SYARAT PERLU DAN CUKUP INTEGRAL HENSTOCK-BOCHNER DAN INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] | Solikhin | MATEMATIKA 15313 36845 1 PB
SY A R A T PE R L U DA N C UK UP INT E GR A L HE NST OC K -BOC HNE R
DA N INT E GR A L HE NST OC K -DUNF OR D PA DA [a,b]
Solikhin, Y .D. Sumanto, Susilo Hariyanto, A bdul A ziz
Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
J l. Prof Soedarto, S.H. Tembalang-Semarang
[email protected]
1,2,3,4
A bstract. In this paper we study Henstock-Bochner and Henstock-Dunford integral on [a,b]. We
discuss some properties of the integrable. For every function which Henstock-Bochner integrable
then it is Hentsock-Dunford integrable. T he contrary is not true. Further more, let for any x* X *
*
x f
and collection
x* B ( X * )
is Henstock-equi-integrable. We will show that function
is Henstock-Bochner
f : [ a, b] X
integrable on
[ a, b] if only if
it is Henstock-Dunford
integrable on [ a, b] .
K eywords : Hentsock-Bochner integral, Henstock-equi-integrable and Henstock-Dunford integral
1. PE NDA HUL UA N
Integral Henstock didefinisikan atas
partisi Perron d -fine pada interval tertutup
[ a, b] . Integral Henstock merupakan
generalisasi dari integral Riemann dan
integral McShane [1,2].
K ajian integral Henstock dalam ruang
dimensi satu R [2] telah digeneralisasi
dalam ruang Euclide R n [3]. Bahkan untuk
fungsi bernilai real [1,2] digeneralisasi ke
dalam fungsi bernilai Banach [4]. Integral
Henstock untuk fungsi bernilai vektor atau
Banach dikenal dengan integral HenstockBochner [5].
K ajian integral Henstock telah banyak
dikombinasikan dengan integral lain
seperti integral Henstock-Stieltjes [6],
Henstock-Pettis, Henstock-Dunford untuk
fungsi bernilai Banach [7].
Integral Henstock-Dunford merupakan
hasil kombinasi integral Henstock dengan
integral Dunford. Integral Dunford
didefinisikan oleh fungsi terukur lemah
pada ruang real R [8]. Diberikan X ruang
Banach
dan
*
* *
X x x : X R linear kontinu
ruang
dualnya
dengan
X x x : X R linear kontinu
dual
**
(dual
**
**
pertama)
*
kedua serta [ a, b] R . Fungsi terukur
lemah f :[ a, b] X dikatakan terintegral
Dunford pada [ a, b] jika untuk setiap
x* X * fungsi bernilai real x* f :[ a, b] R
terintegral L ebesgue pada [ a, b] dan untuk
setiap himpunan terukur A [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) X ** sehingga
b
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f ( H ) x* f c A .
A
a
Selanjutnya integral Dunford kemudian
diperluas ke dalam integral tipe Riemann,
yaitu untuk setiap x* X * fungsi bernilai
real x* f :[ a, b] R terintegral Henstock.
Integral ini dinamakan integral HenstockDunford [7, 9].
T opik integral Henstock-Dunford
menjadi kajian oleh penulis. Beberapa
kajian tentang integral Henstock-Dunford
antara lain perluasan Harnack dan sifat
Cauchy integral Henstock-Dunford dalam
ruang Euclide R n [10], beberapa sifat
Small Riemann Sums fungsi terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] [11, 12, 13],
kekonvergenan barisan fungsi terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] [14],
karakteristik fungsi primitive integral
Henstock-Dunford pada [a,b] [15], serta
posisi integral Henstock-Dunford dan
integral Henstock-Bochner pada [ a, b]
[16].
K ajian posisi integral HenstockDunford dan integral Henstock-Bochner
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
telah dihasilkan bahwa untuk setiap fungsi
f yang terintegral Henstock-Bochner
maka fungsi f tersebut terintegral
Henstock-Dunford, akan tetapi sebaliknya
belum tentu berlaku. J ika integral
Henstock-Bochner diperlemah menjadi
integral Henstock L emah maka diperoleh
bahwa
integral
Henstock-Dunford
ekuivalen dengan integral Henstock Lemah
[16]. Berdasarkan hasil ini, maka penulis
akan mengkaji syarat apa yang harus
ditambahkan supaya integral HenstockBochner ekuivalen dengan integral
Henstock-Dunford.
2. HA SIL DA N PE MBA HA SA N
Berikut diberikan definisi integral
Henstock-Bochner , integral HenstockBochner serentak, integral Henstock
serentak, dan integral Henstock-Dunford
dari suatu fungsi bernilai vektor.
J ika A [ c, d] [ a, b] maka simbol
a ( A) dalam tulisan ini dimaksudkan
berlaku dalam integral Henstock-Bochner
fungsi bernilai vektor.
T eorema 2.2 (T eorema C auchy) F ungsi
f HB[ a, b] jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika P ( P , x)
dan Q ( Q, x) partisi Perron d - fine
pada [ a, b] berlaku
P f ( x)a ( P ) - Q f ( x)a (Q)
e.
X
Bukti: [17]. ■
T eorema 2.3 [17] J ika fungsi f
terintegral Henstock-Bochner pada [ a, b]
maka f terintegral Henstock-Bochner
pada setiap interval tertutup A [ a, b] .
Bukti:
K atakan A [ c, d] [ a, b] interval tertutup
di dalam [ a, b] .
K arena
maka menurut
f HB[ a, b]
T eorema Cauchy, untuk setiap e 0
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sebagai a ( A) d - c , panjang interval
tertutup A .
Diberikan X ruang Banach dan X *
ruang dualnya (dual pertama) dengan X **
dual kedua , serta interval tertutup
[ a, b] R .
Definisi 2.1 [5] F ungsi f : [ a, b] X
dikatakan terintegral Henstock-Bochner
pada [ a, b] , ditulis singkat f HB[ a, b] ,
jika ada vektor L X sehingga untuk
setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan untuk setiap
Diambil D1, D2 partisi Perron δ -fine pada
partisi Perron δ -fine D ( D , x) pada
Diperoleh P ' dan Q' partisi Perron δ -fine
pada [ a, b] sehingga
sehingga jika P ( P , x) dan Q ( Q, x)
partisi Perron δ -fine pada [ a, b] maka
berlaku
P f ( x)a ( P ) - Q f ( x)a ( Q) X e .
