling pent ing dipelajari unt uk m at em at ika lebih lanjut adalah konsep dari him punan bilangan-bilangan. Beber apa konsep dari him punan bilangan-bilangan t ersebut diant aranya adalah him punan bilangan Asli, him punan bilangan Cacah, him punan bilangan Bulat , himpunan bilangan Rasional, him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur), dan him punan bilangan Real.

1. Him punan bilangan Asli at au disebut juga him punan bilangan bulat posit if dapat

dit ulis sebagai : N

2. Him punan bilangan Cacah dit ulis : W

3. Him punan bilangan Bulat dit ulis : I -3, - 2, -

4. Him punan bilangan Rasional / Terukur dit ulis :

x x , a , b I , b 0 yait u bilangan yang dapat dinyat akan sebagai

hasil bagi ant ara dua bilangan bulat (pecahan) dengan syarat bahw a nilai

penyebut t idak sam a dengan nol, cont oh :

dan sebagainya.

Dengan dem ikian bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dit ulis dalam

bent uk pecahan

dengan

a dan b bilangan bulat dan b 0 . Adapun

him punan bilangan rasional t erdiri dari bilangan bulat , bilangan pecahan m urni, dan bilangan pecahan desim al.

5. Him punan bilangan Irrasional (t ak t erukur) dit ulis : Q ' x x Q yaitu bilangan yang t idak dapat dinyat akan sebagai hasil bagi ant ara dua bilangan

bulat (pecahan), t api dapat dinyat akan dengan bilangan desim al t ak t ent u at au

sebagainya.

6. Him punan bilangan Real (nyat a) dit ulis : R x x bilangan Real . Bilangan rasional dan Irrasional m erupakan him punan bilangan real.

Dengan dem ikian, him punan bilangan Asli adalah subset dari him punan bilangan Cacah. Him punan bilangan Cacah adalah subset dari him punan bilangan Rasional. Sedangkan him punan bilangan baik Rasional m aupun Irrasional disebut him punan bilangan Real. Him punan bilangan yang t idak Real adalah him punan bilangan Im aginer at aupun him punan bilangan Kom pleks. Him punan-him punan bilangan di at as dapat dit ulis dalam bent uk subset sebagai berikut :

Sifat Ket idaksam aan Bilangan Real

a. Sem barang bilangan Real a dan b, dapat t erjadi salah sat u dari t iga hal yait u : a <

b, b < a, at au a = b.

b. Jika a < b dan b < c m aka a < c .

c. Jika a < b, m aka a + c < b + c unt uk sem bar ang nilai c.

d. Jika a < b dan c > 0 m aka ac < bc.

e. Jika a < b dan c < 0 m aka ac > bc.

Sist em bilangan Real dibent uk at as dasar sist em bilangan Asli, di m ana sem ua sifat -sifat nya dapat dit urunkan. Jika x, y, dan z adalah bilangan Real m aka sifat -sifat bilangan Real adalah :

a. Sifat kom ut at if unt uk penjum lahan

x+y=y+x x+y=y+x

x.y = y.x

c. Sifat assosiat if unt uk penjum lahan

x + (y + z) = (x + y) + z

d. Sifat assosiat if unt uk perkalian

x (yz) = (xy) z

e. Sifat dist r ibut if

x (y + z) = xy + xz

f. Jika x dan y dua bilangan Real, m aka t erdapat suat u bilangan Real z sehingga x + z = y. Bilangan z ini kit a nyat akan dengan y x dan disebut selisih dari y dan x. Selisih x x kit a nyat akan dengan sim bol 0. Sim bol 0 ini selanjut nya disebut nol.

g. Terdapat paling sedikit sat u bilangan real x

x dan y dua bilangan Real dengan x

z dem ikian sehingga x.z = y.

Bilangan z ini kit a nyat akan dengan dan disebut hasil bagi dari y dan x. Hasil

bagi x dan x dinyat akan dengan sim bol 1, yang selanjut nya disebut sat u dan t idak bergant ung pada x.

C. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

1. Bentuk Pangkat Bulat Definisi

Fungsi not asi pangkat salah sat unya adalah unt uk m enyederhanakan penulisan at au m eringkas penulisan. Cont oh, 10.000.000,- dapat dit ulis dengan not asi

pangkat 10 7 . Not asi pangkat dapat m enghem at t em pat , sehingga not asi pangkat banyak digunakan dalam perum usan dan penyederhanakan perhit ungan.

Pangkat Bulat Positif

Perkalian berulang dari suat u bilangan dapat dinyat akan dalam bent uk bilangan berpangkat bilangan bulat posit if. Cont oh:

6 Bent uk 2 6 disebut bilangan berpangkat bulat posit if. Bilangan 2 disebut bilangan pokok at au bilangan dasar dan bilangan 6

yang dit ulis agak di at as disebut pangkat at au eksponen. Secara um um bilangan berpangkat dapat dit ulis :

Jika

a bilangan real at au

dan n bilangan bulat posit if, m aka

a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat .

Contoh 1.1

Contoh 1.2

Tent ukan nilai dar i persam aan berikut unt uk nilai variabel yang dit ent ukan.

3 1. 2 x 2 x 3 x 4 unt uk x=2

3 2 2 2. 3 3 x 2 x y 3 xy 4 y unt uk x = - 1 dan y = 2

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Pada bilangan berpangkat bulat posit if dapat dilakukan beberapa operasi aljabar sepert i : perkalian, pem angkat an, dan pem bagian unt uk bilangan berpangkat bulat

bent uk perkalian, pem angkat an, dan pem bagian dari bilangan berpangkat bulat posit if berikut :

posit if.

Perhat ikan

t eorem a-t eor em a

unt uk

a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat post it if m aka

b. Jika dan 0 , p dan q bilangan bulat posit if m aka b. Jika dan 0 , p dan q bilangan bulat posit if m aka

; jika q p

1 ; jika p q

c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat posit if m aka

a pq a a

d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat m aka

ab p a p b p

Contoh 1.3

Sederhanakan :

2. 8 x . x = x = x

3 2 3 3 2 1 3 5 3. 4 2 x y 3 x y 2 ( 3 ) x y 6 x y

Contoh 1.4

Kalikanlah 2 2 3 2 x 3 y xy dengan 4 x 2 y .

Penyelesaian

2 2 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 2 x y 3 xy 4 x y 2 ( 4 ) x y 3 ( 4 ) x y

8 x y 12 x y

Pangkat Bulat Negatif dan Nol

Jika pada bent uk perpangkat an pangkat dari bilangan dasar kurang dari sat u dan nol m aka akan diperoleh pangkat bilangan bulat negat if dan nol.

