2003 Aplikasi Deret Tak Hingga Pada Distribusi Peluang Diskret yang Khusus
.{PLIIL{SI DERIT T-{I\
Hf\rc-{
DISTRIBLSI PELI-"{.\G DISKRET
P.{D.{
}'A\G KHLSLS')
Kismiantini dan Himmarvati P.L.
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA LINY
Abstrak
Tulisan ini membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang
diskret yang khusus. Deret tak hingga digunakan dalam menunjukkan suatu fungsi
merupakan fungsi peluang. Di samping itu juga digunakan untuk mencari mean,
variansi, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi peluang diskret yang
khusus yang mempunyai nilai x sampai takhingga.
Kata kunci : deret tak hingga, distribusi peluang diskret
PEI{DAHULUAN
Tulisan ini akan membahas tentang penerapan deret tak hingga pada bidang statistika,
i aitu pada distribusi peluang diskret yang khusus. Pada buku-buku Statistika Matematis yang
:itumpai, pembuktian pada fungsi peluang, mean,variansi, dan fungsi pembangkit momen pada
suaru distribusi peluang diskret yang khusus sering
:iskret yang khusus dengan nilai
"r mendekati
tidak ditunjukkan. Pada distribusi peluang
tak hingga, deret tak hingga dapat digunakan untuk
:nenunjukkan suatu fungsi merupakan fungsi peluang, serta untuk mencari mean, variansi dan
lungsi pembangkit momennya. Tulisan ini akan menjelaskan hal tersebut.
Sebelum membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang diskret yang
khusus, terlebih dahulu akan disajikan pengertian deret tak hingga dan peluang serta beberapa
konsep dasarnya.
Definisi
I
(Stewart, 1987)
Suatu deret tak hingga adalahjumlahan sebanyak tak hingga bilangan-bilangan
ar+
a2 + a3 + aq
*...
Jumlahan dari n suku pertama suatu deret tak hingga disebut jumlahanparsial ke-n dan
dinotasikan S,, yaitu
Sn
= ar + a2 + at * ...+ a*
=fa,
i=1
\{akalah ini diseminarkan dalam Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA pada tanggal28
Juni 2003 di Hotel Sahid Yogyakarta oleh FMIPA tJ}rry
Etff-ts&hragEndm
E
il frQlr
h--.
L llahi
Ilapbabcd
fitar&a
*
huga
-lt
yang
ahn diguaakan
o+u+d +o'+aro +-..
IH iri tmqgen jfta dar hanya jika l"l . f dengan Limit .o
l*r
Ibo: I .ltn s*rsutmya berupa variabel, makaderetnya dapatditulis sebagai berikut
I
-f(x):=i-:
l--r
Jile
l+-r+ x'
euflr)= +
I--r
f
+ xa
+...
(r-rf =1+3x+6x2
:
+4x3 +...
fite 'flx)=l\ ' l-x at*o*an
L
x'
diturunkan maka diperoleh deret baru, yaitu
(r-#- =l+2x+3x2
-
+
lagi maka diperoleh deret
+10x3
+...
Deret Taylor fungsifir) di sekitar titik a
* f(k)(a\
f(,):Z;(*-a)o
k=A
Deret Taylor di
x:0
untuk
f (x) = e'
akafimenjadi deret Maclaurin, yaitu
e'=l*!**L*, +!*, +...
1! 21 3!
Jilru
f(x)=(t+r)r
(r
maka ekspansi deret Taylor tungsi ini adalah
+r), =t+ L x *
#;
* P(P
*tk - z),r.
+...
Jikax diganti -x danp diganti *pmakadidapatkan deret
,l .
Q*.Y
Pada deret
=1a!-**(p*l)p *z *(p+zY,p+l)p
di
(r- *)'*'
2t
atas
=
*3
3l
jikap : r+2 maka deretnya menjadi
1*? +2) * *(' +3\'
2l
+ 2)
*, *
*...
:
:
"',
&{frFl*fagiry+66k6
tfu ffi
ffi
htk
pg bcrtdm dcnrn rra
Hqera hitrmya dengan adanya
IEfl
ff
II mot - kofu-rri-pgh
fi
Eh troecs mk mernbanglritkan data. Hasil dari suatu
p&a fi* dalu berry hlilgm, cmtohrr5na ndetah
l- Pde pdamhmgm mda uang logam setimbang sebanyak 3 kali,jika yang diamati adalah
:
tm5atnSa sisi B yang muncul.
L
tht
ltda
sranr percobaan untuk mengetahui jenis golongan daruhpada manusia.
mempermuaan dahm menganalisis hasil percobaan tersebut maka perlu dilakukan
ptcri:m nilai real pada hasil percobaan tersebut. Pemberian nilaireallskor inilah yang disebut
*t'i
mendefinisikan peubah acak.
E
sampel (S) adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
J*a X
adalah suatu peubah acak
dt manaX: S-+
n {X suatu fungs i
dan,S ke
fr),
maka
: {renl X$) : x, xcS}, adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin daf, X,sedangkan x
qmtan nrlai vaiabel X.
XIS)
fite x(s):
IDUBAE ACAK DISKRET
MsalXsuatu
peubah acak diskret.