[ c, d] , P1 partisi Perron δ -fine pada [ a, c]
dan Q1 partisi Perron δ -fine pada [ d, b] .
Dibentuk
P ' P1 D1 Q1 dan
Q' P1 D2 Q1 .
[ a, b] berlaku
D1 f ( x)a ( D1 ) - D2 f ( x)a ( D2 )
L - D f ( x)a ( D )
X
e.
X
J ika fungsi f terintegral Henstock-Bochner
pada [ a, b] maka vektor L dalam Definisi
2.1 adalah tunggal dan ditulis
P ' f ( x)a ( P ' ) - Q' f ( x)a (Q' )
e .
X
Menurut
Teorema Cauchy, terbukti
f HB[ c, d] untuk setiap [ c, d] [ a, b] . ■
b
L ( HB ) f .
a
Teorema Cauchy yang berlaku dalam
integral Henstock fungsi bernilai real juga
46
J ika sebarang fungsi f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , maka untuk
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
setiap x* X * komposisi fungsi bernilai
real x* f terintegral Henstock.
T eorema 2.4 [16] J ika f HB[ a, b] maka
fungsi
x* X * ,
*
x f :[ a, b] R terintegral Henstock pada
[ a, b] .
Bukti:
Oleh karena f : [ a, b] X terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , berarti
untuk setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d 0 pada [ a, b] dan untuk setiap
untuk
setiap
partisi Perron δ -fine D ( D , x) pada
[ a, b] berlaku
x(**f , A) ( HD ) f .
A
Dapat
ditunjukkan
bahwa
**
**
x( f , A) X adalah tunggal .
vektor
J ika f terintegral Henstock-Dunford pada
[ a, b] , ditulis f HD[ a, b] .
T eorema 2.6 [7] F ungsi f terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] jika dan
hanya jika untuk setiap x* X * fungsi
bernilai real x* f terintegral Henstock
pada [ a, b] .
Bukti:
J elas menurut Definisi 2.5. ■
b
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
e.
X
Oleh karena itu untuk setiap x* X *
diperoleh
b
Menurut Teorema 2.4 dan Teorema 2.6
diperoleh bahwa jika fungsi f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , maka f
terintegral Henstock-Dunford pada [ a, b] .
D x* f ( x) a ( D ) - x* ( HB ) f
a
Definisi
2.7
[8]
H f f : [ a, b] X
b
*
x
X
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
X
*
x
e
X
untuk setiap partisi Perron
D ( D , x) pada [ a, b] .
δ -fine
x* X * ,
fungsi
J adi untuk setiap
x* f H [ a, b] . ■
Koleksi
dikatakan
terintegral Henstock-Bochner serentak
(Henstock-Bochner equi-integrable) pada
[ a, b] jika untuk sebarang bilangan e 0
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga untuk setiap f H berlaku
b
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
Definisi 2.5 [7] F ungsi f : [ a, b] X
dikatakan terintegral Henstock-Dunford
pada [ a, b] jika untuk setiap x* X *
fungsi bernilai real
x* f :[ a, b] R
terintegral Henstock pada [ a, b] dan untuk
setiap interval tertutup A [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f .
A
**
( f , A)
Vektor x
**
X di atas disebut nilai
integral Henstock-Dunford pada A atas
fungsi f dan ditulis
dengan D ( D , x)
e,
X
sebarang partisi
Perron δ-fine pada [ a, b] .
J ika diambil X R maka dikatakan
terintegral Henstock serentak pada [ a, b] ,
yaitu
koleksi
H f
f : [ a, b] R
dikatakan terintegral Henstocr serentak
(Henstock equi-integrable) pada [ a, b] jika
untuk sebarang bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap f H berlaku
b
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f e ,
a
47
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
dengan D ( D , x)
sebarang partisi
Perron δ-fine pada [ a, b] .
T eorema
2.8
[8]
J ika
H fk fk : [ a, b] X , k N
e
untuk setiap k k0 .
J adi jika untuk setiap k, l k0 diperoleh
b
koleksi
b
( HB ) fk - ( HB ) fl
a
a
b
terintegral Henstock-Bochner serentak
pada [ a, b] dengan
lim fk ( x) f ( x) , x [ a, b] ,
X
n
( HB ) fk0 - fk0 ( xi ) a ( Di )
i 1
a
X
n
n
k
maka fungsi f HB[ a, b] dan
b
fk0 ( xi ) a ( Di ) -
i 1
f ( x )a ( D )
i
i
i 1
X
b
lim ( HB ) fk ( HB ) f .
b
n
k
a
a
f ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk0
i 1
Bukti:
Oleh
karena
diketahui
bahwa
fk :[ a, b] X , k N terintegral
H fk
X
2e .
Hal
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b]
maka untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap fk H , untuk setiap k N
berlaku
a
ini
berarti
b
( HB ) fk
a
barisan
merupakan barisan Cauchy.
K arena X lengkap maka setiap barisan
Cauchy akan konvergen di X .
J adi,
b
b
e
D fk ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk
,
lim ( HB ) fk L X .
k
a
4
a
X
dengan D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n sebarang
partisi Perron δ-fine pada [ a, b] .
J ika
partisi
Perron
D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n diambil tetap
maka fk akan konvergen titik demi titik,
yaitu
n
Menurut Hipotesa, untuk setiap bilangan
e 0 terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga untuk setiap fk H , untuk
setiap k N berlaku
b
e
D fk ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk ,
4
a
X
dengan D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n sebarang
n
partisi Perron δ-fine pada [ a, b] .
K arena
lim fk ( xi ) a ( Di ) fk ( xi ) a ( Di ) .
k
i 1
i 1
Pilih k0 N sedemikian sehingga untuk
b
lim ( HB ) fk L X ,
setiap k k0 berlaku
k
a
n
n
e
fk ( xi ) a ( Di ) -
i 1
f ( x )a ( D )
i
.