; -n a -4 -5 ; a a ; dan a 0 Unt uk m endefinisikan n a dengan a bilangan real dan n bilangan bulat negarif dan

nol, m aka dapat digunakan t eorem a-t eorem a perpangkat an pada bilangan bulat posit if, sepert i :

1 . Jika t eorem a

a digunakan m aka akan diperoleh

a a 1 dan unt uk q = p + n m aka diperoleh

Dengan dem ikian m aka t erdapat t eorem a berikut , Jika 0 , a bilangan real dan n bilangan bulat posit if m aka

a n dan a = 1.

2. Bentuk Akar

menyat akan akar pangkat dua yait u m erupakan kebalikan dari kuadrat . Pernyat aan yang dit ulis

dengan t anda akar disebut bent uk akar.

Contoh 1.6

1. Karena 5 2 = 25 m aka 25 5

2. 2 Karena 8 = 64 m aka 64 8

Contoh 1.7

Bent uk-bent uk berikut merupakan cont oh bent uk akar :

2 , 3 , 5 , 21 dan sebagainya.

Oper asi aljabar sepert i penjum lahan, pengurangan, perkalian, dan pem bagian dapat juga dilakukan t erhadap bent uk akar. Operasi t ersebut digunakan unt uk m erasionalkan penyebut yang dinyat akan dalam bent uk akar. Oper asi-operasi aljabar t ersebut adalah sebagai berikut :

a. a x b x a b x

b. a x b x

c. a . b ab

d. 2 a . a aa a a 2 a

e. a : b

a b ab

f.

c d cd

Contoh 1.8

Sederhanakanlah.

M erasionalkan Pecahan Bentuk Akar

Suat u pecahan yang penyebut nya m engandung bent uk akar dapat disederhanakan bent uknya dengan cara m erasionalkan bent uk akar yang ada pada penyebut nya. Unt uk merasionalkan bent uk pecahan dar i penyebut t ersebut m aka pem bilang dan penyebut harus dikalikan dengan bent uk rasional dari bent uk akar yang ada pada penyebut nya. Di baw ah ini bent uk-bent uk rum usan unt uk penyederhanaan pecahan yang m engandung bent uk akar :

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

Contoh 1.9

Rasionalkan penyebut pecahan berikut :

3. Pangkat Pecahan Definisi

Bilangan real n a yang m em enuhi persam aan a = b, disebut akar pangkat n dari b

dan dit ulis dengan a n b . Akar pangkat n dari b at au n b dapat juga dit ulis

1 sebagai bilangan berpangkat pecahan yait u b n . Dem ikian juga sebaliknya,

1 bilangan berpangkat pecahan yait u b n dapat dit ulis sebagai akar pangkat n dari

b at au n b . Jadi b n n b .

Jika b bukanlah pangkat n dari suat u bilangan rasional m aka penent uan dari n b

hasilnya akan m erupakan bilangan Irrasional. Jika nilai realnya diperlukan m aka sebaiknya m enggunakan alat hit ung sepert i kalkulat or at au komput er.

Jika m dan n adalah bilangan asli dengan n

a adalah bilangan real yang t idak negat if m aka :

nm

a a a dan a a a

Contoh 1.10

Sifat-sifat Pangkat Pecahan

a. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional m aka

b. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional m aka

c. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional m aka

a pq a

d. Jika a adalah bilangan real, a

p adalah bilangan rasional m aka

e. Jika a dan b adalah bilangan real, p, q, dan r adalah bilangan rasional m aka

pr

a qr . b a b a . b

a dan b adalah bilangan real, b p, q, dan r adalah bilangan rasional m aka :

a pr a

b qr b

4. Logaritma Definisi

Logarit m a m erupakan invers at au kebalikan dari eksponen at au perpangkat an.

M isalnya 3 = 9 dapat dit ulis dengan log 9 = 2; 3

2 3 -1

dapat dit ulis dengan

3 1 log

3 Dengan dem ikian bent uk logarit m a secara um um dit ulis :

Jika a a = b dengan a > 0 dan 1 maka log b=p

b, a disebut bilangan pokok logarit m a. Nilai a harus posit if dan 1. Jika bilangan pokok bernilai 10, m aka bilangan pokok 10 ini

Pengert ian dari penulisan a log

biasanya t idak dit ulis. M isalkan 10 log b = log b.

Jika bilangan pokoknya e at au bilangan euler dim ana e = 2,718281828 m aka nilai logar it m a dinyat akan dengan ln yait u singkat an dari logarit m a nat ural.

M isal : e log b = ln b

Contoh 1.11

1. Jika 2 3 = 8 m aka 2 log 8 = 3

2. Jika 3 = maka log

3. 4 Jika 10 = 10.000 m aka log 10.000 = 4

4. -2 Jika 10 = 0,01 m aka log 0,01 = -2

Sifat-sifat Logaritma

Sifat -sifat logarit m a digunakan unt uk menyederhanakan bent uk pernyat aan dalam logarit m a dan juga dapat mem bant u dalam penent uan nilai logarit m anya. Berikut ini adalah sifat -sifat logarit m a :

a. Logarit m a dari perkalian

a log MN= a log M + a log N, dimana a > 0

1 , M > 0 dan N > 0

Contoh 1.12

1. log 20 + log 5 = log (20.5) = log 100 = 2

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 m aka t ent ukan log 6! log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

b. Logarit m a dari pem bagian

log

= log M - log N, dimana a > 0

1 , M > 0 dan N > 0

Contoh 1.13

1. 2 log 48 2 log 3 = 2 log (48/ 3) = 2 log16 = 4

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 m aka t ent ukan log 1,5! log 1,5 = log (3/ 2) = log 3 log 2 = 0,4771 0,3010 = 0,1761

c. Logarit m a dari perpangkat an

log a M =p log M , dimana a > 0

1 ,M >0

Contoh 1.14

1. 2 log 27 = 2 log3 3 =3 2 log3

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 m aka t ent ukan log 36!

log 36 = log (2 2 .3 2 ) = log2 2 + log3 2 = 2 log 2 + 2 log 3 = 2 (0,3010) + 2 (0,4771) = 0,6020 + 0,9542 = 1,5562

d. M engubah basis logarit m a

log N

log N a , dimana a > 0, a 1, M > 0 dan N > 0

log M

Contoh 1.15

3 log 5

1. log 5 2 log 3

2. 2 Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 m aka t ent ukan log 3!

