KEKONVERGENAN INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS PADA RUANG EUCLIDE Rn | Rahman | BIMIPA 13907 28579 1 PB

Hairur Rahman dan Soeparna Darmawijaya, Kekonvergenan Integral Henstock

KEKONVERGENAN INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS
PADA RUANG EUCLIDE R n
(Henstock-Pettis Integral Convergence in Euclidean Space)
Hairur Rahman1 dan Soeparna Darmawijaya2
1

2

Universitas Muhamadiyah Malang
Jurusan Matematika FMIPA UGM, Sekip Utara Yogyakarta

ABSTRAK
Dalam paper ini dibicarakan integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide R n .
Pembahasannya meliputi beberapa sifat fungsi terintegral Henstock-Pettis pada ruang
Euclide R n , fungsi primitif, lemma Henstock, dan beberapa teorema kekonvergenannya.
Kata kunci: Integral Henstock, Ruang Euclide R n , fungsi terintegral Henstock Pettis

ABSTRACT
Henstock-Pettis Integral on the Euclide an Space is discussed in this paper. Dis cussions

cover some properties of Henstock-Pettis integrable function on the Euclide an Space R n ,
primitive function, Henstock lemma, and some convergence theorems.
Makalah diterima tanggal 12 Maret 2006

1. PENDAHULUAN
Pada
tahun
1914,
Perron
mengembangkan perluasan lain integral
Lebesgue dan menunjukkan bahwa
integralnya mempunyai sifat bahwa setiap
derivatifnya
terintegral
pada
garis
lurus.Selanjutnya Hanstock dan Kurzweil
secara terpisah mengitlakkan integral
Riemann dengan mengubah konstanta
positif δ menjadi fungsi positif δ dan

ternyata integral yang disusun keduanya
ekuivalen. Oleh karena itu, integral yang
mereka susun terkenal dengan nama
Henstock-Kurzweil.
Dari kajian tentang integral Henstock
banyak
sifat-sifatnya
yang
telah
diungkapkan baik dalam R maupun ruang
Rn . Menurut penelitian, masalah mengenai
sifat-sifat
pada
integral
Henstock
kemungkinan dapat dikembangkan menjadi
masalah yang lebih luas dalam integral
henstock-Pettis, khususnya sejauh mana

sifat-sifat integral Henstock dari fungsi

bernilai real dapat dikembangkan ke dalam
integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide
Rn .
Himpunan semua bilangan real
dinotasikan dengan R. Untuk bilangan asli
n, Rn menyatakan himpunan semua
pasangan atas n bilangan real, yaitu :
Rn

=

=

R × R × ... × R . ( n faktor )

{x = (x , x ,..., x ) : x ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}
1

2

n

i

Untuk setiap α ∈ R dan x , y ∈ R n . Jika
A himpunan bagian tak kosong didalam R n ,
diameter himpunan A didefinisikan
diam(A) = sup { x − y : x, y ∈ Α}
Untuk
x ∈Rn,
persekitaran
(neighborhood) titik x dengan jari-jari r >0
dinotasikan dengan B( x , r ) , didefinisikan

21

Berkala MIPA, 16(2), Mei 2006

B( x , r ) = {y : y ∈ R n dan x − y < r }.

Definisi 1.1 Diberikan sel E ⊂ Rn .
(1)Divisi pada sel E adalah koleksi sel
berhingga D yang tidak saling tumpang
tindih sehingga

U

x( f , E , α ) = ( HP ) fdα .

∫

E

Jadi

(

)

x ∗ (HP ) fd α = (H ) x ∗ fdα .

∫

A

∫

A

D = E.

D∈ D

(2)Segmentasi pada koleksi sehingga sel-sel C
adalah koleksi berhin gga sel D yang tidak
saling tumpang tindih sehingga memenuhi
(a) Untuk setiap D ∈ D terdapat sel
C ∈ C sehingga D ⊆ C
(b) Untuk setiap C ∈ C koleksi
{D ∈ D : D ⊂ C} adalah partipasi

pada C
Definisi 1.2. Diberikan fungsi volume α pada
Rn , sel E ⊂ R n dan E ruang Banach. Fungsi f :
E? X dikatakan terintegral-α Henstock pada
E terhadap α, ditulis singkat f ∈ H (E, α, X)
jika terdapat vektor Α ∈ Χ sehingga untuk
setiap bilangan ∈> 0 terhadap fungsi positif δ
pada E dan untuk setiap partisi Perron δ-fine
D = {( D1 , x1 ), ( D2 , x2 ),...( Dn , xn )}
pada
E
berlaku

2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Akan dibahas sifat-sifat lanjut dari
integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide
Rn , beberapa kekonvegenan dari integral
Henstock-Pettis pada ruang Euclide Rn .
Teorema 2.1. ( Kriteria Cauchy) Fungsi
f ∈ HP (E , α ) jika dan hanya jika untuk

setiap bilangan ∈ > 0 terdapat fungsi
positif δ pada E sehingga jika A ⊂ E sel
dan
D1 = {(Β1 , x1 ),..., (Β p , x p )}
dan
D 2 = {(C1 , x1 ),..., (Cq , x q )}
masing-masing
partisi Perron δ-fine pada A memenuhi
p

q

( D )∑ x f ( x )α ( B ) − (D )∑ x f ( y k )α (C )