Pilih K N sedemikian sehingga berlaku
i
4
i 1
b
X
Oleh karena itu diperoleh
a
b
n
f ( x ) a ( D ) - ( HB ) f
i
i
a
n
X
n
f ( xi ) a ( Di ) -
i 1
fk ( xi ) a ( Di )
i 1
X
untuk setiap k K .
K arena fk konvergen ke f titik demi titik
maka ada k1 K sehingga berlaku
k
i 1
e,
( HB ) fk - L
X
n
n
e
n
b
f ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk
i 1
a
X
48
i 1
fk1 ( xi ) a ( Di ) -
f ( x )a ( D )
i
i 1
Oleh karena itu diperoleh
.
i
4
X
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
n
f ( x )a ( D ) - L
i
Diperoleh a x dan x b . K ontradiksi
dengan yang diketahui x a , untuk setiap
x b . J adi yang benar a b . ■
i
i 1
X
n
n
f ( x )a ( D ) -
i
fk1 ( xi ) a ( Di )
i
i 1
i 1
X
b
n
fk1 ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk1
i 1
a
X
b
2e .
( HB ) fk1 - L
a
L emma 2.9 akan digunakan untuk
menunjukkan bukti syarat cukup dari
teorema berikut ini.
T eorema 2.10 F ungsi f HB[ a, b] jika
*
dan hanya jika koleksi
x f
x* B ( X * )
X
Hal ini berarti bahwa f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] dan
terintegral Henstock serentak pada [ a, b] .
Bukti: (Syarat perlu) K arena f HB[ a, b]
b
b
b
lim ( HB ) fk L ( HB ) f .
berarti
ada
L ( HB ) f X sehingga
k
a
a
a
untuk setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika D ( D , x)
J adi f HB[ a, b] dan
b
b
lim ( HB ) fk ( HB ) f .
■
k
a
a
sebarang partisi Perron d -fine pada [ a, b]
berlaku
b
T elah ditunjukkan bahwa jika fungsi
f terintegral Henstock-Bochner maka
e .
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
x* f
untuk setiap x* X * fungsi
terintegral Henstock, sebaliknya belum
tentu berlaku. A rtinya jika untuk setiap
x* X * fungsi x* f terintegral Henstock,
maka belum tentu fungsi f terintegral
Henstock-Bochner
dan
diperlihatkan
contohnya [16]. T eorema berikut ini
menyatakan
keberlakuan
sebaliknya
dengan memberikan syarat bahwa untuk
setiap x* X * fungsi bernilai real x* f
harus terintegral Henstock serentak.
Oleh
karena
*
*
itu
*
untuk
*
sebarang
*
) x X
x B( X
X
x
1
diperoleh
X
b
*
D
*
( x f ) ( x) a ( D ) - x ( HB ) f
a
b
x* D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
b
x*
X
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
X
*
e ,
x
X
untuk
L emma 2.9 Diberikan sebarang bilangan
real a, b R .
(i) J ika a x untuk setiap x b maka
a b.
(ii) J ika a x untuk setiap x b maka
a b.
Bukti:
(i) A ndaikan a b maka terdapat bilangan
x R sehingga a x b . Diperoleh a x
dan x b . K ontradiksi dengan yang
diketahui x a , untuk setiap x b . J adi
a b.
(ii) A ndaikan a b maka terdapat
bilangan x R sehingga a x b .
setiap
partisi
Perron
δ -fine
D ( D , x) pada [ a, b] .
J adi x* f x* B ( X * ) terintegral Henstock
serentak pada [ a, b] .
(Syarat
*
*
*
x f x B ( X )
cukup)
terintegral
Diketahui
Henstock
serentak pada [ a, b] . Berarti untuk sebarang
e 0 terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga
untuk
setiap
*
*
*
*
x f x f x B ( X ) berlaku
49
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
b
partisi
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga
D f ( x) a ( D ) - P f ( x) a ( P ) X e
Perron d -fine pada [ a, b] dan x* B ( X * ) .
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
Oleh karena itu
partisi Perron d -fine pada [ a, b] dan
fH .
Bukti:
(Syarat
Perlu)
Diketahui
H f f :[ a, b] X
terintegral
( x* f ) ( x) a ( D ) - ( H ) x* f
D
e
2
a
D ( D , x)
dengan
sebarang
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x ) a ( Q ) )
x*P f ( x) a ( P ) - x*Q f ( x) a ( Q )
b
*
P
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b]
berarti untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap f H berlaku
*
( x f ) ( x) a ( P ) - ( H ) x f
a
b
*
Q
*
( x f ) ( x) a ( Q ) - ( H ) x f
a
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e ,
e
X
untuk sebarang P ( P , x) , Q ( Q, x)
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
dua partisi Perron d - fine pada [ a, b] dan
x* B ( X * ) .
partisi Perron d -fine pada [ a, b] .
(Syarat C ukup) Diketahui untuk setiap
bilangan e 0 terdapat fungsi positif d
pada [ a, b] sehingga
K arena untuk sebarang x* B ( X * ) berlaku
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x ) a ( Q ) )
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e
X
*
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
x
X
X
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
X
dan karena
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
partisi Perron d -fine pada [ a, b] dan
fH .
Berarti untuk setiap f H berlaku
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q ) ) e
e.
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
X
maka menurut L emma 2.9 diperoleh
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q ) X e .
J adi untuk sebarang e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika P dan Q
partisi Perron d -fine pada [ a, b] berlaku
J adi untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga untuk
setiap f H berlaku
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e
X
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
e .
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
X
Menurut Teorema Cauchy, f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] . ■
partisi Perron d -fine pada [ a, b] .
J adi
H f f :[ a, b] X
terintegral
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b] . ■
Berdasarkan Teorema Cauchy dan
definisi
integral
Henstock-Bochner
serentak diperoleh teorema berikut.