2 log 3 0 , 4771 log 3 1 , 5850

log 2 0 , 3010

e. Perpangkat an dengan logarit m a

a log a M M

Contoh 1.16

2 log 1. 3 2 3

2 log 3 3 2 log 3 2 log 3 3 3

D. Rangkum an

1. Him punan bilangan Real (nyat a) dit ulis : R x x bilangan Real Bilangan rasional dan Irrasional m erupakan him punan bilangan real.

2. Sifat Ket idaksam aan Bilangan Real

a. Sem barang bilangan Real a dan b, dapat t erjadi salah sat u dari t iga hal yait u :

a < b, b < a, at au a = b.

b. Jika a < b dan b < c m aka a < c .

c. Jika a < b, m aka a + c < b + c unt uk sem bar ang nilai c.

d. Jika a < b dan c > 0 m aka ac < bc.

e. Jika a < b dan c < 0 m aka ac > bc

3. Pangkat Bulat Posit if Jika a bilangan real at au

dan n bilangan bulat posit if, m aka

a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat

4. Sifat Pangkat Bulat Posit if

a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat post it if m aka

b. Jika dan 0 , p dan q bilangan bulat posit if m aka p a q ; jika p q

; jika q p

1 ; jika p q

c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat posit if m aka

a pq a a

d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat m aka

ab a b

5. Pangkat Bulat Negat if dan Nol

Jika 0 , a bilangan real dan n bilangan bulat posit if m aka

a n dan a =1

6. Oper asi aljabar pada bent uk akar

a. a x b x a b x

c. a . b ab

d. 2 a . a aa a a 2 a

e. a : b

a b ab

f.

c d cd

7. M erasionalkan pecahan bent uk akar

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

8. Logarit m a merupakan invers at au kebalikan dari eksponen at au perpangkat an.

Jika a n = b dengan a > 0 dan

1 maka a log b=p

9. Sifat -sifat Logarit m a

a. Logarit m a dari perkalian

a log MN= a log M + a log N, dimana a > 0

1 , M > 0 dan N > 0

b. Logarit m a dari pem bagian

log

log M - log N, dimana a > 0

1 , M > 0 dan N > 0

c. Logarit m a dari perpangkat an

log a M =p log M , dimana a > 0

1 ,M >0

d. M engubah basis logarit m a

log N

log N a , dimana a > 0, a 1, M > 0 dan N > 0

log M

a log a M M , dimana a > 0, a 1, M > 0

E. Latihan

1. Gam barkan dalam suat u skem a t ent ang pem bagian sist em bilangan real!

2. Selesaikan soal berikut :

a. 2 -3 .2 7

6 b. 5 (-3) . (-3)

2 5 3 3 x y . 10 xy

c. 2 4

3. Kerjakan soal bent uk akar berikut :

a. Sederhanakan 128

b. 125 3 81 4 ...

c. 3 Jika 2 L a . b maka nilai L untuk a 100 dan b 64 adalah ...

4 27 9 x y 3

d. Hit unglah

xy

e. Unt uk harga x=2 12 m aka t ent ukan nilai dari 3 x

4. Kerjakan soal logarit m a berikut :

ab

a. Uraikan bent uk a log

b. b m aka t ent ukan nilai 2 Jika 2 log 3 = a dan 2 log 5 = log 45 !

c. Jika 2 log 5 = p m aka t ent ukan nilai 2 log 40

d. Jika 2 log a = p dan 2 log b = q m aka t ent ukan a.b !

BAB II HIM PUNAN

A. Pendahuluan

Konsep him punan m erupakan suat u konsep yang t elah banyak m endasari perkem bangan ilm u penget ahuan, baik pada bidang m at em at ika it u sendiri m aupun pada disiplin ilm u lainnya. Perkem bangan pada disiplin ilm u lainnya t erut am a dalam hal pem bent ukan model diharuskan m enggunakan him punan / kelom pok dat a observasi dari lapangan. Dengan dem ikian t erlihat jelas begit u pent ing peran dari konsep him punan, dan sebagai aw al dari bahasan buku ajar ini akan dibahas pengert ian him punan, cara penyajian him punan, m acam -m acam him punan, relasi pada him punan dan operasi-operasi him punan.

Diharapkan m ahasisw a dapat m endeskripsikan pengert ian him punan, m enuliskan him punan dalam berbagai cara penulisan him punan, m enyebut kan m acam -m acam himpunan, m enent ukan relasi pada him punan dan m enggunakan operasi-operasi him punan.

B. Pengertian Himpunan

Ist ilah himpunan dalam m at em at ika berasal dar i kat a dalam bahasa Inggr is. Kat a lain yang sering digunakan unt uk m enyat akan himpunan ant ara lain kum pulan, kelas, gugus, dan kelom pok. Secar a sederhana, ar t i dari him punan adalah kumpulan objek-objek (real at au abst rak). Sebagai cont oh kum pulan buku- buku, kum pulan m at erai, kum pulan mahasisw a di kelasm u, dan sebagainya. Objek- objek yang dim asukan dalam sat u kelom pok haruslah m em punyai sifat -sifat t ert ent u yang sam a. Sifat t ert ent u yang sam a dari suat u him punan har us didefinisikan secara t epat , agar kit a t idak salah m engum pulkan objek-objek yang t erm asuk dalam him punan it u. Dengan kat a lain, him punan dalam pengert ian m at em at ika objeknya / anggot anya harus t ert ent u ( w ell def ined), jika t idak ia bukan himpunan.

Dengan dem ikian, kat a him punan at au kumpulan dalam pengert ian sehari-hari ada perbedaannya dengan pengert ian dalam m at em at ika. Jika kum pulan it u anggot anya t idak bisa dit ent ukan, m aka ia bukan him punan dalam pengert ian

Cont oh kum pulan yang bukan him punan dalam pengert ian m at em at ika adalah kum pulan bilangan, kum pulan lukisan indah, dan kumpulan m akanan lezat Pada cont oh di at as t am pak bahw a dalam suat u kum pulan ada objek. Objek t ersebut bisa abst rak at au bisa juga kongkrit . Pengert ian abst rak sendiri berart i hanya dapat dipikirkan, sedangkan pengert ian kongkrit selain dapat dipikirkan m ungkin ia bisa dilihat , dirasa, diraba, at au dipegang. Pada cont oh (1) objeknya adalah bilangan (abst rak). Objek t ersebut belum t ert ent u, sebab kit a t idak bisa m enent ukan bilangan apa saja yang t erm asuk dalam him punan t ersebut . Pada cont oh (2) dan (3), masing-m asing objeknya adalah lukisan dan m akanan, jadi ia kongkrit . Nam un dem ikian kedua objek t ersebut belum t ert ent u, sebab sifat indah dan lezat adalah relat if, unt uk set iap orang bisa berlainan.