Ifcfinisi 2 (Bain& Engelhardt, l99Z)
uk
Fungsi/: fr -+ [0,1J denganflx) : P(X: -r) disebut
diskret X jikamemenuhi :
1) 0<
2)
Zf
sebagai fungsi peluang dari peubah
f(*)
Hf\rc-{
DISTRIBLSI PELI-"{.\G DISKRET
P.{D.{
}'A\G KHLSLS')
Kismiantini dan Himmarvati P.L.
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA LINY
Abstrak
Tulisan ini membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang
diskret yang khusus. Deret tak hingga digunakan dalam menunjukkan suatu fungsi
merupakan fungsi peluang. Di samping itu juga digunakan untuk mencari mean,
variansi, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi peluang diskret yang
khusus yang mempunyai nilai x sampai takhingga.
Kata kunci : deret tak hingga, distribusi peluang diskret
PEI{DAHULUAN
Tulisan ini akan membahas tentang penerapan deret tak hingga pada bidang statistika,
i aitu pada distribusi peluang diskret yang khusus. Pada buku-buku Statistika Matematis yang
:itumpai, pembuktian pada fungsi peluang, mean,variansi, dan fungsi pembangkit momen pada
suaru distribusi peluang diskret yang khusus sering
:iskret yang khusus dengan nilai
"r mendekati
tidak ditunjukkan. Pada distribusi peluang
tak hingga, deret tak hingga dapat digunakan untuk
:nenunjukkan suatu fungsi merupakan fungsi peluang, serta untuk mencari mean, variansi dan
lungsi pembangkit momennya. Tulisan ini akan menjelaskan hal tersebut.
Sebelum membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang diskret yang
khusus, terlebih dahulu akan disajikan pengertian deret tak hingga dan peluang serta beberapa
konsep dasarnya.
Definisi
I
(Stewart, 1987)
Suatu deret tak hingga adalahjumlahan sebanyak tak hingga bilangan-bilangan
ar+
a2 + a3 + aq
*...
Jumlahan dari n suku pertama suatu deret tak hingga disebut jumlahanparsial ke-n dan
dinotasikan S,, yaitu
Sn
= ar + a2 + at * ...+ a*
=fa,
i=1
\{akalah ini diseminarkan dalam Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA pada tanggal28
Juni 2003 di Hotel Sahid Yogyakarta oleh FMIPA tJ}rry
Etff-ts&hragEndm
E
il frQlr
h--.
L llahi
Ilapbabcd
fitar&a
*
huga
-lt
yang
ahn diguaakan
o+u+d +o'+aro +-..
IH iri tmqgen jfta dar hanya jika l"l . f dengan Limit .o
l*r
Ibo: I .ltn s*rsutmya berupa variabel, makaderetnya dapatditulis sebagai berikut
I
-f(x):=i-:
l--r
Jile
l+-r+ x'
euflr)= +
I--r
f
+ xa
+...
(r-rf =1+3x+6x2
:
+4x3 +...
fite 'flx)=l\ ' l-x at*o*an
L
x'
diturunkan maka diperoleh deret baru, yaitu
(r-#- =l+2x+3x2
-
+
lagi maka diperoleh deret
+10x3
+...
Deret Taylor fungsifir) di sekitar titik a
* f(k)(a\
f(,):Z;(*-a)o
k=A
Deret Taylor di
x:0
untuk
f (x) = e'
akafimenjadi deret Maclaurin, yaitu
e'=l*!**L*, +!*, +...
1! 21 3!
Jilru
f(x)=(t+r)r
(r
maka ekspansi deret Taylor tungsi ini adalah
+r), =t+ L x *
#;
* P(P
*tk - z),r.
+...
Jikax diganti -x danp diganti *pmakadidapatkan deret
,l .
Q*.Y
Pada deret
=1a!-**(p*l)p *z *(p+zY,p+l)p
di
(r- *)'*'
2t
atas
=
*3
3l
jikap : r+2 maka deretnya menjadi
1*? +2) * *(' +3\'
2l
+ 2)
*, *
*...
:
:
"',
&{frFl*fagiry+66k6
tfu ffi
ffi
htk
pg bcrtdm dcnrn rra
Hqera hitrmya dengan adanya
IEfl
ff
II mot - kofu-rri-pgh
fi
Eh troecs mk mernbanglritkan data. Hasil dari suatu
p&a fi* dalu berry hlilgm, cmtohrr5na ndetah
l- Pde pdamhmgm mda uang logam setimbang sebanyak 3 kali,jika yang diamati adalah
:
tm5atnSa sisi B yang muncul.
L
tht
ltda
sranr percobaan untuk mengetahui jenis golongan daruhpada manusia.
mempermuaan dahm menganalisis hasil percobaan tersebut maka perlu dilakukan
ptcri:m nilai real pada hasil percobaan tersebut. Pemberian nilaireallskor inilah yang disebut
*t'i
mendefinisikan peubah acak.
E
sampel (S) adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
J*a X
adalah suatu peubah acak
dt manaX: S-+
n {X suatu fungs i
dan,S ke
fr),
maka
: {renl X$) : x, xcS}, adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin daf, X,sedangkan x
qmtan nrlai vaiabel X.
XIS)
fite x(s):
IDUBAE ACAK DISKRET
MsalXsuatu
peubah acak diskret.
Ifcfinisi 2 (Bain& Engelhardt, l99Z)
uk
Fungsi/: fr -+ [0,1J denganflx) : P(X: -r) disebut
diskret X jikamemenuhi :
1) 0<
2)
Zf
sebagai fungsi peluang dari peubah
f(*)