T eorema 2.11 Koleksi
H f f :[ a, b] X
terintegral
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b] jika
dan hanya jika untuk setiap bilangan e 0
T elah ditunjukkan juga bahwa setiap
fungsi yang terintegral Henstock-Bochner
maka terintegral Henstock-Dunford [16],
akan tetapi sebaliknya belum tentu berlaku
[16]. J ika ditambahkan syarat bahwa untuk
setiap koleksi x* f x* B ( X * ) terintegral
Henstock
50
serentak
pada [ a, b] maka
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
sebaliknya akan berlaku seperti diuraikan
dalam teorema berikut ini.
T eorema 2.12
*
*
x f
Diketahui koleksi
terintegral Henstock
*
x B( X
)
serentak pada [ a, b] . F ungsi f HB[ a, b]
jika dan hanya jika f HD[ a, b] .
Bukti: (Syarat Perlu) Diketahui koleksi
x* f x* B ( X * )
terintegral Henstock
serentak pada [ a, b] . Diberikan sebarang
bilangan e 0 . K arena f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] maka untuk
sebarang interval tertutup A [ a, b] ,
fungsi f terintegral Henstock-Bochner
pada A . J adi terdapat fungsi positif d
pada [ a, b] dan jika D ( D , x) sebarang
partisi Perron d -fine pada A berlaku
e .
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
X
Oleh karena itu untuk setiap x* X *
diperoleh
D x* f ( x) a ( D ) - ( H ) x* f
x A
A
( x* ) D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
x*
X
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
X
*
e,
x
X
untuk setiap D ( D , x) partisi Perron d fine pada A .
Hal ini berarti x* f terintegral Henstock
pada [ a, b] dan untuk interval tertutup
A [ a, b] di atas terdapat vektor
x(**f , A) X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f .
A
J adi f HD[ a, b] .
(Syarat C ukup) K arena f HD[ a, b]
maka untuk setiap x* X * fungsi bernilai
real x* f terintegral Henstock pada [ a, b] .
K arena
diketahui
bahwa
koleksi
*
x f
x* B ( X * )
terintegral
Henstock
serentak
pada [ a, b] maka menurut
Teorema 2.10 fungsi f HB[ a, b] . ■
3. PE NUT UP
Berdasarkan hasil pembahasan dapat
disimpulkan bahwa jika untuk setiap
x* f x* B ( X * )
x* X *
koleksi
terintegral Henstock serentak pada [ a, b]
maka fungsi f terintegral HenstockBochner pada [ a, b] jika dan hanya jika f
terintegral Henstock-Dunford pada[ a, b] .
4. DA F T A R PUST A K A
[1] Gordon, R.A., (1994), The Integral of
lebesgue, Denjoy, Perron, and
Henstock, Mathematical Society,
USA .
[2] L ee P.Y ., (1989), Lanzhou Lectures
on Henstock Integration, World
Scientific, Singapore.
[3] Indrati, Ch. R., (2002), Integral
Henstock-Kurzweil di dalam Ruang
Euclide Berdimensi-n, Disertasi,
Universitas
Gadjah
Mada,
Y ogyakarta.
[4] Cao, S.C., (1992), T he Henstock
Integral
for
Banach-valued
Functions, Southeast Asian Bull.
Math, 16(-): 35-40.
[5] Cao, S.C., (1993), On The HenstockBochner Integral, Southeast Asian
Bull. Math. Special Issue, p. 1-3.
[6] Lim J .S, Y oon J .H, Eun G.S. (1998),
On Henstock Stieltjes Integral,
Kangweon-Kyungki Math. J our.,
6(1): 87-96.
[7] Guoju, Y e., Tianqing, A n. (2001), On
Henstock-Dunford and HenstockPettis Integrals, IJ MMS, 25(7): 467478.
[8] Schwabik, S., Guoju, Y e. (2005),
Topics in Banach Space Integration,
World Scientific, Singapore.
[9] Saifullah. (2003), Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide R n ,
51
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
[10]
[11]
[12]
[13]
52
T esis, Universitas Gadjah Mada,
Y ogyakarta.
Solikhin. (2013), Perluasan Harnack
dan Sifat Cauchy Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide R n ,
J urnal Matematika, 16(1): 8-12.
Solikhin, Y .D. Sumanto dan Siti
K habibah. (2013), L ocally dan
Globally Small Riemann Sums
Fungsi
T erintegral
HenstockDunford pada [a,b], Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika, 9 November
2013, A .8 halaman 55-64, ISBN
978–979-16353-9-4.
Solikhin, Y D. Sumanto dan Siti
K habibah. (2014), Essentially Small
Riemann Sums Fungsi Terintegral
Henstock-Dunford pada [a,b], J urnal
Matematika, 17(2): 55-61.
Solikhin, Sumanto dan K habibah.
(2012), Functionally Small Riemann
Sums Fungsi Terintegral HenstockDunford pada [a,b], J urnal Sains dan
Matematika, 20(3): 58-63.
[14] Solikhin, Heru Tjahjana dan Solichin
Zaki. (2016), K ekonvergenan Barisan
Fungsi
Terintegral
HenstockJ urnal
Dunford
pada
[ a, b] ,
Matematika, 19(1): 29-39.
[15] Solikhin. (2017),
K arakteristik
Fungsi Primitive Integral HenstockDunford pada [ a, b] , Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika UNY, 25
Februari 2017, hal.107-115 ISBN
978–602-6100-0-0.
[16] Solikhin, Heru Tjahjana dan Solichin
Zaki.
(2016),
Posisi
Integral
Henstock-Dunford dan Integral
Henstock-Bochner
pada
[ a, b] ,
Prosiding
Seminar
Nasional
Matematika
dan
Pendidikan
Matematika UNY, 5 Nopember 2016,
hal. MA 85-MA 92 ISBN 978–60273403-1-2.
[17] Solikhin. (2011), Integral DunfordHenstock pada sel [ a , b ] R n ,
Tesis, Universitas Gadjah Mada,
Y ogyakarta.