Sekarang m arilah kit a pelajari cont oh kumpulan yang m erupakan him punan dalam pengert ian m at emat ika. M isal (1) kum pulan bilangan asli, (2) kumpulan bilangan cacah kur ang dari 10, (3) kum pulan w arna pada bendera RI, (4) kum pulan hew an berkaki dua, dan (5) kum pulan m anusia berkaki lim a

Pada kelim a cont oh di at as kum pulan t ersebut m em iliki objek (abst rak at au kongkrit ), dan sem ua objek pada him punan t ersebut adalah t ert ent u at au dapat dit ent ukan. Pada cont oh (1), (2), dan (3) objeknya abst rak, sedangkan pada cont oh (4) dan (5) objeknya kongkrit . Khusus unt uk cont oh (5) banyaknya anggot a 0 (nol), jadi ia t ert ent u juga. Unt uk hal yang t erakhir ini biasa disebut him punan kosong ( empt y set ), suat u konsep him punan yang didefinisikan dalam m at em at ika. Pem bicar aan lebih rinci m engenai him punan kosong akan dibahas pada bagian lain.

Terkait dengan pengert ian him punan, berikut adalah hal-hal yang harus anda cerm at i dan ingat , yait u objek-objek dalam suat u him punan m est ilah berbeda, art inya t idak t erjadi pengulangan penulisan objek yang sam a.

A = {a, c, a, b, d, c}. Himpunan A t ersebut t idak dipandang m em punyai jum lah anggot a sebanyak 6, t et api him punan t ersebut dipandang sebagai

Sebagai cont oh, m isalkan

A ={a, c, b, d} dengan jum lah anggot a sebanyak 4. Urut an objek dalam suat u him punan t idaklah dipent ingkan. M aksudnya him punan {1, 2, 3, 4} dan {2, 1, 4, 3} m enyat akan himpunan yang sam a.

C. Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal

A, B, C, D unt uk m enyat akan himpunan it u sendiri dinot asikan dengan t anda kurung kuraw al ( aqulade). Objek yang dibicarakan dalam him punan t ersebut dinam akan anggot a (elem en, unsur). Anggot a-anggot a dari suat u him punan dinyat akan dengan huruf kecil at au angka-angka dan berada di dalam t anda kuraw al. Tanda keanggot aan dinot asikan dengan , sedangkan t anda bukan anggot a dinot asikan dengan .

Suat u him punan dinyat akan dengan huruf kapit al, sepert i

Jika x adalah anggot a dari A m aka dapat dit ulis x A, dan jika y bukan anggot a himpunan

A. Banyaknya anggot a dari suat u him punan disebut dengan kardinal (bilangan kardinal) him punan t ersebut . Jika

A m aka dit ulis dengan y

A adalah suat u himpunan, m aka banyaknya anggot a dari

A (bilangan kardinal A) dit ulis dengan not asi n(A

Contoh 2.1

A = {a, b, c, d, e, f }, m aka n(A) = 6

D. Penulisan Himpunan

Ada em pat cara at au m et ode unt uk m enyat akan (m enuliskan) suat u himpunan, yait u :

1. Cara Tabulasi

Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaft aran ( rost er m et hod) at au enum erasi, yait u cara m enyat akan suat u him punan dengan m enuliskan anggot anya sat u per sat u. Unt uk m em bedakan anggot a yang sat u dengan yang lainnya digunakan t anda kom a (,). Jika banyaknya anggot a him punan it u cukup banyak at au t ak hingga, unt uk m enyingkat t ulisan biasanya digunakan t anda t it ik

dari himpunan it u bisa dit unjukan sat u persat u (diskrit ), m isal :

(1) A = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (2) B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100} (3) C = {m erah, jingga, kuning, hijau, biru}

A adalah t ak hingga sehingga t idak m ungkin dit uliskan sem ua anggot anya sat u persat u, oleh karena it u digunakan t it ik t iga set elah at uran (pola) bilangan yang disajikan dapat dilihat . Perhat ikan bahw a kit a t idak boleh menuliskan sepert i

Pada cont oh (1) banyak anggot a dari him punan

A = {0, ...} at au A =

{0, 1, ...} unt uk cont oh (1) sebab belum t am pak polanya. Penulisan sepert i it u bisa m engandung int erpret asi lain, sehingga t idak sesuai dengan yang dimaksudkan. Pada cont oh (2), juga digunakan t anda t it ik t iga karena banyak anggot anya cukup banyak dan at uran bilangannya sudah t am pak, yait u kuadrat dari bilangan cacah. Kardinal dari set iap him punan di at as adalah n(A) = ~, n(B) =

11, dan n(C) = 5.

2. Cara Pencirian / Deskriptif

rule met hod

disebut juga m et ode pem bent uk him punan. Dalam m enggunakan m et ode deskripsi ini, anggot a dari suat u him punan t idak disebut kan sat u per sat u, t et api penyajian anggot a him punannya dilakukan dengan m endefinisikan suat u at uran / rum usan yang m erupakan bat asan bagi anggot a-anggot a him punan. Him punan yang anggot anya diskrit dapat disajikan dengan cara deskripsi ini, akan t et api suat u him punan yang anggot anya kont inu hanya bisa disajikan dengan cara deskripsi, dan t idak bisa disajikan dengan cara t abulasi.

Contoh 2.2

1. A = adalah him puan bilangan cacah yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

Him punan

A, jika disajikan dengan cara t abulasi didapat :

A = {2, 3, 4, 5, 6. 7} sedangkan jika disajikan dengan m enggunakan m et ode deskripsi didapat :

A = {x | 1 < x < 8, x bilangan cacah}

2. B = {x | 1 < x < 8, x bilangan real}.

Him punan t ersebut t idak bisa disajikan dengan cara t abulasi, karena anggot anya kont inu. Kedua him punan t ersebut m em iliki kardinalit as yang ber beda, yait u n(

A) = 6 sedangkan n(

B) = ~.

3. Simbol-simbol Baku

Beberapa him punan yang khusus dit uliskan dengan sim bol-sim bol yang sudah baku. Terdapat sejum lah sim bol baku yang m enyat akan suat u him punan, yang biasanya disajikan dengan m enggunakan huruf kapit al dan dicet ak t ebal. Berikut adalah cont oh-cont oh him punan yang dinyat akan dengan sim bol baku, yang sering kit a dijum pai, yait u :

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}

P = him punan bilangan bulat posit if = {1, 2, 3, ...} Z = him punan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = him punan bilangan rasional R = him punan bilangan riil

C = him punan bilangan kom pleks

4. Diagram Venn

Dalam diagram venn, him punan sem est a S digam barkan dengan persegi panjang, sedangkan unt uk him punan lainnya digam barkan dengan lengkungan t ert ut up sederhana, dan anggot anya digambarkan dengan nokt ah. Anggot a dari suat u him punan digam barkan dengan nokt ah yang t erlet ak di dalam di dalam daerah lengkungan t ert ut up sederhana it u, at au di dalam persegi panjang unt uk anggot a yang t idak t erm asuk di dalam himpunan it u.