DA N INT E GR A L HE NST OC K -DUNF OR D PA DA [a,b]
Solikhin, Y .D. Sumanto, Susilo Hariyanto, A bdul A ziz
Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
J l. Prof Soedarto, S.H. Tembalang-Semarang
[email protected]
1,2,3,4
A bstract. In this paper we study Henstock-Bochner and Henstock-Dunford integral on [a,b]. We
discuss some properties of the integrable. For every function which Henstock-Bochner integrable
then it is Hentsock-Dunford integrable. T he contrary is not true. Further more, let for any x* X *
*
x f
and collection
x* B ( X * )
is Henstock-equi-integrable. We will show that function
is Henstock-Bochner
f : [ a, b] X
integrable on
[ a, b] if only if
it is Henstock-Dunford
integrable on [ a, b] .
K eywords : Hentsock-Bochner integral, Henstock-equi-integrable and Henstock-Dunford integral
1. PE NDA HUL UA N
Integral Henstock didefinisikan atas
partisi Perron d -fine pada interval tertutup
[ a, b] . Integral Henstock merupakan
generalisasi dari integral Riemann dan
integral McShane [1,2].
K ajian integral Henstock dalam ruang
dimensi satu R [2] telah digeneralisasi
dalam ruang Euclide R n [3]. Bahkan untuk
fungsi bernilai real [1,2] digeneralisasi ke
dalam fungsi bernilai Banach [4]. Integral
Henstock untuk fungsi bernilai vektor atau
Banach dikenal dengan integral HenstockBochner [5].
K ajian integral Henstock telah banyak
dikombinasikan dengan integral lain
seperti integral Henstock-Stieltjes [6],
Henstock-Pettis, Henstock-Dunford untuk
fungsi bernilai Banach [7].
Integral Henstock-Dunford merupakan
hasil kombinasi integral Henstock dengan
integral Dunford. Integral Dunford
didefinisikan oleh fungsi terukur lemah
pada ruang real R [8]. Diberikan X ruang
Banach
dan
*
* *
X x x : X R linear kontinu
ruang
dualnya
dengan
X x x : X R linear kontinu
dual
**
(dual
**
**
pertama)
*
kedua serta [ a, b] R . Fungsi terukur
lemah f :[ a, b] X dikatakan terintegral
Dunford pada [ a, b] jika untuk setiap
x* X * fungsi bernilai real x* f :[ a, b] R
terintegral L ebesgue pada [ a, b] dan untuk
setiap himpunan terukur A [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) X ** sehingga
b
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f ( H ) x* f c A .
A
a
Selanjutnya integral Dunford kemudian
diperluas ke dalam integral tipe Riemann,
yaitu untuk setiap x* X * fungsi bernilai
real x* f :[ a, b] R terintegral Henstock.
Integral ini dinamakan integral HenstockDunford [7, 9].
T opik integral Henstock-Dunford
menjadi kajian oleh penulis. Beberapa
kajian tentang integral Henstock-Dunford
antara lain perluasan Harnack dan sifat
Cauchy integral Henstock-Dunford dalam
ruang Euclide R n [10], beberapa sifat
Small Riemann Sums fungsi terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] [11, 12, 13],
kekonvergenan barisan fungsi terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] [14],
karakteristik fungsi primitive integral
Henstock-Dunford pada [a,b] [15], serta
posisi integral Henstock-Dunford dan
integral Henstock-Bochner pada [ a, b]
[16].
K ajian posisi integral HenstockDunford dan integral Henstock-Bochner
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
telah dihasilkan bahwa untuk setiap fungsi
f yang terintegral Henstock-Bochner
maka fungsi f tersebut terintegral
Henstock-Dunford, akan tetapi sebaliknya
belum tentu berlaku. J ika integral
Henstock-Bochner diperlemah menjadi
integral Henstock L emah maka diperoleh
bahwa
integral
Henstock-Dunford
ekuivalen dengan integral Henstock Lemah
[16]. Berdasarkan hasil ini, maka penulis
akan mengkaji syarat apa yang harus
ditambahkan supaya integral HenstockBochner ekuivalen dengan integral
Henstock-Dunford.
2. HA SIL DA N PE MBA HA SA N
Berikut diberikan definisi integral
Henstock-Bochner , integral HenstockBochner serentak, integral Henstock
serentak, dan integral Henstock-Dunford
dari suatu fungsi bernilai vektor.
J ika A [ c, d] [ a, b] maka simbol
a ( A) dalam tulisan ini dimaksudkan
berlaku dalam integral Henstock-Bochner
fungsi bernilai vektor.
T eorema 2.2 (T eorema C auchy) F ungsi
f HB[ a, b] jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika P ( P , x)
dan Q ( Q, x) partisi Perron d - fine
pada [ a, b] berlaku
P f ( x)a ( P ) - Q f ( x)a (Q)
e.
X
Bukti: [17]. ■
T eorema 2.3 [17] J ika fungsi f
terintegral Henstock-Bochner pada [ a, b]
maka f terintegral Henstock-Bochner
pada setiap interval tertutup A [ a, b] .
Bukti:
K atakan A [ c, d] [ a, b] interval tertutup
di dalam [ a, b] .
K arena
maka menurut
f HB[ a, b]
T eorema Cauchy, untuk setiap e 0
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sebagai a ( A) d - c , panjang interval
tertutup A .
Diberikan X ruang Banach dan X *
ruang dualnya (dual pertama) dengan X **
dual kedua , serta interval tertutup
[ a, b] R .
Definisi 2.1 [5] F ungsi f : [ a, b] X
dikatakan terintegral Henstock-Bochner
pada [ a, b] , ditulis singkat f HB[ a, b] ,
jika ada vektor L X sehingga untuk
setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan untuk setiap
Diambil D1, D2 partisi Perron δ -fine pada
partisi Perron δ -fine D ( D , x) pada
Diperoleh P ' dan Q' partisi Perron δ -fine
pada [ a, b] sehingga
sehingga jika P ( P , x) dan Q ( Q, x)
partisi Perron δ -fine pada [ a, b] maka
berlaku
P f ( x)a ( P ) - Q f ( x)a ( Q) X e .
[ c, d] , P1 partisi Perron δ -fine pada [ a, c]
dan Q1 partisi Perron δ -fine pada [ d, b] .
Dibentuk
P ' P1 D1 Q1 dan
Q' P1 D2 Q1 .
[ a, b] berlaku
D1 f ( x)a ( D1 ) - D2 f ( x)a ( D2 )
L - D f ( x)a ( D )
X
e.
X
J ika fungsi f terintegral Henstock-Bochner
pada [ a, b] maka vektor L dalam Definisi
2.1 adalah tunggal dan ditulis
P ' f ( x)a ( P ' ) - Q' f ( x)a (Q' )
e .
X
Menurut
Teorema Cauchy, terbukti
f HB[ c, d] untuk setiap [ c, d] [ a, b] . ■
b
L ( HB ) f .
a
Teorema Cauchy yang berlaku dalam
integral Henstock fungsi bernilai real juga
46
J ika sebarang fungsi f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , maka untuk
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
setiap x* X * komposisi fungsi bernilai
real x* f terintegral Henstock.
T eorema 2.4 [16] J ika f HB[ a, b] maka
fungsi
x* X * ,
*
x f :[ a, b] R terintegral Henstock pada
[ a, b] .
Bukti:
Oleh karena f : [ a, b] X terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , berarti
untuk setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d 0 pada [ a, b] dan untuk setiap
untuk
setiap
partisi Perron δ -fine D ( D , x) pada
[ a, b] berlaku
x(**f , A) ( HD ) f .
A
Dapat
ditunjukkan
bahwa
**
**
x( f , A) X adalah tunggal .
vektor
J ika f terintegral Henstock-Dunford pada
[ a, b] , ditulis f HD[ a, b] .
T eorema 2.6 [7] F ungsi f terintegral
Henstock-Dunford pada [ a, b] jika dan
hanya jika untuk setiap x* X * fungsi
bernilai real x* f terintegral Henstock
pada [ a, b] .
Bukti:
J elas menurut Definisi 2.5. ■
b
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
e.
X
Oleh karena itu untuk setiap x* X *
diperoleh
b
Menurut Teorema 2.4 dan Teorema 2.6
diperoleh bahwa jika fungsi f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] , maka f
terintegral Henstock-Dunford pada [ a, b] .
D x* f ( x) a ( D ) - x* ( HB ) f
a
Definisi
2.7
[8]
H f f : [ a, b] X
b
*
x
X
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
X
*
x
e
X
untuk setiap partisi Perron
D ( D , x) pada [ a, b] .
δ -fine
x* X * ,
fungsi
J adi untuk setiap
x* f H [ a, b] . ■
Koleksi
dikatakan
terintegral Henstock-Bochner serentak
(Henstock-Bochner equi-integrable) pada
[ a, b] jika untuk sebarang bilangan e 0
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga untuk setiap f H berlaku
b
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
Definisi 2.5 [7] F ungsi f : [ a, b] X
dikatakan terintegral Henstock-Dunford
pada [ a, b] jika untuk setiap x* X *
fungsi bernilai real
x* f :[ a, b] R
terintegral Henstock pada [ a, b] dan untuk
setiap interval tertutup A [ a, b] terdapat
vektor x(**f , A) X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f .
A
**
( f , A)
Vektor x
**
X di atas disebut nilai
integral Henstock-Dunford pada A atas
fungsi f dan ditulis
dengan D ( D , x)
e,
X
sebarang partisi
Perron δ-fine pada [ a, b] .
J ika diambil X R maka dikatakan
terintegral Henstock serentak pada [ a, b] ,
yaitu
koleksi
H f
f : [ a, b] R
dikatakan terintegral Henstocr serentak
(Henstock equi-integrable) pada [ a, b] jika
untuk sebarang bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap f H berlaku
b
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f e ,
a
47
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
dengan D ( D , x)
sebarang partisi
Perron δ-fine pada [ a, b] .
T eorema
2.8
[8]
J ika
H fk fk : [ a, b] X , k N
e
untuk setiap k k0 .
J adi jika untuk setiap k, l k0 diperoleh
b
koleksi
b
( HB ) fk - ( HB ) fl
a
a
b
terintegral Henstock-Bochner serentak
pada [ a, b] dengan
lim fk ( x) f ( x) , x [ a, b] ,
X
n
( HB ) fk0 - fk0 ( xi ) a ( Di )
i 1
a
X
n
n
k
maka fungsi f HB[ a, b] dan
b
fk0 ( xi ) a ( Di ) -
i 1
f ( x )a ( D )
i
i
i 1
X
b
lim ( HB ) fk ( HB ) f .
b
n
k
a
a
f ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk0
i 1
Bukti:
Oleh
karena
diketahui
bahwa
fk :[ a, b] X , k N terintegral
H fk
X
2e .
Hal
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b]
maka untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap fk H , untuk setiap k N
berlaku
a
ini
berarti
b
( HB ) fk
a
barisan
merupakan barisan Cauchy.
K arena X lengkap maka setiap barisan
Cauchy akan konvergen di X .
J adi,
b
b
e
D fk ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk
,
lim ( HB ) fk L X .
k
a
4
a
X
dengan D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n sebarang
partisi Perron δ-fine pada [ a, b] .
J ika
partisi
Perron
D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n diambil tetap
maka fk akan konvergen titik demi titik,
yaitu
n
Menurut Hipotesa, untuk setiap bilangan
e 0 terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga untuk setiap fk H , untuk
setiap k N berlaku
b
e
D fk ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk ,
4
a
X
dengan D ( Di , xi ) i 1, 2,..., n sebarang
n
partisi Perron δ-fine pada [ a, b] .
K arena
lim fk ( xi ) a ( Di ) fk ( xi ) a ( Di ) .
k
i 1
i 1
Pilih k0 N sedemikian sehingga untuk
b
lim ( HB ) fk L X ,
setiap k k0 berlaku
k
a
n
n
e
fk ( xi ) a ( Di ) -
i 1
f ( x )a ( D )
i
.
Pilih K N sedemikian sehingga berlaku
i
4
i 1
b
X
Oleh karena itu diperoleh
a
b
n
f ( x ) a ( D ) - ( HB ) f
i
i
a
n
X
n
f ( xi ) a ( Di ) -
i 1
fk ( xi ) a ( Di )
i 1
X
untuk setiap k K .