E. M acam-macam Himpunan

Beberapa konsep berkenaan dengan him punan yang didefinisikan dalam m at em at ika.

1. Himpunan kosong Definisi

A dikat akan him punan kosong jika dan hanya jika n(A) = 0. Him punan kosong dilambangkan dengan

Suat u him punan

(dibaca phi). Karena bilangan kardinal dari

sam a dengan nol, m aka him punan t idak mem punyai anggot a, sehingga = { }.

A n (A) = 0. Sebaliknya, jika n(A) = 0 m aka A adalah himpunan kosong. Berikut disajikan beberapa cont oh t ent ang him punan kosong.

Pengert ian jika dan hanya jika

Contoh 2.4

1. A = himpunan m ahasisw a Jurusan Ekonom i dan Bisnis Um sida angkat an 2015/ 2016 yang mem punyai t inggi badan di at as 3 m et er.

2. B = {x | 6 < x < 7, x bilangan bulat }

3. C = {x | x bilangan prim a kelipat an 6}

4. 2 D = {x | x < 0, x bilangan real}

2. Himpunan Semesta Definisi

Him punan sem est a S adalah him punan yang m em uat semua anggot a himpunan yang dibicar akan. Jika anda cerm at i definisi di at as, t am pak bahw a suat u him punan t ert ent u m erupakan him punan sem est a bagi dirinya sendiri. Him punan semest a dari suat u him punan t ert ent u t idaklah t unggal, t et api m ungkin lebih dari sat u. Coba anda per hat ikan cont oh berikut :

M isalkan A = {a, b, c}, m aka him punan sem est a dari A ant ara lain adalah :

S 1 = {a, b, c} S 2 = {a, b, c, d} S 3 = {a, b, c, d, e} S 4 = {a, b, c, d, e, f }

Dar i cont oh di at as, jelas bahw a him punan sem est a dari suat u him punan t idaklah t unggal. Suat u himpunan bisa m erupakan him punan semest a bagi him punan t ert ent u asalkan sem ua anggot a dari himpunan t ert ent u it u m enjadi anggot a dari himpunan sem est a.

F. Relasi antar Himpunan

1. Himpunan yang sama Definisi

Dua buah him punan A dan B dikat akan sam a, dilam bangkan A = B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B, dan juga set iap anggot a di B merupakan anggot a di A.

Pada definisi di at as, digunakan perkat aan jika dan hanya jika, ini m engandung art i bahw a :

a. jika him punan A sam a dengan B, m aka set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B, dan

b. jika t erdapat dua him punan sedem ikian hingga set iap anggot a pada himpunan pert am a merupakan anggot a pada himpunan kedua dan set iap anggot a pada him punan kedua m erupakan anggot a pada him punan pert am a, m aka dikat akan bahw a kedua him punan it u sam a.

Contoh 2.5

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan

B = {x | x < 9, x bilangan cacah} Him punan B jika dit uliskan dengan m et ode t abulasi maka di dapat B ={0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8} Dengan m em perhat ikan anggot a-anggot a pada A dan B, m aka jelas bahw a A = B.

Contoh 2.6

M isalkan C = {a, b, c, d} dan D = {c, a, b}. M eskipun set iap anggot a di D merupakan anggot a di C, akan t et api t idak set iap anggot a di C merupakan anggot a di D. Dengan dem ikian C D.

2. Himpunan bagian Definisi.

A dikat akan him punan bagian dari B, dilambangkan A B , jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B. Jika A B digam barkan dengan m enggunakan diagram venn, m aka didapat kan sebagai berikut .

Gam bar 2.2 A B

Sebagai cont oh bahw a {a, b, c} {a, b, c, d} dan {2, 4, 6, 8} {0, 2, 4, 6, 8,

10, 12, 14}. Anda past inya juga set uju bahw a A B adalah ekivalen dengan B

A . Penulisan B A lazim nya dimaknai sebagai B superset dari A.

Definisi.

A dikat akan him punan bagian sejat i (proper subset ) dar i B, A B , jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B dan paling sedikit t erdapat sat u anggot a di B yang bukan merupakan anggot a A. Sebagai cont oh, perhat ikan bahw a {1, 2, 3, 4, 5} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} akan t et api {a, b, c} {c, a, b}.

3. Himpunan Lepas Definisi

A dan B dikat akan lepas (disjoint ) jika dan hanya jika t idak t erdapat anggot a bersam a pada A dan B, at au dengan kat a lain A dan B dikat akan lepas jika

A B . Sim bol A B m enyat akan irisan dari A dan B.

Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.

Gam bar 2.3 A B

Contoh 2.7

M isalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, h, i, j, k} m aka didapat kan bahw a

A B . Karena A B m aka A dan B merupakan him punan yang lepas.

4. Himpunan Bersilangan Definisi

A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A B , at au dengan kat a lain

irisan dari kedua him punan t ersebut t idak kosong. Berikut adalah deskripsi dari

A bersilangan dengan B.

Gam bar 2.4 A B

Contoh 2.8

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {d, e, f, g, h, i} m aka didapat kan bahw a

A B = {d, e, f }. Karena A B = {d, e, f m aka A dan B m erupakan

himpunan yang bersilangan.

5. Himpunan Ekuivalen Definisi

A ekuivalen dengan him punan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika banyaknya anggot a dari A sama dengan banyaknya anggot a B, at au n(A) = n(B).

Contoh 2.9

A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

B = { a , b, c, d, e, f } n (A) = 6 dan n(B) = 6 M aka A ~ B

6. Himpunan Kuasa (Pow er Set) Definisi

Him punan Kuasa dari him punan A, dilam bangkan P(A), adalah suat u him punan yang anggot anya m erupakan sem ua him punan bagian dari A, t erm asuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Contoh 2.10

A = {a, b, c}. Him punan bagian dari A adalah , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Sehingga P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}}

G. Operasi Himpunan

1. Irisan (Intersection) Definisi

Irisan dari A dan B, dilam bangkan A B , adalah him punan yang anggot a-

anggot anya m erupakan anggot a dari himpunan A dan sekaligus anggot a himpunan B.

A B x x A dan x B

Gam bar 2.5 A B

Contoh 2.11

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka A B = {a, e}.

Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.6

Daerah yang diarsir m enyat akan A B

Contoh 2.12

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A B .

Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut

Gam bar 2.7 Karena A B m aka t idak ada daerah yang diarsir

2. Gabungan (Union) Definisi

Gabungan ant ara him punan A dan him punan B dilam bangkan A B , adalah

himpunan yang anggot a-anggot anya merupakan anggot a him punan A at au anggot a him punan B.

A B x x A atau x B

A Gam bar 2.8 B

Contoh 2.13

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka A B = {a, b, c, d, e, f, g}.

Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.9

Daerah yang diarsir m enyat akan A B .

Contoh 2.14

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f } dan B = { g, h, i, j} m aka A B = {a, b, c, d, e, f, g, h,

}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut . i, j

Gam bar 2.10

Daerah yang diarsir m enyat akan A B

3. Komplemen Definisi

Diberikan him punan universal (sem est a) S dan him punan A. A S , kom plemen

dari A, dilam bangkan A S yang tidak t erm asuk di A.

A ' x x S dan x A

Gam bar 2.11

Contoh 2.16

M isalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka B himpunan bilangan S selain B, yait u B

4. Selisih Himpunan

Selisih dari A dan B, dilam bangkan A B, adalah him punan yang anggot a- anggot anya m erupakan anggot a dari him punan A t et api bukan m erupakan anggot a dari him punan B.

A B x x A dan x B

Gam bar 2.12

Contoh 2.17

M isalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} m aka A - B = {b, c, d, f }. Diagr am venn-nya adalah sebagai berikut .

Gam bar 2.13 Daerah yang diarsir m enyat akan A B

H. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Sifat Ident it as

2. Sifat Dominasi

3. Sifat Kom plem en

4. Sifat Idem pot en

5. Sifat Penyerapan

6. Sifat Kom ut at if

A B B A atau A B B A

7. Sifat Asosiat if

A B C A B C atau A B C A B C

8. Sifat Dist ribut if

A B C A B A C atau A B C A B A C

Sifat De-M or gan

A B ' A ' B ' atau A B ' A ' B '

9. Sifat Kom plem en ke-2 ' S atau S '

I. Rangkuman

1. Him punan dalam pengert ian m at emat ika objeknya / anggot anya harus t ert ent u (w ell def ined), jika t idak ia bukan him punan.

2. Penulisan Him punan. Ada em pat m et ode dalam m enuliskan him punan :

a. Cara Tabulasi Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaft ar an (rost er m et hod) at au enum erasi, yait u cara m enyat akan suat u him punan dengan m enuliskan anggot anya sat u per sat u. Unt uk m em bedakan anggot a yang sat u dengan yang lainnya digunakan t anda kom a (,). Jika banyaknya anggot a him punan it u

b. Cara Pencirian / Deskript if

at au disebut juga m et ode pem bent uk him punan. Dalam menggunakan m et ode deskripsi ini, anggot a dari suat u him punan t idak disebut kan sat u per sat u, t et api penyajian anggot a him punannya dilakukan dengan m endefinisikan suat u at uran/ rum usan yang m erupakan bat asan bagi anggot a-anggot a him punan.

rule met hod

c. Simbol-sim bol Baku Berikut adalah cont oh-cont oh him punan yang dinyat akan dengan sim bol baku, yang sering kit a dijum pai, yait u :

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...} P = him punan bilangan bulat posit if = {1, 2, 3, ...} Z = him punan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = him punan bilangan rasional R = him punan bilangan riil

C = him punan bilangan kom pleks

d. Diagr am Venn Dalam diagram venn him punan sem est a S digam barkan dengan persegi panjang, sedangkan unt uk him punan lainnya digam barkan dengan lengkungan t ert ut up sederhana, dan anggot anya digam barkan dengan nokt ah. Anggot a dari suat u him punan digam barkan dengan nokt ah yang t erlet ak di dalam di dalam daer ah lengkungan t ert ut up sederhana it u, at au di dalam persegi panjang unt uk anggot a yang t idak t erm asuk di dalam himpunan it u.

3. Beberapa konsep m acam-m acam him punan :

a. Him punan Kosong Suat u him punan A dikat akan himpunan kosong jika dan hanya jika n(A) = 0. Him punan kosong dilam bangkan dengan

(dibaca phi). Karena bilangan kardinal dar i

sama dengan nol, m aka himpunan t idak m em punyai anggot a, sehingga = { }

4. Relasi ant ar Him punan :

a. Him punan yang sam a Dua buah him punan A dan B dikat akan sam a, dilam bangkan A = B, jika dan hanya jika set iap anggot a di A merupakan anggot a di B, dan juga set iap anggot a di B merupakan anggot a di A.

b. Him punan Bagian

A dikat akan him punan bagian dari B, dilam bangkan A B , jika dan hanya jika set iap anggot a di A m erupakan anggot a di B.

c. Him punan Lepas

A dan B dikat akan lepas (disjoint ) jika dan hanya jika t idak t erdapat anggot a bersam a pada A dan B, at au dengan kat a lain A dan B dikat akan lepas jika

d. Him punan Bersilangan

A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A B , at au dengan kat a lain

irisan dari kedua him punan t ersebut t idak kosong

e. Him punan Ekuivalen

A ekivalen dengan him punan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika banyaknya anggot a dari A sam a dengan banyaknya anggot a B, at au n(A) = n (B).

f. Him punan Kuasa (Pow er Set ) Him punan Kuasa dari him punan A, dilam bangkan P(A), adalah suat u himpunan yang anggot anya m erupakan sem ua him punan bagian dari A, t erm asuk him punan kosong dan him punan A sendiri.

5. Oper asi Him punan

a. Irisan (Int ersect ion) Irisan dari A dan B, dilambangkan A B , adalah himpunan yang anggot a-

anggot anya merupakan anggot a dari him punan A dan sekaligus anggot a himpunan B.

A B x x A dan x B

himpunan yang anggot a-anggot anya merupakan anggot a him punan A at au anggot a him punan B.

A B x x A atau x B

c. Kom plem en Diberikan him punan universal (sem est a) S dan him punan A. A S ,

kom plem en dari A, dilambangkan A S yang tidak t erm asuk di A.

A ' x x S dan x A

d. Selisih Selisih dari A dan B, dilam bangkan A B, adalah him punan yang anggot a- anggot anya m erupakan anggot a dari himpunan A t et api bukan m erupakan anggot a dari him punan B.