K arena fk konvergen ke f titik demi titik
maka ada k1 K sehingga berlaku
k
i 1
e,
( HB ) fk - L
X
n
n
e
n
b
f ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk
i 1
a
X
48
i 1
fk1 ( xi ) a ( Di ) -
f ( x )a ( D )
i
i 1
Oleh karena itu diperoleh
.
i
4
X
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
n
f ( x )a ( D ) - L
i
Diperoleh a x dan x b . K ontradiksi
dengan yang diketahui x a , untuk setiap
x b . J adi yang benar a b . ■
i
i 1
X
n
n
f ( x )a ( D ) -
i
fk1 ( xi ) a ( Di )
i
i 1
i 1
X
b
n
fk1 ( xi ) a ( Di ) - ( HB ) fk1
i 1
a
X
b
2e .
( HB ) fk1 - L
a
L emma 2.9 akan digunakan untuk
menunjukkan bukti syarat cukup dari
teorema berikut ini.
T eorema 2.10 F ungsi f HB[ a, b] jika
*
dan hanya jika koleksi
x f
x* B ( X * )
X
Hal ini berarti bahwa f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] dan
terintegral Henstock serentak pada [ a, b] .
Bukti: (Syarat perlu) K arena f HB[ a, b]
b
b
b
lim ( HB ) fk L ( HB ) f .
berarti
ada
L ( HB ) f X sehingga
k
a
a
a
untuk setiap bilangan e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika D ( D , x)
J adi f HB[ a, b] dan
b
b
lim ( HB ) fk ( HB ) f .
■
k
a
a
sebarang partisi Perron d -fine pada [ a, b]
berlaku
b
T elah ditunjukkan bahwa jika fungsi
f terintegral Henstock-Bochner maka
e .
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
x* f
untuk setiap x* X * fungsi
terintegral Henstock, sebaliknya belum
tentu berlaku. A rtinya jika untuk setiap
x* X * fungsi x* f terintegral Henstock,
maka belum tentu fungsi f terintegral
Henstock-Bochner
dan
diperlihatkan
contohnya [16]. T eorema berikut ini
menyatakan
keberlakuan
sebaliknya
dengan memberikan syarat bahwa untuk
setiap x* X * fungsi bernilai real x* f
harus terintegral Henstock serentak.
Oleh
karena
*
*
itu
*
untuk
*
sebarang
*
) x X
x B( X
X
x
1
diperoleh
X
b
*
D
*
( x f ) ( x) a ( D ) - x ( HB ) f
a
b
x* D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
b
x*
X
D f ( x) a ( D ) - ( HB ) f
a
X
*
e ,
x
X
untuk
L emma 2.9 Diberikan sebarang bilangan
real a, b R .
(i) J ika a x untuk setiap x b maka
a b.
(ii) J ika a x untuk setiap x b maka
a b.
Bukti:
(i) A ndaikan a b maka terdapat bilangan
x R sehingga a x b . Diperoleh a x
dan x b . K ontradiksi dengan yang
diketahui x a , untuk setiap x b . J adi
a b.
(ii) A ndaikan a b maka terdapat
bilangan x R sehingga a x b .
setiap
partisi
Perron
δ -fine
D ( D , x) pada [ a, b] .
J adi x* f x* B ( X * ) terintegral Henstock
serentak pada [ a, b] .
(Syarat
*
*
*
x f x B ( X )
cukup)
terintegral
Diketahui
Henstock
serentak pada [ a, b] . Berarti untuk sebarang
e 0 terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga
untuk
setiap
*
*
*
*
x f x f x B ( X ) berlaku
49
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
b
partisi
terdapat fungsi positif d pada [ a, b]
sehingga
D f ( x) a ( D ) - P f ( x) a ( P ) X e
Perron d -fine pada [ a, b] dan x* B ( X * ) .
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
Oleh karena itu
partisi Perron d -fine pada [ a, b] dan
fH .
Bukti:
(Syarat
Perlu)
Diketahui
H f f :[ a, b] X
terintegral
( x* f ) ( x) a ( D ) - ( H ) x* f
D
e
2
a
D ( D , x)
dengan
sebarang
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x ) a ( Q ) )
x*P f ( x) a ( P ) - x*Q f ( x) a ( Q )
b
*
P
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b]
berarti untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga
untuk setiap f H berlaku
*
( x f ) ( x) a ( P ) - ( H ) x f
a
b
*
Q
*
( x f ) ( x) a ( Q ) - ( H ) x f
a
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e ,
e
X
untuk sebarang P ( P , x) , Q ( Q, x)
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
dua partisi Perron d - fine pada [ a, b] dan
x* B ( X * ) .
partisi Perron d -fine pada [ a, b] .
(Syarat C ukup) Diketahui untuk setiap
bilangan e 0 terdapat fungsi positif d
pada [ a, b] sehingga
K arena untuk sebarang x* B ( X * ) berlaku
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x ) a ( Q ) )
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e
X
*
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
x
X
X
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
X
dan karena
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
partisi Perron d -fine pada [ a, b] dan
fH .
Berarti untuk setiap f H berlaku
x* ( P f ( x ) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q ) ) e
e.
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
X
maka menurut L emma 2.9 diperoleh
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q ) X e .
J adi untuk sebarang e 0 terdapat fungsi
positif d pada [ a, b] dan jika P dan Q
partisi Perron d -fine pada [ a, b] berlaku
J adi untuk setiap bilangan e 0 terdapat
fungsi positif d pada [ a, b] sehingga untuk
setiap f H berlaku
D f ( x ) a ( D ) - P f ( x) a ( D )
e
X
untuk setiap D ( D , x) , P ( P , y ) dua
e .
P f ( x) a ( P ) - Q f ( x) a ( Q )
X
Menurut Teorema Cauchy, f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] . ■
partisi Perron d -fine pada [ a, b] .
J adi
H f f :[ a, b] X
terintegral
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b] . ■
Berdasarkan Teorema Cauchy dan
definisi
integral
Henstock-Bochner
serentak diperoleh teorema berikut.
T eorema 2.11 Koleksi
H f f :[ a, b] X
terintegral
Henstock-Bochner serentak pada [ a, b] jika
dan hanya jika untuk setiap bilangan e 0
T elah ditunjukkan juga bahwa setiap
fungsi yang terintegral Henstock-Bochner
maka terintegral Henstock-Dunford [16],
akan tetapi sebaliknya belum tentu berlaku
[16]. J ika ditambahkan syarat bahwa untuk
setiap koleksi x* f x* B ( X * ) terintegral
Henstock
50
serentak
pada [ a, b] maka
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 45 - 52
sebaliknya akan berlaku seperti diuraikan
dalam teorema berikut ini.
T eorema 2.12
*
*
x f
Diketahui koleksi
terintegral Henstock
*
x B( X
)
serentak pada [ a, b] . F ungsi f HB[ a, b]
jika dan hanya jika f HD[ a, b] .
Bukti: (Syarat Perlu) Diketahui koleksi
x* f x* B ( X * )
terintegral Henstock
serentak pada [ a, b] . Diberikan sebarang
bilangan e 0 . K arena f terintegral
Henstock-Bochner pada [ a, b] maka untuk
sebarang interval tertutup A [ a, b] ,
fungsi f terintegral Henstock-Bochner
pada A . J adi terdapat fungsi positif d
pada [ a, b] dan jika D ( D , x) sebarang
partisi Perron d -fine pada A berlaku
e .
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
X
Oleh karena itu untuk setiap x* X *
diperoleh
D x* f ( x) a ( D ) - ( H ) x* f
x A
A
( x* ) D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
x*
X
D f ( x) a ( D ) - ( H ) f
x A
A
X
*
e,
x
X
untuk setiap D ( D , x) partisi Perron d fine pada A .
Hal ini berarti x* f terintegral Henstock
pada [ a, b] dan untuk interval tertutup
A [ a, b] di atas terdapat vektor
x(**f , A) X ** sehingga
x(**f , A) ( x* ) ( H ) x* f .
A
J adi f HD[ a, b] .
(Syarat C ukup) K arena f HD[ a, b]
maka untuk setiap x* X * fungsi bernilai
real x* f terintegral Henstock pada [ a, b] .
K arena
diketahui
bahwa
koleksi
*
x f
x* B ( X * )
terintegral
Henstock
serentak
pada [ a, b] maka menurut
Teorema 2.10 fungsi f HB[ a, b] . ■
3. PE NUT UP
Berdasarkan hasil pembahasan dapat
disimpulkan bahwa jika untuk setiap
x* f x* B ( X * )
x* X *
koleksi
terintegral Henstock serentak pada [ a, b]
maka fungsi f terintegral HenstockBochner pada [ a, b] jika dan hanya jika f
terintegral Henstock-Dunford pada[ a, b] .
4. DA F T A R PUST A K A
[1] Gordon, R.A., (1994), The Integral of
lebesgue, Denjoy, Perron, and
Henstock, Mathematical Society,
USA .
[2] L ee P.Y ., (1989), Lanzhou Lectures
on Henstock Integration, World
Scientific, Singapore.
[3] Indrati, Ch. R., (2002), Integral
Henstock-Kurzweil di dalam Ruang
Euclide Berdimensi-n, Disertasi,
Universitas
Gadjah
Mada,
Y ogyakarta.
[4] Cao, S.C., (1992), T he Henstock
Integral
for
Banach-valued
Functions, Southeast Asian Bull.
Math, 16(-): 35-40.
[5] Cao, S.C., (1993), On The HenstockBochner Integral, Southeast Asian
Bull. Math. Special Issue, p. 1-3.
[6] Lim J .S, Y oon J .H, Eun G.S. (1998),
On Henstock Stieltjes Integral,
Kangweon-Kyungki Math. J our.,
6(1): 87-96.
[7] Guoju, Y e., Tianqing, A n. (2001), On
Henstock-Dunford and HenstockPettis Integrals, IJ MMS, 25(7): 467478.
[8] Schwabik, S., Guoju, Y e. (2005),
Topics in Banach Space Integration,
World Scientific, Singapore.
[9] Saifullah. (2003), Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide R n ,
51
Solikhin, Susilo Hariyanto, Y .D. Sumanto dan A bdul A ziz (Syarat Perlu dan Cukup Integral Henstock-...)
[10]
[11]
[12]
[13]
52
T esis, Universitas Gadjah Mada,
Y ogyakarta.
Solikhin. (2013), Perluasan Harnack
dan Sifat Cauchy Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide R n ,
J urnal Matematika, 16(1): 8-12.
Solikhin, Y .D. Sumanto dan Siti
K habibah. (2013), L ocally dan
Globally Small Riemann Sums
Fungsi
T erintegral
HenstockDunford pada [a,b], Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika, 9 November
2013, A .8 halaman 55-64, ISBN
978–979-16353-9-4.
Solikhin, Y D. Sumanto dan Siti
K habibah. (2014), Essentially Small
Riemann Sums Fungsi Terintegral
Henstock-Dunford pada [a,b], J urnal
Matematika, 17(2): 55-61.
Solikhin, Sumanto dan K habibah.
(2012), Functionally Small Riemann
Sums Fungsi Terintegral HenstockDunford pada [a,b], J urnal Sains dan
Matematika, 20(3): 58-63.
[14] Solikhin, Heru Tjahjana dan Solichin
Zaki. (2016), K ekonvergenan Barisan
Fungsi
Terintegral
HenstockJ urnal
Dunford
pada
[ a, b] ,
Matematika, 19(1): 29-39.
[15] Solikhin. (2017),
K arakteristik
Fungsi Primitive Integral HenstockDunford pada [ a, b] , Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika UNY, 25
Februari 2017, hal.107-115 ISBN
978–602-6100-0-0.
[16] Solikhin, Heru Tjahjana dan Solichin
Zaki.
(2016),
Posisi
Integral
Henstock-Dunford dan Integral
Henstock-Bochner
pada
[ a, b] ,
Prosiding
Seminar
Nasional
Matematika
dan
Pendidikan
Matematika UNY, 5 Nopember 2016,
hal. MA 85-MA 92 ISBN 978–60273403-1-2.
[17] Solikhin. (2011), Integral DunfordHenstock pada sel [ a , b ] R n ,
Tesis, Universitas Gadjah Mada,
Y ogyakarta.