A B x x A dan x B

6. Sifat -sifat Oper asi pada Him punan

a. Sifat Ident it as

b. Sifat Dominasi

c. Sifat Kom plem en

d. Sifat Idem pot en

e. Sifat Penyerapan

f. Sifat Kom ut at if

A B B A atau A B B A

g. Sifat Asosiat if

A B C A B C atau A B C A B C

A B C A B A C atau A B C A B A C

i. Sifat De-M or gan

A B ' A ' B ' atau A B ' A ' B '

j. Sifat Kom plem en ke-2

' S atau S '

J. Latihan

1. M isalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4}. Dengan m enggunakan car a t abulasi t ent ukan himpunan berikut :

a. A B

b. A B

c. A B '

d. A B '

e.

f.

g. A 'B '

h. A 'B '

i. Apakah A B ' A ' B ' ? j. Apakah A B ' A ' B ' ?

2. Dengan m enggunakan diagram venn t unjukkan bahw a :

a. A B C A B A C

b. A B C A B A C

3. Dar i 100 orang m ahasisw a, 60 m ahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggr is, 50 m ahasisw a m engikut i kuliah St at ist ika, 30 m ahasisw a m engikut i kuliah M at em at ika Dasar, 30 mahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggris dan St at ist ika,

16 m ahasisw a m engikut i kuliah Bahasa Inggris dan M at em at ika Dasar, 10 m ahasisw a mengikut i kuliah St at ist ika dan M at em at ika Dasar, dan 6 m ahasisw a m engikut i kuliah ket iga-t iganya. Berapa banyak mahasisw a yang m engikut i kuliah Bahasa Inggris, at au St at ist ika, at au M at emat ika Dasar?

4. M anakah dari him punan berikut ini, yang m er upakan him punan kosong? Jelaskan!

b. 2 {x | x = 9 dan 2x = 4}

c.

d. {x | x + 6 = 6, x bilangan asli}

5. M isalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D = {a, b, c}, E = {1, 2}, F = {0, 1, 2, 3}, dan G = {bilangan cacah ant ara 0 dan 4}

a. Him punan m anakah yang sam a dengan A ?

b. Him punan m anakah yang ekivalen dengan A ?

c. Jika H dan I adalah him punan, sedem ikian sehingga berlaku H = I, apakah H ~

I ? Jelaskan!

d. Jika J dan K adalah him punan, sedem ikian sehingga berlaku J ~ K, apakah J = K ? Jelaskan!

6. M isalkan A = {2, {4,5}, 4}. M anakah pernyat aan yang salah? Jelaskan!

a. {4, 5} A

b. {4, 5} A

c. {{4, 5}} A

BAB III PERSAM AAN DAN PERTIDAKSAM AAN LINEAR

A. Pendahuluan

Dasar dari suat u persam aan adalah sebuah pernyat aan m at em at ika yang t erdiri dari dua ungkapan pada ruas kanan dan ruas kir i yang dipisahkan oleh t anda

variabel. Dan sebuah penyelesaian dari suat u persam aan berupa nilai yang jika disubst it usikan pada variabel menghasilkan sebuah pernyat aan yang benar.

Sem ent ara it u, ist ilah-ist ilah sepert i lebih dari, kurang dari, lebih besar, lebih kecil, lebih t inggi, lebih rendah, t idak sama sudah menjadi bahasa sehari-hari dalam m asyarakat . Ist ilah-ist ilah t ersebut digunakan unt uk m enent ukan nilai m aksimum at au nilai m inim um dari suat u perm asalahan at au pernyat aan yang dapat dimodelkan secara m at em at is.

Diharapkan m ahasisw a dapat menent ukan penyelesaian dari persam aan linear sat u variabel dan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan linear sat u variabel.

B. Persamaan Linear Satu Variabel Definisi

Suat u persamaan yang m em uat sat u variabel berpangkat sat u.

Contoh 3.1

1. x =9

2. 5x + 4 = 29

3. 3x 2 = x + 24

Sebuah penyelesaian unt uk suat u persam aan adalah sebarang bilangan yang m em buat persam aan it u benar jika bilangan it u disubst it usikan pada variabel.

Contoh 3.2

1. 3x = 21 Persam aan ini m em punyai penyelesaian bilangan 7, karena 3(7) = 21 adalah

benar. Sem ent ara bilangan 5 bukan sebuah penyelesaian dari 3x = 21, karena 3(5) = 21 adalah salah.

2. 3x 2 = x + 24 Jika persamaan ini diselesaikan m aka m em punyai penyelesaian bilangan 13, karena 3(13) 2 = 13 + 24.

Prinsip Penjumlahan dan Perkalian

Ada dua prinsip yang diperbolehkan unt uk m enyelesaikan berm acam -m acam persam aan.

Pertama , Prinsip Penjumlahan

Unt uk sebar ang bilangan real a, b dan c, jika a = b m aka berlaku

a +c = b + c

a c=b c

Kedua , Prinsip Perkalian

Unt uk sebar ang bilangan real a, b dan c, jika a = b m aka berlaku a.c=b.c

, benar dengan c 0 .

Contoh 3.3

Tent ukan penyelesaian dari 3x 2 31 .

Penyelesaian :

3 x 2 31

3 x 2 2 31 2 menggunaka n prinsip penjumlaha n, kedua ruas ditambah 2

3 x 33

33 menggunaka n prinsip perkalian, kedua ruas dikali

3 x 11

Contoh 3.4

Tent ukan penyelesaian dari 3 x 1 1 5 5 x 5

Penyelesaian :

3 x 3 1 5 5 x 25 sifat dist ribut if

3 x 4 5 x 20

3 x 4 4 5 x 20 4 kedua ruas dit am bah 4

3 x 5 x 16

3 x 5 x 5 x 5 x 16 kedua ruas dit am bah 5x

8x 16

. 16 kedua ruas dikali

=-2 x

C. Persamaan Ekuivalen Definisi

Persam aan Ekuivalen adalah persam aan yang m em punyai him punan penyelesaian yang sam a.

Contoh 3.5

(1) 2x = 12 (2) - 5x = - 30 (3) 3x + 5 = 23 (4) 2x 5 = x + 1 Keem pat

m em punyai him punan penyelesaian yang sam a yait u x = 4.

persam aan

t ersebut

ekuivalen

karena

D. Persamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel

Yait u persam aan yang m em uat pecahan. Unt uk menyelesaikan persam aan pecahan ini digunakan perkalian dengan variabel.

Contoh 3.6

Tent ukan penyelesaian dari

Penyelesaian :

15 15 kedua ruas dikali 15

15 15 3 sifat distributi f

8 x 6 6 3 6 kedua ruas ditambah 6

9 kedua ruas dikali

E. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Definisi

Suat u pert idaksam aan yang hanya m empunyai sat u variabel dengan pangkat t ert inggi variabelnya sat u.

Contoh 3.7

1. x <9

2. 5x + 4 > 29

3. 3x 2 < x + 24

Pada prinsipnya penyelesaian pert idaksam aan linear m irip dengan persam aan linear. Hal ini dapat dilihat pada t abel perbandingan berikut .

No Penyelesaian Persamaan Penyelesaian Pertidaksamaan

1. Prinsip Penjumlahan

Prinsip Penjumlahan

M enam bah dengan M enam bah dengan bilangan yang sam a bilangan yang sam a pada pada kedua ruas. kedua ruas.

2. Prinsip Perkalian

Prinsip Perkalian

Kedua ruas

dikalikan

1. Jika kedua ruas dikalikan dengan

dengan

bilangan posit if yang sam a m aka sam a.

bilangan

yang

t anda

pert idaksam aan t idak

berubah.

2. Jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan negat if yang sam a, t anda pert idaksam aan berubah dari <

sebaliknya.

Contoh 3.8

Tent ukan penyelesaian dari 2x 4 6 .

Penyelesaian :

2 x 4 4 6 4 kedua ruas ditambah 4

2 x 10

10 kedua ruas dikali

x 5 Jadi him punan penyelesaiannya x x 5

Contoh 3.9

Tent ukan penyelesaian dari 3 x 5 x 7 .

Penyelesaian :

3 x 5 5 x 7 5 kedua ruas ditambah 5

3 x x 12

3 x x x x 12 kedua ruas ditambah x

2 x 12

12 kedua ruas dikali

x 6 Jadi him punan penyelesaiannya x x 6 .

Contoh 3.10

4 . Penyelesaian :

Tent ukan penyelesaian dari 3 x 2 2 x 7 2 3 x

3 x 4 x 14 6 2 x 4 sifat distributi f

x 14 2 2 x

x 14 14 2 2 x 14 kedua ruas ditambah 14

x 2 x 12

12 kedua ruas ditambah x

. 12 kedua ruas dikali

Jadi him punan penyelesaiannya x x 4

Contoh 3.11

Tent ukan him punan penyelesaian dari 3 x 7 11 .

Penyelesaian :

3 x 7 11

Unt uk menyelesaikan soal ini m enggunakan dua langkah karena menyelesaikannya m enggunakan kom binasi pert idaksam aan. Langkah I.

3 7 x 7 7 kedua ruas ditambah 7

Langkah II.

x 7 11

x 7 7 11 7 kedua ruas ditambah 7 x 4 ...( 2 )

Dar i (1) dan (2) dikom binassikan m aka himpunan penyelesaiannya x 4 x 4

F. Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel

Yait u pert idaksam aan yang m emuat pecahan. Unt uk m enyelesaikan pert idaksam aan pecahan ini digunakan perkalian variabel.

Contoh 3.12

Tent ukan him punan penyelesaian dari

Penyelesaian :

12 12 1 kedua ruas dikali 12

4 x 12 3 x

kedua ruas ditambah 3 x x 12

4 x 3 x 12 3 x 3 x

Jadi him punan penyelesaiannya x x 12

G. Rangkuman

1. Persam aan adalah sebuah pernyat aan m at em at ika yang t erdiri dari dua ungkapan pada ruas sam a dengan)

2. Penyelesaian unt uk suat u persam aan adalah sebarang bilangan yang m em buat persam aan it u benar jika bilangan it u disubst it usikan pada variabel.

3. Unt uk set iap a , b , c R

Jika a = b m aka a + c = b + c

4. Unt uk set iap a , b , c R

Jika a = b m aka a . c = b . c

5. Unt uk set iap a , b , c R

Jika a = b m aka

,c 0

Jika a . b = 0 m aka a = 0 at au b = 0 Jika a = 0 at au b = 0 m aka ab = 0

6. Persam aan-persamaan yang m em punyai him punan penyelesaian yang sama disebut persam aan ekuivalen

8. Prinsip-prinsip unt uk m enyelesaikan pert idaksam aan :

a. Prinsip Penjum lahan, kedua ruas dit am bah dengan bilangan yang sam a.

b. Prinsip Perkalian, kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sam a.

1) Jika dikalikan dengan bilangan posit if t anda pert idaksam aan t idak berubah.

2) Jika dikalikan dengan bilangan negat if t anda per t idaksam aan berubah kebalikannya.

H. Latihan

1. Tent ukan penyelesaian dari persamaan berikut :

a. x 1=x+3

b. 19x 78 + 53x = 30 + 18x

c. (3x 2) 2(6 x) = 1

d. 3(7 2x) + (x 1) 5(2 x) = 2x + 1

2. Tent ukan penyelesaian dari persam aan berikut :

a.

b.

c. x x 2 x 2

3. Tent ukan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan berikut :

a. - 24x < 8

b. (3x 2) 2(6 x) > 1

c. 3(7 2x) + (x 1) 5(2 x

x +1

4. Tent ukan him punan penyelesaian dari pert idaksam aan berikut :

a. x

b.

c. 2 3 x 2

d.

5. Him punan penyelesaian dari pert idaksam aan

BAB IV FUNGSI

A. Pendahuluan

Salah sat u konsep dalam m at em at ika yang paling pent ing adalah konsep fungsi. Dengan konsep fungsi, para m at em at ikaw an m aupun para ahli di bidang yang lain dengan jelas dapat m enget ahui apakah suat u st rukt ur ident ik dengan st rukt ur yang lain. Dan ham pir sem ua cabang m at em at ika m enggunakan konsep fungsi dalam pengem bangannya.

Fungsi linear dan fungsi kuadrat merupakan salah sat u fungsi yang banyak digunakan dalam kehidupan. Banyak m asalah sehari-hari m enjadi lebih m udah diselesaikan dengan m enggunakan konsep fungsi linear dan fungsi kuadrat .

Diharapkan m ahasisw a dapat m enerapkan konsep fungsi baik fungsi linear m aupun fungsi kuadrat dalam berbagai permasalahan sehari-hari dan berbagai bidang pengem bangan ilmu yang lain

B. Pengertian Fungsi Definisi

Suat u fungsi f dari him punan A ke him punan B adalah suat u relasi yang m em asangkan set iap elemen dari A secara t unggal, dengan elem en pada B.

Apabila f m emet akan suat u elem en x A ke suat u y B dikat akan bahw a y adalah pet a dari x oleh f dan pet a ini dinyat akan dengan not asi f(x), dan biasa dit ulis dengan f : x